XIV. — Les courbes du genre p — -i

Nous nous proposons pour finir d'étudier encore en détail les courbes du n^ème ordre du gejire /? = 2. Nos recherches générales précédentes ont déjà fait ressortir que ces courbes appartiennent toujours à la classe des courbes hyperelliptiques [voir p. 72, note), c'est-à-dire que l'on peut toujours assigner un faisceau de courbes adjointes C«3 qui les coupe en deux points mobiles seulement (déterminant ainsi sur C„ un système ^i,") ; d'où cette conséquence que toute courbe du genre p = 2 peut être ramenée à une courbe du (juatrieme ordre ayant un point double, et cela toujours sous

328 TOME m. — CHAPITRE I.

la forme (p- 76)

Le fait qu'il existe réellement un semblable faisceau de courbes G„3 est évident; car, puisque p — 1 = 1 et/?2 — 2 = 2, ily a juste nn seul système simplement infini de Jewx points pouvant être déterminé par des adjointes C^-a.

On pourra faire usage de ces faisceaux de courbes Qn-i pour effectuer la représentation paramétrique de notre courbe G« comme des faisceaux de courbes On-i dans les courbes du genre p = i.Çje procédé est d'ailleurs également applicable dans les courbes hyperelliptiques de genre plus élevé; nous allons, pour cette raison, effectuer immédiatement la représentation paramétrique pour des courbes hyperelliptiques quelconques. Une courbe de cette espèce a été définie par la circonstance qu'il existe sur elle un système ^y 5 il y a donc, en toute hypothèse, un faisceau

{2) Zi + V.-2=o

de courbes C«3 déterminant ^y par leurs intersections. En éliminant les Xi entre (i), (2) et entre l'équation Mx= o, et en négligeant les facteurs indépendants de X (*), on obtient le produit des équations des deux points d'intersection mobiles sous la forme

(3) llwi^uiu^—o,

les Wik étant des fonctions du /i''^™" ordre en X dont le déterminant est nul. On a donc aussi, comme dans le cas de p=i, pour les coordonnées des points d'intersection mobiles considérées comme fonctions de X, les expressions (p. 3 16)

(4) p-^i= «'/i7i+ «72 72 + ^'V3 73+ (yO'v/Q»

les 7/ étant encore des grandeurs arbitraires, et Q, /,, /o, I3 des

(') Il y a, en effet, encore 2j) — 4 points de base du faisceau (i) qui sont placés en des points fixes simples de C„. Pour p = 2, étant admis que l'on fera usage d'un faisceau de courbes C„.,, des considérations analogues à celles du texte ont été données dans Clebsch et Gobdan, op. cit., p. 77. {Voir, sur ce sujet, quelques corrections de Clebscii, Math. Annalen, 1. 1, p. 170.) Pour les courbes hyperelliptiques quelconques, consulter aussi la note de Cremona, citée p. 75.

LA GÉOMÉTRIE SUR UNE COIRRE ALGÉCRIQUE. 829

fonctions rationnelles de A, de telle nature que l'on ait

(5) /,/,.Q = -Wa..

Mais, dans le cas actuel, le degré de la fonction Q en X n'est pas le même que dans le cas de p =■ i. Ce degré est, «n effet, évidemment égal au nombre des courbes tangentes comprises dans le faisceau (2), c'est-à-dire (t. II, p. 171) égal à (')

En vertu de (5), les quantités //sont alors du degré n — p — i en }., caries quantités W,ä sont du degré in. Si donc on pose

(6) q=: ^i - a,){l - a,). . .{l- a,,,^,], et ensuite

en faisant, pour abréger,

^^) ''■ = ;^;zr;r,-w;:::^^, (.-1,2, ...,2^-0,

on peut représenter les fonctions w/a, // comme fonctions homogènes w'i/f d'ordre n et /^ d'cfrdre n — p — i en j-,, jn, et l'on obtient ainsi, pour les x, les expressions rationnelles par rapport aitxj,

llO] ^ P'"''— Vl"'/l-*-V2»''/2+73"V3

^"^ < + ^{ynifinMfi- ^-iy^)" -ir^- ^f,-,i,)>

De (7) et (8) se déduisent d'ailleurs les relations

Iri— j2={«i — tf2)(> — «3)1 Y - A-^ V — (^l-^2)(^3-^2) f. ^ .

Xl ^rJi — : — [^ — ^r+il*

(') On le vérifie encore directement par la recherche du déterminant fonctionnel *^®/> Xi> Xi qui détermine les points de contact sur/=o.

.'530 TOME 111. — CHAPITHK I.

de sorte qu'en vertu de (6)

(,2) Q = rn\j,y,{j,~j,) [jr,- f,lr,)[y,- AIj,). . .{jr,- kl^^y^).

