r- nin -+- n

Il nous reste maintenant à chercher le nombre <t des points simples de F par lesquels les trois courbes 0'/:= o passent simultanément. Parmi les courbes K,, en nombre doublement infini, il y en aura une infinité simple qui posséderont une tangente double, et les points correspondants x formeront une courbe P = o qui s'obtient par élimination des «/ entre les équations

et est conséquemment de l'ordre 3m(« — i)-'. Il existera de plus sur P un nombre fini de points x par lesquels passe la tangente double de la courbe correspondante K„. Ces points sont situés en même temps sur F = o, car, pour eux, deux des n rayons correspondants de la coïncidence principale se confondent avec la tangente double, et à leur égard ont lieu simultanément les trois équations

car la langenLe double doit être considérée comme branche comptée deux fois de la courbe du v'*-'"^ ordre A^X^^o. Les cowbes (s^i passent donc toutes trois par les points ainsi caractérisés. Le nombre de ces points se détermine ainsi qu'il suit. L'équation de la courbe enveloppée par les tangentes doubles s'obtient par élimination des Xi entre les équations (17); elle €st donc de la classe 3/7i^(/7 — i). Nous avons, en conséquence, sur la courbe P = o entre les points x et entre les points de rencontre j de la tangente double correspondante vine correspondance

Le nombre des points cherchés de P =^ o, et par suite aussi le nombre des points simples de F = o qui sont communs aux o^, est donc égal à

On doit enfin observer que les courbes cp/=:o touchent les tangentes de rebroussement de F = o aux points de rebroussement. Gomme, en effet, d'après ce qui précède, là courbe F ^ Aj^.a;^= o a elle-même un point double en un point double de la courbe K„ qui répond à x, les grandeurs A|^„)l,[p *X/ et Afp~*A/X^ sont proportionnelles entre elles, et, par conséquent, on peut aussi remplacer les équations (i5) par

Si maintenant, pour un point de rebroussement x de F, les dxi sont déterininés par l'équation i^f/^= o, c'est-à-dire par

Ar' -^;r' [ f( /^ - ^ ^ ^L- -^i + » y--^ a^ a.^ a,/^ x^^. -i- v ( v - i ) a^ .i,f,,,] = o,

où les quantités i>i désignent les coordonnées de la tangente de rebroussement, la tangente de <I> qui répond à x est déterminée, d'après (i5), par

ou, d'après (19), par

p' a, = A%-KV-' [( a — I ) Arf^ .l>^ + V A^ A,,/^] A/.

Nous avons, en conséquence,

( p' a -i- pv ] ttfij. =: v^Ij. et p" «/ = i>,/j. . Vi r— o.

De fait, ces dernières équations expriment que les courbes c&,(a:) = o comprennent aussi le point a:-{-dx, c'est-à-dire touchent la ligne Vx^ o en x. Dans nos formules générales, pour la transformation unidéterminative (p. 8), nous avons donc à prendre le nombre a égal à la somme du nombre (i8) et du nombre des points de rebroussement

( 20 ) (7 = 3m[n — i)[m -h /i — i) -\- 'i[n — 2 ) ( /w- H- itin H- « ) .

Par suite enfin, la classe de <i>, eu égard à (i6), est égale à

(21) ( IX -f- V ) A' — 7 — 2 T =: m- -+- 2 m/i — m -i- n ( * ) .

Par conséquent, comme la classe et le genre de la courbe 4> = o sont connus, on peut aisément calculer le nombre de ses tangentes doubles, car il ne se présentera pas, en général, de tangentes d'inflexion; nous ne développerons pas toutefois ici ce calcul.

Par interversion dualistique des résultats acquis, on obtient les pi'opriétés des courbes

F'= o, lieu (enveloppe) des tangentes d'inflexion des courbes intégrales, ^'=^ o, lieu de leurs points d'inflexion.

