CHAPITRE M

Le connexe (lo) est caractérisé par la circonstance que toutes ses courbes Kg touchent les côtés du triangle de coordonnées. La courbe I = o se décompose donc en trois points qui sont les trois sommets du triangle, la courbe H = o en trois droites qui en sont les trois cotés [voir t. Il, p. 255), et pour la courbe P=: o, dont l'équation s'obtient par élimination des u entre les équations

on trouve

^ iaj.h^c^=z o.

Enfin l'équation de la courbe du quatrième ordre est donnée par l'équation en coordonnées-points de la conique (lo); elle prend donc la forme simple

Si nous formons ensuite Xj=i= o, en plaçant y au sommet Wi= o du triangle de coordonnée, il vient, en faisant ji égal à i,

.^,^y.u ^.x — o, bx^o, Cjc= o qui figurent dans (lo) soni, par suite, les tangentes doubles de F qui sont liées de la façon précédemment décrite aux sommets du triangle comme points d'intersections de rayons fondamentaux.

Les six formes linéaires qui se présentent dans le déterminant (il) désignent donc, égalées à zéro, des tangentes doubles deF= o. On le vérifie aussi sans peine directement sur l'équation (ii). Si l'on pose, en effet, Ca:= o, par exemple, dans cette dernière, on obtient l'équation

(a^xi— 0^X2)-=^ o,

et le même résultat se produit pour 0:3=0. Les lignes Cj:=o, 0:3=0 touchent donc F = o en ses points de rencontre avec. la

LES CONNEXES. 4l9

conique «^.ri — &;cJ?2=o- Cette dernière passe par les points de rencontre de ax= o avec bx= o et Xi=^ o, de bj:= o avec x, = o et de Xi = o avec X2= o. On obtient ainsi le théorème suivant, dont nous aurons encore à faire usage incessamment et qui est indépendant de la forme d'équation de notre connexe.

•Si Si, So, S3 sont trois tangentes doubles de F comprises parmi les sept indépendantes les unes des autres, et se coupent respecti- "venient aux points p\ , p^, p^ ; si, de plus, CTi, cj.,, 0-3 sont les p tangentes homologues des points pi et se coupent en tIj, tTj, tts, les points de contact de 5, e£ a, sont situés sur une coniipie aussi bien avec les points />, et t:\ qu'avec les intersections de s^ et 0-3, de s 3 et (72, etc., et les trois coniques qui prennent ainsi naissance passent par les quatre mêmes points, ainsi qu'on le reconnaît immédiatement sur leurs équations

(12) ^'i,l>x — •^3C^=^o, x-^c^ — x^a^z^zo^ x^Ujc — x^b^=o.

Actuellement, en cherchant d'abord pour sept droites données arbitrairement l'un des connexes spéciaux (i, 2) de la forme (10), nous pouvons résoudre, sans difficultés essentielles, le problème suivant :

Etant données sept droites quelconques comme rajons fondamentaux d'un connexe général (i, 2), construire la coïncidence principale de ce dernier.

Nous emploierons trois quelconques des sept rayons comme rayons fondamentaux d'un connexe de la forme (10). Soient ».,, ^o» ^3 ces trois rayons, et px, p^, pa leurs points de rencontre j désignons par ti, t^, ts, tji les quatre autres rayons, etpar/^joiy^o? ••• leurs points de rencontre respectifs. Gomme toutes les coniques R2 du système appartenant au connexe doivent toucher les lignes Si, plusieurs coniques de cette espèce se trouvent immédiatement déterminées parle choix des lignes dont il s'agit. En effet, aux points d'un rayon fondamental correspondent des coniques tangentes à ce rayon lui-même, et par conséquent aux points de rencontre de deux droites t coniques tangentes à ces deux droites et dont, par suite, cinq tangentes sont connues. On connaît ainsi de

Cleuscm, — GéuméCrie, III. 2y ,

45o TOME 111. — CHAPITRE II.

prime abord les coniques qui répondent aux sommets du quadrilatère complet des lignes t/.

Mais on peut ensuite trouver aussi, pour tous les autres points des droites ti, les coniques qui s'y rapportent. Ainsi, par exemple, le système de courbes Rg qui répond aux points de f, est projectif à la série de ses points de contact sur ti\ et cette relation projective est fixée par la circonstance que l'on connaît les coniques Ka qui répondent aux trois points pi2, pta, Pi', et, par conséquent, aussi leurs points de contact 7112, 7:13, t:,,. On peut donc, pour tout point quelconque p àe ti, construire le point de contact correspondant TT, et aussi, après avoir préalablement trouvé ce dernier, la conique répondant à p, laquelle est alors déterminée, de la manière connue, par les quatre tangentes s^, 52, ^3, t^ et par le point de contact ît surf,. On peut encore, par une construction linéaire, mener du point p à cette conique l'autre tangente qui forme avec ^i le couple de rayons de la coïncidence principale qui répond à f , .

