CHAPITRE
IV — -"-i --.g A3 — i^A2 — '-s M "3 — '-iM'-i — "aj-
Les équations (12) déterminent les coefficients de substitution cherchés à l'aide des racines de (11), autant que cela est ici possible et nécessaire, c'est-à-dire en ce sens que tous les coefficients de la même fonction X; ne se trouvent déterminés que sauf un facteur commun quelconque dont la valeur inverse se présente dans les coefficients de U/.
Les éléments communs des trois connexes qui interviennent ici f= o,y, = o, Ux= o forment, d'après nos explications générales, un couple de courbes du troisième ordre et de la troisième classe (p. 356) dont la courbe d'ordre et la courbe de classe sont respectivement données par les équations
y-=HEE [a^a:]a^Cxh.,
àf df, dii^
;^ [a bu] itaiiyb.
^ 0-f\ ÔXç^ ÔX.2
Il résulte de là pour la forme canonique, si /- désigne le déterminant de la substitution (12), lequel doit être ajouté ici à cause des lacteurs entre parenthèses (aßx) ou [abu)^
=:7\XiX2X3(-/'.2— •/.3)(-/3— V-i][v-i— Xj),
Chacune des formes cubiques ce, ^|| 5e décompose donc en trois facteurs linéaires qui représentent respectivement les côtés et les sommets du triangle de base. La décomposition de ces fonnes en leurs facteurs (t. II, p. 35o) est, par suite, déjà donnée par la transformation (12).
La signification géométrique du connexe /"< = o est immédiatement visible sur la forme canonique; il représente la collinéation
•/.jX]
•"-iXi
et de même
•^ = r.UiU2U
que Von obtient par une double application de la collinëalion J = o, ce que l'on vérifie sans peine directement. On obtient de même la coUinéation du connexe /2= o qui figure dans (6) et (8) par une triple application de la coUinéation f= o, et ainsi de suite. D'une manière générale, la coUinéation obtenue par l'application h-\- I fois répétée de la coUinéation J= o est donnée par le connexe
'^''~Z^d.ri dui ~ Zàdui
àf dU
Mais il est à remarquer que toutes les ïovraesfh qui prennent ainsi naissance peuvent s'exprimer linéairement par les formes J\ /", et Ux- En effet, toutes les collinéations J\:=o se réfèrent au même triangle de base, mais, comme toutes les collinéations répondant au même triangle de base ne forment qu'un système doublement infini, elles doivent nécessairement être représenlables sous la forme
Pour confirmer ce résultat par le calcul, le mieux est d'avoir recours à une autre forme mixte
ahu^ (aßx).
laquelle, égalée à zéro, représente, comme nous le savons déjà, le connexe conjugué de y= o (p. Sog) ; nous reviendrons, d'ailleurs, incessamment svir son interprétation géométrique. Cette forme g est également exprimable par f fi et ii-c, car nous avons directement
ör„ a^ a^
hn. h^ b^
(,6) ^^[ahu][^^.r) On a ensuite
4^^ 01*1 (JJ-i «J
et si l'on établit la même forme au moyen du second membre d(
!{'>.i TOME III. — CHAPITRR II.
(i6), on obtient, pour/a? eu égard à (4), l'identité
- ( /3 + 2 /a — 3 il, )u^={ /2 — /, )/ — . 2 /fi -+- 2/2. On trouve également, par répétition du même procédé,
- ( /3 + 2 /j — 3 //, )/i = ( /- — h )A ~0.if^-h 2/4 .
et ainsi de suite, ce qui permet de calculer chaque forme fh en fonction de toutes les formes précédentes.