La première courbe est de la classe [n — 1 ) ( >. /z -h /» ) , le nombre

(') Ce nombre peut aussi se trouver de la manière suivante. Sur toute ligne n menée par j sont situés m points correspondants x de la coïncidence principale, savoir les points de rencontre de u avec la courbe X^:-^ «■c'(a''7")"= o; de chacun de ces m points partent « — i autres rayons f de la coïncidence principale; on obtient donc une tangente de * passant parj si une ligne u se confond avec une des m{n — 1 lignes correspondantes r. Or les lignes i» enveloppent une courbe qui sobtient par élimination des x entre les équations

a^.' {oLxj )" =0, v^.= 0, a'j.'^ v'I — o,

et est par conséquent de la classe (m-f-«)*. Mais de cotte courbe se sépare le pointj' comptant m fois, et elle a en outre un point multiple d'ordre n en^. On peut donc lui mener de j encore ( ot -1- «)' — m — « (« — i) — m' -f- •? mil — m -)- // tangentes, et ce nombre est par suite Ja classe de <r.

398 TOME lir. — CHAPITRE II.

de ses tangentes doubles est égal à

et le nombre de ses tangentes d'inflexion égal à

3[m — 9.){/i'^-h nm -\- m). L'ordre de 4>' est enfin donné par le nombre »^+ lum — n -\- m.

On peut en déduire les autres nombres pliickériens des deux courbes, puisque leur genre est le même, et que *'= o n'aura pas, en général, de points de rebroussement.

Nous avons ici considéré en premier lieu les courbes F et * dans leur rapport avec l'équation différentielle de la coïncidence principale. Indépendamment de ce point de vue, F et 4> peuvent évidemment être envisagés comme covariants ou conlrevarianls du connexe y=o, ou aussi de la coïncidence principale de ce dernier. Mais, comme l'équation difFérenticlle des courbes intégrales est liée inséparablement à la coïncidence principale du connexe, on pourra parler aussi bien d'invariants fonctionnels de l'équation diff'érenlielle que d'invariants fonctionnels de la coïncidence principale, et les formes F, <î>, F', ^' nous en offriront les exemples les plus simples ( ' ). Ainsi s'ouvre un nouveau point de vue pour l'étude des différentielles algébriques : on ne se bornera pas à essayer leur intégration, mais on consacrera une partie de son attention à l'étude de leurs invariants fonctionnels, c'est-à-dire à la question de savoir ce qui, dans la théorie des équations différentielles, dépend des transformations linéaires, et ce qui demeure indépendant de ces transformations.

Mais, ces idées une fois acquises, on ira encore plus loin, et l'on fera intervenir les transformations unidéterminatives générales, telles qu'elles ont été brièvement considérées plus haut (p. 3-6 et*

(') Les expressions dont il s'agit ici sont difTérenles àv celles que M. Halphen a appelées invariants différentiels {Sur les invariants différentiels. Thèse pour le doctorat; Paris, 1878). Ces derniers sont les premiers membres des équations différentielles qui se reproduisent sans altération quand on effectue sur les variables une substitution honiographique quelconque.

LES COSSEXKS. Sq«)

siiiv.), à la place des transformations linéaires. Or nous devons l'aire observer que toute transtbrnialion unidéterminative de la forme

( 2?. ) 0 >v " y,, [.r. II) , «rc/ = 4-, [a:, u) ,

qui change le connexey"( j:, m) = o en un connexe F [j, v) = o, ne change pas par là même la coïncidence principale du connexe /en la coïncidence principale du connexe F, car, pour la coïncidence qui provient de la coïncidence principale de/", la condition i^= <» n'est pas nécessairement satisfaite en soi. La coïncidence principale de F tire au contraire son origine de la coïncidence détachée de J=o par le connexe» E(p/4'/= o. Les éléments de la coïncidence principale qui sont formés dans^^^ o par les points et les tangentes d'une courbe xi"^) ^^ ^ deviennent donc, en général, les éléments d'un Coupée de courbes dans F = o. Si, cependant, la substitution (a«) est de telle nature qu'en vertu âe f= o la condition M.t= o soit transformée en la condition i>y=o, la coïncidence principale de / se change en la coïncidence principale de F. Le couple de courbes provenant d'une courbe X=o a donc actuellement la propriété que toute tangente de l'une des courbes du couple passe [)ar le point correspondant de l'autre courbe. Mais si ces deux dernières courbes doivent se confondre, c'est-à-dire si les points el les tangentes d'une courbe yj^x) = o doivent se transformer en les points et les tangentes d'une courbe X(j') = o ( ' ), les deux condilions Mx= o et u,ix=^ o se changeront respectivement, par suite de notre transformation, en Vy= o et Vdx^= o, en vertu def= o. (l'est donc dans ce cas seulement que d'une courbe intégrale du connexe f dérive une courbe intégrale du connexe F; c'est, par suite, ce cas seulement de la transformation qui présente de l'importance pour l'éff nation différentielle en. connexion avec la coïncidence principale de f.

