CX^ + X^ — 2X1X

Les courbes intégrales forment un faisceau de coniques qui ont toutes entre elles au même point un contact du troisième ordre (comp. t. I, p. 175), et le point de contact est le point 1)3=0, dans lequel sont réunis les sommets du triangle; la tangente commune en ce point est à compter trois fois comme coté du triangle.

On obtient un pareil système de coniques pour les courbes qui sont transformées en elles-mêmes par la collinéation (33)*. En effet, on trouve, en répétant À fois la transformation, les formules

pYi = x^X,, pY^^ /.^ X. -+-«•//-' Xi,

pY.,= y^Xs-h «/>-^X, H- -).(À — i)«^-/.^--X,,

ou, en divisant dans les deux membres par x^"^^ pYj = -/.-X,, p Y, = /.^X, -+- lav. X,,

|sY3 = -/.-X3 4- 1(IV.X^^ ), f / — l)<.2Xi.

Mais ces équations représentent précisément les coordonnées des points Y d'une courbe de la nature dont il s'agit exprimées en fonction d'un paramètre z.

IV. Dans les équations (3i) et (33), une des constantes «, /3 peut encore être nulle. Supposons ß = o; nous avons la collinéation

(34) pY,= y.X,, pY,=:/.X2-t-«X„ pY3=-/.X3.

Il en résulte Y,X3 — X, ¥3= o; les deux systèmes de points Y et X sont donc perspectifs, le centre de collinéation est situé au point X, = o, X3 = o ; l'axe de collinéation ( ' ) passe par ce point. Les courbes considérées plus haut sont les droites du faisceau X,4-XX3 = o.

(*) Si cet axe est la droite de l'infini, on a le cas de la translation (^voir la note delap. /|28).

Clebscu. — Géométrie, III. 2ö

434 TOME m. — CUAPITHE II.

V. Si enfin, dans (3i), (33), a et ß sont nuls simultanémenl, on a des systèmes de points identiques dont les points correspondants coïncident toujours.

VII. — Sur les connexes (/», 1) ou (i, «), particulièrement dans le cas de n — 1.

Quelques-unes de nos recherches générales sur les connexes [m,n) demandent une étude spéciale si l'un des nombres m, n devient égal à i. Déjà, à propos du connexe conjugué, nous avons eu occasion de faire cette remarque (p. 368); un élément (j^, w) de ce dernier a été défini pour n = i par la circonstance que V est tangente commune de toutes les courbes Cm qui répondent aux lignes u passant par j, et réciproquement pour /n= i, par le fait que j est un point commun à toutes les courbes K„ qui répondent aux points x de v dans le connexe /"= o. Pour le cas de m = I, auquel nous nous bornons dans ce qui suit, se présente d'ailleurs cette particularité que les courbes désignées plus haut par F' = o, $' = o n'existent pas ; car, puisqu'une ligne quelconque u forme exclusivement avec un seul de ses points un élément de la coïncidence principale, il ne peut plus élre question du fait que deux semblables points de u se confondent. Par contre, se présentent ici, en général, des lignes u qui forment avec chacun de leurs points un élément de coïncidence principale, circonstance qui, pour n ^ I , m ^ I , ne peut se présenter que dans des cas particuliers et à titre de singularité (comp. p. 352). Pour 7;i = i, nous pouvons, en effet, poser

Al, A2, A3 étant des fonctions de la 72'^"« classe par rapport aux Ui. Ici la ligne u est caractérisée de la manière indiquée^ dès que l'équation f=o est satisfaite pour Xi= {ui^)i indépendamment des quantités Vi, c'est-à-dire lorsque l'on a simultanément

Ai«2— A2Mi = 0, A2«3 A3//2:=0, AjUj AjM3=r0.

Ces équations admettent, d'après des règles connues (t. II, p. 1 13),

n'--{- n-{- I solutions communes, et nous avons, par conséquent, ce théorème :

Dans un connexe (i , tz), il existe Ji--\- n + t droites qui forment chacune av>ec tous ses points des éléments de coïncidence principale. Nous les appellerons rajons fondamentaux du connexe ou de sa coïncidence principale.

Evidemment aussi, l'équation difierentielle des courbes de coïncidence principale qui dérive de /= o pour Xi= [udu)i est satisfaite par chacun de ces rayons fondamentaux indépendamment des différentielles dui. Les n^ -\-n -\-i rajons fondamentaux d' un connexe (i, /î) font donc partie du système de courbes intégrales de la coïncidence principale (*).