A côté de la série de connexes f/i= o se place une série de connexes gfi=o qui se forment de g comme f h àef^ en sorte que
^ ^ àf! àgn
gh+i ~~ ~
^ â~Ci dui Zu dui dxi
Leur sens géométrique est de même facile à reconnaître. En premier lieu, le connexe g = o donne la transformation inverse de fzzz o, transformation qui, rapportée au même triangle de base, apparaît sous la forme erYi= y.jJtsX,, .... En effet, dans le cas de la forme canonique, on tii-e de l'identité (16), en vertu de (8), ( 9 ) et (10), la valeur de g
~g = •''-2 •''-3 U 1 Xi + Z3 -/ ^112X2 + ■/. 1 ■/.2 U3 X3 ,
et l'on déduit ensuite de là
-^,<^, = (x2X.3)/'+lUiX,+ (x3-/,)'' + 'U,X2+(-/-r/-0"^'U3X3.
Les connexes gh = o représentent donc respectivement les transformations inverses des transformations fh= o.
Au moyen d'un point x, nous obtenons, par toutes ces collinéations, une série de points séparés qui peut être prolongée indéfiniment dans les deux sens. En désignant le point x lui-même par le nombre o, nous pouvons distinguer les points de la série d'avant par les nombres i, 2, 3, ..., ceux de la série d'arrière par les nombres — r, — 2, — i5, . . . , en sorte qu'à chacun d'eux corres-
ponde l'équation écrite au-dessous :
(in)
{ '■■gi=o, g = o, u^=o, /=o, /, = 0,
et le point >. a alors, sous la forme canonique, l'équation
(i8) y\ U,X, + -^UoXaH- -^UjXa^ 0.
Mais toute équation semblable est en même temps l'équation d'un système collinéaire qui conduit immédiatement du point o au point À. Ainsi donc à la série de points (17) correspond la série (18) de systèmes collinéaires.
Il y a un intérêt particulier pour nous dans cette circonstance que tous les points de la série sont situés su7' une courue [en général transcendante) que l'on obtie/it par élimination de 0 et X entre les équations
(,8)* pY,z=/;^X,. pY,= -4X2, oY, = y\^,,
savoir :
(•9) logr:i-log^4- log-^-log-i + log-^.Iog-L=o,
ou, si nous entendons par C un paramètre (constante d'intégration), et que nous posions Â', = log — > h-i ■= log —■, A3 = log — »
avec /r, + ^"2+ ^3= o. Cette équation est de la même forme que celle des courbes de coïncidence principale def= o (p. 4oo)
(20) xv-'^xr^-x«'-"— C.
Ainsi, au connexe f= o et en même temps à tous les connexes fj^=i o ou gh= o, c'est-à-dire à tous les cojinexes du système représenté par (18) correspond un certain connexe
UiXi log-/, + U2X, l()gy.2+ U3X3 l()g/.3 = o,
dont les courbes de coïncidence principale fournissent les courbes (19) sur lesquelles sont situés fous les points de l'une des séries pi'écédentes.
424 TOME 111. — CUAPiTKE II.
Les courbes (19) sont d'une nature tout aussi générale que les courbes (20) et réciproquement, mais les premières se prêtent mieux, ainsi que nous le verrons par la suite, à l'étude des courbes de coïncidence principale, parce que des propriétés importantes résultent directement du mode de déduction de l'équation (19).
Les courbes (19) sont, en particulier, algébriques si les grandeurs log — sont entre elles comme des nombres entiers positifs 011
négatifs. Lorsqu'il n'en est pas ainsi, on peut se poser la question de savoir dans quelles circonstances certains points de la série sont situés sur une courbe algébrique. Par cette condition, on sera conduit, pour le connexe f=. o, à une relation invariante que nous expliquerons ici sur quelques exemples (').
On ne peut pas, en général, demander que les points o, r, 2 soient situés sur une droite, car alors tous les points de la série provenant de o seraient situés sur cette même droite. En effet, dans cette hypothèse, le déterminant ci-dessus désigné par K devrait s'annuler, et l'équation (11) avoir, en conséquence, deux racines égales, ce que nous avons exclu provisoirement.
