II. — Connexes. — Coïncidences. — Couples de courbes

La figure dont l'étude va nous occuper actuellement est donnée par une équation algébrique renfermant d'une façon homogène et les coordonnées d'un point mobile (jc) et celles d'une droite mobile (u), c'est-à-dire par une équation de la forme

(i) /(jc, «) = aj'<=:0,

dans laquelle les Xi entrent à la m'*^"^ dimension, et les u^ à la ^ièine ]>jous appellerons cette figure connexe du w'^'"^ ordre et de la n'^f"^ classe, ou plus brièvement connexe (m, n).

A une telle figure n'appartient pas une forme géométrique proprement dite, et, au contraire, on peut trouver, pour chaque ligne u du plan une infinité de points x, et pour chaque point x une infinité de lignes u qui satisfont à l'équation du connexe. A toute droite u correspondent, en général, en vertu de (i), un nombre infini de points x qui forment une courbe G^i du m'^""" ordre ; à tout point X une infinité de droites u qui enveloppent une courbe K,j de la tz'**™® classe ( ' ). Ainsi, pour m = i , 7i = i, par exemple, à tout point X répond un autre point j- comme sommet du faisceau de rayons (courbe de première classe) formé parles lignes correspondantes if, et à toute droite u répond une droite w (courbe du premier ordre). Dans ce cas, en effet, l'équation

donne seulement une représentation particulière de la collinéation générale, car on trouve, pour les coordonnées du point j qui répond à Xf

et, pour les coordonnées de la droite v qui répond à u,

(TVi = 8,1 «1 + l3, j «, ^ S,-3 «3.

(') Des équations entre une série de coordonnées-points et une série de coordonnéeslignes ont été brièvement mentionnées dans Plccker, Analjtisch'Geometrische Entwicklungen, t. Il, Essen, i83i, p. aao.

35;j TOME III. — CHAPITRE II.

Comme ici le point et la droite se présentent toujours ensemble, il est avantageux, pour la conception plus simple de ces relations, de ne considérer ni le point en lui-même ni la droite comme élément fondamental du plan; nous désignerons, au contraire, par élément [x, u), toute combinaison d' un point x du plan ai^ec une droite u de ce même plan. On obtient donc l'ensemble des éléments (x, u) en combinant chacun des points en nombre doublement infini x avec chacune des droites en nombre doublement infini u. L'ensemble des éléments forme, d'après cela, un système quadruplement infini [remplit une multiplicité) de quatre dimensions ; et ce système repose sur le plan. L'équation d'un connexe s'en détache comme étant le syslème triplement infini des éléments qui satisfont à cette même équation. On peut aussi exprimer ce qui précède sous la forme suivante: Les points qui forment avec une droite donnée les éléments d'un connexe [m^n) sont situés sur une courbe Cm du m^^^^ ordre; les droites qui forment avec un point donné les éléments du connexe enveloppent une courbe R„ de la /z'^'"* classe. Toutes les courbes K,, qui prennent ainsi naissance forment un système doublement infini dont les paramètres sont les rapports des Xi\ de même les courbes C„, forment un système de courbes doublement infini qui a les rapports des Ui pour paramètres.

Dans des cas particuliers seulement, il peut arriver que tout point du plan forme avec une droite déterminée, ou que toute droite forme avec un point déterminé du plan un élément du connexe. Ainsi, par exemple, dans le connexe

le point X, = o, x^^o forme avec chacune des droites u un élément. Des points ou des droites de cette espèce seront appelés points fondamentaux ou droites fondamentales. Dans des connexes particuliers, il peut y en avoir en nombre quelconque; leur nombre peut même être infiniment grand. Cette dernière circonstance se présente, par exemple, dans des connexes irréductibles lorsque l'équation f= o ne renferme pas les x, ou ne renferme pas les u. Si elle ne renferme pas les u, on a sous les yeux V équation d'une courbe en coordonnées-points ; elle doit être considérée comme un connexe en ce sens que tout point de la courbe peut

former avec toute droite quelconque du plan un élément du connexe, et que d'autres points (non situés sur la courbe) ne peuvent se réunir avec aucune droite pour composer des éléments de connexe. Le fait duallstiquement correspondant se présente lorsque f=o ne renferme pas les x, et représente, par âuite, l'équation d'une couî'be en coordonnées-lignes . Un autre exemple de cette espèce nous est offert par le connexe réductible

Ici tout point de 9 = o foinne avec toute droite quelconque un élément du connexe; au contraire, chacun des autres points du plan ne forme un élément de connexe qu'avec les tangentes de ^|; z= o.