Les rayons fondamentaux présentent, d'ailleurs, une connexion particulière avec les courbes F = o, ^ = o considérées plus haut et qui sont liées entre elles par une relation à détermination unique (p. 392). La détermination donnée précédemment des singularités de ces courbes subsiste encore pour m = i . Donc F est de l'ordre [n — I ) ( 7^ -h 2 ) ; /e nombre des points doubles de F est égal à

le nombre des rebroussements egal à

Z[n — 2) (2« + 1), et l'on trouve en conséquence, pour le genre de F, le nombre

Il résulte de là que la classe de F est égale à 3«-, le nombre des points d'inflexion égal à \in[n — i), celui des tangentes doubles

égal à -(9«'' — /\on--+- 35« -h 2).

(') Il faut évidemment attribuer à ces rayons fondamentaux le même rôle par rapport aux courbes intégrales que celui qui appartient aux ombilics d'une surface par rapport à ses lignes de courbure.

CUAPITAE II.

La courbe ^ est, cV autre part, de la classe Zw, son genre concorde avec celui de F ; le nombre de ses tangentes doubles se trouve donc égal à

- ( 3 /i — 1 ) ( 3 rt — 2 ) n[']n — ii)-=zn^-r-n-iri,

car il n'y aura pas, en général, de tangentes d'inflexion.

Nous verrons que ces tangentes doubles sont précisément les rayons fondamentaux de notre connexe {i,n).

Dans le cas actuel, nous pouvons aisément établir directement l'équation de la courbe 0 = o. Nous partirons, dans ce but, du réseau tangentiel de courbes de la [n -+- 1)»'^'"^ f^\^^^Q ^p^ ^^S))

(i) \],= {aui')ul = lki[u^')i=o.

Chacune des courbes qui en l'ont partie touche les n- -\- n -\- \ rayons fondamentaux et en outre la ligne v à laquelle elle correspond, el le point de contact j'^ de p- est le point qui répond à v dans la coïncidence principale. De tout point de v on peut, en dehors de la droite \^ elle-même, mener encore n autres tangentes à la courbe Uç,= G, et ce sont là les n rayons de la coïncidence principale qui répondent au point considéré de v\ mais, pour le point j}'^ luimême, l'un de ces rayons coïncide avec la bgne v. Maintenant, si v est une tangente de la courbe ^ = o,j est un point de F = o, et un autre des n rayons de la coïncidence principale issus àej (c'està-dire des tangentes de Ui,= o) se confond avec la ligne v^; en d'autres termes, v devient tangente de rebroussement de la courbe U,,= ü. La condition pour cela est que v touche en même temps la hessienne de \]^,■=o. Soit donc U(,= i/"^'; l'équation de la courbe $ = o est donnée par

si l'on fait u = v. Le premier membre de cette équation est du degré 3/i par rapport aux ui et du troisième degré par rapport aux coefficients àef. Si l'on essaye dé former symboliquement un contrevariant de cette espèce, on n'a le choix qu'entre les trois formes

La première d'entre elles s'évanouit identiquement, parce qu'elle

change de signe par permutation de 6, ß et c, y; la même chose a lieu pour la dernière (qui, en outre, se décompose en deux facteurs séparés) ; l'équation de la courbe ^ =. o est donc

(2) *^ («/>«) fa?/a~l U'^U'.I^Z=. 0.

Si M est un rayon fondamental du connexe, les grandeurs (^bu)iu" s'évanouissent, et, par conséquent, $ lui-même est nul. Mais les dérivées de 0 s'annulent aussi, car on a

■+- [ ahii ) Ca n'â'^ "'p~^ tC'^ \[n — i ) a, U'j, ii-^ -\- nii^ [ «3 y,- -{- u-, 5,- ) ]. ,

Dans le second membre, le second et le troisième terme s'évanouissent à cause des facteurs [abu)u" ; le quatrième est égal à

u"ßiH^-^ 11'^-'^ [[ncu]h^-\- [cbu)aa-\- [nhc]ua]\

il est donc encore nul. Enfin le premier terme est égal à

- [nb]iU'i-^ u^-^ u!^ [c^ii.^— c^^iu] = ^- [aù)^!^-^ u'^'^ «« (cv/cr),

si (Vi= {cf.ß)i', il s'annule donc aussi à cause des facteurs (cwçv)«". Nous avons ainsi cette proposition :

Les 7^--^- n -\-\ rajons fondamentaux d'un connexe {i,ti) sont les tangentes doubles de la courbe correspondante ^ z= o,et cette dernière n!a, en général, pas d'autres tangentes singulières.