Si, au contraire, les points o, i, 3 doivent être, en ligne droite, on aura l'équation
Le premier membre est évidemment divisible par le déterminant K; le facteur restant est linéaire et symétrique en Xj, •/2, /ts, et, par suite, proportionnel à la somme Xj-h ZoH- J^S' La condition pour que les points o, i, 3 soient en ligne droite est, par conséquent,
(') Pour une étude générale du problème qui se présente ici, -voir Clebsui et GonoAN, loc. cit.
(') Si l'on introduit la notion des connexes polaires (c'est-à-dire des connexes de la forme «^^"a^w^^ v^^o), on peut aussi, à l'aide de cette relation invariante, donner une interprétation à des formations algébriques dont le sens géométrique n'est pas immédiatement fourni par la théorie des polaires des courbes ou par le principe de translation (t. II, p. 16); toutefois cela est pratiquement de peu
LES CONNEXES. ^2b
Naturellement, le 7'^"'% le (/• -f- i)'^"" et le (r 4- 3)î'^">« point sont
aussi en ligne droite, r désignant un nombre entier quelconque positif ou négatif. On trouve semblablement, si les points o, i , 4 doivent être en ligne droite, la relation invariante
y-l -t- y-l -f- y-l -h y-i^-i-h y^y-i -+- .^ly-i^^ -(**-+- l'i) ■■= o,
et ainsi de suite.
Si l'on demande que les points o, 1,2, 3, 4i 5 soient situés sur une conique, tous les points de la série qui a zéro pour point de départ seront également sur la même conique, c'est-à-dire que, dans ce cas, les courbes (19) se composeront d'un système de coniques, et la condition pour qu'il en soit ainsi est
/-j = /•, = ï > ^3 ^^ — "^f d'où /-i -/.2 — y-\ ^^ o,
ou f{^^zl^z=\, ^1=^ — 2, » y-^y-z — y-j =:r o,
» /-j ^ / j =^- I , h\—^ — 2, » Z3 •/.^ vcj -— ®*
La relation invariante correspondante exige, par conséquent, l'évanouissement de l'expression
(•/jy.3 — ^.\ ) (7.3 •/, — v.\ ) (/-r/-2 — y-l )
d'où, en vertu de (9) et (10), la conséquence suivante : Les courbes (19) ,9e composent d' un faisceau de coniques de la forme
lorsque ( ' )
Les courbes de coïncidence principale de f= o restent toutefois, en général, transcendantes dans ce cas. Si, au contraire, ces dernières doivent se composer de coniques, on doit awoir
d'utilité, et nous ne nous en occuperons pas davantage. On peut toujours, par exemple, trouver ainsi la signification d*s invarianls simultanés de deux coniques (t. I. p. 368).
; ') Ce cas de la collinéation présente un intérêt particulier pour la Géométrie non euclidienne, (l^oirle Mémoire de Klein, cité t. I, p. 188. Math. Annalen, t. IV).
OU
Parmi les courbes comprises dans (19), nous devons mentionner particulièrement la ^/?i/'a/e logarithmique ; sa présence ne provient pas d'une propriété invariante du connexe, mais d'une situation particulière, au point de vue métrique, de deux sommets du triangle de base; relativement à la Géométrie projective, elle peut donc être considérée comme type des courbes intégrales générales du connexe ( I , I ) • Qu'on fasse, en effet, coïncider deux sommets du triangle de base avec les points circulaires imaginaires (*), qu'on introduise ensuite des coordonnées polaires au moyen de la substitution
Xi= /-(cosy -t- /siny), X2 = r(cos'^ — isin^), X3:=i,
et qu'on pose enfin ki = p -h iq, A^2= — p-+-iÇi l'équation des courbes (19) devient
OU, '/ et p désignant de nouvelles constantes,
ce qui est, en effet, l'équation d'un système de spirales logarithmiques ayant pour paramètre la quantité y.
