M, = T ( Xj dx^ — ar, dx

= 2nqi[{a%') «{*- 1 a^«- ^ -+- ( a «' ) 4»-» «1« » ] + 2yj^[al«(ay)«r*-«('.(a'y)a;«-^]

et ainsi de suite.

Par là se trouve donnée la représentation paramétrique Je la courbe C„ considérée comme figure tangentielle. Que ces dernières équations représentent effectivement une courbe de 2«''°" classe, comme cela doit être, c'est ce qu'on reconnaît par une marche analogue à celle qui sera incessamment suivie au texte pour montrer que la courbe représentée par {\) est seulement du rt''""" ordre, les ordres des expressions qui figurent au second membre pouvant encore être réduits.

OlO TOME III, CIlAPlTaii 1.

les quantités w/a, li peuvent se représenter comme des fonctions ^'ik> h 6" J0JK2 du même degré par rapport à ces dernières grandeurs que les quantités çv,vt, // en )., et y^Q devient, à une constante près, égal à y\j%. On trouve donc les xi exprimés de la manière suivante :

(6) i0.r,= V, n/., 4- y^«/.^ + y^rv;., + m (yZ' j/J^^'s,

en faisant [yl')^z=yd'.^ — 73/!,, etc. Les xi sont donc représentés comme fonctions entières du n'""^ ordre des ji^ et entre ces dernières grandeurs existe, d'après (5), l'identité

(7) F(j}=j^^j,-j,(j-,-j-j)(ji->{-V2) = o, dans laquelle

a, — a, en — a,

ce qui est, en fait, l'équation d'une courbe du ti'oisième ordre dont le rapport anliarnionùpie [ou module) est égal à h-. Les équations (6) donnent donc l'inversion des formules pji=^ilx\ par lesquelles la même transformation est établie, *^^ = o, <t>2 = o, ^^z=o étant trois courbes adjointes à la courbe donnée C^ dans un réseau à trois points d'intersection mobiles. On peut, du reste, au moyen des équations (6), calculer réciproquement les j,- comme

fonction des xi, car on a X = — ï- fonction rationnelle des xi', par

là ji, ji se trouvent immédiatement représentés, et j'3 n'entre dans les équations (6) que linéairement.

D'un autre côté, si l'on part de la courbe (7) et qu'il s'agisse de la transformer en une courbe C„ par les formules (6), les équations qui prennent naissance lorsqu'on égale à zéro les seconds membres des expressions (6) représenteront trois courbes du ^iême ordre, et les courbes du réseau déterminé par elles rencontreront encore C3 en n points mobiles; en d'autres termes, il existe nécessairement sur G 3 (7) a/z points fixes par lesquels passent toutes les courbes du réseau d'ordre n qui prend ainsi naissance. On peut aussi déterminer aisément ces 2« points au mo^en des formules (6). Considérons la courbe représentée par une combinaison linéaire des seconds membres de (6), et for-

LA GÉOMÉTRIE SUR DNE COLRnE ALGÉBRIQUE.

mons en conséquence, au moyen des trois grandeurs arbitraires ß,, jSa, ßi, l'équation

Ily/P^n-M- + mfijr^lyl'p) = o.

Cette courbe renferme également les 2n points d'intersection constants dont il a été parlé. Mais, dans le voisinage dej)'4 = o, r2 = o, (8) devient le faisceau de n — i droites

La courbe (8) a donc au point /i = o, j)2= o un point multiple d'ordre ii — i dont une tangente (j^, = o) touche la courbe (7). Par conséquent, en ce point tombent n intersections des deux courbes [y] et (8). De (8) résulte d'ailleurs

yl pouvant maintenant être éliminé à l'aide de (7). Mais alors il vient, d'après (2) et (5),

m'ylxV'A = Qi?'A = -^'f'i,,

si l'on désigne par la notation W',;^ les déterminants mineurs formés avec les quantités «^y^. Le second membre de (9) devient par suite le déterminant

w'ii

ßi

Pi

L'équation (9) se décompose donc en deux autres, savoir

2^ "'i-A- 7' Ik =0, II w\,^ Pi ßk = o ,

dont la seconde seule dépend des constantes spéciales ß de la courbe (8); la première fournit en conséquence n rapports constants j, '.J21 et à chaque rapport de cette espèce correspond, en vertu de (8), une valeur dej^s, également indépendante des con-

