y-ii^'— , — -^ — -kr-v /> .y.2/.2—- — 7 — :^ — :vr
4 Oy.iO/.i 4 Oy-yOKi
et ce sont là de nouveau les équations (i5) si l'on pose
Actuellement, comme p était une racine de l'équation 12 = o, p' satisfait à l'équation
r/'* -h 6U/'^p'- + 4 Vr^p' -h Wa'' —- o,
r = oc^ — ßy désignant le déterminant de la substitution. Des considérations tout à fait analogues se présentent si on laisse les y. invariables et qu'on transforme linéairement X,, I2 seulement. Les coefficients U, V, W ne varient donc respectivement que des facteurs r^i''^, /''/•'^, /*'/'*, si /• désigne le déterminant d'une transformation linéaire des h/, r' celui d'une semblable transformation des X/, c'est-à-dire qu'en fait U, V, W sont des invariants pour chacune des deux transformations . A cette catégorie appartiennent, par exemple, les trois invariants de la forme h^xl indépendants entre eux
(AB)2{,l,iPo)% (AB)(BC)(CA)(AaR,)(a(l,G)(eX), {AB)2(CD)ä(jl«e)^(ift,(D)«;
et comme, d'autre part, il n'existe que trois invariants de cette espèce indépendants, et que ceux mentionnés ici n'éprouvent d'autre modification par une transformation linéaire que la multiplication parles facteurs /•^/•'-, r^r'^^ r'^r'''^ il faut nécessairement que U se confonde avec le premier, V avec le deuxième, sauf un facteur numérique, tandis que W doit pouvoir se former avec le troisième et avec le carré du premier.
On peut aussi, en fait, calculer sans peine directement le coefficient U de p- dans Q.. On trouve
— («'ll,ll«ä2,22-H «22,11«11,Î2— 2«i,,ii<7ij,22)
= ( AB )2 [ Al "Aojiß,, Dia — -'^1 '^'o\],
ou, si l'on permute simultanément A avec B, ^l, avec i)l> et qu'on forme la demi-somme de l'ancienne et de la nouvelle expression,
(ai) U = - — (AB)2(Aift,)^
Pour le calcul de V, observons que le second des invariants précédents sous forme non symbolique est donné par
V' = 6 a,,.,. «„.,, «„.„ =(AB)(BC)(CA)(Xall,)(Ul>S)(GX] et que V = Y'.c, c désignant un facteur numérique. Mais il vient
«n,ii
37^ lUME m. — CHAPITRE II.
Y'=:6 si l'on prend «i,^i, =:; öt, 0,12= «22,22= ' ) et qu'on fasse s'évanouir tous les autres coefficients de 9. D'un autre côté, on obtient, par suite de celte dernière substitution,
d'où
et il en résulte
n et
(22) V = --^(AB)(BC)(CA)(A.Ol)(ill>S)(S.l,).
Le troisième coefficient W se déduit de H dans l'hypothèse p = o. Nous développerons le déterminant qui prend ainsi naissance, afin d'obtenir son expression symbolique, suivant les déterminants mineurs à deux dimensions sous la forme
OÙ l'on a toujours
Pik=—Pkiy <?ik= — qk/,
et où, par exemple,
Pli= "12,12 '^11,12^22,12 =-' — - (AB j^e/lûiXalftjI 1)1)2,
P\3=^ «12, 22^11, 12— «ll,22'2l2,12=^ — ( AB ) Aj B, Jlo j l*i)i iftjj,
Î34— «"12,12 — ^11,12^22,12 = (Cüj^GiGaÖOi©,,
Il vient alors, en premier lieu,
W = ^ (AB)2(CD)«[jl,,.l,2in,iD'o2©i©2(Öi(Ö2+ -l-'l)'"'©?®!]
— (AB)(CD)Gf©i(Ö2[A2B2CiDiJl,i.^,2iU,^2— AiBiQU^X^libiDî^î
— AaBiCiDaXiAaDl,!
— AiBaCaDi^l-iXalll)^].
Le troisième et le cinquième terme donnent pour somme
( AB ) ( CD ) .1, .1,2 oft,^ e? CDi (D2 A 2 C, ( BD ) ,
LES CONÎJEXES. .S^S
et de même le quatrième et le sixième, après qu'on a permuté dans le premier A avec B et X avec Ob, se réduisent à
- (AB)(CD)A,ia.2a)bie?(D,(D2A,C2(BD);
les deux termes ainsi obtenus donnent, pris ensemble, l'expression
W'=-(AB)(AC){BD)(CD)Jl,Jl,2Db2^(Di(D2Gî.
Or on a identiquement
(AC)(BD) = (AB)(CD) -f- (BC)(AD), ('t conséquemment
relation où
W"r= {AB)(CD)(BC)(AD).l,,.l,2^o^C^(0,(D2 =-^ (AD)(BC)(CD)(AB).l>lJ^„2D!>lD1.2S^'D|
AB)(CD)[(AD)(BC)-(BD){AC)].l,i.lo2ift,iDl,,G^(Di AB )2 ( CD )M>. .l>2 ift,i 1P02 ©^ (D'i .
