EL

du,, dx,,

Il ne nous reste plus qu'à étudier le cas exceptionnel où déjà existe une équation

dont le premier membre entraîne à sa suite par son évanouissement l'existence de l'équation (28). Nous nous proposons de montrer que dans ce cas il n'y a pas d'équation diß'erentielle proprement dite.

Soient d'abord |j, ti, ^3, "/ij, 'fi-i, >Î3 des grandeurs quelconques; on voit que le produit

•^2 fû.

ih /:.

s'annule pour tous les éléments de la coïncidence, car, dans le déterminant qui résulte de la multiplication, quatre éléments qui forment un rectangle s'annulent dans notre cas. Il faut donc que l'un des facteurs du produit précédent soit nul, c'est-à-dire que l'on a, puisque les quantités | , yj sont quelconques, ou bien

( 3 1 ) x.j;,^ — ■■^ifu, = o, ^3/,;, — xj;,^ :

toujours dans la supposition dcy= o, na.=- o.

(') On peut aussi demander que cette propriété appartienne à la transformation (32) par rapport à tout connexe /= o. Cela donne ce qu'on appelle les transfonnationi de contact. (Voir sur ce sujet la fin du présent Volume.)

Considérons actuellement l'équation

qui représente en fonction des variables y le produit des n droites issues de x dans la coïncidence principale, et qui donne naissance à l'équation différentielle si l'on remplace les ji par les dxi. Par la substitution «/= {^j)ij qui satisfait identiquement à la condition Uu:= o, les équations (3i) se transforment en

^ àfi df^ o)/3

Ces équations doivent avoir lieu pour tous les systèmes de valeurs x, j relativement auxquels on a Xj= o. Si donc Xj est irréductible, elles sont impossibles, car les premiers membres des équations (33) sont d'un degré moins élevé que X^ et, par conséquent, ne sont pas divisibles par Xj. Mais si Xj est réductible, égal, par exemple, à t|;.;(. . . , (];,;(,... étant irréductibles, les équations (33) se transforment en

dy d^

Pour des valeurs satisfaisant à l'équation d = o, cela donne

■'■■■ ôyr"'

il faut donc, ou bien que l'un des facteurs X'* • • ^^^'^ égal à ^i, ou bien que toutes les expressions - — s'évanouissent. On reconnaît ainsi que Xj doit avoir la forme

X, ne renfermant plus les j . Si donc

il vient i

pour la forme la plus générale du connexe en question.

Dans un semblable connexe (/«, 2 a), à tout point x correspond une courbe qui a, en ce point, un point multiple d'ordre o-, à toute droite u une courbe qui est touchée par cette droite en p points, tandis que ses autres m — 'iç, points de rencontre sont situés sur une courbe fixe a;^ = o. La coïncidence principale du connexe se compose, en ce cas, de la courbe singulière ^. = o, enuisagée comme lieu de sommets de faisceaux, et de la coïncidence principale [comptée deux fois) du connexe 4'* = o.

Le cas dans lequel les équations (Sa) se présentent à la place de (3i) est simplement la contre-partie du précédent au point de vue dualistique.

On obtiendra les formules pour la ti^ansformalion unidéterminative sous forme non homogène, si ^, 7; désignent les nouvelles variables, en posant, dans les formules précédentes, ^95=^^3, y-^=in^^. On a alors

o, (pj, (po étant des fonctions doublement homogènes des séries .r, j) , I, — /;, I, xp - — j (p. 38-). La manière la plus simple d'obtenir les équations pour les Vi consiste à former --^ et à substituer à

1 ex])ression -—^ qui y ligure sa valeur déduite de — = o. L équation/=o se change par là en une équation entre |, y;, — • Nous

avons donc sous les yeux la transformation la plus générale dans laquelle les nouvelles variables et leurs premières dérivées sont des fonctions des anciennes variables et de leurs premières dérivées.

V. — Exemples relatifs à la détermination de courbes de coïncidence principale.

Dans ce qui suit nous nous proposons de donner quelques exemples d'intégration de l'équation différentielle des courbes de coïncidence principale. Ces exemples présentent un intérêt parti-

culier, en ce qu'ils sont pour partie en connexion avec d'autres recherches précédentes (').

