CHAPITRE II

communs avec la courbe C,„/, qui correspond à i^ dans le connexe conjugué; la classe n' se détermine alors par le raisonnement dualistique correspondant. La question posée peut se formuler algébriquement de la façon suivante : Déterminer le nombre des systèmes de valeurs j)/ qui satisfont simultanément aux équations

(4) /(.r,«)-o, PV=;J^. ^■^— ^.;;.' '^> = °'

les quantités vi étant données arbitrairement. Nous pouvons évidemment ici remplacer l'équation y= o pari*^=o. Si, de plus, nous entendons parj , z deux points sur le rayon v^ en sorte que

(5) ' .r,-=3tr,--+-)^3/,

nous avons, au lieu des trois équations pVi= -y-? les deux conditions indépendantes de p

Finalement les équations <yji= y—» en y adjoignant la relation yy= o, nous donnent l'équation unique , , df df df

Dans (6) et [n), nous avons trois équations qui, après la substitution (5), sont respectivement du degré m — i, /;/ — i, m en X, X et, d'autre part, du degré n, n, n — i par rapport aux M/. L'élimination des u/ entre ces équations donne un résultat dont le degré en z, X est l'ordre du connexe conjugué, car elle détermine sur V, en vertu de (5), les points x qui satisfont aux équations (6), {'j)i et par conséquent aussi à (4). L'ordre du connexe conjugue sera donc égal à

l m' =: i)[n — i][fn — i ) + « ( « — i ) ( "' — \) -\- /i^-in

' [ =1 n[mn -h ^.[n — ')("* — ')]'

et d'une manière analogue sa classe sera égc (9) n' =1 m{nm -\- 9.[ii — i)(//' — i)].

LES CONNKXES. 3<i5

Ainsi nous avons, par exemple, pour

L'ordre et la classe du connexe conjugué sont donc plus élevés que pour le connexe originaire donné tant que celui-ci est d'une nature générale, excepté dans le cas de m = n = i. Cependant, si l'on forme encore le connexe conjugué du connexe conjugué, on doit obtenir de nouveau l'ordre et la classe originaires. Le connexe conjugue ne peut donc être dépourvu de certaines propriétés qui ont précisément cet cfTet, et, en cherchant ces propriétés, on arrive à la notion des singularités nécessaires [ou ordinaires) d'un connexe. Nous comprenons sous cette appellation les singularités qui se trouvent dans tout connexe ou dans son conjugué.

Si nous qualifions un connexe de général alors même qu'il possède des« coefficients qui ne sont pas complètement arbitraires, mais dont néanmoins le caractère arbitraire n'est restreint que par la présence de cette espèce de singularités, la même chose se présentera pour le connexe conjugué. Les connexes doués de singularités de cette nature forment donc un système fermé auquel appartiennent également leurs conjugués. Cette notion s'est d'abord formée sur les courbes algébriques du plan ; chaque courbe en coordonnées-points se correspond à elle-même considérée comme figure tangentielle de la même manière que le connexe conjugué correspond au connexe originaire. Les singularités nécessaires sont ici celles qui se présentent dans les formules de Pliicker : points doubles et points de rebroussement d'une part, tangentes doubles et tangentes d'inllexion d'autre part. Si l'on part d'une courbe qui, pour des coefficients d'ailleurs quelconques, possède des points doubles et des points de rebroussement de situation arbitraire, le nombre des tangentes doubles ou des tangentes d'inflexion pourra être modifié, mais ces dernières ne se réuniront pas en singularités élevées. La courbe, considérée au point de vue de l'ordre, peut, d'après cela, renfermer des singularités nécessaires de toutes les espèces sans que la même courbe, considérée au point