CHAPITRE II

et la classe du connexe conjugué. Les connexes -^ qui se présentent dans les équations (i) à la place des cf/ déterminent, en effet, un couple de courbes de l'ordre ^m(^n — i)- et de la classe 'd{n — i)m^, qui, d'après le théorème d'Euler, appartient aussi au connexe /= o. Pour les équations (i), il vient, en conséquence,

et de même puis

d=:3m[n — i)^, <? = 3(« — I rj = 3n^[m — I ), £ = 3 ( m — i ' p = m, q z= ji — I , /--m — i ,

Si l'on substitue ces valeurs dans (27) et (28), on retrouve bien les nombres connus pour l'ordre et la classe du connexe conjugué. Dans les autres recherches sur les transformations unidéterminatives des connexes, on devra surtout fixer son attention sur leurs singularités (ainsi qu'on le fait dans les transformations d'une courbe) et sur les relations qui existent entre les singularités du connexe donné et celles du connexe transformé. On devra aussi distinguer différentes espèces de transformations suivant que ces dernières changent unidéterminativement un connexe en un autre, ou qu'elles sont unidéterminatives seulement pour les éléments d'une coïncidence, ou enfin seulement pour ceux d'un couple de courbes, de même que dans l'espace on a à considérer des transformations unidéterminatives d'une surface et d'une courbe particulière. Les recherches qui se rattachent à ce sujet ont la même marche que les théories semblables dans une variété quelconque de quatre dimensions. On pourra, en particulier, aussi bien pour les connexes que pour les coïncidences et les couples de courbes, établir un nombre, savoir : le genre de ces figures^ qui reste invariable dans toutes leurs transformations à détermination unique (*). [l est toutefois à remarquer que chins les coïncidences, comme dans les surfaces algébriques, il se présente deux nombres constants de cette espèce, que dans les connexes, comme dans les variétés de trois dimensions, il s'en présente trois (2), et qu'au contraire, dans

(') f^oir Clebsch, Comptes rendus de l' Académie des Sciences, t. LXVII, décembre 1868, et NÖTUER, Math. Annalen, t. Il, p. 293 et siiiv. (') Voir ÎNOTHER, Math. Annalen, i. VIH, p. !\\)h et siiiv.

le couple de courbes (ou, en général, dans une variélé algébrique à une seule dimension), il ne s'en présente qu'w«, comme dans une courbe particulière. L'établissement effectif de ces différents nombres (la détermination de la façon dont ils dépendent des singularités éventuelles du connexe, de la coïncidence ou du couple de courbes) et la démonstration de leur permanence dans les transformations unidéterminatives se feront de la même manière que pour les variétés algébriques générales dont il a été parlé. Nous n'insisterons néanmoins pas davantage sur ce sujet. Contentonsnous de mentionner comment, pour les connexes et les coïncidences, on aura à former les intégrales triples ou doubles avec l'étude desquelles on peut mettre en connexion les nombres cidessus. Les résultats correspondants pour des variétés quelconques [voir JNöTHEtt, loc. cit.) se modifient en effet ici d'une façon particulière, parce que nous avons affaire non à un groupe de quatre, mais à deux groupes de deux variables chacun.

Soit [x, u) un élément du connexe ^=0. Comme ce dernier représente une figure à trois dimensions, on y trouve comme possibles trois directions d'avancement linéairement indépendantes que nous pouvons attribuer aux variables en passant de l'élément (x, u) à un élément voisin (x -+- r/x, u -+- du). En distinguant trois différentielles de cette espèce par les lettres cl, d' , d", on obtient

2/:,^/'.r, hi/;,//'M/:^o,

lf[-,d"xi+lf„d"ur^o, V — Ln y ajoutant les équations

nous avons cinq équations au moyen desquelles les rapports des f'^iiftn peuvent être déterminés, et, pour préciser, seront proportionnels aux déterminants formés avec le système incomplet

^"/n— T~' Jni

dx.

rf.r,

diii

du.

dx.

d' .rj i

d'il,

d'il 2

rf".r.