320 TOME m, — CHAPITRE I.

stantes |3, de sorte qu'au moyen de Inéquation

combinée avec (8) on trouve les n autres points d' intersection constants. Car, pour ce qui concerne la valeur de 73, on a nécessairement, si la valeur trouvée au moyen de (8) doit être réellement indépendante des jS/,

^v- ^ — «'ir/i + "^2y2+"''i3Y3 "'21 71 +«'2 2 72 +"'2 TA

f"Xi.yi — j, p — ji — ~-ji

En égalant ces quotients deux à deux, on a les trois conditions

7;. 22n47,7'^. — l',.llw'.,^.yr/k =0 ( r = 1 , 2, 3 ), lesquelles se réduisent, en vertu de (i 1), à la condition unique

Mais celte dernière relation, multipliée par JJi'^jijlf'n, se transforme, à cause de (10), en

*K-A-7/Wl./, = \V'.7/,= 0;

et cette condition est en fait remplie, parce que le déterminant W des grandeurs w'i/^ s'évanouit.

Actuellement, l'introduction des fonctions elliptiques est immédiatement donnée par les équations (6). Au moyen de ces dernières, les points de la courbe (7) seront en effet représentés, d'après ce qui a été dit précédemment, par les équations (t. II, p. 358)

pji= sin^am«, pj2=sinami<, 1573=: cosam« . Aam«.

Si donc on divise dans les deux membres de (6) par sin" am w, on obtient des formules de la forme

12 (7Xi= F "' sui^ am u -+- F^"'^^ sm^ am u ,

au

le degré des fonctions F/, par rapport à leur argument, étant in-

LA GÉOMÉTRIE SUR «NE COCRBE AI.CÉBRIOIE. 321

diqué par l'indice supérieur; ce degré peut d ailleurs être encore abaissé, ainsi qu'il sera expliqué plus loin.

Dans les équations (12), on peut (semblablement à ce qui a été fait t. II, p. 390) introduire la fonction H(«,) à la place de sinaniM, et l'on est ainsi immédiatement conduit de nouveau au théorème d'Abel. Chacune des expressions qui figurent dans le second membre de (12) s'annule en effet pour o.n valeurs de l'argument u. Si nous désignons ces valeurs respectivement par

on a, d'après la proposition dont il a été déjà fait usage pour les courbes du troisième ordre (*), et en écrivant de nouveau a à la place de (7 0-« (u) et désignant par Q des constantes,

(i3) <TXi=z C,-H(a - ai'') .H(M — a'/') . . . H(m — a%).

Mais la ligne x/= o coupe C« en n points seulement; donc, parmi les ^n valeurs racines de l'argument u qui se présentent dans les seconds membres, « sont sans usage pour nous, en tant qu'appartenant simultanément aux trois lignes x, = 0, 0:2= o, X3= o. Le fait se vérifie directement sur les équations (4)- Si l'on détermine en effet les rencontres d'une droite quelconque ß^=: o avec G«, cette détermination sera nécessairement réalisée par une équation du n'^""® degré relativement au paramètre X. Si l'on porte d'ailleurs dans ßx= o les valeurs des xi tirées de (4), il vient

ce qui, en vertu de (5), est encore l'équation (8) ; or nous avons déjà démontré, à propos de cette dernière, qu'elle possède n racines complètement indépendantes des ß,-, savoir les racines de l'équation (n). Nous pouvons donc poser

(') Cette proposition de Hermite est au fond, pour le cas de ^ = 1, identique au théorème général sur la représentabilité des fonctions aljébriques par des quotients de fonctions 6. {f^oir Riemanx, op. cit., § 27; Clebsch et GoaDA», op. cit., p. 224 ; Reçu, Journal de Crelle, t. 66, p. 99; W^EßER, Vj., t. 70, p. 3i5).