C'est seulement par rapport à ce cercle étroit de transformations algébriques relatif à l'équation différentielle considérée en ellemême que l'on peut parler an genre d' une équation différentielle, en tant que l'on applique nos considérations antérieures sur les

(') Cette dernière pont en particulier se composer d'un point et des rayons qui y passent; elle n'est, il est vrai, plus représentaMe alors en coordonnées points. Dans ce cas, le point se présente donc comme une intégrale de l'équation diflereutielle.

coïncidences à la coïncidence principale de /(p. 382). Le genre est alors un nombre qui reste toujours invariable dans les transformations précitées.

11 va de soi qu'on peut établir aussi, pour la coïncidence principale, les différentielles formées plus baut, en remplaçant le connexe 9 = 0 par le connexe identique Ux= o. En posant, de plus, (rta),= Ci et [b[ù)i= yi, on obtient simplement

(=) '.T.d.rd' x\u., &.[iidu(l' it)cr

Nous nous proposons maintenant d'établi^' les conditions auvquelles doivent satisfaire les fonctions 9/, «|/, qui figurent dans (22) si les courbes de coïncidence principales de /'doivent se transformer en celles de F. En premier lieu, les conditions r, -- o, ^Vj=^ o donnent immédiatement les équations

2 ep,-j/ ,•:;=: o Ot 2-^,-^/y/=:i; O.

Toutes deux doivent avoir lieu comme conséquence des équations fz=z o, i/x= o. f^a première conduit à l'identité à satisfaire

La seconde équation développée donne

;,4, yy,,,i;r,,,,.,^,,yy^,,„^„.

Or, comme en même temps ont lieu les équations

^.l'idlli--- o, ^.T-iUi -:^ G, ^.Tif-^rE^:^ lllf'=^ O,

on peut poser

On déduit ensuite de /= o par différentiation

, 26 ) i/;, dXi + 1/;,. du^ :r^ o,

et de là résulte, en vertu de (aj), puisque ^u,f'ui= o, une détermination de X seulement, tandis que x reste indéterminé. Mais, en conséquence de l'équation

0 = 1 iiif!„ ~ ;/,; X d.r. ] ,

LES CO.'tNEXËS. /|01

on peut aussi poser

(27) c/j", = •/. ' jci + ).'/;,.

Si l'on porte de même ces valeurs dans (26), il reste

Nous exclurons d'abord l'évanouissement du second facteur. Cette circonstance ne se présentant pas, on a X + X'= o, et l'équation (24) se change, à cause de (aS) et (27), en

Par conséquent, si l'on a recours à (23), il devra encore exister une identité de la forme

Les équations (23) et (29) renferment toutes les conditions auxquelles les fonctions ip/, ^i doivent satisfaire; on peut, par suite de leur existence, exprimer immédiatement deux de ces fonctions par les autres.

La forme de la dernière équation est dissymétrique par rapport aux (fi et aux ^i. Mais la circonstance que ces fonctions doivent être, en réalité, soumises à des conditions symétriques résulte du caractère dualislique démontré plus haut d'une manière générale pour les équations diflerentielles, et par le fait on déduit aisément des équations (23) et (29) réunies la condition qui est symétrique à (29). Si l'on soumet, en effet, l'équation (^3) au procédé

àf à df^ d\ ou,, àxk dx,, du,,)^

on obtient, dans le premier membre, deux parties dont l'une est le premier membre de (29), tandis que l'autre en dérive par permutation de cp et de i|< ; mais, dans le second membre, on obtient la forme K"/"-}- M"f/x5 c'est-à-dire aussi l'expression symétrique à (29) semblablement représentée. c. q. f. d.

Les conditions, pour (jue, par la transj'ormalion (22), l'équa-

Ci.EUSCii. — GeomcCi ie, lil. . 20

lOME III. — CHAPITUE II.

courbes intégrales de J'= o se change en

tion différentielle des

l'équation différentielle des courbes intégrales de ¥ = o ( ' ) sofil

donc sous forme symétrique

2a Zu^' \0^k àuf,

dx,, Ou,,

ou,, dx,,