Par conséquent, entre les quantités j elles-mêmes, existe, en vertu de (7), l'équation

J| Ji J2 (ji — -^'i J2) • ■ . (ji — 1:1- 2 J2 )

Noire courbe C„ est doJic, en fait, ramenée par la substitution ( 1 j ) à la forme normale précédemment indiquée et caractérisée

Si l'on imagine qu'inversement l'équation (i3) soit donnée, et que la courbe Cjo+2 ainsi représentée soit transformée au moyen des formules (10) en une courbe C«, f{x) = o, les trois courbes du 7^^""'' ordre représentées par l'évanouissement des expressions qui figurent au second membre de (10) devront avoir toutes leurs intersections avec la courbe (i3) commune, excepté 7z, c'est-à-dire que, ß,, ßaj ßs étant des paramètres homogènes, les courbes du réseavi

i X .1-1/273 {j'i — /' l Xl )■■• ( Jl — f'I^ 2 J-2 )

ne pourront rencontrer la courbe d'ordre p -\- '2 donnée dans (i3) qu'en 7i points mobiles. Le fait se vérifie comme au cas de p = i. En effet, dans le voisinage du point [j^i = o, ^2= o), on peut remplacer la courbe (i4) parle système de n — i droites

( ßy i' ) Jl J2 ( Jl - ^-i Jl ) • • . ( j. - ^Uj. ) = o,

dont p sont indépendantes des ßi et en même temps tangentes de ^^,4.2 en son point multiple d'ordre p. Par suite, en ce dernier, toutes les courbes du réseau (i4) ont un point multiple d'ordre n — 1; donc

( « — I )p -V- p = np

intersections de chacune des courbes C« ci-dessus avec C^+2 s'y trouvent réunies. On démontre, d'ailleurs, aisément (à peu près comme p. 3 19) que n autres points fixes du réseau en question

LA GEOMETRIE SLR UNE COLUBE AI.ClEimiQL'K.

sont donnés sur C^+2 par l'équation

Le nombre des points d'intersection mobiles de cette dei^nière courbe et des courbes du réseau est efFectivement égal à

n[p -\- o.) — np — Il =z n,

A l'aide d'une substitution irrationnelle, on pourra encore abaisser les ordres des seconds membres des équations (lo) de telle manière qu'il ne s'y rencontre plus de points racines communs. Mais nous n'entreprendrons pas ici cette recherche.

Nos explications précédentes sur le théorème d'Abel, sur le problème de Jacobi et sur l'extension du problème de l'inversion ( * ) conservent ici toute leur valeur, ainsi qu'il suffît de le rappeleren un mot. Faisons seulement observer que pour la forme normale (i3) des courbes hyperelliptiques toute courbe adjointe C„3 (ici Cy,i) se décompose en p — i droites passant par le point multiple d'ordre p.

En finissant, nous voulons appeler l'attention sur le problème de la tJ'isecdon au cas de p = 2, qui a été traité en détail d'une manière purement algébrique, et qui a ainsi conduit à des questions intéressantes de la théorie des formes binaires. Soit

(17) Z^.f — -^ rr- O

l'équation de la courbe primitive C4 ; (p etip sont ici respectivement des fonctions homogènes l'une du deuxième, l'autre du quatrième ordre en x, j-. Nous désignerons par 5 et t les deux intégrales normales de première espèce ; nous indiquerons les limiles supérieures par l'addition d'indices supérieurs, et nous choisirons leur limite inférieure constante, en sorte que, ct, t étant des grandeurs don-

(') Pour ce qui concerne les intégrales hyperelliptiques, voir ce qui a été dit p. i5i, et, pour le théorème d'Abel, le Mémoire d'AoEL cité p. 200. Sur la solution du problème de l'inversion, consulter aussi les travaux cités p. i3G, de VN'^eierstrass, Nelmann et Prym; et. pour le cas particulier de p = 2, le Mémoire de Rosenhaix cité p. i85. L'extension du problème de l'inversion a été traitée précédemment pour ^ = 2 (p. 268 et suiv.); voir aussi le travail de Buill mentionné au même lieu.

nées, le problème d'inversion de Jacobi se présente dans les équalions'suivantes

Soit maintenant v une fonction homogène encore indéterminée du troisième ordre en x,y, l'équation

( 1 8 ) Zf — r ^ G

représente une courbe du troisième ordre qui a de même en a: = o, y = o un point double dont les branches touchent les branches de la courbe (17). Donc six des douze points d'intersection des deux courbes tombent au point double ; on obtient les autres au moyen de l'équation du sixième degré

