CHAPITRE II

I. — Formes algébriques ternaires à plusieurs séries de variables. Systèmes équivalents.

Dans nos études antérieures, nous avons considéré le plus souvent comme figure fondamentale une courbe particulière envisagée, soit au point de vue tangentiel, soit au point de vue ponctuel : ou, pour parler le langage de l'Algèbre, nous avons priscommeyô/'me fondamentale une forme ternaire dont l'évanouissement représentait précisément la courbe dont il s'agit, et l'étude des invariants, des covariants et des formes mixtes de cette forme fondamentale s'est présentée à nous comme se confondant au fond avec l'élude des propriétés projectives de la susdite courbe et des figures qui en sont déduites. Cependant l'Algèbre doit se proposer la tâche d'étudier aussi les formes fondamentales qui comprennent plusieurs séries de variables, coordonnées-points Xi,ji^ . . . , ou coordonnéeslignes Ui, Vi, . . . , ainsi que le cas s'est déjà présenté dans les polaires d'une courbe; problème qui, à cause de sa généralité, semblerait d'abord étranger à la Géométrie. Mais il y a ici un fait très important, c'est que l'étude de ces formations tout à fait générales peut toujours être ramenée à l'étude d'un système simultané de formes dont chacune renferme seulement une série de coordonnées-points, ou une série de coordojmées-lignes, ou bien une série de coordonnées-points et une série de coordonnées-lignes [voir aussi t. I, p. 335). Conjointement avec la courbe (considérée comme figure ponctuelle ou tangentielle) se présente donc algébriquement au même litre la figure représentée par l'annulation

336 TOME m. — CUAPITRE II.

d'une forme mixte quelconque (' ), figure que l'on désigne sous le nom de connexe, et dont l'étude attentive est également réclamée par la Géométrie, l'Algèbre et la Géométrie étant destinées à se faire avancer l'une l'autre par une action réciproque et constante. Toutefois, avant d'approfondir les connexes, il sera bon d'expliquer en quelques mots les théories algchriques indiquées et de les éclaircir par des exemples, sans que nous puissions, d'ailleurs, viser à être complet.

Deux systèmes de formes algébriques seront appelés e'^wiVa/e/zf^ lorsque tous les invariants fonctionnels de l'un sont compris parmi ceux de l'autre, et, réciproquement, lorsque, par conséquent, l'ensemble des invariants fonctionnels que l'on peut former est identique pour les deux systèmes ; or la condition nécessaire et suffisante pour qu'il en soit ainsi est que toutes les formes de l'un des systèmes soient des covariants simultanés des formes de l'autre système, et réciproquement. On pourra donc, pour un système donné, trouver des systèmes équivalents de plusieurs manières très diverses ; toutefois on choisira de préférence pour l'étude certains systèmes plus particulièrement appropriés à l'objet qu'on a en vue. Un système de cette espèce, très important pour notre but, est celui qu'on appelle le système réduit équivalent des formes proposées, et qui est caractérisé par la circonstance que chacune des formes qui en font partie renferme une seule série de coordonnées de la même espèce, alors même que dans la forme primitive se trouveraient plusieurs séries de cette sorte. Faisons observer immédiatement ici que toute forme déduite d'une forme donnée II par le procédé invariant

dn dn on

ôx^ d.T.^ dxi

c'est-à-dire par formation polaire, doit être considérée comme un covariant de la forme II, ainsi que nous l'avons toujours fait pour les polaires d'une courbe. Conséquemment, le système équivalent d'une forme à deux séries de variables (x/, j/), par exemple, qui est la polaire d'un certain ordre d'une forme à une seule série de coordonnées-points, se compose simplement de cette dernière forme

(') Jusqu'ici, au contraire, nous n'avons considéré kis formes mixtes qu'en tant que figurant parmi les invariants fonctionnels d'une forme à une série de variables.

elle-même. La question proposée ne commence donc à présenter de l'intérêt que pour les formes représentables symboliquement par le type ( * ) .

sans cependant provenir de la forme a^ b" par formation polaire. Le cas le plus simple est celui où m = n = i; alors l'équation aa:hy=. o représente la transformation dualistique la plus générale, car (pour a,Ä= aih^^ à tout point j)^ répond une droite ayant pour coordonnées

/><'/■= a,-, J, H- a/2 J2 + «/3 Js •

Dans le cas seulement de a,/v=a/t/, cette transformation se confond avec la réciprocité polaire qui a pour base la conique SS«/aJ^/.ï'a= o, c'est-à-dire axhx^=^o\ donc, dans ce seul cas, ttxhy est la polaire de la forme a^hx (^).