Les mêmes rayons fondamentaux sont aussi des tangentes doubles de la courbe F = o, ainsi qu'il résulte de l'étude attentive des systèmes de courbes représentés par U(,= o et

(3) Xy^aJ^cc.vj)"=:o{^).

JNous insisterons d'abord sur le réseau tangentiel de courbes de la (n -f- i)'«'"« classe U,.= o. Une courbe de ce réseau est, en général,

(') L'étude de ses systèmes a été donnée par l'auteur (M. Lindemann) dans l'édition allemande du présent Ouvrage. Plus tard, M. LAGi'F.nnE s'est occupé de ces mêmes courbes {Bulletin de la Société mathématique de France, t. VI, p. 129; 1878).

/|38 TOME m. — CHAPITRE II.

déterminée par deux tangentes quelconques u', ii" , les paramètres Wi pouvant alors se calculer au moyen des équations

( 4 ) [au'v] n'a = o et ( au" v ] «„" = o.

Une exception se présente toutefois lorsque le point de rencontre j de II! et u" est en même temps point de coïncidence pour ces deux lignes, c'est-à-dire lorsqu'ont lieu les équations

ayu'â'^^o, aju"â' = o, u'^=Ot «'|=:o,

car alors les deux équations (4) sont satisfaites aussi bien pour V = u' que pour i'=u", et, par suite, ne servent plus à la détermination de w. Il existe donc encore un système linéaire de courbes U,. qui toutes touchent les lignes m', u" et aussi les Ji — 2 autres rayons auxquels répond le môme point de coïncidence j. C'est ce que nous pouvons exprimer dans la proposition suivante (^) :

Les n--\- n -h i rayons fondamentaux du connexe (i, n) forment, conjointemejit avec les n rayons de coïncidence qui répondent à un point quelconque dans la coïncidence principale, un (Système de («-j-i)- droites qui sont touchées par une infinité de courbes delà [n-\- i)ième d^sse (U„:=o).

Cette circonstance distingue essentiellement le réseau tangenliel U^= o d'un réseau tangentiel quelconque de courbes de (/z -h 1)'^'"*= classe. En effet, ce dernier serait déjà complètement

déterminé par -ji[n -h 5) tangentes fixes, tandis que nous en avons

ici Ji- -{- n-{-ï. Les rayons fondamentaux ne sont donc pas indépendants les uns des autres; ils forment, au contraire, un système particulier de lignes, et ce système correspond dualistiquemeni aux systèmes brièvement mentionnés plus haut de R points par lesquels passe un nombre q fois infini de courbes d'un ensemble t fois infini de courbes C,^ sous la condition q '^t — R (p. 124). Dans notre cas, nous devons remplacer n par zz-l-i, et nous

(') Les considérations qui suivent sont des (îénéralisations des recherches entreprises par GoDT sur le connexe (i, 2). {Voir sa Thèse Ueber den Connex erster Ordnuiii^ und zweiter Klasse, Götlingen, 1878.)

t= - {/i-i-i]{n -h^], <7 = 2, R — «2-1- rt-f- ,.

Par conséquent, d'après les résultats obtenus alors, les coordonnées des «--h n -\- I rayons fondamentaux satisfont à un système d'équations équivalent à

relations indépendantes. Dans notre cas se présente, en outre, cette propriété que les n autres tangentes communes à deux courbes du système se coupent en un point. Cette seconde propriété estelle une conséquence de la première? Existe-t-il encore d'autres relations entre les Ji--\-n-\-i rayons fondamentaux? Ce sont là des questions qui exigeraient une élude plus approfondie.