Actuellement nous serons conduits à des points de vue très féconds pour l'étude des systèmes de courbes (19) et (20) si, au lieu d'assigner au paramètre X dans le système de connexes (18) des valeurs entières, nous le considérons comme un paramètre variant d'une façon continue. Même alors, le connexe (18) représente une collinéation, bien que cette dernière ne soit pas toujours telle qu'elle puisse être engendrée en réitérant un nombre fini de fois la transformation f= o ou g- = o. Pour le système des connexes (18) ou des transformations (18)*, les deux théorèmes suivants continuent à être exacts :
Deux transformations (luelconques du s-) sterne donnent, em-
(•) Tous les angles sont alors conservés dans la translormation; on a une transformation de similitude. Eu égard à cette circonstance, on obtient facilement, à l'aide des raisonnements développés plus loin, les nombreuses propriétés métriques de la spirale logarithmique. ( /^'o/r Holzmüller, Schlömilch's Zeitchrift,X. XVI.)
LES CONNKXKS. 4^7
plojées successivement, la même transformation nouvelle indépendamment de l'ordre de succession.
Cette nouvelle transformation est elle-même une transformalion du système.
Eu égard à la première propriété, les transformations du système seront appelées pernuitablcs ; eu égard à la seconde, le système sera dit être un système fermé. Nous avons ainsi affaire à un système fermé de transformations linéaires permutables, en nombre simplement infini (< ). Et ce sont les seules transformations de cette espèce qu'il y ait; en effet, leur recherche directe conduit à une équation différentielle (24) que nous établirons incessamment et dont l'intégration donne uniquement les transformations (18)*.
Dans le système est en particulier comprise une transformation qui prend naissance lorsqu'on suppose X infiniment petit, égal ainsi à dl^ transformation que nous désignerons sous l'appellation de transformation infiniment petite du système. Elle associe à chaque point X un point voisin Y = X -+- d%. qui est déterminé, d'après (18)*, par les équations
(24) <Tr/X,= X,-.logz,-,
la quantité d\ étant supposée comprise dans a. Pour cette transformation la direction qui correspond à X dans la coïncidence principale coïncide évidemment avec la tangente de la courbe (19) qui passe par X. Le connexe déduit de (18) pour X= dX est donc celui dont les courbes de coïncidence principale sont données par les courbes (19); en effet, l'équation de ce dernier est encore SU/Xj logx/= o.
Il est évident qu'on peut engendrer toute transformation du système en répétant un nombre infini de fois cette transformation infiniment petite. Tous les points qui correspondent à un point X décrivent alors une courbe déterminée; cette courbe a, d'après son origine, la propriété que chacun de ses points se change par une trans-
(') Voir, pour ce qui suit, Klein et Lie, Sur une certaine famille de courbes et de surfaces {Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 6 et i3 juin 1870), et Ueber diejenigen ebenen Curven, welche durch ein geschlossenes Sjrstem von einfach unendlich ii'rtcn vertauschbaren linearen Transformalionen in sich tibergehen {Math. Annalen, l. IV).
CUAriTRK II
formation ( 24) en un autre de ses points (infiniment voisin). Donc, même lorsqu'on répète un nombre infini de fois la transformation infiniment petite, le point X reste toujours sur la même courbe, c'est-à-dire que celte dernière se transforme en elle-même par chaque transformation de notre système. Son équation s'obtient conséquemment en éliminant X entre les équations (18)*, c'est-àdire qu'elle est donnée par (19), ainsi qu'on le vérifie aussi par intégration de l'équation différentielle (24).
Toute courbe intégrale d'un connexe ( i , 1) a donc la propriété de se changer en elle-même par un système fermé d'un nombre simplement infini de transformations linéaires permutables, et, pour préciser, par les transformations pYj=y.^X; si le connexe est donné sous la forme SU/X/logx,= o (' ).
