IV. — La coïncidence principale

Parmi les connexes, il en existe un qui a une importance particulière : c'est le connexe linéo-linéaire donné par l'évanouissement du covariant identique Ux, c'est-à-dire par l'équation

( 1 ) ( itx^ u^x^ -f- II, X.2 -V- '(3 •»•3 =; o ;

nous l'appellerons, par abréviation, le connexe idejitique. Dans ce connexe, à tout point répond l'ensemble des droites qui y passent, et à toute droite l'ensemble des points situés sur elle, c'est-à-dire que l'élément du connexe identique est, en général, toute combinaison du point et de la droite en situation réunie. La courbe K, qui correspond à un point est donc le point lui-même considéré comme sommet d'un faisceau de rayons; la courbe C| qui correspond à une droite est cette droite elle-même considérée comme base d'une série ponctuelle.

L'ensemble des éléments communs à un connexe donné arbitrairement /= o et au connexe identique m^= o fournit une coïncidence covariante particulièrement importante pour l'étude du connexe y=o; nous l'appellerons la coïncidence principale du connexe. Dans cette figure, à tout point répondent /z rayons passant par ce point [rajons de coïncidence) qui sont les tangentes menées de ce même point à la courbe correspondante

(') Voir NÖTIIER, Math. Annalen, t. Il, p. 3oô ; note.

K„ ; à toute droite répondent m points situés sur elle {points fie coïncidence)^ savoir ses points d'intersection avec la courbe correspondante C«j.

Ainsi, à tout connexe répond une coïncidence principale, mais, au contraire, il existe inversement une infinité de connexes auxquels répond une même coïncidence principale [ni,n). Si, en effet, f=^ o est l'un d'eux, tous les connexes

M = o représentant un connexe quelconque (m — i, ii — i), comprennent évidemment la même coïncidence ([ue f. Toutes les recherches suivantes sur la coïncidence principale d'un connexe/' sont donc également vraies pour toutes les formes mixtes composées, comme dans (2), avec /et 11^.

La coïncidence principale présente un intérêt tout particulier, tenant à ce qu'elle est en connexion étroite avec les équations cHft'érentielles algébriques du premier ordre ('). Si, par tout point du plan, on trace les n directions des droites qui lui correspondeni dans la coïncidence principale, et qu'on les considère comme les éléments d'arc d'un système de courbes, on pourra composer ainsi ime famille de courbes dont n passent par chaque point, et les tangentes desdites courbes en ce point sont les n rayons qui répondent à ce dernier dans la coïncidence principale. Pour la recherche des courbes qui prennent ainsi naissance, on aura à intégrer une équation différentielle qu'on trouvera de la manière suivante. Nous poserons de nouveau y == rt^'w". Soit u une droite passant par le pointer et lui répondant dans la coïncidence principale, en sorte que f[a:,u)-=o et Ux=o. Un point x -+- dx voisin de x satisfait alors aux équations

^ U,/^^ «1 «■/.r, + U^clr^ H- ll^flr^ r=: o,

en vertu desquelles on trouve les rapports des ui égaux à ceux des

(') L'emploi du mot ordre, clans un sens difTérent de celui qui lui a été attribué jusqu'ici dans le texte, ne peut entraîner aucune confusion. Nous entendons, suivant l'usage, par équation ditïérentielle du premier ordre, une équation dilTérentielIe dans hiqueile ne fijurent que les premières différentielles d.r^ ou </«,, celles-ci pouvant d'ailleurs entrer à une dimension quelconque.

Clersch. — Géométrie, III. 23

dcterminanls formes avec les xi et les dxi. Si donc on introduit ces derniers dans/ou dans/-f-M?ia-, on obtient l'équation différentielle

On peut corrélativement partir d'un rayon u et de ses n points de coïncidence. Si l'on mène par un de ceux-ci un rayon u -\~ du voisin de ^/, il se trouvera sur ce dernier un point x + dx qui lui correspond ; partant de ce nouveau point, on peut aller plus loin, et l'on obtient ainsi un système de courbes dont m touchent une droite quelconque. Pour leur détermination interviennent, à la place des équations (3), les équations

( 5 ) u^ =^ o, ( du );j s^ Xi du^ + .r,, du^ + .r^ dii^ =z o,

et l'on trouve ainsi, parla, au lieu de (4), l'équation différentielle;

( 6 ) /[ ( « du), u] EEES ( r/udu)'" ri^ = o.

Ce système de courbes a, par conséquent, la propriété que la tangente d'une des courbes qui le composent en un de ses points est donnée par un des rayons de coïncidence de ce point. Mais le système de courbes donné par l'équation différentielle (4) était caractérisé absolument par la même propriété ; les deux systèmes sont doue identiques. L'équation (6) est l' équation différentielle en coordonnées-lignes pour le même s j sterne de courbes dont l'équation en coordonnées-points est obtenue par intégration de l'équation différentielle (4). Nous appellerons les courbes ainsi représentées courbes de coïncidence jyrincipale ou couibes intégrales du connexe f= o.

Les équations différentielles algébriques (4) et (6) qui se présentent ici sont les plus générales de leur espèce si l'on attribue au connexey= o des coefficients généraux; car toute équation différentielle du premier ordre à coefficients algébriques peut être obtenue de cette manière. La connexion entre une équation différentielle donnée à deux variables et entre la coïncidence principale d'un connexe peut en effet évidemment se présenter de la façon suivante :

Soit donnée entre x, y et p z=. -j- une équation algébrique

o{x, y,p)z= o. Mettons L'cqualion 9 = 0 $ous la for nu-

ce qui peut être réalisé d' une infinité de manières. Alors