Nous voulons, dans ce qui suit, nous borner à l'exemple que nous venons d'indiquer, c'est-à-dire au cas où deux séries de coordonnées-points se rencontrent dans une forme fondamentale (i). Nous pourrons expliquer suffisamment, à ce propos, le fond des recherches dont il s'agit [^). Nous disons, dans ce cas, que, pour ni supérieur à n, le système des formes

est équivalent à Informe f=^a.^b'y dans le sens indique. La forme f est donc alors remplacée par une série de formes qui offrent un caractère plus simple en ce qu'une seule parmi elles est du même degré total que f, mais ne renferme qu'une série de

(') Cette notation symbolique a déjà été employée occasionnellement, t. II, p. iS/j et suiv.

(') Nous ne reviendrons plus dans la suite sur les formes bilinéaires. Faisons seulement observer ici que celles-ci ont été étudiées sous les points de vue les plus divers. Pour la théorie algébrique, 'voir surtout les Mémoires de Krosfxker, dans les Comptes rendus mensuels de l'Académie de Berlin, année 187 j.

(') Le problème relatif aux formes renfermant un nombre quelconque de variables et un nombre quelconque de séries de variables a été traité en général par Clebsch, dans le Mémoire cité, t. I, p. 335, et qui forme la base des développements du texte. On trouve aussi un exposé sommaire de ce Mémoire dans les Math. Annalen, t. V, p. 427.

Clebsch. — Géométrie, III. 22

coordonnées-points, tandis que les aulres sont d'un degré total moins élevé; l'expression degré total désignant la somme des degrés par rapport aux x et par rapport aux u, c'est-à-dire ici les nombres respectifs

Nous avons maintenant à montrer que les fonctions (s^i sont des invariants fonctionnels de/, et qu'inversement /est un covariant simultané des fonctions ©/. Mais le premier point est déjà évident par la loi symbolique de formation des cp/; rappelons au surplus que les cfj dérivent de/par l'application réitérée d'un procédé invariant (t. I, p. 335). En effet, on déduit simplement cpo de f en posant X =J, et cf,, ^2» • • • dérivent semblablement des fonctions suivantes :

rnn «p'j ir= mna"^'^'^ b"r^ ( abu ]

, àxi dja dr 2 ôxi \dx^df3 àx^djj ' \dx.^âji dxidj-,

àxi dji dx^ dji ^ et ainsi de suite. On a, par conséquent,

Il nous reste maintenant uniquement à démontrer que y est également un invariant fonctionnel des 9/. C'est à quoi l'on parvient en représentant y comme une somme de formes dérivées des formes ^/ par un procédé invariant. Posons, en effet, d'abord dans ces dernières,

ou, en d'autres termes, déduisons-en les formes

■^^ ' ^,^ar'b%-'[a,b,.~b,a^]\ ..., ^„:

LES CONNEXES. SSq

Désignons ensuite par D le procédé polaire invariant an dn dn

^, an' dn' an'

Alors toutes les formes D*ip,- sont évidemment des invariants fonctionnels des formes ç/, et nous disons que la forme f= a^b^peut toujours se repi^ésenter suivant le type

(4) /= «oD''-%+ «,D«-'->|;,+ «2D''-2-f,, + . ..+ «„■]/„,

les ai désignant des facteurs purement numériques et à détermination unique.

