CHAPITRE II

de vue de la classe, renferme d'autres singularités que des singularités également nécessaires.

On peut caractériser de la même manière la notion des singularités nécessaires dans toutes les figures algébriques; mais dans les variétés de plus d'une dimension interviennent, en même temps que des points singuliers séparés, etc., des variétés entières de points singuliers, etc.

Ainsi, dans les surfaces algébriques de l'espace (variétés à deux dimensions), on a à considérer comme singularités nécessaires, en même temps que des points doubles ou triples, des courbes doubles; ainsi encore, dans les connexes (variétés triplement étendues), on a à distinguer des figures doubles, triples et quadruples qui constituent les singularités nécessaires. Et, pour préciser, les figures doubles se produisent jusqu'à la seconde variété, c'est-à-dire jusqu'à la coïncidence, les figures triples jusqu'au couple de courbes, tandis que les éléments quadruples ne se présentent que séparément, comme singularités nécessaires. Un élément singulier doit être défini comme un élément auquel correspond non pas un élément unique, mais plusieurs éléments du connexe conjugué (de même qu'à un point double d'une courbe répondent deux tangentes de cette dernière). Il peut y avoir deux ou plusieurs de ces éléments; ceux-ci peuvent être tous différents ou égaux en tout ou en partie, et, corrélativement, les éléments singuliers se présentent sous des aspects divers. L'étude exacte de ces circonstances dans les connexes se simplifiera beaucoup lorsqu'on aura préalablement une idée sommaire des faits analogues dans les variétés de deux dimensions, c'est-à-dire dans les surfaces algébriques; pour cette raison, nous n'insisterons pas davantage sur le sujet (^ ).

Faisons seulement remarquer encore qu'f/ peut exister des connexes qui sont conjugués à eux-mêmes. Il existe, en effet, généralement pour y= o une coïncidence y = o, 0 = 0 qui appartient en même temps au connexe donné et au connexe conjugué. Il suffit

(') M. Cyparissos Stephanos a étudié quelques propriétés du connexe conjugué [Bulletin des Sciences mathématiques et astronomiques, 2° Série, t. IV, 1880). Dans un manuscrit laissé par Cledsch se trouvent quelques indications incomplètes sur la détermination des singularités nécessaires; l'auteur (M. Lindemann) espère pouvoir V revenir à une autre occasion.

en fait, à cause de (i), de poser

Aj,.) = o ou /(^,^,^.

C'est là l'équation cp = o qui, conjointement a\ecj'= o, détermine la coïncidence en question. Mais il peut se faire que cj), pour des connexes particuliers/ = o, renferme lui-même le facteur y; alors tout élément {y,v) conjugué à un élément (j?, u) def=o est aussi un élément de f= o, et ce connexe est conjugué à luimême (' ).

Nous nous proposons maintenant d'exposer la formation du connexe conjugué à l'aide des procédés symboliques et de la suivre sur quelques exemples. D'après les développements ci-dessus (p. 359 et 362), nous avons d'abord, dans ce but, à établir directement la condition pour qu'une équation doublement binaire

(10) o ^ A'" Jlox = o

ait une racine double X| : y.^ et en même temps une racine double li I X2 ; c'est-à-dire que nous avons à éliminer les grandeurs x et A entre les quatre équations

, . dv d'à d'i> df

^ '' dx-i d/.o ()/i d).,

lesquelles, à cause de la double homogénéité de ©, tiennent seulement la place de trois. L'équation du connexe conjugué k f = a'^u"=o s'obtient alors de la manière connue au moyen de la forme binaire trouvée, en remplaçant chaque facteur (Aß) de cette dernière par (abu), chaque facteur (».Laib) par (a|3.r). L'invariant de la forme binaire cj., dont l'évanouissement repré-

(*) Un exemple du fait nous est donné par le connexe linéo-linéaire ll^x^-^ i/j Xj — «3 .rj = 0, qui fait correspondre à un point .c un point ;- au moyen des équations

et représente par suite un ras particulier de la collinéation perspective. La transformation inverse est alors identique à cette dernière, et comme elle est de même, en général, représentée par le connexe linéo-liné.iire conjugué (comme nous le verrons plus tard), le connexe conjugué est ici proportionnel au connexe originaire.