L'ensemble des éléments qui existent dans un plan forme, ainsi qu'il a déjà été énoncé, une multiplicité de quatre dimensions. On a donc à distinguer quatre degrés de figures géométriques suivant qu'une, deux, trois ou quatre équations sont données entre les coordonnées x, u de l'élément, et chacune d'elles doit être homogène aussi bien par rapport aux x que par rapport aux u pour être susceptible d'une interprétation géométrique (c'est-à-dire pour représenter en lui-même un connexe). Quatre équations déterminent déjà un nombre fini d'éléments; on n'a donc plus alors une figure continue, mais un groupe d'éléments distincts entre eux. Il nous reste à considérer les trois autres degrés.

Le premier degré est donné par le connexe individuel lui-même.

L'ensemble des éléments en nombre doublement infini qui sont communs à deux connexes sera appelé une coïncidence. Pour le cas où cet ensemble commun aux deux connexes est réductible, chacune de ses parties irréductibles sera séparément qualifiée coïncidence, de même que l'on comprend sous le nom de courbe gauche toute partie irréductible de l'intersection de deux surfaces algébriques. D'après cela, la coïncidence est donnée analytiquement, ou bien par deux équations entre les x et les u, ou bien par des équations en nombre supérieur à deux, mais admettant un système doublement infini de solutions communes. Dans le champ d'une coïncidence, à chaque droite répond, en général, un nombre fini [iJ.) de points pouvant former avec elle un élément; de même, à chaque point répond un nombre fini (v) de droites. On peut alors appeler ^ l'ordre, v la classe de la coïncidence , et désigner

Clebscii. — Géomécrtc, lit. ?.3

cette dernière elle-même par coïncidence (p, v). On trouve les droites qui répondent à un point en cherchant les tangentes communes de toutes les courbes K qui correspondent au point dans les connexes particuliers qui déterminent la coïncidence. On trouve de même les points qui répondent à une droite en cherchant dans tous les connexes sus-énoncés les courbes C qui lui correspondent et en déterminant les points d'intersection communs à ces dernières. Ainsi, enparliculier, deux connexes (/«, n) et [m', n') étant donnés, la coïncidence i^en général irréductible) qui leur est commune est de l'ordre y. = mi?i' et de la classe v = nn'.

La coïncidence se confond, d'après cela, avec la notion la plus générale de l'affinité dualistique (en général, d'ailleurs, non linéaire), c'est-à-dire de l'affinité dans laquelle, deux systèmes plans E, E' étant superposés, à tout point de E répond un certain nombre de droites de E', à toute droite de E' un certain nombre de points de E. L'inverse n'est cependant pas vrai en général; aux points d'une droite de E répondent, au contraire, sur E' les tangentes d'une courbe, et réciproquement à un point de E', c'est-à-dire aux droites du faisceau de rayons qui passe par ce point, répondent des points de E qui décrivent une courbe. Ainsi, par exemple, deux connexes (i, i)

«^ M„ = O et a'j. Ua' = G

donnent une affinité, en vertu de laquelle à tout point x répond la ligne joignant les deux points qui correspondent à jc et qui ont pour coordonnées axcu-i et a^.a^. Si l'on désigne par Vi les coordonnées de cette ligne de jonction, l'affinité en question est représentée par les équations

pf>i-=z (a«' "jia^n'j^^;

l'ajßnite est donc quadratique; en d'autres termes, les points x de E qui correspondent aux lignes v de E' passant par un point fixejy sont situés sur une conique. Dans le cas seulement où certaines conditions entre les deux connexes (i, i) sont réalisées, il pourra arriver que de leur coïncidence commune dérive la transformation linéaire réciproque au sens usuel; cette dernière se trouve ici produite de la façon la plus générale par un choix convenable des connexes.

L' ensemble des éléments [en nombre simplement inßni) qui sont

communs à trois connexes, ou encore une partie représentable rationnellement d'un tel ensemble, forme un couple de courbes. En vertu des équations de ces connexes, les u peuvent, en général, s'exprimer rationnellement par les x, comme les x le peuvent aussi par les tf, et, en éliminant les x, on obtient une équation entre les u^ de même que par élimination des u on obtient une équation entre les x.

