V./'s x.^ Il, n^l

sera loiijours l'équation d'un connexe dont les courbes intégrales sont données par l'équation /= o. Que l'on pose en effet de nouveau w/= [xdx)i et ensuite Xs ==: i , r/xs =0, œ^^zx^ x =j', l'équalion (8) se change de nouveau en (7). Au lieu de (8), on pourrait, du reste, choisir aussi comme équation correspondante de connexe toute équation

conformément à la circonstance que l'équation ( •- ) peut être formée d'une infinité de manières différentes.

De même que nous avons sous les veux, dans (4) et (G), deux équations différentielles pour les mêmes courbes, de môme on peut remplacer toute équation différentielle algébrique par une autre qui lui est équivalente, et simplifier ainsi souvent l'intégration (*). On aura, à cette fin, à ramener d'abord l'équation différentielle à la forme (7), à établir le connexe correspondant (8), et à v poser Xi= [udu)i au lieu de «,•= [xdx),-.

Nous traiterons plus tard quelques exemples de la détermination des courbes intégrales ; nous considérerons seulement ici un cas particulièrement simple, savoir : le connexe qui est représenté par l'évanouissement du déterminant fonctionnel de deux formes o zs^ a"^, f^i = a", et de la forme u^

Ce connexe donne l'équation différentielle

(') Des considérations aiialngiies pour l'espace (ou, en d'autres termes, la transformation d'une équation différentielle donnée en coordonnées-points en une équation diirercntielle eu coordonnées de plans) se trouvent dans PlCc.kf.b, System der Geometrie des Raumes, Düsseldorf, iS'|f), p. 27.