I. Il a déjà été observé plus haut (p. 35i) que le connexe linéo-linéaire, c'est-à-dire le connexe(i, i), fournit immédiatement la transformation collinéaire. Or, comme cette dernière peut généralement être prise (t. I, p. 326) sous la forme canonique

le connexe général aj:iu= o peut aussi être réduit à la forme canonique

Mais on tire de là l'équation différentielle {-)

•/.,.ri(.r2<^/j:3 — .T-^d-r^)-^ -/.^x^ix-^dxy — x^dx^) + v.^x^ix^dx^ — J-2f/.r,)n= o,

OU, après une transformation simple,

, . r/,r, dx.-> dx^

Xi .7 2 ./ 3

Par suite, l'équation des courbes de coïncidence principale du connexe linéo-linéaire est, en général, de la forme

Elles sont donc, en particulier, algébriques si les grandeurs //sont entre elles dans le rapport de nombres entiers. Nous reviendrons encore sur ces courbes en étudiant le connexe (1, i).

II. Soient quatre coniques indépendantes les unes des autres, données par les équations

(') D'autres exemples concernant quelques cas particuliers de la coïncidence principale du connexe (i, 2) ou (2, i) ont été donnés récemment par MM. DAniioux et FouRET {Bulletin des Sciences mathématiques et astronomiques, 2° série, t. Il, et litilletin de la Société inathématUique de France, t. VU).

(*) Cette équation différentielle n'est autre que l'équation dite de Jacoiii; en offft, pour X, = x, ar, = >-, X, = r , elle devient

\.{xdy —ydx^ — M(fj+ N</.r = o, t dans laquelle L, M, N désignent des fonctions linéaires. {Voir Jacobi, Journal de Crelle, t. 34 ; Serret, Cours de Calcul différentiel et intégral, Paris, 18G8, t. Il, p. ^25; FouRET, Comptes rendvs des séances de l'Académie des Sciences, i5 juin 187^ .)

4o6 TOME III. — CHAPITRE II.

Dans le système de courbes triplement infini

( I ] •''-1 «!■ + y-2 1>% ■+- y., 4 + y-, dl=:o,

il existe un nombre doublement infini de courbes qui se décomposent en deux lignes droites, et, pour préciser, il y a pour chaque point du plan un couple de droites dont le point double se trouve en ce point lui-même, fait dont on s'assure aisément (et qui résulte au surplus des développements algébriques qui suivent). Tous ces couples de droites envelopperont un système de courbes (') dont deux passent par un point quelconque; nous nous proposons d'établir d'abord leur équation différentielle et de l'intégrer ensuite.

Toute ligne u du plan complétée par une autre ligne u forme un couple de droites de notre système (i). L'équation de la ligne u se trouve par élimination des grandeurs y.i et i^i entre les équations

y-if^u

Jüc =

étant égal à

XiXk, . .

. ) SOUS la

form

Cl,

.rj

Cette équation représente un connexe (i, 2); pour u constant, elle est l'équation de la droite t^ qui correspond à u; pour x constant, elle donne donc une conique comme enveloppe des lignes u dont les lignes correspondantes (^ passent par x. En particulier, les deux tangentes menées de x à cette conique, c'est-à-dire les deux lignes de la coïncidence principale qui répondent à x, for-

(*) Ce système de courbes a de l'importance pour ce qu'on appelle la surface de Steiner; voir, pour la suite, Clebsch, Ucber die Steiner'sche Fläche. (^Journal de Çrelle,t.%l.)

ment celui des couples de droites de notre système dont le sommet est situé au point x lui-même. L'équation qui dérive de notre connexe (2) par la substitution Ui^{xdx)i est, par conséquent, l'équation différentielle des courbes que nous cherchons.

Celle-ci, établie directement, apparaît sous une forme qui ne permet pas de reconnaître immédiatement son intégrale ; on l'obtient sous un aspect plus approprié au but par le raisonnement suivant. Il existe, comme cela est connu par des développements précédents (t. II, p. 107, et t. I, p. 368) un système tangentiel simplement infini de coniques ( * )

qui sont toutes harmoniquement inscrites à toutes les coniques du système (i), de sorte qu'indépendamment de X ont lieu les équations

(4) nl-\- la'l =0, bl-\- 1 hj = o, c^-{- Ic^ = o, ^^ + Idf = o.

Si maintenant un couple de droites doit être harmoniquement circonscrit à toutes les coniques (3), c'est-à-dire appartenir au système triplement infini (i), cela signifie que les lignes u et ^ sont polaires conjuguées l'une à l'autre relativement à toutes les courbes (3), c'est-à-dire qu'on a les équations

Si l'on élimine entre elles et entre l'équation ^^x= o les quantités p»/, on olîtient le connexe (2) sous la forme plus simple d'un déterminant fonctionnel

[aSx)iuu^= o.