On a donc en présence une courbe en coordonnées-points et une courbe en coordonnées-lignes, et les points de l'une sont rapportés unidéterminativement aux tangentes de l'autre. L'ordre et la classe de ces courbes, que nous désignerons respectivement sous le nom d^ordre et de classe du couple de courbes, sont, en général, faciles à déterminer d'après le théorème connu sur le degré du résultant par l'apport aux coefficients de l'équation donnée. Etant donnés trois connexes [ni, n), (m', n') et (m", n"), la classe du couple de courbes sera égale à

( 2 ) // /;/' m" -i- n' m" m -\- n" m ni' ,

et l'ordre du couple de courbes égal à

(3) iiiii'n" ^- ni'/i"n -r- m" an' .

Il n'est pas sans intérêt de considérer la correspondance unidéterminative de deux courbes sous l'aspect suivant lequel elle se présente ici, car la forme non résolue des équations, telle qu'elle s'offre théoriquement dans l'étude actuelle, est précisément celle à laquelle on est immédiatement conduit dans la plupart des recherches où l'on a affaire à des relations unidéterminatives.

INous nous proposons enfin de déterminer le nombre des éléments qui sont communs à quatre connexes. Soient m, m', ni\ m!" les ordres respectifs de ces derniers, et n, Ji', «", n'" leurs classes. Nous considérerons d'abord le couple de courbes qui est déterminé parles trois connexes (m, n), [m\n'), (m", /z"), et dont l'ordre ju et la classe v sont respectivement donnés par les nombres ( 3 ) et ( 2 ). A tout point X de la courbe Cj^ de ce couple répond, par l'intermédiaire du connexe (m'",«'"), une courbe R„w de la classe r^" ayant viï" tangentes communes avec la courbe K, du même couple, et à chacune de ces dernières répond, par l'intermédiaire des trois premiers connexes, un point jy^ de C^; si, en particulier, ce point coïncide avec

35^) TOME IM. — tHAPITRK II.

X, nous avons un élément commun aux quatre connexes. Les n!" v points y de Cu. qui correspondent au point x peuvent, en toute hypothèse, être traversés, conjointement avec d'autres points/?xe.y de C;,, par une courbe cp(j:,j^) = o, puisqu'ils dérivent du système complet des tangentes communes aux deux courbes par transformation unidéterminative; nous pouvons donc, pour la déterminalion du nombre des éléments communs, faire usage du principe de correspondance étendu [voir t. II, p. i53, et t. III, p. 26). Or, évidemment, à tout point j' de Ga correspondent réciproquement et de la manière décrite ci-dessus m" ^j. points x, et l'équation çi(a:,j) = o n'est pas, en général, satisfaite pour x =:j^, car autrement chaque élément du couple de courbes appartiendrait aux quatre connexes. On trouve donc le nombre des éléments comniims aux quatre connexes [m, Ji), [m', //), [m", n"), [m'", n!"), pour une position quelconque de ces connexes les uns par rapport aux autres, égal à m!" 11 -{- n!" v , ou, si nous remplaçons fx, v par leurs valeurs tirées de (3), (2), à

mm n u 4- m m n n -^ ni m iin

H- mm" Il n'" ^m ni" n" n i- niin"'n" lî

résultat symétrique (comme cela doit être) par rapport à tous les nombres m, n.

11 résulte, en particulier, de là, pour le cas de

que quatre connexes du premier ordre et de la première classe ont six éléments communs. Les points de ces éléments sont nécessairement communs aux quatre courbes du troisième ordre qui se présentent dans les quatre couples de courbes formés avec trois quelconques des connexes donnés. Par conséquent, les équations des quatre connexes étant

(5) a^u^—o, b^U;^-=o, c^u.i=o, cI^u^=o,

on obtient, par élimination successive des u entre trois de ces équations, les quatre courbes du troisième ordre

( ßy^ ) ^.r ^a. (^ = O, ( V^K ) c^cl^a^. = O, ( rjy,3 ) d^a^ b^ = o,

LES CONNEXKS. 307

Les points des six éléments communs aux connexes (5) sont les intersections communes de ces quatre courbes, et comme par ces six points ne passe qu'un nombre triplement infini de courbes du troisième ordre, on peut représenter d'une façon, semblable chacune des courbes de cette espèce qui renferme les six points. Les six droites correspondantes sont de même les tangentes communes des quatre courbes de troisième classe

11 est également aisé d'établir la correspondance qui détermine ici sur la courbe {ixßy)aa:bxCx= o les six points des éléments communs aux connexes (5). Les points et les droites du couple de courbes commun aux trois premiers connexes sont liés ici entre eux par les équations ( ' )