Dans le réseau tangentiel U^= o seront comprises des courbes en nombre infini ayant une tangente double, puis un nombre fini de courbes ayant deux tangentes doubles ou une tangente d'inflexion. Toutes ces courbes particulières sont en relation étroite avec la courbe F = o. Les 7i[n-i-i) — 2 = (/^ — i)[n-\-o,) intersections simples de ^^ avec U^ sont, en effet, caractérisées par la circonstance qu'en elles coïncident deux des n directions correspondantes de la coïncidence principale (deux des tangentes d<' U(.); or cette propriété n'appartient qu'aux points de F :=o. Les [ti — i)(n+ 2) points de rencontre de U^=o awec v sont donc identiques aux [n — i)(«H-2) points de rencontre de v avec F (*). Si \jv doit avoir ime tangente double, il faut que deux de ces points de rencontre se confondent l'un avec l'autre au point de rencontre de v avec la tangente double, c'est-à-dire que v devient tangente de F, et réciproquement U^ a toujours une tangente double si ^ est tangente de F; car autrement la droite v elle-même serait alors une tangente double de U,.= o ; nous aurions donc sur

(') De même dans le connexe {m, n) la courbe U^ qui a *> pour tangente muItipU d'ordre m est rencontrée par v en

(w ^- H — i){m-^ II) — m{m — i) — 2/« = (h — i)(h-4- a/w)

points simples qui sont en même temps les points d'intersection de F avec i'.

440 TOME m. — CHAPITRE U.

^ deux et, par conséquent, une infinité de points de coïncidence, c'est-à-dire que i^ serait un rayon fondamental de notre connexe. D'autre part, on reconnaît immédiatement sur l'expression U^ ([u'en fait tout rayon fondamental v est tangente double de sa propre courbe U(,; or, par suite du raisonnement précédent, il sera aussi tangente double de F. Nous avons ainsi les théorèmes suivants :

Les droites v dont les courbes U,. ont une tangente double enveloppent la courbe F = o. Le discrimi?iant de la forme 15^ égale à zéro donne, par suite, l'équation de la courbe F en coordonnéeslignes. Ce discriminant est, en fait, du degré 3/^- par rapport aux Vi. [F^oir t. II, p. i4.)

Les n- -\-n-\-i rayons fondamentaux sont des tangentes doubles de F ; aux deux points de contact ils sont également touchés par les courbes correspondantes U,,.

On déduit encore sans peine des derniers développements les propositions qui suivent :

Les tangentes doubles des courbes U,, = o em^eloppent la courbe (p =o donnée par (2); cette dernière (qui a de même, suivant ce qui précède, les rayons fondamentaux pour tangentes doubles) est donc liée unidéterminativement à F = o par ce théorème.

y4ux -n[n — I ) ( 3 «- H- 3 7z — 11) tangentes doubles de F qui

ne sont pas des rayons fondamentaux du connexe correspondent, comme lignes v^, des courbes U^ à deux tangeiites doubles; ces dernières passent par les deux points de contact de w avec F.

Les 1 2 « ( n — 1 ) tangentes d'inßexion de F sont les lignes auxquelles re pondent des courbes \Jt, ayant une tangente d'inßexion.

Le système des courbes X^= o donné par (3) est d'une manière semblable en relation avec la courbe F = o. Chacune des courbes qui en font partie a au pointj^ un point multiple d'ordre n dont les n tangentes sont les rayons de coïncidence qui répondent i^ y-, et sont représentés par l'équation ay[ixxy)'^= o. Si donc

deux de ces n tangentes doivent se confondre, il faut nécessairement que j soit situé sur la courbe F. Pendant que j parcourt la courbe F, les tangentes correspondantes, comptées deux fois, enveloppent la courbe de S«'*^"^ classe ^ = o. Par conséquent, si l'on joint j aux (n^ — i^(^ji-\-i) points de rencontre 'àe Xv=:o avec F = o, les 3n tangentes de $ qui passent par j figurent en toute hypothèse, comptées deux fois, parmi les lignes de jonction, et, comme sur chacune ne se trouve qu'un seul point de coïncidence, (]n des (tz^ — \){^n-\-i) intersections dont il a été parlé coïncident par couples; nous avons donc ce théorème :

Chacune des courbes Xj= o touche la courbe F en Zn poinLs et, par conséquent, la rencontre encore en n"^ -\- in- — ^/z — 2 autres points. Ce dernier nombre donne en même temps la classe de la courbe enveloppée par les « — 2 rayons simples de la coïncidence principale qui répondent à un point de F.

