VI. — Le connexe du premier ordre et de la première classe

Le connexe du premier ordre et de la première classe a seul été étudié jusqu'ici d'une manière approfondie, soit sous le rapport géométrique [où il représente une collinéation [voir p. 35i)], soit sous celui de la théorie des invariants. Le second ordre d'idées nous donne de nouveaux points de vue pour la théorie des transformations linéaires que nous avons considérée jusqu'ici plutôt géométriquement (t. I, p. 3i i); nous chercherons, pour cette raison, à mettre surtout en lumière les théories algébriques (' ).

Soit

( I ) /= a^ lu^ b^u^^...^^ll aïk UiX^ = o

l'équation du connexe donné, avec aik^aki\ la collinéation correspondante (/étant supposé égal à pUy) est donnée parles équations

( 2 ) p J7 = O/i oc^ -H rt,-2 x^ -H a/3.r3,

ou en coordonnées-lignes (/étant égal à ovx) par la substitution transposée

(«) Voir, pour ce qui suit, spécialement Olebsch et Gordan, Math. y4nnale/i, t. 1, p. 3Jç) et suiy. Il est démontré, entre autres choses, dans ce travail, que les invariants fonctionnels mentionnés plus loin au tests forment le système complet Aq f. Cleiiscii. — Géométrie, 111. 2^

Si CCS équations doivent représenter une collinéation proprement dite, il faut que leur déterminant A ne soit pas nul; le déterminant est donc en toute hypothèse un invariant du connexe (i, i). On peut, d'ailleurs, l'exprimer par des invariants moins élevés, car si nous posons

et que nous ayons égard à ce que symboliquement

«la, «1^2 '^lO'-s

b^Pi hß2 Ihp,

«1^2 Ca' «37),

on déduit de là, en permutant de toutes les manières les couples de symboles ax, eß, cy, et prenant le sixième de la somme,

ahc)[.ßy)

Or tous les autres invariants de f peuvent s'exprimer aussi par les trois invariants du degré moins élevé i, ?, , I2 q"i figurent ici, car le connexe ne dépend que de deux constantes absolues, et ne peut, par suite, admettre que deux invariants absolus, c'est-à-dire trois invariants indépendants les uns des autres. En effet, ^ peut, en général, être amené à la forme canonique (comp. p. 4^5 )

(5) /= •/-iX,Ui+ /.2X2U2-+- -/.3X3U3,

dans laquelle sont comprises deux constantes absolues seulement. Nous allons immédiatement former les trois invariants pour la forme canonique (5); on apercevra en même temps sur cette forme qu'ils sont, en général, indépendants les uns des autres. La méthode la plus simple est d'introduire préalablement les formes mixtes covariantes

on obtient en effet alors, pour les invariants en question, les lois

de formation non symboliques

'^' '-Zo.r,du; ''-Zà^^^' ''~Z^vÄ'

Mais, dans la forme canonique, il vient d'abord, d'après (5)

et (6),

et par suite, d'après (7),

(9) /= y.i+ -/.2+ X3, ii = -A.l-h-/.l-{--^l, i2=-/.l-^ y-l-i-^l.

Nous connaissons, d'après cela, trois fonctions symétriques des grandeurs x,, X2, y.^, et nous pouvons, en conséquence, établir une équation du troisième degré dont ces dernières sont les racines. On trouve, en effet,

xiy.2-)- y-ï-ts-i- ■<'.3''-i

Pour la détermination de Zj, Xj, /.3, on a conséquemment l'équation

que nous avons précédemment (t. I, p. 325) trouvée sous la forme

Après que l'on a déterminé jc,, v-î, X3, on peut aisément établir la transformation qui ramène le connexe /à la forme (5); il suffît, pour préciser, de calculer les produits des quantités X/, Uj au moyen des trois équations (5) et (8). Si l'on désigne le déterminant de ces trois équations par K, il vient

/ K.UiX,= (x2— X3)[(-/2+X3)/— y-^y-a«^— /i],

(12) j K.UjXj=(x3— X,)[{X3-+-X,)/— XjX,//^— /,],

( K.U3X3=(>C,— X2)[{x, + >Cj)/— y.,X2tt^— /,],