Pour la détermination des coefficients a/, on n'obtient^ en effet, par identification des deux membres de (4), que des équations linéaires et précisément en nombre voulu. Soit, par exemple,

m = 3, /? = 2, d'où

et ensuite, pour abréger,

il vient

(5) Df = /+ f~o./'\

L'équation (4) se transforme donc en

/= (2ao-4- «,-+- «2)/+ (l2«(,+ ai— 2«2)/'4- (6ao— 2ai+ aj)/',

et l'on a conséquemment, pour les a/, les équations

2ao-!- «1+ «2= ï> 1 2 a-o + «1 — 2 a^ :::= O , 6ao — 2«!-!- «2=0,

d'où, en résolvant,

ir\ 121

34o TOME III. — CHAPITRE II.

en sorte que

Semblablement, dans le cas général, les termes du second membre sont des fonctions linéaires des n + 1 formes

d'où, en vertu de (4),

les ßi étant des combinaisons linéaires des «/ à l'égard desquelles doivent avoir lieu les équations

ßo=i, |3, = o, ß,= o, ..., ^^=0.

Il nous reste encore seulement à montrer que ces dernières équations donnent toujours un système de valeur déterminé des a/. Or l'équation identique (4) donnée pour/doit être satisfaite identiquement si l'on pose

et cela indépendamment de X, c'est-à-dire que les coefficients des mêmes puissances de 1 doivent être égaux dans les deux membres. Mais, par cette substitution, ^^ se transforme en

et généralement cpt en

V[aA,-a,b,Ya'--^bl^'.

Si donc nous faisons, dans l'équation qui a cette origine, >. = o, nous obtenons une équation dans laquelle «o entre seul, et ce nombre se trouve complètement déterminé par là. Dans le coefficient de X au second membre^ il n'entre, conjointement avec des termes provenant de D"(po> que des termes provenant de D"~'(^,; donc, dans ce coefficient, figurent seulement «o et a,, ce qui détermine«,, et ainsi de suite. Enfin, dans le coefficient de À'', ÄV entre seul avec les nombres déjà connus maintenant «o, «1, • . .,«v i. On peut donc calculer successivement, en réalité,

LES CONNEXES. 3')l

lous les a/, et V existence de l'équation [^) se trouve ainsi démontrée ( ' ) .

Efiectiions ce calcul pour notre exemple, c'est-à-dire pour la forme «^.^j. En employant les abréviations

OÙ les indices marquent combien de facteurs symboliques a^, hx sont à remplacer par des facteurs rt^, hz-, nous obtenons^ par la substitution y z=z x -\- Xz,

/" z=^a^hl[a^-\-\a,Y =/oo 4- 2/, o X -f- /20 /' .

Il vient ensuite, dans le premier membre de (4),

et dans le second membre, en vertu de (5),

D^-^o = 20/00+ >.(i6/o, -h 24/10) H- a'(2/o2 + 12/,, + 6/20), D^.-= M3/o,- 3/o)-f- X2(yo2+ /i,-2/2o),

De là se déduisent les équations

I := 20 «o> u/o,= (l6ao-4-3«i)/oi+ (24«o— 33Ci)/,o, /o2= (2«o+ «i + «2)/o2+(l2«o-i-«i — 2«2)/n + (6ao— 2«i + aj)/o,

d'où, pour les «/,

1 = 20^0, 2=:l6«o+3«i, I = 2ao+ «1+ ^ä>

qui servent de nouveau à trouver les valeurs (6).

On apercevra facilement, d'après ce qui vient d'être dit, comment il faudra procéder au cas où plusieurs séries de coordonnées-

(') La détermination effective des nombres a se fait, en général, en partant des développements correspondants relatifs aux formes binaires, tels qu'ils ont été établis par GoRD.VN, Math. Annalen, t. 111, et Clecscii, Theorie der binären Formen, § 8. Voir aussi Clebscii, loa. cit., et Goroan, Math. Annalen, t. V, p. 100.

points ou bien de coordonnées-lignes se présentent en même temps dans la forme primitive/'. C'est ce que nous allons expliquer sur un seul exemple : Nous chercherons le système réduit équivalent de la forme

il) f=<blul,

qui renferme deux séries de coordonnées-points et une série de coordonnées-lignes. Nous procéderons d'abord comme pour la forme (i), en n'ayant égard qu'aux x et auxj^; alors, à la place des formes (2), si l'on écrit v au lieu de u comme dans l'endroit cité, se présentent les suivantes :

(8) yo = «^^i«a, ^i=a^b^[ahv]ul, f^=z [abff ul.