Mais les courbes de coïncidence principale de ce connexe nous sont déjà connues par un exemple précédent (p. 38-); ce sont précisément, les conif/ues du système (3). Ces dernières forment donc le système de courbes cherché.

III. Nous passons à un exemple dont l'intérêt est accru par la circonstance qu'il se réfère à un connexe/" := o à l'égard duquel.

(') Sur les autres relations algébriques et géométriques entre les systèmes (1) et (3). i)oir aussi les Mémoires de Smitii et Rosanes, cités t. Il, p. 5/|8.

4o8 TOME IM. CHAPITRE II.

par suite de f = o et Ux=o, la condition ci-dessus mentionnée \ — — - — :== o est satisfaite. Soit donnée une conique a'].^^b-,.^cl=o

^ ÔJCi ou, ~i X X X

et une droite (^^1;=: o la rencontrant en deux points séparés (* ). En vertu de considérations précédentes (t. I, p. gS), la conique

(5) (« + lY[ouvY .bl— /\a . [auv] ajc . [buv] h^=: o

représente le lieu des points x dont la ligne de jonction au point de rencontre de u et u rencontre la conique «'^.= o, de telle sorte que les points x et [u^) déterminent avec les points d'intersection de la conique le rapport anharmonique a. Si donc nous ajoutons la condition iix= o, sur la ligne u se trouveront déterminés par (5) deux points formant avec x et [in^) le rapport anharmonique a. La même chose a lieu si nous transformons encore l'équation (5) sous le bénéfice de la supposition 11^^=0. Or on a identiquement

[bu(>]a^=2 [aiw]bx — [ahv]u^-{- [abii]v^,

et ensuite, d'après l'identité (IV) (t. I, p. 3a2), à cause de

■?.[abu] [avu]b^v^= [abiifv^.

Par conséquent, l'équation (5) se transforme en

(6) (« — \f[auvY.bl.-{- 7.a[nbuYv],z=i o.

On reconnaît immédiatement que chaque courbe C2 et Ko de ce connexe (2, 2) appartient au faisceau «^-t- >.ç'^.= o, c'est-à-dire est tangente à la courbe /7^= o en ses points de rencontre avec Vx= O. Il existe donc, dans le connexe (6), un seul système simplr??2ent \nC\m de courbes Ca, et de même un seul système 5î/7?/^/e- 7nont infini de courbes Ko identique au premier (t. I, p. 147)- ^ un ensemble simplement infini de points x doit donc correspondre la même coui^be Ko et à tout ensemble simplement infini de droites u la môme courbe Co. Comme, d'ailleurs, chaque droite du plan est touchée par une seule conique du faisceau, tous les points auxquels correspond la même courbe

K^^^2(abn)^ — l[arfc]^= o, (') Foir, pour ce qui suit, le Mémoire de Harnack, cité p. igô et 2t5.

LES CONNEXES. /^Og

en vertu de (6), forment la conique (a — i)^^;.-j- aX('^=: o, de sorte que par là se trouve donnée une association par couples des coniques de notre faisceau. Mais, parmi le système des connexes (6), on doit surtout remarquer celui obteny pour a— - i

(7) f^0.[avu]Hl-.{abuY.l^-O.

On a, en effet, l'identité

/"+ '3.[abi>) [a(>u)b^.u^= 2[(ar«)/ï^]',

laquelle exprime, en vertu de nos explications générales (p. 4ö3),

que, par suite de /— o, i<^r=o, la condition N ~- -^ = o est

satisfaite, que, par conséquent, dans notre cas, tout point x est situé sw la courbe Ko correspondante, et que toute droite u touche la courbe Co correspondante. Il suit en même temps de là que les courbes de coïncidence principale du connexe (7) comptées deux fois se composent de celles du connexe (^avu)aa:= o, c'est-à-dire (p. 387) précisément des courbes C2 ou K.^ du connexe (7).

L'équation (6) peut aussi être déduite d'un certain système d'équations au moyen d'un procédé particulier d'élimination, et cette manière de l'obtenir conduit immédiatement à l'établissement de ses courbes intégrales par un raisonnement que nous exposerons incessamment avec quelques détails. Si l'on pose, en effet, dans (6), Xi= {udu)i, on obtient l'équation différentielle

(8) {a — iy-{aiwf [buduy- -h :tu{abuy{vuduY= o,

ce qui n'est autre chose que le résultat de l'élimination de la quantité D entre les équations du second degré en D

[-'DK{abuY{cm-y--]-D.[abiiy-[vndu) H- [auduy—o,

Mais la première des équations (9) s'obtient encore par élimination des Xi entre les trois équations

D.ax[af'u] -h {du)^=: o, ol.=: o, u^z=o;

et nous pouvons, en conséquence, lui assigner facilement un sens.