De cette propriété peuvent se déduire avec facilité un grand nombre d'autres. Nous pouvons expliquer, sur un exemple, le mode de raisonnement simple qu'on emploie en cette circonstance. Imaginons qu'on donne plusieurs courbes appartenant à un même système (20), et qu'une tangente soit menée à l'une d'elles. Dans l'application des transformations linéaires correspondantes, les courbes elles-mêmes restent invariables, tandis que la tangente prend successivement la position de toute autre tangente de la même courbe. Le point où il y a contact avec l'une des courbes et les points d'intersection avec les autres deviennent respectivement le point de contact et les points de rencontre de la nouvelle tangente avec ces mêmes courbes; d'oii ce théorème que les points
(') D'après un théorème connu de Cinématique, ces courbes consistent en cercles si la transformation est équivalente à un mouvement du plan sur lui-même. En effet, deux sommets du triangle de base sont alors situés aux points circulaires et le troisième d'une façon quelconque dans le plan; ce dernier sommet reste donc fixe, et par conséquent le mouvement doit être remplacé par une rotation autour de lui. CeUe rotation devient en particulier une translation si le centre de rotation est situé à distance infinie. Les nombreuses recherches relatives à la Géométrie cinématique sont ainsi liées aux recherches relatives aux transformations considérées au texte, et peuvent en conséquence être susceptibles d'une généralisation projective immédiate si l'on remplace constamment la collinéation spéciale du mouvement par une collinéation générale. \^Voir sur ce sujet Rurmester, Kinematisch geometrische Untersuchungen der Bewegung afßn-verändlicher und collinear verändlicher Systeme (^Schlömilch's Zeitschrift, t. XIX et XX); voir aussi la note de la p. 826, t. I]. Les courbes (19) sont appelées par Burmester Selbsthïdlcurven (courbes qui sont leurs propres enveloppes).
cl' intersection forment a\^ec le point de contact une série qui, pour des positions quelconques de la tangente à la même courbe, est toujours projective à la même série. — Il en résulte comme corollaire, eu égard à ce que les trois côtés du triangle de base doivent toujours être considérés comme courbes du système, la proposition suivante : Le rapport anharmonique du point de contact d'une tangente d'une courbe (20) et de ses trois points de rencontre avec les côtés du triangle de base est constant. On pourrait aussi réciproquement faire usage de la propriété énoncée ici pour définir le système.
Par un procédé analogue on obtient aisément les théorèmes suivants, dont l'énoncé suffira pour montrer la fécondité de la méthode mentionnée plus haut et applicable dans un grand nombre de circonstances ( ' ) :
Que l'on coupe une courbe du système par une ligne droite et quel' on construise les tangentes en n quelconques des points de rencontre, parnd les autres intersections de ces n tangentes, n sont toujours en ligne droite.
Les courbes du système ne peui^e?it se couper qu'aux sommets du triangle de base.
Elles ne possèdent en aucun de leurs poijits, si ce n'est aux trois points fondamentaux , de singularités du genre de celles qu'on rencontre dans les courbes algébriques.
Toute courbe covariante par rapport à elles est une courbe du même système (car elle doit se changer en elle-même par les mêmes transformations).
Si Von applique les transformations de notre système fermé à une courbe quelconque, assujettie uniquement à ne pas appartenir à un système de courbes (20) ayant le même triangle de base, la courbe ens^eloppe de la série de courbes ainsi engendrée se compose uniquement de courbes du système donné.
Nous allons indiquer brièvement dans ce qui suit les cas d'exception qui se présentent par suite de ce que deux ou trois
(') P^oir, pour plus de délails, Klein et Lie, loc. cit.
43o TOME 111. — CHAPITRE 11.
racines de l'équation du troisième degré (n) deviennent égales entre elles (').
I. Soit X2=y.3'i deux des côtés du triangle de base se confondent tandis que le troisième (X, = o) en reste distinct. En toute h ypotlièse on peut avoir, pour la coUinéation, la forme canonique
pYjiizaXi 4-^X2 4-7X3.
Mais si l'on met l'équation cubique en question sous la forme
on reconnaît qu'on doit avoir y = ko- Actuellement, si l'on substitue
Yi a Y3 et X3 +
Xi a Xj
les équations (25) se transforment en
(26) pYi=r:XiXi, pY2=--'.2X2, 0 Y3 = PX2 + •/2X3,
et le connexe J= o apparaît sous la forme canonique
/=-/.lX,Ui-f-X,(X2U2-i-X3U3) + |3X2U3.