(19) ('«— «p4/=iO, ou .'*—/= O (/— çp.i]/)

qui se déduit de (17) et (18). Mais nous nous proposons en particulier de chercher des fonctions v, telles que les courbes correspondantes (18) aient un contact du second ordre avec C4 en deux points différents. Pour ces fonctions l'équation (19) doit avoir deux fois trois racines égales; on aura donc identiquement

u désignant une forme quadratique ; ou, ce qui est la même chose, il faut que la forme donnée du sixième ordre f[^(^^) puisse être réduite à lafo7'mef= v"^ — u^ (*). A chaque manière de représenter la fonction f sous cette forme correspond une des courbes de contact cherchées, ou plutôt deux, qui sont données par les équations

Z'f — (' = 0 et Z'f-\-vz=:0,

Sous forme transcendante le même problème est représenté par

('") Ce problème de transformation a d'abord été traité par Cayley {Quarterly Journal, t. IX). On le trouve résolu d'une manière complète et en connexion avec le problème de la trisection, dans Clebscii, Abhandlungen der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, t. XIV, 1869; voir aussi les notes de BnioscHi sur cet objet, Annali di Matematica, série 2, t. VIL

LA GÉOMÉTRIE 8ÜR UNE COURBE ALGÉBRIQUE. 333

OÙ c et y désignent des constantes qui sont indépendantes des constantes de la fonction ^^ Mais l'équation (i8) est évidemment satisfaite aussi de la manière demandée par une courbe du troisième ordre improprement dite qui se compose d'une droite comptant trois fois menée par le point double. En admettant qu'une ligne de cette espèce coupe la courbe donnée en deux, points auxquels correspondent les intégrales a''\ a^^\ t'*', t'-', on a aussi alors

ou, enfin, P, Q désignant des systèmes de modules de périodicité liés entre eux,

ce sont là les équations du problème de la trisection spéciale (p. 282). Pour P = o, Q = o, on a de nouveau la solution improprement dite indiquée ily a un instant, et qui est en même temps indéterminée. Il reste encore 3* — i z= 80 solutions proprement dites qui correspondent aux différentes manières d'amener la fonction f à la forme v- — u^ .

Mais parmi ces quatre-vingts solutions deux sont toujours liées l'une à l'autre, de telle façon que, si l'une conduit à v^ l'autre donne — v. Considérons, en effet, deux solutions pour lesquelles les périodes P, Q sont égales et de signe contraire, et désignons les intégrales qui répondent à l'une d'elles par les indices i, 2, celles qui répondent à l'autre par les indices 3, 4 î on a, d'après (21),

5(1) ^ sW + 5(3) H- *(4) + (7(1) + cr(*) = 3[cr(*) H- cr(«)] = c,

f(l)|- /(2) H ,(3) ^ff4)^ (!), ^(2)3^^(n^(2)J y

Les points de contact des deux courbes de contact employées sont donc situés, conjointement avec les points d'intersection d'une droite men«e par le point double, sur une courbe du troisième ordre du système (18). Mais cette dernière est coupée en quatre points par la droite menée d'une manière quelconque par le point double; elle se compose donc de celte droite et d'une conique;

celle-ci doit enfin couper C/, en quatre points au point double, y avoir conséquemment elle-même un point double, c'est-à-dire se décomposer en deux droites. Donc les points de contact de l'une des courbes de contact sont situés conjointement avec ceux de l'autre sur deux droites passant par le point double, et cela de telle sorte que chacune des droites renferme un point de contact de chacune des deux courbes du troisième ordre, car, s'il en était autrement, il faudrait qu'il existât aussi des équations de la forme

L'équation u- — /^^ o doit donc fournir les mêmes racines pour les deux courbes, c'est-à-dire que les deux fonctions correspondantes V ne peuvent différer que par le signe (^). Deux solutions de cette espèce conduisent ainsi à la même transformation de f, et l'on a seulement quarante solutions différentes au fond. Ces dernières sont groupées, d'ailleurs, les unes par rapport aux autres d'une façon très remarquable, ainsi qu'il résulte, d'une part, de la théorie des formes binaires, d'autre part, de celle des équations de division pour le cas de /> = 2 ( - ). Ce n'est pas ici le lieu d'approfondir ces recherches. Nous nous contenterons d'appeler l'attention sur la connexion intime de ces questions purement algébriques et de celles qui proviennent des problèmes de l'inversion et de la division des intégrales abéliennes, connexion que nous avons plusieurs fois mise en lumière et expliquée au cas de p = i , en considérant les systèmes de points sur une courbe du troisième ordre [voir spécialement t. II, p. 417 et suiv.).

(') Cela résulte au surplus de la manière complètement symétrique dont se comporte la courbe primitive vis-à-vis de la ligne r = o.

O Foir Camille Jordan, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, avril 1869.