4lO TOME m. — CHAPITRE II.

En effet, la quantité D est définie par la première des équations que nous venons d'écrire comme étant la différentielle de troisième espèce de la courbe primitive «^^ o, différentielle dont les infinis sont situés aux points de rencontre de Vx=^ o avec a^= o, car, en vertu de Mx= o et u^^H- (^du)x= o, on a (p. 189)

U équation en question donne, d'' après cela, la valeur de la différentielle D aux points de rencontre de la courbe primitive ^ = 0 avec Ux^= o, si l'on marche d'une ligne u à une ligne voisme u-\-du. Par conséquent, (8) est la condition pour que D et

D soient en même temps racines de la première équation (9),

c'est-à-dire pour qu'entre les racines D< et D2 de cette équation existe la relation

Dg+aDj— o,

OU, si Wi, w^ sont les valeurs de l'intégrale w = /D aux points de rencontre de u avec «^=0, pour que l'on ait l'équation

(10) «»2 + afVi^ C,

OÙ C désigne une constante d'intégration.

Actuellement, on peut, comme on sait, représenter les points de la courbe a^=:o comme fonctions rationnelles du second degré d'un paramètre /. = e'", çv =/D désignant de nouveau l'intégrale logarithmique, c'est-à-dire que nous pouvons, pour un point x de Co, poser

les (fi étant des fonctions simplement périodiques. Si maintenant entre les deux intégrales w^^ w^ appartenant à deux points x^j de C2 existe la relation (10), il vient (7j'/= ©/(C — açv), et les coordonnées de la ligne joignant les deux points sont

(11) p«i=Ç>2(«').y3(C- Kfl')— ?3("')-?2(C — V.W),

Mais ces lignes de jonction enveloppent, en vertu du raisonnement par lequel nous avons déduit les équations (8) des équations (9), les courbes intégrales du connexe (6). Les équations (11) donnent

donc la l'eprésentation paramétjnqiie des courbes intégrales du connexe (6); si l'on élimine entre elles les grandeurs w, on obtient l'équationdes courbes intégrales elles-mêmes. On reconnaît immédiatement que ces dernières sont algébriques (et alors du genre zéro) si a désigne un nombre rationnel, qu'acnés sont, au contraire, transcendantes si a est irrationnel. Pour toutes les valeurs de a, la courbe ponctuelle a-^= o et la ligne double v^=- o donnenlune intégrale particulière de l'équation (8) en coordonnéespoints; la courbe tangentielle (abuY = o et le couple de points (^ai>u)-= o, une intégrale particulière en coordonnées-lignes.

IV. On aperçoit immédiatement la connexion qui existe entre ces dernières explications et nos recherches antérieures relatives à la géométrie sur une courbe du troisième ordre (t. II, p. 877 et suiv.), car alors, comme dans le cas actuel, nous avons utilisé les relations entre les couples de points sur une courbe pour déterminer les figures-enveloppes des lignes joignant deux points correspondants (liés par une relation transcendante). Nous avons représenté, dans le cas que nous rappelons, les coordonnées Ui de la tangente comme fonctions elliptiques d'un paramètre, et pour la représentation correspondante sont intervenues dans III, d'une manière analogue, des fonctions simplement périodiques. Or, de même que maintenant une relation entre les valeurs paramétriques de deux points de la conique permet la détermination des courbes intégrales d'un certain connexe, de même nous pouvons aussi emplo)'er, dans les courbes du troisième ordre, une relation correspondante pour l'intégration de certaines équations différentielles algébriques. Il y a possibilité de le faire en établissant au préalable l'équation qui fournit les valeurs de la différentielle de première espèce

{cxdv)

aux points de rencontre d'une ligne Ux= o avec la courbe primitive al.^= o, en supposant que les points x -f- dx soient situés sur une droite voisine u-\-du, équation qui correspond alors exactement à la première des équations pr(>cédentes (9) (').

(') Voir, pour la suite, Harnack, Math. Annalen, t. IX, p. 3i et suiv. et p. 318 et

4l2 TOME Iir. — CHAPITRE II.