Nous pouvons encore facilement indiquer une troisième courbe passant par les points de contact de Xj=: o et F = o, et telle que ces 3« points (qui ne forment pas un système d'intersections complet) soient déterminés comme points communs aux trois courbes. En effet, deux courbes Xj et X^ se coupent en (« + 1)- points. Parmi ces points, un se trouve toujours sur la ligne jz, savoir : celui qui lui correspond dans la coïncidence principale. Si nous rapprochons maintenant indéfiniment z àe y sur la ligne j)z, le point de rencontre placé sur j^^ reste fixe, et les n--\r in autres points se déplacent sur X^. Les lignes qui les joignent à j^ et à 2: deviennent alors infiniment voisines les unes des autres (tant que les points en question ne se rapprochent pas eux-mêmes indéfiniment de j)'), et deviennent, en conséquence, tangentes de 4>; par suite, 3/z seulement de ces points d'intersection peuvent avoir une situation séparée; les («4-1)- — 3n — i points restants doivent nécessairement se réunir en j'. Les points de contact de F aK^ec X y sont donc les intersections simples , non situées sur jz, des courbes Xj= o et Xj^j^^ o, s étant infiniment petit, c'est-à-dire des courbes Xj= o et

(5) <7^(a.rj)«-i(«.r5J = o.

On reconnaît, en efiet, par les équations des deux courbes que

442 TOlin III. — CHAPITRE II.

n^ — n de leurs intersections sont réunies les unes aux autres au point j'^.

Si, en particulier, le point j- est situé sur un rayon fondamental du connexe, il résulte de la définition de la courbe X^ que le rayon fondamental doit se séparer de cette courbe elle-même (comme en faisant partie), jlux points d'un l'ajon fondamental correspond ainsi une série de courbes du n^ème ordre dont chacune touche la courbe F en3n — 2 points. Au point de rencontre de deux rayons fondamentaux correspond, par suite, une courbe du [n — lyème ordre qui touche F en "in — 4 points.

Nous nous proposons maintenant d'utiliser, en particulier, les développements précédents pour le cas de /z = 2, c'est-à-dire pour le connexe (i^ 2) ( * ). La courbe F = o est alors du quatrième ordre et n'a pas de points singuliers; c'est la courbe générale du quatrième ordre, car le nombre des constantes dont dépend la coïncidence principale du connexe (i, 2) est égal à i4, c'est-à-dire au nombre des constantes d'une courbe générale du quatrième ordre. On reconnaît ainsi que la théorie du connexe (1,2) est étroitement liée à la théorie d'une courbe générale G/,, et le cas de « = 2 acquiert ainsi un intérêt tout particulier. Il suffît, en effet, de prendre constamment dans les théorèmes précédents n^ 1 pour obtenir immédiatement une série de propositions relatives aux tangentes doubles d'une courbe du quatrième ordre, ainsi que nous le verrons encore incessamment. Observons préalablement que, dans ce cas simple où m=zi et n=.i, on peut aisément établir d'une manière effective quelques-unes des courbes covariantes que nous avons mentionnées plus haut à titre d'exemples (p. 36o) ; en effet, si nous considérons x,, Xo, x^ comme des paramètres, nous avons uniquement affaire à un réseau tangentiel de coniques Ko ; or nous nous sommes occupés déjà d'un réseau de cette espèce (t. II, p. 248). Nous pouvons donc énoncer immédiatement les théorèmes suivants :

Tous les points x dont les coniques correspondajites Ko se décomposent en un couple de points forment la courbe du troisième

(') Voir, pour ce qui suit, Godt. loc. cit.

ordre

(6) V^a^b^c^{uPyY=o.

Les tangentes doubles de la courbe décomposable Ko enveloppent la courbe de troisième classe

(7) l^=[obc)[«Py]u^U}ii..r=zo,

c est-à-dire lajacobienne du réseau tangentiel a^u'i = o.

Les couples de points de la courbe décomposable Ko forment la courbe du troisième ordre

n = (a/vc)(a,3.r)(,S7x)(7«,r)==(),

C esL-à-dire la courbe de Hermite relative au réseau tangentiel.