( 6 ) f> lit = ['A^^lOyl^y

en supposant que Ton ait [a{6y)nyhYCy=^ o. Les trois coniques qui sont représentées par ï«, := o, 11.2= o, «3= o ont en commun, comme on sait, trois points situés sur la courbe i apy)aybyCy= o; par ces trois points passent conséquemment aussi toutes les coniques du réseau («ßy)a^ ß^ = o. A un point x de C3 est associé, par l'intermédiaire du quatrième connexe, le point dxiiB= o', aux trois tangentes que l'on peut mener de ce dernier à la courbe (abc)ii^u^u^=z o correspondent donc, en vertu de (6), trois points de G3, lesquels sont traversés sur cette courbe par la conique [a[id)aybycia:~~ o. Nous avons donc une correspondance à trois points fixes, et les six points de coïncidence de celle-ci sont déterminés par la courbe (aß(J)«x^x'^/x= o qui passe, en outre, une fois par chacun des trois points fixes. Gela concorde avec l'indication précédente sur les quatre courbes du troisième ordre.

L'étude a])profondie des propriétés d'un connexe a'"u"^^o

(') On vérifia facilement que cette relation entre deux courbes est la môme que celle qui existe entre une courbe du troisième ordre C, et une courbe do la troisième classe Kj, lorsque toutes deux sont engendrées simultanément par le même mécanisme de Grassmann (t. H, p. 272 \

358 TOME lir. — CHAPITRE H.

conduit actuellement à l'examen des invariants fonctionnels^ c'est-à-dire des invariants, covariants, contrevariants et formes mixtes qui appartiennent à la forme fondamentale a^u"; on peut toujours, d'après les explications précédentes (p. 345), remplacer les formes mixtes qui interviennent alors par ce qu'on appelle des formes normales, c'est-à-dire par des formes 9 satisfaisant à Téqua-

\^ d-'j> ' lion différentielle > - — '■ — = o. Tous ces invariants fonctionnels

^ O.r.iOtii

pourront encore être représentés symboliquement, et l'on aura à distinguer des facteurs symboliques des types suivants (en posant

a^i, [(ihu), i/ihc), a^, «„, («|3.r), («^7).

La variété des formations possibles devient ainsi considérable; toutefois, jusqu'à présent, on n'a effectué qu'un petit nombre de recherches générales. Mentionnons seulement ici un principe complètement analogue au principe de translation (t. I, p. 344) employé dans la théorie des courbes, en ce qu'il permet d'utiliser immédiatement pour les formations ternaires qui tiennent aux connexes certaines propositions relatives aux formes binaires à deux séries de variables.

La relation établie par le connexe entre les points et les droites du plan peut, en effet, être envisagée encore d'une autre manière. Considérons un point quelconque qui peut être regardé comme l'intersection de deux droites v, w, et que nous désignerons, en conséquence, par (ç>, iv) ; soit de même [j, z) la droite joignant les points j et z. Leur réunion formera un élément choisi arbitrairement qui, en général, n'appartient pas au connexe. Cependant, par r intermédiaire du connexe (m, Ji), les rayons du faisceau [v, w) sont associés aux points de la droite [j, z); et cette dépendance respective est à mn déterminations, en ce sens qu'à tout point répondent n rayons (F«) et à tout rayon m points [Gm)- Si l'on désigne, en effet, un point delà série par y.ij -h '.t^z, un rayon du faisceau par 'k^v-\- XaW, on trouve que, pour les points et rayons associés entre eux par le connexe a^ u" = o, a lieu l'équation

laquelle est de l'ordre m en z, : Xa, de l'ordre n en X, : À2. Si nous

LES CONNEXLS.