368 TOME III. CHAPITRi: II.

sente la condition précitée, sera dans ce qui suit désigné par R; son degré g, par rapport aux coefficients de cj>, est aisé à déterminer d'après ce qui précède. En effet, dans R figurent mg séries de symboles A, B, . . ., et ng séries de symboles X, ift), ... qui

se réunissent respectivement en - mg et - ng facteurs symboliques des types (AB) et (Jlo\)l)). L'équation du connexe conjugué sera donc du degré - nig par ra[)port aux «, et du degré - ng par rapport aux X, c'est-à-dire que nous aurons, en vertu de (8) et (9),

C'est là le degré de l'invariant de la forme doublement binaire (10), dont l' évanouissement exprime quà une racine double de l'une des séries de variables peut correspondre une racine double de l'autre série.

Ces faits exigent quelques explications particulières lorsque l'un des nombres m, n est égal à i . Alors, en eflet, pour l'une des séries, il ne peut être question d'une racine double proprement dite, mais, dans la formation de R, se présente la circonstance particulière que les coefficients de la forme binaire '^, relativement à la série qui Centre linéairement, sont tous deux égalés à zéro. Si donc on a, par exemple,

les y^ ne dépendant plus que des x seuls, il vient

A la place de (i i) se présentent, par suite, les équations

<?P. ^P,, dP. dP.

L'élimination de ).,, ^^o entre les deux dernières équations conduit à l'évanouissement du déterminant fonctionnel de P, et P2, conséquence connue des deux premières équations. Donc, dans le cas Oïl l'un des nombres m, n est égal à l'unité, R.ye réduit au résultant de P| et P2.

Ainsi, par exemple, pour établir le connexe conjugué du connexe (1,1) axUa.= o, on a à former le résultant des deux formes linéaires AxXi et A^Xzi lequel est égal à

(AB)Jloi 1)1,2= -(AB)(Xi)l,).

L'équation du connexe conjugué devient donc

(12) («irt)(«p.r) = 0.

Considérons ensuite le connexe (2, i)

/=«>.= blup.

Nous avons ici à former le résultant des formes A,"Jl,,, A;cl>2, lequel est, comme on sait, égal à S ï — U-, U désignant l'invariant simultané, S et T les invariants particuliers des deux formes. Pour établir ces derniers, nous ferons respectivement usage des symboles ABXiJl, et CDgcD; il vient alors

S= (AB)^X,ift,„ T = (CD)^e,(D,.

Nous avons, en conséquence,

ST — 0== = ( AB )* ( CD y- .1,1 CD2 ( ilî,3 )

= -(AB,'(GD)«(art,a)(.il.(ö),

et l'équation du connexe conjugué de a^Ma= o devient

;i3) {abuY[cduf{Pyx)[oi8x) = o.

Nous allons enfin déterminer directement le connexe conjugué d'un connexe (2, 2). Il faut ici déterminer d'abord la forme R pour une forme binaire dans laquelle figurent deux séries de variables et chacune à la seconde dimension. Soit

i ff = kl ,.l,-2 = >ii, tr'-f + 'Zä'iä, n /i /.2 -+- «22. 11 -«a ) >î

\ •+- («ll,22'''-i+ 2''l2.22 5«!X,-+- n^.l,ii^\)^

Clebscu. — Géométrie, III. O.^

une forme de celte espèce. Les équations (11)

peuvent être, en général, remplacées par les suivantes :

mn 07.2 c'A2 mn dy-iôlo

mn 0^2 à^i

mn dy-iô^i

p étant un facteur indéterminé. Dans le cas actuel, ce système d'équations est donné par