Deux sommets du triangle de base sont ici réunis au point U3 = o ; le point U, = o est, d'autre part, le point de rencontre des côtés du triangle infiniment voisin l'un de l'autre.
En répétant X fois la transformation, on obtient, à la place de
(27) pY,==x^^Xi, pY2=:-4X2, pY3= -4X3 + 5/34-' X2,
(') Voir Clebsch el Gordan, loc. cit., ainsi que la discussion géométrique de ces cas dans HiRST, Mémoires cités, p. 36o. Ces cas particuliers peuvent aussi être abordés, d'après la méthode appliquée par Weierstrass, aux formes bilinéaires renfermant un nombre quelconque de variables : Monatsberichte der Berliner Académie, i858 et 1868.
LES CONNEXES. ^3l
et, en éliminant X, on trouve, à la place de (19), l'équation
x,(Y3X,-Y,X3)log^- ^log^-: -loy|^JpY,X, = o.
Pour Ya =: Xo == I , X, =r a:, Xg^j, on obtient donc en particulier la logarit/imique j = AlogBx, A, B désignant des constantes.
On trouve, d'autre part, l'équation des courbes de coïncidence principale de f= o sous la forme
(,.,.,)^ + plog^=c.
II. Dans le cas où l'on a, en outre, ß = o, les équations (26) donnent
YiX,- ¥2X1 = 0;
nous avons une transformation perspective, cas déjà traité par nous d'une manière approfondie (t. I, p. 828). On peut caractériser algébriquement cette transformation par la circonstance que les formes ç et (|; sont identiquement nulles. Toutes les courbes (28) se composent de droites passant parle centre de collinéation.
III. Si les trois racines de l'équation du troisième degré sont toutes égales entre elles, on ne peut plus prendre, pour la collinéation correspondante-, qu'une seule équation sous la forme
(•28) pYi = xX,;
les deux autres se présentent d'abord ainsi
p Y2 = « Xi -4- ( * -t- -/. ) X2 -+- cXs, pY3--=«Xi + .3X2 +(v + x)X3.
Actuellement, pour que l'équation du troisième degré en z
admette trois fois la racine z = x, il faut que l'on ait
{3o) Z)-h7 = 0, uy — cß=zo.
Ces équations sont satisfaites identiquement si l'on pose et les équations (29) se transforment par là en
f>Y2= flXi -f- V1X2 H- /^(vX2 4- ^Xs), pY3=: «X, -t- X.X3 — v(vX2+ ^1X3).
Or on en déduit '
p(vy2+y.Y3) = (.jv-f-aa)X, + x(vX2-+-fxX3).
Si donc on substitue encore Y.j à vY2H- y-Y^ et X2 à VX2-I- pXs, on obtient une équation de la forme
(3i) pYa^aXi-i-xX,,
qui peut toujours être déduite des équations (29). On peut donc admettre que l'une des équations (29) ait déjà la forme (3 1), c'està-dire que b = c =: o. Les équations (3o) donnent alors y z^ o, tandis que ß reste quelconque. La troisième équation (29) devient, en conséquence,
(32) py3=.aX,H-|3X2 + xX3.
Si l'on change encore Y3 et X3 en leur substituant respectivement
Y„ Y», X3 X2, le terme en X3 disparaît dans (32), et il
reste
(33) pY3=|3X2+--/X3,
où Ton peut encore, sans détruire la généralité, poser [ô = a.
Au mo^yen de (28), (3i), (33), on trouve donc l'équation du connexe sous la forme canonique
(33)* /=■/.(UlXl^- U2X2-MJ3X3) -^ «(XiU,-f XjUa) = o.
Pour les courbes de coïncidence principale, on a ici simplement, en vertu de Ux= o, l'équation différentielle
Xi(X3r/Xi— Xi^/X3)-|-X2(XirfX2— X2C?Xi)l=0.
d'oij résulte par intégration, la constante d'intégration étant dé-
LES CUNNLXES. 4'^-i
signée par C,