posons maintenant symboliquement

(7) iJ^. = A,, a- = A.2, »'„=J„i, (i'„=Jt2,

nous avons la forme doublement binaire

(p = o établissant la relation sus-énoncée. Si nous considérons un élément x, u appartenant au connexe donné, et dont le pointa: lait partie de la série [j, z)^ le rayon u fait partie du faisceau (p», w), et si nous imposons la condition que le groupe F« répondant à X (et renfermant u) possède une propriété invariante binaire, et que de même dm possède cette même propriété ou une autre, il résulte de là une condition invariante pour le rayon [jy 2) et le point [v^ w) ; et l'élément [y, z), (p-, w) formé avec tous les deux appartient à un connexe couariant. La condition imposée sera tout d'abord représentée par l'évanouissement d'un invariant de la forme binaire (^, qui doit encore conserver la propriété invariante, si l'une des séries de variables (x) est soumise à une transformation linéaire quelconque, et l'autre (^) à une transformation linéaire également quelconque, car le groupe F« qui répond à tout point quelconque x = y.ij -+- y.^z, en vertu de (8), doit posséder la propriété invariante en question, et il en est de même aussi du groupe Q„i qui répond à tout rayon quelconque u = À, p» 4- ^2^' Les invariants de la forme y qui entrent ici en considération sont donc du type

(9) I = 2cn(AB)...n(jl,all,)...;

les quantités c désignent ici des coefficients numériques, les quantités A, B des symboles équivalents de l'une des deux espèces, les quantités <Ao, ijl) des symboles de l'autre espèce^ mais ces deux classes de symboles ne peuvent jamais se présenter ensemble, et, pour cette raison, il ne peut entrer dans 1 de facteurs [KX). Or on a, en vertu de (7),

( AB ] = a y b. — by a.=z'abu), en posant Ui= {yz)i, et de même pour Xi^=^ (vw)/.

36o TOME III. — CIIAPITHE II.

Comme eijuation du connexe covariaul cherché, on trouve donc, d'après (9),

l^1cn[abii). . .U[up.r). .. = 0 (M.

Cette classe de connexes covariants est donc ramenée à l'étude de la forme doublement binaire précitée, de même que l'équation en coordonnées-lignes d'une courbe en coordonnées-points se ramène à l'étude du discriminant d'une forme binaire aune série de variables. De même qu'il a été question de connexes covariants, de même aussi on peut parler de coïncidences et de couples de courbes covariants. Ainsi on obtient, par rapport à un connexe donné f^a^ii"=o, une coïncidence covariante si, pour former des éléments, on joint chaque droite du plan non à tous les points de la courbe C,n correspondante, mais seulement à ses points d'inflexion et aux points de contact de ses tangentes doubles; la première coïncidence est alors, par exemple, déterminée dans le connexef= o par le connexe

[abcYa'^-'- b'^'^ d^ ^ u'I ii'^ uÇ =-. o.

On peut de même réunir chaque point du plan aux tangentes de rebroussement de la courbe correspondante K„ ou aux tangentes de ses points d'inflexion, de manière à former les éléments d'une coïncidence covariante. Un couple de courbes covariant sera formé par les points doubles et cuspidaux qui se rencontrent dans le système des courbes C,„ et par les droites correspondantes, ainsi que par les tangentes doubles et les tangentes d'inflexion qui figurent dans le système des courbes K« et par les points correspondants.

Il faudrait ensuite étudier aussi les systèmes de connexes, ainsi que les invariants fonctionnels simultanés de ces systèmes, ce qui donnerait naissance, relativement à ces derniers, à une sorte de théorie des caractéristiques (-). Nous avons surtout à fixer notre

(') Le connexe conjugué, considéré dans la section suivante, en fournit un exemple.

(') Les recherches de cette nature seraient analogues à celles effectueos par Hirst sur les systèmes d'affinités dualistiques (corrélations), c'est-à-dire sur les systèmes de formes bilinéaires à deux séries de coordonnées-points, dans le sens de la théorie des caractéristiques. (Voir Proceedings of the London Mathematical Society, t. V, p. !\o, 1874; et Annali di Matem.. série 2", t. VI, p. 260).

attention sur les connexes pourvus d'éléments singuliers différents de ceux d'un connexe quelconque du système, le nom à^ëlément singulier désignant un élément pour lequel /= «"'«« s'annule à un degré plus élevé que le premier. Il est, d'ailleurs, à remarquer qu'il peut se rencontrer non seulement des éléments singuliers individuels, mais encore des ensembles simplement ou doublement infinis de ces derniers et comptant plusieurs fois, c'est-à-dire des couples singuliers de courbes et des coïncidences singulières (semblablement à ce qui se produit pour les surfaces courbes où il peut se présenter non seulement des points nodaux particuliers, mais aussi des courbes doubles et multiples). Les questions de cette nature n'ont pas encore été abordées.

III. — Le connexe conjugué. — Transformation unidéterminative d'un connexe.

On peut former, par rapport kf, suivant la méthode décrite, un connexe covariant particulièrement remarquable que nous appellerons connexe conjugué, et qui peut être défini géométriquement ainsi qu'il suit.

