CHAPITRE II

Ses courbes de coïncidence principale sont donc

m logi}; — n log y i:::^ l<^'g^>

X désignant un paramèti'e, ou

(lo) ij/'"— ).o«i-0.

Et par là est en même temps donnée l'intégration de l'équation différentielle

[av.u] [audu]'"^ '^ [<:/Ludu)"^~^ riz o;

du moins, cette intégration est fournie par la solution du problème purement algébrique qui consiste à établir l'équation des courbes (lo) en coordonnées-lignes. On voit sur (lo) que par tout point du plan passe effectivement une courbe du système, tandis que toute droite est touchée par m -\- n — 2 courbes. En effet, l'équation de la courbe (10) en coordonnées-lignes serait d'abord du degi'é '2[mn — i) en ^; mais, comme la courbe ^ est comprise /«fois dans le système, et qu'ainsi toute droite quelconque a un contact d'ordre m — i en chacun de ses /z points de rencontre, l'équation en coordonnées-lignes devra admettre pour chaque ligne la racine «(m — i)'P''^X = o, et semblablement la racine 77i[n — ij'P^^X = 00 . Après suppression des facteurs correspondants, elle reste, par le fait, du degré

2 ( mu — I ) — [m — 1 ) « — ( « — I ] w 1 u m -f- « — 2 .

La circonstance que dans (10) se présentent des courbes intégrales algébriques a pour cause la nature spéciale de l'exemple choisi; en général, on obtiendra des courbes transcendantes, mais dont encore /i passeront toujours par un point quelconque, et m toucheront une droite quelconque. Donc aux nombres /z, 7W appartient, dans ce système de courbes, une signification semblable à celle que nous avons attribuée plus haut dans la théorie des caractéristiques aux nombres //, p.' (ou [j., v), et effectivement différentes propositions relatives à ces nombres dans les systèmes de courbes algébriques peuvent être transportés immédiatement au\ systèmes plus généraux de courbes transcendantes qui sont deßnis par une équation dijfére/itielle

/*[ r:, j, — I — ; O, OU mieux rt'" {axflx)'

LES CONNEXES. 38f|

Menons, par exemple, par un point fixe toutes les droites possibles; chacune d'elles sera touchée en m points par les courbes du système, et l'équation Xy= o du lieu de ces^oints de contact s'oblient, par élimination de u entre les équations

u^Tzo, iiy-- o, n'"u'^z=o,

et est, en conséquence, donnée par

a^ [a:ryy

Le raisonnement dualistique conduit de même à l'équalion

(12) XI,,-rr^ {(■/«(■)'" //^' :--- O,

et nous avons ces théorèmes {^voir t. II, p. wq8) :

Le lieu (les poinls x qui, complétés par leurs lignes de jonction à un point fixe y ^ forment des éléments d' une coïncidence principale, est une courbe de l'ordre m + n

et cette courbe a, en j, un point multiple d'ordre n.

L'enveloppe des rayons u (jui, complétés par leurs points de rencontre avec un rayon fixe f, forment des éléments d'une coïncidence principale, est une courbe de la classe m + n

et cette courbe a v pour tangente multiple d'ordre m.

L'ordre de la courbe Xj= o dépend donc, en réalité, des nombres m, n de la même façon que la courbe définie semblablement dans les systèmes algébriques dépend des caractéristiques (j., [x' d'un tel système, et la manière dont se comportent les deux courbes au point fixej^ est également la même ( * ).

Parmi les points du plan sont particulièrement à remarquer ceux

(') On a de même pour les systèmes de courbes transcendantes cette proposition qu'une courbe de l'ordre «' et de la classe k' est touchée par k' n -+- n' m courbes du système; '\yoir Folret, Sur les systèmes généraux de courbes planes {Bulletin de la Société mathématique de France, t. U, p. 72 et gG). On aperçoit aussi combien les recherches ultérieures de Fouret sur les systèmes simultanés de courbes [ibid., t. V, p. 19 et i3o; t. VII, p. 177, et Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences, 23 mars, 187^) sont en relation étroite avec la théorie des connexes.

SgO TOME III. — CHAPITRE II.

pour lesquels deux des n directions qui en sont issues se confondent, et, comme cette exigence est équivalente à une condition, il y aura un nombre infini de points de cette espèce, c'est-à-dire que les points dont il s'agit formeront une courbe. On obtient de même une autre courbe comme enveloppe des droites pour lesquelles deux points de coïncidence qui leur correspondent sont infiniment voisins l'un de l'autre. Si deux des n tangentes menées d'un point X à la courbe correspondante K« doivent coïncider, il faut évidemment que le point x soit situé sur K« ; si donc on représente en coordonnées-points X sous la forme F(x, X) = o l'équation /(x, u) = o de cette dernière, F(x, x) = o est l'équation du lieu cherché. On obtient le lieu des points x qui sont situés sur leur courbe correspondante K«, et pour lesquels conséquemment deux des directions d'avancement homologues de la coïncidence principale se confondent, en représentant K^^ en coordonnéespoints. On obtient corrélativement V enveloppe des droites qui touchent leur courbe correspondante C,„, en représentant cette dernière en coordonnées-lignes u.