Clebsch. — Géométrie, III. 31

322 TOME m. — CHAPITRE I.

et si nous faisons en sorte que le facteur

qui se présente dans chacune des trois équations (i3) s'absorbe dans le facteur de proportionnalité, il vient

(l4) <tj:,-=QH(«— a','').H(« — ay'')...H(« — ajf ).

Actuellement, pour les mn arguments «i , «2, . . . , a^n des points d'intersection de notre courbe C« avec une courbe du m'^™® ordre, on a, d'après le théorème connu de Hermite (t. II, p. 890 et suiv.) et sans qu'il soit nécessaire d'entrer de nouveau dans les détails,

(i5) s«! + ^2+ . . . a,„,i HE '«Sr,

3- étant égal à — a^^^, — a'^^^ ... — a!,^ ; or ce n'est là autre chose que le théorème d'Abel, car le paramètre u est précisément égal à V unique intégrale finie qui appartient à C« (t. Il, p. SS^),

pour

Nous n'insisterons pas une fois de plus sur les applications du théorème d'Abel pour la détermination des courbes de contact dans ce cas particulier de /> = i. Rappelons seulement qu'ici aussi il faut faire usage du problème de V immersion étendu (p. 266), dès que l'on considère des courbes ne passant pas par tous les points de la courbe primitive C„ (* ).

Comme pour les courbes du genre zéro (p. 294), on peut ici se poser la question inverse de savoir si par des équations de la forme (4) ou (i4) se trouve toujours représentée une courbe du genre i, et comment, s'il en est ainsi, se déterminent les singularités de cette

(') r oir Tponr les détails le Mémoire déjà cité de Clebsch. On y trouve, traité avec soin, l'exemple d'une courbe de" quatrième ordre à deux points doubles, y compris en particulier la détermination de ses tangentes doubles. Ces courbes ont été étudiées au point de vue purement algébrique (dans un ordre d'idées d'ailleurs tout différent) par Casey, Ghasles, Qcetelet, Cayley, Hart. {Foir sur ce point Salmos, Higher plane curves). On a surtout fait des recherches sur les propriétés métriques des courbes du quatrième ordre, dont deux points doubles se trouvent aux points circulaires. Quant à l'équation algébrique dont dépend la détermination des courbes de contact non adjointes et de l'ordre n — 3, iwir C. Jordan, Traité des iSubstitutions, p. 33 1.

LA GÉOMÉTRIE St'R DNE COURBE ALGÉBRIQUE. 3r!.3

courbe ( ' ). Que la première question doive recevoir, en général, une réponse affirmative, c'est ce qui a à peine besoin d'explication (2); pour ce qui concerne la seconde, nous allons déterminer les points doubles au moyen de la représentation paramétrique de C„, ce qui au surplus résoudra complètemenf'la première. On pourrait d'abord, en prenant pourpoint de départ les équations (6) combinées avec (7), procéder comme il a été enseigné dans la théorie générale des transformations unidéterminatives d'une courbe algébrique, c'est-à-dire au moyen de la courbe M = o [voir p. 5); toutefois, nous nous proposons d'effectuer cette détermination en faisant uniquement usage des variables binaires introduites dans les équations (4).

Dans la recherche dont il s'agit, ces dernières équations ne peuvent d'ailleurs être employées telles qu'elles sont. Nous avons vu, en effet, que les expressions qui figurent dans leurs seconds membres s'évanouissent simultanément lorsque la conditiofi JL^w'-i^yiyk= o est remplie, et la cause en est nécessairement que les expressions en question renferment toutes les trois le facteur y/SSw^^y^yA, le carré de ce dernier se présentant comme facteur de l'équation (9), déduite de (8) par élévation au carré. Actuellement, pour mettre les seconds membres de (4), au moyen d'une substitution irrationnelle, sous une forme aussi simple que possible, le mieux est d'avoir recours à la représentation par fonctions elliptiques, c'est-â-dire aux équations (12) et (i4)- Introduisons dans ces dernières, à la place de u, un nouveau paramètre f^)

et à la place des a les valeurs constantes

(•) Des questions analogues se présentent à l'égard d'une autre représentation paramétrique d'une courbe de genre /> = i, laquelle est basée sur la représentation d'une fonction algébrique par des intégrales de deuxième espèce et a été étudiée par Hermite {Journal de Crelle, t. 82); voir aussi la note de la page a32.