^12, 22 "''•1 ''2 Äj I 22 '^ 1 2

(«12,2lH-p)-''-l^'2

-+- fl,

Si nous désignons par il le déterminant de ce système linéaire relativement aux grandeurs y.(X<, ^2^0 ''-1^2, »'-2^21 par ^ik,im les déterminants mineurs de il, nous avons d'abord

;i6) iii

Par suite, les carrés et les produits des quatre grandeurs précédentes sont entre eux dans le même rapport que les quantités £2//^^ i^, c'està-dire que, u. désignant un facteur indéterminé, on a, par exemple,

Par conséquent, l'expression

est nécessairement nulle, car elle n'est autre que la dérivée de Ü par rapport à p. On a donc en même temps

du ii :^ o, -.- = 0, à?

c'est-à-dire que le discriminant de l'équation (16) du quatrième degré en p doit s'annuler. La formation cherchéeY{. est conséquemment égale à ce discriminant lui-même :

/ et j désignant les deux invariants de la forme Ci.

Pour le calcul effectif de R sous forme s ymboliquc, observons ce qui suit. Dans û, le coefficient de p* est égal à l'unité, et le terme en p^ manque ; on a donc

n — p* -H 6\if + 4V|3 -f- W, et par suite

(18] /::=2(\\' ^-3U2), ./• = 6(UW — IP— V«).

Les expressions U, V, W sont des invariants de cp qui ont un caractère spécial, le même que celui appartenant à l'expression R, comme il a été mentionné (p. 309). Elles sont, en effet, des invariants non seulement si l'on soumet les variables y., A à la même transformation linéaire, mais encore si l'on applique aux deux séries des transformations linéaires différentes. Et ce sont les seules de cette espèce, car, puisque le nombre des coefficients de ç est égal à 9, il existe six invariants de cette forme, indépendants les uns des autres, relativement aune transformation linéaire commune aux séries x, 1, et par suite il existe seulement trois fornmiions qui possèdent la propriété de V invariance même par rapport à des transformations différentes des deux séries ( * ).

La manière la plus simple de démontrer que cette double propriété invariante appartient aux coefficients U, V, W de l'équation il = o consiste à prouver l'invariabilité de û pour le cas où une seule des séries /,, X est transformée linéairement, l'autre restant invariable (en supposant qu'on introduise en même temps à

(') Dans le tome XI du Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, p. 91, on trouve la remarque que de tels invariants et covariants ont été étudiés pour la première fois par M. Capelli dans son Mémoire Sopra la corrispondenza (2,2) ossla la forma f{x'\ y^) ed i suoi invarianti e cova.ianti relativi a due tra^formazioni lineari independcnti délie variabili {Journal de Battaglini, Naplcs, 1879). Celte renfiarque n'est pas correcte, car les recherches du texte (empruntées à un manusciit laissé par Clebscu et déjà cité p. 366) ont été publiées en 1876 dans l'édition allemande du présent Ouvrage.

la place de p une grandeur p' convenablement choisie). Nous ferons usage de la transformation

(19) 7-1 = «.v.\ + ,S/.;, ' /.2 = yv\ + <?/.;,

et nous poserons les nouvelles équations

4 (}/.;^>./ ' ^ ' 4 dy:,d\

Il s'agit de montrer que ces équations reviennent aux équations {i5). Or on a

ox, ô/.i d/-> a/.2 öv-i C>'-2

les équations (20) donnent donc

4 öv-id^h^ 4 ày-^dl^

,.-21 ^ ^/.,d).2 4 àv.^dli

P'-'-i'---- 4 j;^7dr,~4 d;^;^' «' v' -i — "^ ^'y , y <^'y

Multipliantmaintenant la première et la deuxième équation, puis la troisième et la quatrième une fois par a, ß, une fois par y, ^ et ajoutant chaque fois, on obtient, en vertu de (19),

, . «»J — py d^ » , , «»? — Sy d^ (j>

4 Oy.iUi^2 4 dx-td/a