r,-yV,^= o
lH,fl.:= O.
rf',r/= o.
Chacun de ces systèmes d'équations peut être envisagé comme un système linéaire relativement aux dérivées des fonctions qui y figurent. Il suit alors de là, d'après des propositions connues, que les déterminants à deux dimensions, que l'on peut former avec les séries
T'-P ?'î' ?'.a' ?".' ?«-i» ?'''ai
sont individuellement proportionnels aux déterminants à quatre dimensions de la matrice
dx^ dx.2 dx.^ dui dii^ du-^ d' x^ d' .r..2 d' x^ d' u^ d' u^ d' u^
Si donc nous désignons par© une fonction entière renfermant les Xi d'une façon homogène à l'ordre m -f- ni' — 3, les Ui d'une façon
(') Voir la formation correspondante de l'intégrale simple pour l'intersection complète de deux surfaces dans Cleiisch : Anwendungen der AheVschen Functionen auf Geometrie, § 11 et suiv. {Journal de Grelle, t. G3). II peut, du reste, y avoir aussi des coïncidences qui ne sont pas représentables comme intersections complètes de deux connexes.
liomosrène à l'ordre n -h n' — 3, il vient
dl
[I (/xi d' xi Xi o (Il «/Il I dui d'Ui o «/ hi Pi I J,=,,,,3
2 «/ f ^; + E bi vj'„. 1, v.i r^\.^ + 2 Pi (a'„.
difTérenlielle complètement indépendante des grandeurs ni, a,, ht, ßi. Le facteur du numérateur compris entre crochets a été mis là par abréviation pour un déterminant à six dimensions dont il est aisé d'apercevoir le mode de formation efi'ectif. Si maintenant B est déterminé de telle sorte que l'intégrale double qui tire son origine de dl reste finie pour toute portion limitée choisie à l'intérieur de la coïncidence, le nombre des coefficients arbitraires qui restent dans 0 et ne peuvent être détruits par l'emploi de f= o, (p = o, est égal au genre tt de la coïncidence ( < ). On a donc, en général,
{m' — i){ni' — 9.) («'— i)(«'— 9.)
Pour simplifier encore l'expression dl, on ne peut plus ici choisir des directions d'avancement pour lesquelles tous les dxi ou tous les dui s'évanouissent; mais on peut faire nuls ou bien les a, a ou les b,ß, et l'on obtient alors, pour dl, les deux représentations
@.{.rff.rd'.r).{nhß) dl —
ibij:,.iôiû-ibi^.,.^pj:n
& .{il du d' ft] .[.ma.)
1 «,/.'ri .l«if'^.— 1 ai cp!,. . . >• V-if'^.
Le genre d'un couple de courbes est enfin égal au nombre qui, suivant des théories connues, appartient comme genre à l'une des deux courbes du couple (liées unidéterminativcment l'une à l'autre),
(•) Le second nombre générique de la coïncidence est égal au genre du conple de courbes déternnné dans la coïncidence /= o, çj = o par un connexe 0 = o qui doit satisfaire aux conditions indiquées dans le texte.
384 TOME m. CHAPITRE II.
et il a une relation connue avec les intégrales abéliennes qui correspondent à ces courbes (p. 167 et suiv.).
Faisons encore observer, en finissant, que pour les différentielles ici introduites d'intégrales triples et doubles on peut aussi trouver aisément des équations exactement analogues à l'équation différentielle du théorème d'Abel ('). Toutefois, une équation de cette espèce ne peut être immédiatement employée de la même façon que le théorème d'Abel à des applications géométriques, parce que les propriétés des intégrales algébriques multiples à limites complexes n'ont pas encore été étudiées d'une manière approfondie.