(') Des exceptions pourraient se présenter par exemple dans le cas des courbes décomposables.

(') Semblablement ce qui a été fait pour une courbe C,, t. Il, p. 391.

en sorte qu'on puisse écrire les équations (i4) sous la forme

avec

Maintenant, en vertu de cette dernière relation, on peut, en prenant la proposition réciproque du théorème plusieurs fois cité de Hermite, donner aux équations (17), si n est pair, la forme

C/[F!^\f^) + vV(i-/^)(i-A-V).Fp'V)]'

dans laquelle \j. est égal à sin^ami^, et les indices supérieurs des F, indiquent l'ordre de ces fonctions, et si n est impair, la forme (' )

(19) px,= C,[FS'^)(f.)v/«-i-v/(i-f.)(i-/l-V).F!.'^\»l, ou si nous multiplions par y/^ dans les seconds membres

(,9)* p^v=C,[fS5-) (f.) + ^/^(, ^)(i k-^).Y^^\u.^.

Les fonctions elliptiques ont été introduites dans les équations ( 4) au moyen de la substitution

■xo • ~ — — ^ = )/ = sm^ am «.

D'un autre côté, la variable \j. qui se rencontre dans (18) et (19) a la signification suivante :

(21) y/^ = sin am ( M j =

)/ étant défini par (20), et e par

(*) La modification du théorème pour ce cas peut être déduite de ce qui précède, en prenant par exemple /3^J' = o; alors dans le premier membre doit se séparer un facteur y/^u == sin am i», et il reste les expressions indiquées. Le résultat obtenu dans (19)* concorde avec celui obtenu pour les courbes de troisième ordre, t. II, p. 416,

car on a pour ces courbes -(« + 0=2, - (n — 3) = 0.

LA GÉOMÉTRIE SUR UNE COURBE ALGEBRIQUE

Nous avons, en conséquence, passé des équations (4) aux équations réduites (i8) et (ig) au moyen d'une substitution irrationnelle (21) qui a rendu possible la suppression des facteurs superflus. Imaginons enfin qu'au lieu de fJt on ait introduit un nouveau

paramètre 2, tel qae [i == y^» et nous pourrons énoncer les résultats obtenus sous la forme suivante :

Les coordonnées d'un point d'une courbe d^ordre iin et de genre i peuvent toujours se représenter sous la forme

et celles d'un point d'une courbe d'ordre 2m + i sous la forme

Nous pouvons, pour une courbe d'ordre n, réunir les deux représentations dans la formule unique

(^3) or,=y;.<^-'(.)y/M±y/''(^)v^N,

en convenant de prendre /r<-/z, h<-n et h-\-k = — 2, et en

supposant en outre que M soit de l'ordre 7i — 2/:, N de l'ordre n — 2 A (en sorte que le produit MN soit toujours du quatrième ordre). En fait, les équations (23) représentent toujours une courbe G„, car, pour les points d'intersection avec une droite ßa:= o, on trouve l'équation du /i'®""® degré en z

Les points doubles de la courbe (23) se déterminent par la circonstance que l'on obtient, pour deux valeurs différentes z, z' , des valeurs des xi proportionnelles les unes aux autres. Alors ont lieu les équations suivantes

( 24 ) /• v/M + ^i v/N == r,(f, sJW + y;. ^N^),

les accents se référant dans le second membre à l'argument s'. Les déterminants ternaires que l'on peut former avec le tableau

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