Pour établir Féqualion précitée, noiis avons à éliminer les grandeurs Xi et dxi entre les équations suivantes [voir p. 194) :

Au moyen de ces dernières équations nous pouvons chasser de la première les dxi en posant c/= {ru)i, les 77 étant complètement arbitraires; il vient alors, en vertu de Ux= o,

[cxf/x) = — r^{du)^.

Nous pouvons ensuite remplacer la seconde et la troisième équation par une autre formée d'une manière analogue à la première, et dans laquelle seulement les grandeurs arbitraires Si figurent au lieu de 77, car précisément les deux équations ne sont équivalentes que si a^= o et a'^a^x^ o. Finalement donc, le problème revient à éliminer les a?/ entre les deux équations

et entre Ux^= o. Le résultat est, comme on sait, donné par l'équation [voir t, I, p. 35o)

(l3) [pp UY .[tt' uY [pTllV ,[p' l7'uY= o.

Toutefois, au lieu de calculer directement, d'après (12), l'expression qui figure dans le premier membre, il est mieux de procéder delà manière suivante. Sur la ligne 7/^ = 0 sont représentées par ses points de rencontre avec les courbes p^= o et o-^= o deux formes binaires quadratiques; le résultant de ces dernières doit s'annuler si l'équation (i3) a lieu, mais ce résultant se confond avec le discriminant du déterminant fonctionnel des deux formes (t. I, p. 270), et les deux points qui représentent ces dernières sont déterminées sur u^ par les intersections de la jacobienne [pGu)px<yx'=- O- Si donc le déterminant cité doit être nul, la conique [p(7ii)px0x= o devra être touchée par la ligne u^=o, ou, en d'autres termes, l'équation (i3) est identique à l'équation en

suiv. Dans le Mémoire déjà cité du même auteur {ibid., p. 407), on voit, entre autres choses, comment l'équation précédente dérive de celle que nous avons à considérer maintenant si la courbe C, se décompose en une conique et en une droite.

coordonnées-lignes de cette dernière conique rapportée aux coordonnées iii. Or, dans notre cas, on a, d'après (12), 0 étant égal à

— uA j{ rs du )[du)^-\ <7^ ( eus ) ( au du ) D •

Négligeant le facteur [rsu) qui renferme les grandeurs arbitraires /•, 5, nous avons à former, en vertu de Ma== o> l'équation en coordonnées-lignes de la conique

et, eu égard aux équations (5) et (6) de la page 280, t. II, celle-ci est donnée par

Y-= {abuY[ceuYacu][beu).

La circonstance que dans l'équation (i4) I0 coefficient de Ddoit s'annuler était à prévoir, d'après le théorème d'Abel; car ce coefficient est proportionnel à la somme des trois valeurs de D aux points d'intersection de a^. = o avec iiu= " ( ' )•

Actuellement nous serons ramenés de l'équation (i4) à notre point de départ par les réflexions suivantes : si l'on suppose entre les racines D,, Do, D» de celte équation, en outre de l'équation du théorème d'Abel D, -f- Do -f- D3 := o, une seconde relation linéaire

///iDj-f- W2D2+ '"3^3^^ o

(dans laquelle les quantités riii désignent des nombres quelconques rationnels ou irrationnels), o^u bien encore, en ayant égard à

{') Foir la noie 2 de la p. 195.

4l4 TOMli III. — CllAPnnE 11.

la première relation, la suivante

(i5) Di — pD^^: o avec p =

en même temps que (i4) sera satisfaite la eondition

1 6 F/' - H , — 0 3 — G , (7 étant egal ;i - • '-— -^ ^

où l'on peut aussi substituer à p les valeurs

sans changer la valeur de a. L'équation (i()) est l'équation différentielle relative aux courbes de coïncidence principale d'un connexe (6, 6) dont l'intégration est ramené en vertu de (i5) à une quadrature, ainsi qu'on le reconnaît immédiatement par analogie avec l'exemple précédent.

Nous pouvons encore écrire l'équation du connexe (6, 6) sous une forme un peu différente. En effet, sur la ligne «^.= 0 se trouve déterminée par^ =; o une foi'me binaire du troisième ordre dont la forme hessienne est déterminée par la conique 0 = o et dont le covariant cubique l'est par la courbe

Q EHS ( ahu)- ( eau ) c^. b^ -= o

(t. II, p. 278 et suiv.). Or, entre la forme binaire primitive /*, sa forme hessienne A, son invariant R et son covariant Q, existe l'identité (t. I, p. 277)

Entre les formes ternaires/", 0, F et Q existe donc aussi, en vertu de iix^= o, l'identité