Les relations des courbes I = o et H =: o entre elles sont connues par la théorie des réseaux tangentiels de coniques. La courbe P = o est, en vertu des équations

rapportée linéairement à la courbe I =: o-, toutes deux ont donc le même invariant absolu. A trois points de P = o qui sont situés sur une ligne droite u correspondent trois couples de points de H =: o formant les sommets d'un quadrilatère complet; les côtés de ce dernier sont les tangentes communes du système de coniques ayul + y^a-ul =. o^ j e\, z étant deux points de u. Chacun de ces quatre côtés forme un élément de connexe avec tout point quelconque de u\ en d'autres termes, si x est situé sur l'un des quatre côtés, X et u forment ensemble un élément du connexe conjugué (p. ^"i^). L'équation de ce denner, savoir (p. 369)

[nbu] [cdu] [aS x)- [9jy x]- =. o,

représente donc le j)ioduit des tangentes communes à toutes les coniques qui, dans le connexe (i, 2), répondent aux points de u. Nous allons maintenant donner, dans ce qui suit, un résumé des propositions qui résultent de ros explications générales sur le connexe (i, w); nous les laisserons dans l'ordre suivant lequel elles ont été obtenues; pour quelques-unes seulement nous ajou-

4'|4 TOME m. — CIIAPITRF, II.

terons quelques éclaircissements, en faisant usage de résultats connus tirés de la théorie des courbes du troisième ordre ou de la troisième classe :

Il existe sept rayons qui forment avec tous leurs points les élêments de coïncidence principale d'un connexe (i, 2); ce sont « les rajons fo7idamentaux » de ce dernier.

La courbe F = o, c'est-à-dire le lieu des points x qui sont situés sur la courbe correspondante Ko^ «x"« = O5 est la courbe générale du quatrième ordre, et elle est donnée par l'équation

«x^ar(aßx)2=rO.

La courbe 0 = o, c'est-à-dire l'enveloppe des tangentes que l'on peut mener des points de F = o aux courbes correspondantes K2 est de la sixième classe, et elle est donnée par l'équation

[ahu) CaUaUf u^ = o.

Les sept rayons fondamentaux sont des tangentes doubles de la courbe 0; cette dernière n'a pas d'autres tangentes doubles.

Les rayons fondamentaux forment avec les deux rayons qui répondent à un point quelconque x dans la coïncidence principale, c'est-à-dire avec les tangentes menées de x à la courbe Ko^ a^M« =«, im système de neuf droites qui ne déterminent pas une courbe de troisième classe.

L'équation Ui,^ [auv)ul := o représente le réseau tangentiel général de courbes de troisième classe à sept tangentes (rayons fondamentaux) communes.

L'invariant ternaire absolu d'une courbe U(,= o est égal à l'invariant binaire absolu des quatre points de rencontre de F avec v. Les invariants S^ et T^ de U^ sont donc proportionnels aux contrevariants (AB(^)' et (AB(^)2(BCi^)2(CAi^)2 de F = A^.

En particulier, l'équation de la courbe F en coordonnées-lignes t^ est

Les sept rajons fondamentaux sont des tangentes doubles de

(') La théorie du réseau tangentiel de troisième classe, déterminé par sept tangentes doubles d'une courbe du quatrième ordre C,, a été étudiée pour la première

Aux vingt et une autres tangentes doubles de F correspondent des courbes U(,à deux tangentes doubles, c'-îst-à-dire des courbes qui se décomposent en une conique et en un point. La conique ne peut toucher que cinq des sept rayons fondamentaux; le point est conséquemment situé à l'intersection des deux autres. Donc :

A chacune des vingt et une autres tangentes doubles deF correspond une intersection déterminée des sept rayons fondamentaux , de telle façon que la courbe U^ homologue à la tangente double se décompose et comprend : i*^ l'intersection en question; i^ une conique tangente aux cinq rayons fondamentaux qui ne passent pas par celte intersection.

Les deux tangentes que l'on peut mener du point d'intersection à la conique sont les tangentes doubles de la courbe considérée Ut, : elles passent, en conséquence, par les deux points de contact de la tangente double v avec F (^ ).

Il existe vingt-quatre courbes U^ à tangente d'inflexion, et répondant aux tangentes communes des deux courbes St,= o et T,= o.

L'équation Xj^ «^(aarj)^ représente un système de courbes du troisième ordre dont chacune a, au pointjj'^ un point double; les tangentes de ce dernier sont les rayons qui forment avec y des éléments de la coïncidence principale. Si Sj, Tj sont les deux invariants de la courbe X^, la condition S^l — 6T|.= o est ici satisfaite identiquement pour j^. Gomme, d'ailleurs, Sj et Tj s'évanouissent en même temps sij est situé sur F = o, puisqu'alors la courbe Xj= o a un point de rebroussement en j, les invariants Sj, Ty de Xy ne diffèrent respectivement du carré et du cube de la forme F =^ ^yby{o-^jY '/"'^ P^^' un facteur numérique.

fois par Aronhold, Berliner Monatsberichte, 1864, p. 499- Sur les tangentes doubles de C^, voir ci-dessus, p. 244«

(') Comme ces lignes sont aussi des tangentes de * = o, on a, par réciprocité diialistique, la proposition suivante : Sept poit.ts quelconques étant donnés dans le plan, les quarante-deux points où la ligne qui joint deux d'entre eux coupe la conique déterminée par les cinq autres sont situés sur une courbe du sixième ordre qui a les sept points pour points doubles.

