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satisfassent toutes à l'équation (i6). Les quantités a, ß sont ici déterminées complètement et sans ambiguïté ; ce que nous ne développerons pas ici [i^oir Gordan, loc. cit.). Les formes cp composent le système réduit proprement dit.

2" Si f renferme seulement deux séries similaires, telles que x elj, on peut poser symboliquementy= a^b". Les formes du système réduit proprement dit sont alors

? = <K^ ?i=<''^r'("^«)' ?2=«r'^rM«*«)*

3" Si y renferme plus de deux séries, il y en a parmi elles au moins deux similaires. Relativement à ces dernières, on remplace f par les mêmes formes que dans a". On traite les formes ainsi obtenues de la même manière relativement à deux séries similaires qui s'y trouvent, et l'on arrive ainsi finalement à un système réduit proprement dit. Seulement de ce dernier disparaissent diverses formes, parce que les formes cp mentionnées dans ql° ont déjà la propriété spéciale de satisfaire à l'équation (i6) relativement aux séries x, u. La continuation des opérations à exécuter ici conduit donc au problème suivant par la solution duquel tout est terminé : Une forme f renferme trois séries x^ j, u, et satisfait à l'équation (i6) relativement à x et u\ on demande d'indiquer le système réduit proprement dit de f. Dans ce but, on formera d'abord encore Je système réduit d'après le théorème exposé plus haut, et expliqué sur un exemple (p. 345 et suiv.), et l'on procédera suivant ce qui a été dit dans i° à l'égard des formes qui n'appartiennent pas au système réduit proprement dit.

Pour notre exemple, nous avons donc encore, dans le système (i8), à ramener les formes 90 > 9io> 9h >

aux formes du système réduit proprement dit. Commençons par la forme (po- D'après ce qui précède, nous avons d'abord ù

former

7 ^?0 = ^x ^>x "a ( Jt« ^>x -^^o.(tx],

Une nouvelle application du procédé à donnerait ^^^i^^o. Nous avons d'ailleurs, dans les formes

j [?o]o= ?o-i- aM;r(y^'o+ P«x<^^«po> ('9) ', [?o]l=<^?0+ «'«ar'J'fOi

à déterminer les nombres or, ß, o! de telle sorte que l'on ait ^[(po]o=o et(?[©o]t = o; la condition o[!po]2 est déjà remplie. Or on a

et l'on a généralement, pour i]; = /■",'«", en tenant compte de ce que àux= 3,

Mais la somme qui figure dans le second membre est, d'après le théorème d'Eiiler, égale à

Il vient donc

Par suite, l'équation ^[(&o]o = o se transforme à cause de (20) en

o =-lyo(' + l'A + "x<y^?o('^ + loß).

Cette condition doit être satisfaite indépendamment des u et deso: et conséquemment aussi pour zf^= o, et par suite on obtient

(22) [n]o=fo-^-"J?o-^^'''J''n-

Pour la délermination de [po]o on trouve semblablement, au moyen de (21), la relation

O =(?^yo(' + 5a'), d'où

Le s^ystème réduit proprement dit de la forme <^o se compose donc des trois formes (22), (28) et^-9>o.

On trouve de même, pour le système réduit proprement dit de cj>,o, les formations

où

Ici se présentent donc encore de nouveau les formes ^',2 et (^"^ que nous avons dû précédemment exclure du système réduit improprement dit. Le système réduit proprement dit de cpn se compose enfin des formes

Le système réduit proprement dit de la forme /■= a-j.b'yul est donc finalement donné par les onze formations suivantes :

(•) [?o]o — <?o uj'f^+ — ?4r?«(po;

35o TOME m. — CHAPITRE 11.

(3) [cpolî =^^?o» avec ^0 =«1^1"«;

(4) ?20 ={abuYuli

(5) <p2i ={abu){a^b„,— b.,a^)u^;

(6) <fii ={n^b^— b^a^Y;

il) [?io]o=?io— g«x«??io+ ^"x'J^?io;

(8) [?io]i=<î?io — g«x<JVio;

(9) [?io]2= ^'?io, ?io étant égal à [abu)a^h^ul-

(10) [yulo^^ii— -«x<?<pii;

(11) [cpii]i:= t^î»!!, yii étant égal à (ö-p^a — bx^ia^Qx^'x^'^'

Chacune de ces formes est d'un degré total égal ou inférieur à celui de la forme/", et chacune d'elles satisfait à l'équation aux dérivées partielles (16). Mais réciproquement, d'après l'observation faite plus haut sur le caractère arbitraire des coefficients de ces formes, la théorie d'un système simultané de onze formes mixtes dont les nombres d'ordre et de classe coïncident avec ceux des onze formes inscrites ici, et satisfont toutes à l'équation (16), mais sont, d'ailleurs, indépendantes les ujies des autres, se confond avec la théorie d'une forme f =. r'^.s'^.u^ dont deux cent-seize coefficients sont indépendants les uns des autres.

Les développements actuels font suffisamment apercevoir dans quelle mesure l'Algèbre exige une étude plus directe des formes mixtes et conséquemment aussi des êtres géométriques appelés connexes ç^ni sont représentés par leur évanouissement (p. 336). Le but des explications suivantes est de faire connaître, dans quelques-unes de leurs relations et de leurs propriétés essentielles, ces dernières figures dont l'étude comprend pour ainsi dire en elle toute la géométrie analytique du plan (c'est-à-dire l'algèbre des formes ternaires); nous devons naturellement reculer devant une théorie plus complète. Faisons observer immédiatement que nous considérerons d'abord des connexes tout à fait généraux f^^ a'^u"= o, sans avoir égard à la question de savoir s'ils peuvent être ramenés à des connexes normaux, c'est-à-dire à des connexes pour lesquels l'équation (16) est satisfaite. Nous ne

LES CONNEXES. ÔOI

possédons pas le moyen d'obtenir une interprétation géométrique directement utilisable de l'équation précitée.