ß TOME III. — CIlAPlTIlli I

par la suppression d'une Jigne verticale, divisés par z — z\ seront désignés respectivement par F, $, F', 0', en sorte que ces fonctions seront respectivement

en z, des ordres // — i , k — i , // + A — J , h -^ k — i

et en z', des ordres h -\- k — i, h -^ k — i , // — i , /, -- i .

De (2,4) résulte alors

v/Âï : v'N : ctv/äT : ^JsjW = F : <!> : F' : (P', ou

Ces deux équations sont pour le premier argument du degré n — 2, pour le second du degré iJi — 6, et ne diffèrent que par l'échange de z avec z' . Si donc on élimine z' entre elles, le résultat est divisible par Q.[z^ z) et, par conséquent, après séparation de ce facteur, l'expression restante est du degré

[n~-iY+ (2//-6)^— 3«-8=:(«-3)(5«-i6).

Mais l'équation ainsi obtenue possède encore un facteur surabondant, car les équations (20) ne donnent par réciprocité les conditions des équations (24) que si F, 0, F', ^' ne s'évanouissent ])as simultanément. Or cette dernière circonstance peut, en réalité, se présenter. En effet, parmi les équations

la troisième et la quatrième sont toujours une conséquence des deux premières. Car, puisqu'en vertu de l'origine de ces expressions on a toujours identiquement

F//-r 4'y/+ V'fl -f- */»'/= o,

on aura toujours, pour F -— o, «ï» = o, les trois équations

F'// H- <i.'çp;.= o,

desquelles résulte toujours F'^r o, 4>'-= o en général (c'est-à-dire si l'on n'a pas, par exemple, simultanément y,' = o, ^', = 0 et (/a?') — fWi =0). Or, d'après ce qui précède, les ordres de F et <I>

LA GÉOMÉTRIE SLR UNE COURBE ALGÉBRIOfE, 'i'i"^

sont égaux k h — i et /r — i en z, et à A H- A" — i en z'. Le nombre des couples de racines z, z! communs aux équations F = o, <l> = o est donc égal à

Mais chacune des expressions (aS) s'évanouit au second ordre en vertu de (26); si donc nous considérons ces équations comme les équations de deux courbes par rapport aux coordonnées z, z', les points du plan qui correspondent aux (« — 3)(« — 4) couples de valeurs z, z' dont il a été parlé sont des points doubles des deux courbes, et par conséquent ^{^n — 3)(« — 4) intersections de ces courbes s'y trouvent réunies. De l'équation déduite de (aS) par élimination de z', on pourra donc séparer un facteur du degré 4 ( « — 3 ) ( /? — 4)5 le reste est alors du degré

Ce fait est d'accord avec l'existence de -n[n — 3) points doubles,

puisqu'à chaque point double correspondent deux arguments et par conséquent deux racines de l'équation en question. Cette dernière possède en même temps la propriété qu'une racine z' tirée de ( aS) est toujours une fonction rationnelle d'une racine déterminée z, et que z est la même fonction rationnelle dez'. On résout donc l'équation du n{n — 3)'«™« (Jeg^.^ dont il s'agit à l'aide d'une équation du degré -«{/^ — 3)etde-/i(« — 3) équations du second degré.