Parmi ces formes, la première appartient déjà au système réduit dey. La dernière renferme deux séries de coordonnées-lignes (u et v), et, par conséquent, est à traiter de la même manière que la forme (i), à part l'interversion dualistique. La forme (po est donc équivalente au système des formes suivantes :

si l'on désigne par û^ le procédé invariant [ ( d^w <?2n \

l il^n = -T r ^ ^ IXi

Or on a

--D.^<f^= [ahv)u^[a^b^— b^a„], jalf^= [a^b^— b^a^y.

Le système réduit équivalent de la forme cço se compose donc des formations

(lo) y20=(«H^««» ^^^ — [a^b^— b^cu)[abu)u^, ^,.,=z{a^b^ — b^a^f.

Il nous reste maintenant à traiter encore la forme (p,. Nous la considérerons d'abord comme dépendant seulement de u et v, et nous lui appliquerons, par suite, le procédé Q^ défini par (9), en nous

contentant d'écrire, dans le second membre de (9), j7 au lieu de x,-. Alors (^, devient d'abord équivalent à

(11) tfy^=[abu)a^b^ul et -D.y^^=[ a y b^ — a^by ) a^ b^ 11^.

Cette dernière forme renferme encore deux séries de coordonnéespoints et une série de coordonnées-lignes ; son système réduit équivalent est donc encore à établir comme pour la forme (7). Par conséquent, si nous n'avons pas égard aux m, nous obtenons les formes

fn = {^xf'a- o^b^)n^b^Ua, y^ = — n,', (-n^.y,j,

si Q.[, désigne le procédé réciproque de ß^i ou autrement dit, si ù[, est défini par (9), à la condition d'écrire x au lieu de u,y au lieu de p» et t^ au lieu de x. On a donc

? 1 2 = — [ ^--a «a iX> ( «.r «X f'x ) — ^a "a I^K. ( ^ «x ^ar )]

;- — [^a«a( bav]a^ — n^Ug,[abv) b^'] =: [abv] [a^b^-h (la^x) l'a-

Les formes ©n» ?i2 se comportent alors par rapport à H^yi comme les formes (8) par rapport 3(7). Mais la forme 9)12 renferme encore deux séries de coordonnées-lignes ; elle est donc équivalente aux formes

(i3) f\^={abu}u^[a^b^-i- a^b^) et il, î'is.

avec

(«4) iV^ia^ («r^-'a— f\r»a){a^b^ -\- a„b^).

Or, cette forme renferme encore deux séries de coordonnéespoints; elle est donc équivalente aux formes

(•5) f,2 = «i-^« - "'^f'I^ ?U=- ^^'«(%?i2) = {ab,t)aj>,.

Le système réduit équivalent de la forme (7) serait, par suite, donné d'abord par les neuf formes (fo? ?<o? ?in ?',2» ?t2» ?i2> ?2o> ?2ii ^22 qui so"t respectivement définies dans les équations (8), (11), (12), (i3), (i5), (10). Mais parmi ces formes il j en a encore deux desuperßues, comme dérivant des autres par un pro-

cédé invariant. La raison en est que la forme (^j = [abç>)axbxui satisfait identiquement à l'équation différentielle (')

(,6) i,,^pl.^Jll^^JllL=o,

O■r^0^'^ ax^Oi\ Ox^Oi'^

comme on le vérifie aisément, et que le système réduit équivalent d'une forme de cette espèce comprend toujours, en général, un nombre de formations moindre que celui d'une forme ne satisfaisant pas à V équation différentielle ( i6).

La démonstration générale de ce dernier énoncé est facile. Nous ne l'effectuerons toutefois que pour l'exemple actuel. Si nous posons, pour abréger,

y, = ( abv ] a^ h^ ul = ri ul <v, il vient

Donc la circonstance que ç, satisfait à l'équation (i6) peut être exprimée par le fait que toutes les formations invariantes possédant le facteur symbolique 7\, que l'on peut déduire de 9,, s'évanouissent identiquement. Pour le système réduit équivalent de Çi, nous aurions d'abord, dans ce mode de notation, les formes

Mais, comme les termes qui renferment le facteur symbolique /■doivent disparaître, il vient

2 xôxiâui 0x^0 u.^ 0x3 a u^

2 \dxidui dx^du-i dx^diii Indépendamment de l'identité (5p, = o, on a, en outre.

fj2 = 2(7T.r)/-^7V-=^yi,.