La première courbe n'existe naturellement que si m est supérieur à I, la seconde si n est supérieur à i ; les cas de ni = i et « = i demandent donc à être traités' à part; nous y reviendrons plus tard.

Pour le connexe «^//f = o, on obtient, par exemple,

F(,r,X)^rt^Z'^(aSX;i2,

et le lieu des points en question est, en conséquence, donné par la courbe du quatrième ordre

F(.r, .rJHS njchjc[ixpxY- -. o.

Pour le connexe a^."«, on trouve

et conséquemment la courbe du sixième ordre

F [x, x] = albl[oLpxY z=i o.

Les courbes mentionnées ici se rattachent par des relations particulières et très importantes aux courbes intégrales du connexe

LES CONNEXES. 3gt

f= o. Considérons les points situés de part et d'autre de la courbe F(xy x) =■ o. Pour un point de cette dernière elle-même, deux des branches correspondantes des courbes intéj^ralcs se confondent; donc, d'après les lois connues de la continuité, ces branches sont nécessairement réelles pour les points placés d'un des côtés de la courbe F[XfX) = o, imaginaires pour les points situés de l'autre côté. Par suite, en tout point de F, deux branches réelles des courbes intégrales ont la même tangente sans se prolonger au delà de ce point, c'est-à-dire qu'il se produit un point cuspidal de la courbe Intégrale {/ig- 4)- Si donc on fait, en outre, le raisonnement corrélatif au point de vue dualistique et qu'on prenne la réciproque de tous les deux, on peut énoncer les deux propositions suivantes :

Le lieu ( F = o ) des points qui soîit situés sur les courbes K« (fui leur correspondent dans le connexe est en même temps le lieu des points de rehroussement des courbes intégrales du connexe ( ' ).

Les tangentes de rebroussemen partiennent aux points de F =: o,

L'enveloppe (F'=o) des lignes qui touchent les courbes C,,, qui leur correspondent dans le connexe est en mente temps le lieu des tangentes d'inflexion des courbes intégrales du connexe.

t des courbes intégrales, qui apenvelopperont, en général, une

autre courbe *!> = o, et de même les points d'inflexion de ces courbes décriront une nouvelle courbe ^'=o. C'est uniquement

(') Si l'on part d'une équation différentielle en coordonnées rectangulaires /(!> >»»/') = 0f on obtient évidemment la courbe F = o en formant le discriminant

de /par rapporta la variable/; = -jr •

ßga TOME 111. — CHAPITRE II.

en des points parliculiers de F qu'il arrivera que la tangente de rebroussement correspondante soit en même temps tangente de F en ce point, comme cela a lieu, par exemple, pour le point A dans \si fig. 4 ( M- I^a"s le cas seulement où des conditions particulières existent entre les coefficients de l'équationy^ o, il pourra se faire que la tangente de tout point de F soit aussi tangente de la courbe correspondante K„. Alors F est touchée en chaque point par une courbe intégrale; la courbe F = o donne, en ce cas, une intégrale singulière de l'équation différentielle /= o, ainsi que nous l'exposerons plus tard avec plus de détails; cette circonstance ne se présentera d'ailleurs pas en général.

Des lois de formation indiquées plus haut pour F et pour F' peuvent aisément se déduire l'ordre ou la classe de ces courbes, car une courbe de «''^■""' classe est, en général, de l'ordre n[n — i), et son équation en coordonnées-points est du degré 2(/î — i) piar rapport aux coefficients de l'équation en coordonnées-lignes. On trouve, en conséquence, pour l'ordre de F, le nombre {n — i)(2w -I- n), et pour la classe de F' le nombre [m — \)[ln->rin). Les courbes F = o qui se présentent ici ne sont nullement les courbes les plus générales de l'ordre {n — \)[o.in -\- «), et se distinguent, au contraire, par diverses singularités. Pour la détermination de ces dernières, nous examinerons avec plus de soin la relation entre les courbes F = o et 4> = o ; rappelons que

F = o représente le lieu des points de rebroussement des courbes

intégrales ; <Î5 zzz: o l'enveloppe des tangentes de rebroussement de ces mêmes

courbes.

Les deux courbes sont, d'après leur définition, rapportées unidê terminât iuemejit l'une à l'autre; à un point x de F correspond comme tangente de <1^ précisément la tangente en x de la courbe

(') De la courbe intégrale tangente en A se sépare ici en même temps une droite. Cet exemple a d'abord été emprunté à la théorie des surfaces du troisième ordre dont les courbes asymi>totiques se comportent ainsi dans le \oisinage de la courbe parabolique (aWr Klkis, Math, banalen, t. VI). Nous revenons, dans la dernière Section, sur la connexion de la courbe V =^ o avec la solution singulière de l'équation diflerentielle.