(17) e3 + Fy2^__2Q5,

et par conséquent (16) donne aussi l'équation différentielle des courbes de coïncidence principale pour l'autre connexe

LES CONNEXES. ^l5

Nous pouvons donc finalement énoncer le lliéorème suivant : •

Les coordonnées des points d'une courbe fondanienlale du troisième ordre étant représentées par des fonctions doublement périodiques '^i[v) d'un paramètre u, on obtient la représentation paramétrique des tangentes des courbes de coïncidence principale du connexe (18) en composant auec les coordoJinées

de deux points de la courbe fondamentale ayant pour arguments v et pv -\- c les coordonnées Ui= {xj-)i de leur ligne de jonction; le connexe correspondant est alors caractérisé par lu xmleur de

p \ou de — (' + o)> 6t de leurs inverses et la constante

d'intégration est donnée par c.

Pour des valeurs générales du module, les courbes de coïncidence principale ne sont algébriques que si p est un nombre lationnel, et, ainsi que nous l'avons vu précédemment (t. II, p. 882),

elles sont de la classe 2(7«- -h mn -\- n-) si p =^ —, m el Ji étant

des nombres entiers. Elles sont donc, en particulier, de la sixième classe pour p =■ i, c'est-à-dire pour le connexe Q = o (*), et les courbes de coïncidence principale de ce dernier présentent, à l'égard des systèmes de couples de points de Steiner sur la courbe prinùtii^ef^i o, la relation exposée ci-dessus (t. II, p. 38i). Toutefois, pour p = i, on doit encore tenir compte, comme solution improprement dite, de la condition F = o, car le discriminant de l'équation (i4) est en premier lieu égal à

F(03+F/^) = -2FQ^

Pour le connexe 0 = o, il vient en particulier p--{- p -h 1 = g,

(') Pour ce qui concerne le problème d'élimination qui fournit l'équation de ce système de courbes en coordonnées-points et en coordonnées-'lignes, voir Harnack, loc. cit., p. 226 et a33.

4l6 TOME ill. — CHAPITRE 11.

et p est en conséquence égal à une racine cubique imaginaire de l'unité ; les courbes de coïncidence principale sont donc, en général [c'est-à-dire abstraction faite de valeurs particulières du module ), transcendantes.

Sur toute tangente d'une courbe intégrale du connexe Q =:= o, le point de contact de cette tangente et ses trois points de rencontre avec/.= o sont situés harmoniquement, et, de plus, le point de contact de la tangente d'une courbe de coïncidence principale de 0 = 0 est équianharmonique par rapport aux. points en question àe J =:^ o (t. I, p. 280). On peut, d'une manière tout à fait analogue, caractériser aussi les courbes intégrales d'un connexe quelconque du système (18) par une relation anharmonique. Si, en effet, sur le terrain binaire, un point ayant pour coordonnées X(=:o, X2=o doit foi'mer avec les points-racines d'une forme cubique a^= «o''-. H- 3rt, z^KoH- 3<7o)i,x^-f- a3)ci| le rapport anharmonique a, on a à établir la condition pour que la forme biquadratique correspondante possède le rapport anharmonique a, c'est-à-dire qu'il faut former pour cette dernière forme les invariants i et 7. On trouve, pour ces derniers (t. I, p. 875),

i=z~[a\ — a.2aQ\ y = — g ( 2rtJ ^ a^ ^3 — da^ciia^).

Mais les covariants A et Q de a^ se changent en ces formes, à part des facteurs numériques, si l'on y fait xj = i , Xo = o ; donc, comme nous avons affaire à des relations invariantes, nous devons, d'une manière générale, poser

M désignant une grandeur indéterminée, et la condition cherchée

devient (' )

Cette équation est enfin identique à l'équation (18), sous la condition de remplacer A par 0, d'entendre par Q le connexe corres-

(') CeUe même équation se déduit de la tliéorie de la représentation typique des formes binaires. {Voir Clebsch, Theorie der biitüren algebraischen Formen, p. 35 1).

pondant ày= o, de poser a = — p et d'introduire cr au lieu de p. Par conséquent,

Les tangentes des six courbes de coïncidence principale du connexe (i8), qui passent par un point quelconque x, coupent en ce point la courbe /'=. o en trois points qui forment avec x le rapport anhaimonique — p.

Par ce théorème se trouve caractérisée géométriquement la classe entière des connexes dont les courbes intégrales sont ainsi en connexion simple avec l'intégrale elliptique de première espèce d'une courbe du troisième ordre.