Parlons d'un élément quelconque r, ^ du plan; ainsi qu'il a été expliqué plus haut, à tout point x àe v correspondent, en vertu de / = o, n rayons passant par j^ et, à tout rayon u passant par j , TU points àe V (p. 358). Les Ji rayons sont les tangentes de j^ à la courbe K,, qui répond k x\ les m points sont les points de rencontre de Vf avec la courbe C^^, qui répond à u. Actuellement, si la courbe K„, qui répond à x, passe par 7, deux des n rayons se confondent avec la tangente de K„ au point j>', et c'est la seule manière dont un rayon double de cette espèce puisse prendre naissance, puisque K;, ne possède, en général, ni tangentes doubles, ni tangentes d'inflexion. Ce rayon forme avec x un élément du connexe donné /"= o, et peut, en particulier, être désigné par m. De même, si la courbe C;;^ qui correspond à u touche la droite i', deux des m points d'intersection situés sur v se confondent. Ce point compté double forme avec u un élément de f=^ o et sera, en particulier, désigné par x. Tout élément [j, p») qui présente cette relation visà-vis d'un élément [x, u) de fest un élément d'un connexe covariant que nous appellerons conjugué de /'. Un élément (j^, p«) de

ce dernier est donc défini par cette circonstance que, par rapport au connexe donné, au point y répond une droite u comptant double, et à la droite v répond également un point x comptant double. Nous pouvons encore exprimer la même chose de la manière suivante : si (x, m) est un élément de/=o, c'est-à-dire si X est situé sur la courbe G^i répondant à u, et que u touche la courbe K„ répondant à x; si, de plus, j^ est le point de contact de u avec celte courbe K„, et v la tangente de la première courbe Om en X, [y, v) est un élément du connexe conjugué. Et l'on obtient le connexe conjugué entier en faisant parcourir à l'élément (x, u) tout le connexe donné. On obtient donc aussi l'équationF[j, v) = o du connexe conjugué en éliminant les grandeurs p, (J, Xi, u/ entre

' àf df .

' ' O.ri Olli

Nous exposerons plus tard comment on peut ramener cette élimination à un problème binaire en la rattachant aux méthodes symboliques données plus haut. Mentionnons ici, en premier lieu, que la relation qui existe entre les éléments du connexe donné et ceux du connexe conjugué est complètement analogue à la relation qui a lieu entre une courbe considérée comme figure ponctuelle et la même courbe considérée comme figure tangentielle. Conformément à cette idée, on a le théorème suivant :

Le connexe conjugué du connexe conjugué n'est autre que le connexe primitif.

Cette relation de réciprocité se démontre de la manière suivante. Si nous écrivons encore, dans F, -r— 5 -r— au lieu de i^/, 7/, la fonc-

O.ri Olli

tion des x, u ainsi formée devra, en conséquence de l'origine de F, posséder le facteur/", et l'on aura, par suite, l'identité

M désignant une fonction homogène entière des x, u. Soit main-

LCS CONNEXF.S. 363

tenant, pour abréger,

df df

en sorte que les quantités p, q ne diffèrent des qua'ntltés j'^, v que par des facteurs indéterminés; le connexe conjugué de F est donné par les équations

et, pour la formation des dérivées de M^, il suffît d'imaginer que tout' soit exprimé par p, q au lieu de l'être parx, u. Puisque/ = o, on peut, au lieu des premières équations (3), écrire aussi

Or il résulte des équations

w/=: 2 qiXi, nf = Ipi iii que

mtlfz='L qidxj -\- 2 Xi dq^, n df -~ "^j'i r///, H- 2 //,■ dpi.

Comme, d'autre part, d'après la définition des y», q,

df^=i 2.qidxi-\- 'Lpidiii, il résulte de là

[m -\- n — I )df = ^Xidqi -\- 2) Uidpi,

et, par conséquent,

x,=z (m ->r n — 11 - — » «, =^ [m -{- » — i ; -; — ' dqi ^ Ôpi

Donc, dans (3), les z, w deviennent proportionnels aux x, u, c'est-à-dire que l'on revient au connexe donné, ce qu'il fallait démontrer.

Nous allons maintenant déterminer l'ordre m' et la classe n' du connexe conjugué. A cette fin, nous devons répondre à la question de savoir combien de points une droite (y^=o) du plan, en supposant v donné d'une manière quelconque, a de points