(') Le fait que le procédé «J est réellement invariant se reconnaît immédiatement sur la représentation symbolique du résultat qui en est déduit. {Foir aussi t. Il, p. 285.)

Mais par là les formes <^', ,, (pj'a' ?) \ ^^^^ caractérisées comme invariants fonctionnels des formes respectives ç,o, cpu» et doivent, en conséquence, être omises dans le système équivalent à cf(. Ce dernier se compose donc des deux formes

(17) fio—iltr-ii,, y,,= (o■T.r)7■2^v

On a de même, en général, cette proposition que le système réduit équivalent d' une forme 9 à deux séries de coordonnées similaires [cogrédientes) et à une série de coordonnées dissimilaires aux premières [contragrédientes) satisfaisant à l'équation (16), c'est-à-dire à d'^ = o, se forme en réduisant d'abord seulement par rapport aux deux séries similaires et en égalant entre elles, dans le système obtenu, les séries similaires [des variables contragrcdientes) qui se présentent. En effet, (^^^ se déduit directement de la forme -H^'f , si l'on fait x=j dans cette dernière.

Le système réduit équivalent de la forme (7) f= aj^b'y.ul se compose doncjinalement des six formes

celles qui sont marquées d'un astérisque satisfaisant à l'équation différentielle (16).

Mais, dans la réduction qui repose sur l'introduction du système réduit, on peut faire encore un pas de plus. Il est, en effet, possible de ramener chacune des formes du système réduit à un certain nombre d'autres formes dont chacune satisfait à l'équation

d'- 0^ fP

ö.i\dtii dx^du^ âx^Ou-i

(') Le fait que toute forme mixte 6 peut être développée en une série de la forme

e=[e] + a.«,[e.] + a,«2fe,]-f-...,

Jes [0,] satisfaisant tous à l'équation différentielle en question, a été démontré d'abord par GoRD.VN, Ueber Coinbinanten {Math. Annalen, t. V, p. 102 et suiv.). Le développement en série est surtout utile lorsqu'il s'agit de séparer d'une expression donnée un facteur «^; elle donne pour cela une méthode générale, car il sufliit alors de calculer les formes [0x]. [©x+i]» •

j'|ß TOME III. — CHAPITRE II.

Il résulte de là que, dans la théorie des formes algébriques ternaires (en tant qu'il s'agit de l'établissement des systèmes complets), on peut se borner à la recherche de celles qui, dans chaque classe de variables, renferment une seule série et satisfont en outre à l'équation (i6). Nous appellerons un système de cette dernière espèce un système réduit proprement dit ; tel est déjà, par exemple, le système donné pour la forme (i) par les formes c{» qui interviennent dans (2), ce dont on s'assure aisément. Les formes (18), au contraire, ne forment pas un système réduit proprement dit.

Ici se présente la question de savoir dans quelle mesure les coefficients de la forme primitive /" étant supposés indépendants entre eux, ceux du système réduit proprement dit sont aussi indépendants les uns des autres, abstraction faite naturellement des relations linéaires données par (16); et de fait on démontre que ces coefficients sont bien indépendants les uns des autres. Par conséquent, dans les formes ternaires, la théorie d'une forme/" contenant un nombre quelconque de séries de coordonnées-points et de coordonnées-Hgnes peut être remplacée non seulement individuellement, mais encore généralement par celle d'un système simultané, à nombres classifîcateurs correspondants, formé, du reste, d'une manière arbitraire, système dont les formes renferment toutes au plus une seule série x et une seule série u, et satisfont aux équations (16). On obtiendra, en particulier, un tel système' pour chaque cas au moyen du système réduit proprement dit, en suivant la voie indiquée plus haut.

En résumant la marche précédente expliquée par le dernier exemple, on opère de la manière suivante la formation du système réduit proprement dit :

i" Siy renferme une série de x et une série de u, on établit les formes

d'f d\f dV

d^id«! d.T^du.2 dx^dti^ dHf dUf dHf

dx^duy dx^dii^ â.T^du^ et l'on détermine les nombres a, ß, ... de telle sorte que les

formes

LES CONNEX