.ri

Si donc 0 est une fonction homogène entière du degré m — 3 par rapport aux xi et du degré /^ — 3 par rapport aux m,, l'expression

(Il

dx.^

dr.

du^

d' iiy

Pi

du. 2

fh

du^

i7.iji^+ipj:,.

représente un élément d'une intégrale triple qui est complètement indépendant des grandeurs a/, ß/. Si l'on détermine les constantes dans 0, de telle sorte que cette intégrale ne devienne infinie pour aucun élément du connexe /'= o, le nombre des constantes de 0 qui restent arbitraires indique le genre p du connexe. Si donc le connexe donné ne possède aucune coïncidence double, etc., 0 n'a à satisfaire à aucune condition; il vient alors

et c'est là l'un des nombres caractéristiques pour un connexe (').

On peut, d'une double manière, donner à la difTérentielle d\ une forme plus simple. En effet, on peut choisir deux des trois directions d'avancement ^f, d' , d" de telle sorte que les u,-, puis les Xi, restent successivement constants. 11 vient alors, par exemple,

d' Ui = d' 11^ ■=. d' u^ = o, d"x^ = d"x^=d"x.,:=o;

et, si l'on annule successivement les f3,-, puis les a/, on obtient les deux formes simples

@.[xud'x].[uditd" II] Ç).[xdxd'x]{i!pd"n)

(') Les autres nombres génériques seraient donnés par les nombres qui caractérisent d'une manière analogue une coïncidence ii laquelle donne naissance sury"= o un connexe 6 = 0.

dr.

dx.

dUi

du.

du^

LES CONNKXES. 38 1

Observons encore que l'on arrive aussi à la même expression pour d\ si l'on part de ceci : considérer/" comme une fonction homogène de six variables cogrédientes X|, x,, x^, m,, Ma, u^. D'après les règles générales lelatives aux fonctions de cette espèce ('), il faut alors considérer une différentielle qui dérive de (39) si l'on remplace le déterminant du numérateur par le déterminant

d'x^ j3, «, du^ d' Uf

d'iii

dans lequel^, d', d", d'" indiquent les différentes directions d'avancement. Mais si nous considérons que, en outre des équations

2/;.f/(^) Xi — if'„.di'^) ui=o ( /• = 1 , 2, 3 ),

ont lieu encore les suivantes

- .r//i., = o , 1 Uif'„. = o,

il est visible que le déterminant obtenu par élimination des f^^, /^^ entre ces équations est nécessairement nul. On peut, pour cette raison, poser

d'" Xi = y. dxi + À d' ,// -f- \>- d" Xj-f- Xj dp , d'" Ui = •/. dUi -\- l d' Ui 4- u. d" Ui + Ui da,

dp, dfs désignant des grandeurs infiniment petites quelconques. Si l'on porte ce résultat dans le déterminant à six dimensions, on obtient de nouveau, après une transformation aisée, le déterminant qui figure dans (29), à part un facteur qui dépend uniquement de d^ et dp\ mais ce dernier n'a plus aucune relation avec d\ Gif, et il est, par conséquent, absolument sans influence sur les considérations ultérieures. On aperçoit ainsi qu'il suffit d'étudier l'élément d'une intégrale triple, au lieu de celui d'une intégrale quadruple.

') Folr 1NÖTHER, Math, yinnale/i, t. H, loc. cit.

Dans le même sens que nous avons parlé du genre d'un connexe, on peut aussi parler du genre d'une coïncidence. Si l'on se figure celle-ci comme l'intersection de deux connexes [m.,n) et {m',n)

/= G et ^ =^ G,

on a à considérer une intégrale double ( * ) dont les différentielles linéaires correspondent aux deux directions d'avancement qui restent encore possibles. Ces dernières étant représentées par d, d', on a

et

:/;..dxr

2cp'>.,Y/.r,-f-

lf!,^dUi= G,

l.rif^i=o,

luJ,[.= o;

2f',i.(Illi=^ o,