Si nous substituons donc l'expression W dans W, il vient finalement
W=y(AB)2(CD)2[.l,,.l2'ift,iD«,2GiG2®i(D24-.l>lift,lS^(OÏ
Permutons ici simultanément A, 4, avec B, ift), puis C, G avec D, (©, et opérons ensuite ces permutations ensemble. On obtient ainsi quatre expressions pour W, et W lui-même est égal à leur somme divisée par 4 •
W = 1 { AB )^ { CD )2 [( JUi DLi G2 CD2 + ^l-siPoî Gl (Di )*
H- XiX2ifi)iaft)2(Gf (ö| -hSlCQl) + G,G2(.0,CDï(X?Dl,^ + Xl^i\,\)
— o^.,, J.-2 Gl G2 ( 1)'.,? cö^ + Db:] (Df )
— iPoi 1)1)2 (Ö, (Ö2 ( -l.? G^ + .l>^ G? )
— .l,iJl,2tö,(B2(a)b?G^ + -Db^GJ)
— olbiDbîGiGi ( JU^ 6^1 + .1.^00»)].
Mais on a identiquement
^icl.2ifi,iift,2(G?(ß2H-e^tß?)-«-G,G2(D,(Dj(Xjift,^ + JU|Dl,*)
— 1[ (A.ift,)2(8(D)^+ {a.iift,2ei®2-4- «A.,ift,iG2(Dri'
+ (a.iift,2G2(D, + .l,jqft,iGi(D2)«].
Si l'on porte ce résultat, ainsi que les transformations semblables des expressions correspondantes, dans l'expression de W, on obtient
W = -^(ABp(CD)^[(aG)^(ift,cD)2+ (cA.(D)^(ift,G)^- (A.alî>)MG(D)^].
Parmi les trois termes qui se présentent ici, les deux premiers sont égaux entre eux, le dernier est égal à — gU^; et l'on a ainsi enfin
(23) W=g(AB)2{CD)^(A.G)^(aPo(D)^-9U^
On a à substituer dans i et y", d'après (18), les valeurs données dans les équations (21), (22), (aS) pour obtenir suivant (ii^) l'invariant cherché R. L'équation du connexe conjugué au connexe a-^,u^ = o est donc donnée pai'
■ W + 3\]^Y - 2i6(UW — U^ — V2;5 = o,
avec
V= ^-~{abu)[bcu)[cau)[Kßx){ßyx){yci.T),.
W= ~ [abuY [cduY [ay xy [ßa-x]-^ — glP.
Le connexe conjugué a été rapporté unidéterminativement élément pour élément parles équations (i) au connexe donné/ == o; ces équations donnent donc un cas particulier d'une transformation unidéterminatiwe générale du connexe f ^= o, transformation que l'on peut exprimer par les équations
(24) pj,==7/(.r, j/j, o-«',= ^î^/(.r, «j (/=i,2, 3),
les relations ^i= o représentant trois connexes quelconques [p, ^),
les relations ^^/=o trois connexes quelconques {i',s). L'équation F(j', v^ = o du nouveau connexe s'obtient alors par élimination de p, cr, Xi, iii entre les équations (24) et entre f{x, u) = 0. Au cas où les connexes de transformation ç = o, i|; == o ne sont pas dans une situation spéciale par rapport ày= o, on détermine aisément l'ordre m' et la classe n' de F:=o. L'ordre m' est en effet évidemment égal au nombre des points j- qui, pour des valeurs choisies d'une façon quelconque des Vi, satisfont simultanément aux équations (24) et à f= o, y^.= o, les quantités 7/ étant des grandeurs quelconques; c'est-à-dire qu'en vertu du caractère unidéterminatif de la transformation (24), il sera égal au nombre des éléments {x, u) communs aux quatre connexes
et nous avons, en conséquence, d'après l'équation (4) (p. 356),
l'îS) m' =z r^nq -+- s^-mp -\- irs[mq + np) et de même
(26) n' =1 p'^ns -h (/^/iii-\- '>pq[ms H- nr).
Des modifications doivent être apportées à ce qui précède lorsque les connexes de transformation ©, ^ présentent quelque chose de spécial par rapport à f. Supposons, par exemple, que les conjicxes (^i= o aient en commun avec f un couple de courbes [d, e) et les connexes ^1"= o un couple de courbes [d, e). Du couple de courbes qui est commun aux équations
et dont l'ordre et la classe sont déterminés par les équations (2) (p. 355), il faut encore retrancher le couple de courbes (^, s). Il reste un couple de l'ordre irsn -j- ms- — è et de la classe 'irsm-hnf^ — s. D'après les développements donnés (p. 356), l'ordre du connexe F [y, u) = o est donc actuellement
(27) m' =- [znrs -\- ms^ — S)p -\- [7.mrs -{- nr- — e]q, et sa classe '
( 28 ) //' = ( 2 npq H- mq^ — d^jr-h (2 mpq -+- np^ — p]x.
Au moyen de ces formules, on retrouve, en particulier, l'ordre