Chacune des courbes X^ touche la courbe F e?i six points, c'està-dire en tous les points oit elle la rencontre.

Par les six points de contact de Xj passe aussi la courbe ax[axj)[<xxz) = o. Mais cette dernière est symétrique en y et z et de là résulte que :

Les douze points de contact de deux combes Xj et X^ sont situés sur la courbe- du troisième ordre

(g) n^.{uxx){u.rz) = o (').

[ui l'épondent

rayons fondamentaux se décomposent en ce rayon lui-même et en un système de coniques en nombre simplement infini dont chacune touche la courbe du quatrième ordre F en quatre points.

La courbe Xj qui correspond au point d'intersection j'- de deux rayons fondamentaux se décompose en ces deux rayons et en Tune des vingt etime autres tangentes doubles de F. u4 tout point d'intersection y de deux des rayons Jondainentaux ( qui forment sept tangentes doubles de F) se trouve associée une autre tangente double déterminée v de cette courbe, de telle sorte qu on obtient par là la totalité des xdngt-huit tangentes doubles de F. A la tangente double p- répond alors le point y comme partie de la courbe U^ en question, suivant la manière indiquée ci-dessus (p. 445).

Chaque rayon fondamental est coupé par les six autres. Dans chaque série de coniques de contact qui répond à un rayon fondamental sont donc compris six couples de tangentes doubles; l'une des tangentes doubles de chaque couple est précisément l'un des six autres rayons fondamentaux.

^i y et z sont situés tous deux sur le même rayon fondamental, toute courbe Xj^^^ = o renfermera ce rayon, et il en sera conséquemment de même pour la courbe (9). Il résulte ainsi de là que les huit points de contact de deux coniques du même système sont toujours situés sur une conique (comp. p. 284 )•

(') Cette courbe est le lieu des points a: dont les couples homologues de rayons de la coïncidence principale divisent harmoniquement la ligne qui joint deux points quelconques^ et z.

La plupart des propositions énoncées ici se réfèrent exclusivement aux sept rayons fondamentaux et à la courbe du quatrième ordre; ils sont donc vrais d'une manière absolue, indépendamment de la circonstance que nous y avons été conduits par le connexe a^ul = o. On peut donc invei'sement partir d'une courbe du quatrième ordre ; on a alors des relations entre sept tangentes doubles quelconques (parmi lesquelles ne doit se trouver aucun groupe de quatre formant des coniques décomposables du même système de coniques de contact), et entre les vingt et une autres tangentes doubles de la courbe C.,,. Mais on peut aussi partir de sept droites quelconques du plan et construire par leur intermédiaire les vingt et une autres tangentes doubles de C* et leurs points de contact. On déduira cette construction très simplement de notre connexe en prenant pour point de départ un autre connexe qui a la même coïncidence principale que le connexe donné et qui est d'une nature particulièrement simple. Cela est permis, puisque la courbe F = o dépend uniquement de la coïncidence principale du connexe (i , 2).

Nous prendrons trois des sept rayons fondamentaux pour côtés du triangle de base. L'équation du connexe doit alors être satisfaite par chacun des trois systèmes de valeurs

Les termes possédant les facteurs x, u^, x, u^, 0:2 U3, Xou'i, XiU-^, x^u?^ manquent nécessairement; on peut ensuite, par l'adjonction du produit de u^ par une expression linéaire en m,, Mo, M3, faire disparaître aussi les termes en x^u-^, Xoii?,, Xzu'l. La coïncidence principale d'un connexe général (1,2) peut donc toujours être représentée comme coïncidence principale d'un connexe de la forme

(10) «^«2 «3 4- b^n.^iii-\- f^i<iH,— o,

dont l'équation est rapportée à trois des sept rajons fondamentaux; et il existe trente-cinq connf xes de cette espèce, corrélativement aux trente-cinq manières dont on peut choisir trois rayons fondamentaux.

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