LES CONNEXKS. 39^

K„ qui répond à x. Or line telle courbe K„ a, en général,

-/?(// — 2)(«- — ()) points doubles; il pourra donc arriver en un

nombre fini de points du plan que le point a: coïncide avec nn point double de la courbe K„ correspondante, et' alors il lui correspond deux tangentes dififérentes de cette dernière et, par conséquent, deux tangentes différentes de $. D'après les lois de la transformation unidéterminative, ce fait ne peut se produire que si le point en question est un point double de F. Nous déterminerons, d'après cela, le nombre de ces points doubles à l'aide du principe de correspondance de Salmon et Zeuthen (t. II, p. 108 et 109), ainsi qu'il suit.

A tout point .r correspondent x ^^ n[n — :>. ) («- — 9) points j,

savoir : les points doubles de la courbe K„ qui répond à x. Pour Irouver le nombre a! des points x qui, réciproquement, répondent à 7% nous avons à chercher le nombre des courbes R« qui ont un point double en un point donné y . Tout ravon u passant par j) sera touché par une infinité de courbes K«; parmi elles figurent ni- courbes qui touchent z< enj', courbes qui correspondent aux mpoints X déterminés par les équations

a'" u'â -- o, a'^ u'^ ^ Wa.^ o, //,■--; o, "'v= o.

Donc il existe encore, en outre,

2 ( « — I ) ni^ — 1 m- =; 2 ri ni ' — 4 '"'

courbes K« qui sont tangentes à u et passent en même temps par y. A chacune de ces dernières on peut encore mener de yn — 3 tangentes v dont les points de contact ne sont pas situés sur u, el ainsi à tout rayon /«répondent im^[n — 3)(/z — 2) rayons v et réciproquement. Si deux rayons correspondants coïncident, la courbe K« considérée passe une seconde fois par j, c'est-à-diie a en y un point double. Or, comme deux coïncidences de cette espèce sont produites par la même courbe K«, on a simplement

v! ■=^im^'\n — ? ) { « — 3 ) .

Pour trouver le nombre a -\- ct'-h ß des coïncidences des points x et r dans le plan, il nous faut maintenant obtenir encore l'ordre

3()'| lOME 111. — CHAPITRE II.

ß (le la courbe parcourue par j si x d'écrit une droite. Or, si l'on pose a: = ç -h îv/j, l'équation

( flt -+- / a.,, ) '" « " -- G

représente un s\stènie de courbes K„ dont 2m[n — i) passent par un point quelconque, et m touchent une droite quelconque. Pour un tel système l'ordre cherché est immédiatement donné par l'interversion dualistique d'un théorème établi par Zeuthen, d'après lequel les tangentes doubles des courbes d'un système de C« enveloppent une courbe de la classe

s'il y a parmi elles // courbes qui passent par un point donné et '>(/i — i)^jr qui touchent une droite donnée ( * ). Nous trouvons, en conséquence, pour l'ordre du lieu du point double j, la valeur

3 = o.[n — 2.)[n — 3 ) nni .

Le nombre des poiiils doubles de F est donc finalement

On trouve semblablement que le nombre des points de rebroussement de F est égal au nombre des points x qui coïncident avec un point cuspidal 7 de la courbe cori*espondante K«. On a ici

y.-j^'iii'n — 2 , a.' Tzz 3m-[n — 1],

ce dernier nombre s'obtenant par la considération d'une correspondance

entre les rayons d'un faisceau quelconque. On trouve enfin, d'après les recherches de Zeuthen dont nous venons de parler,

P = 3ni/i[n — i),

et le nombre des points de rebroussenient de F — - o est conséquem-

(') Fo/V le Mémoire de Zeuthen, cilé t. IF, p. 137 (11° 34, p. 34o de ce Mémoire).

LKS CONNEXES.

vietil égal à

( 1 4 ) 3 ( // — 2 ) ( «z* + mil -4- « ) .

Pour déterminer la classe de O, nous partirons des formules qui donnent la relation unidétcrminative des tangente's de 0 à l'égard des points de F. Si Aj^,t^lj=o est symboliquement l'équation en coordonnées-points X de la courbe K„ qui répond h. x, ^i. étant égal à ani[îi — i), v à niji — i), les susdites formules de transformation sont évidemment

((5) p«,= A|i.a;-Mv=y/(.r).

En premier lieu, les trois courbes (j)/=: o passent par tous les points doubles et cuspidaux de F = o, car précisément, six est un point double de la courbe A;^.o,\4=o, les trois grandeurs ^i{x) s'annulent, et nous avons vu qu'alors F a un point double en x. Dans nos formules générales pour la transformation unidétcrminative (p. 8), nous devons, en conséquence, poser