Il s'agit ensuite de construire les lignes a^= o, bx= o, Cx-= o importantes pour le connexe (10). Or tout point de Sf forme avec le point de rencontre pt de S2 et ^3 une conique qui répond comme courbe K2 à un point déterminé de ax= o. Les points de s^ et de a^= o se trouvent par là liés projectivement. Mais on connaît les quatre points de cette dernière ligne qui correspondent aux points de rencontre de St avec les lignes tf, d'après les observations faites il y a un instant, car ces points de rencontre forment avec /?) des coniques des systèmes déjà connus qui correspondent aux points des droites ti. Par là se trouve déterminée la droite aj:= o et en même temps la coordination projective de ses points par rapport aux points de s^. Les choses se passent d'une manière analogue pour les lignes bx= o et c^=: o; on peut donc construire toutes les coniques décomposables et les points auxquels elles répondent comme courbes K2.

Les problèmes importants qui nous restent encore à traiter : Construire pour un rayon quelconque u la droite de connexe C^, et pour U7i point quelconque x la conique de connexe K2, se résolvent très simplement.

Trouver pour un rayon u la droite de connexe, cela signifie déterminer la droite aux points x de laquelle répondent les coniques

LES CONNEXES. /JDI

Ka tangentes au rnjon u. Or, évidemment, de pareilles coniques Kg sont formées par les trois points de rencontre de ^,, s^^ s^ pris respectivement avec les sommets opposés yPi, p2^ p^; lë^ points correspondants x sont situés sur les droites a, §, c et, par suite, sont connus, d'après ce qui précède; mais eux-mêmes sont situés sur une droite qui est précisément la droite cherchée Cj répondant à X.

Pour trouver la conique Kg relative à un point x, on mènera une droite w par x; on connaît alors les coniques décomposables qui correspondent aux points de rencontre de la droite avec ax= o, 6^=0, Cx=o, par conséquent aussi celle qui répond à x, car le système des courbes Ko qui répondent aux points x de u est projectif à la série de ces points x.

En conséquence de cette construction, le connexe (10) doit être considéré comme complètement connu; on connaît donc aussi sa coïncidence principale, c'est-à-dire la coïncidence principale d'un connexe quelconque qui a les sept droites données pour rayons fondamentaux ( * ).

A l'aide de la construction de cette coïncidence principale on résout ensuite aisément l'important problème qui suit (*) :

Etant données sept tangentes doubles d'une courbe du quatrième ordre indépendantes les unes des autres, construire les "vingt et une autres, ainsi que les points de contact de toutes ces vingt-huit tangentes doubles.

On emploiera les sept tangentes doubles données comme rayons fondamentaux d'une coïncidence principale (1,2) qui peut être construite de la manière indiquée. Si de chaque point de rencontre de deux de ces sept rayons on mène le couple de tang>entes à la conique déterminée par les cinq autres et qu'on cherche sur les

(') On peut rattache!* à ces considérations la solution de beaucoup d'autres problèmes. Ainsi, par exemple, pour trouver la neuvième tangente commune de deux courbes de troisième classe si huit autres sont données, on déterminera la coïncidence principale (i, 2) qui répond à sept da ces dernières, et dans cette coïncidence principale le point répondant à la huitième. On mènera de ce dernier point la seconde tangente à la courbe correspondante K,; ce sera la droite cherchée.

(') Foir .V.BÜNUOLD, loc. cit.

tangentes de chaque couple les points de coïncidence, la ligne qui joint les points de coïncidence d'un couple est précisément une tangente de la conique employée, mais elle est aussi une des vingt et une tangentes doubles cherchées, et les points de coïncidence sont ses points de contact ('voii' les théorèmes donnés

Pour trouver ensuite les points de contact sur les trois tangentes doubles données qui sont employées dans la construction de la coïncidence principale (i, 2) comme rayons 5,, 50, .^3, il suffit, d'après un théorème précédent, de déterminer leurs points de rencontre avec les trois coniques (12), lesquels peuvent être construits aisément. Pour obtenir enfin les points de contact des quatre autres tangentes doubles t,, to, Z3, f,,, on remarquera que ce sont ceux des points des quatre droites qui sont situés sur leur conique correspondante Ko. Il suffit alors de construire les points qui se correspondent à eux-mêmes dans les séries projectives superposées déjà employées qui existent sur chacune des droites en question; ce qui se fait de la manière connue (t. I, p. 65). Le problème posé se trouve ainsi résolu.