VIII. — Sur la théorie des équations différentielles

Nous avons vu comment la coïncidence principale d'un connexe algébrique est liée de la façon la plus étroite à une équation différentielle algébrique déterminée, et nous avons appelé l'attention sur ce fait que de la théorie dds invariants des connexes doivent naître de nouveaux points de vue pour la théorie des équations diff'érenlielles; nous avons, en outre, eff'ectué réellement dans quelques exemples l'intégration des équations différentielles considérées. Mais la méthode de considération de la théorie des invariants, et, en particulier, l'homogénéité qu'elle exige dans les équations n'est pas seulement utile pour les équations diff'érentielles purement algébriques 5 elle offre, au contraire, également des avantages essentiels pour le cas où les puissances des diff'érentiellcs dx, dj apparaissent multipliées par des fonctions transcendantes, ou même aussi pour celui oii ces différentielles entrent elles-mêmes d'une façon transcendante, c'est-à-dire pour l'équa-

tion différentielle du premier ordre entièrement générale

On peut, en effet, transformer toute fonction 4» de cette nature

en une fonction homogène d'ordre zéro en posant x =^~t j =^—->

et alors tout d'abord le théorème d'Euler, si utile pour les fonctions homogènes, se présente sous la forme

Oxi 0-r^ 0,^3

Dans ce qui suit, nous ne ferons que signaler brièvement quelques faits que l'application des points de vue projectifs permet immédiatement d'éclaircir et qui, en particuher, se présentent au premier plan dans les recherches contemporaines sur les équations différentielles; toutefois, nous nous bornerons à une introduction courte et nullement complète à ces théories, surtout parce que ces dernières sont encore en formation. Le but de ce qui va suivre est, en particulier, de faire ressortir la connexion des nouveaux points de vue avec la théorie ordinaire, et pour cette raison nous commencerons par faire usage des coordonnées rectangulaires. Les sujets que nous avons à exposer peuvent être caractérisés de la façon suivante :

i** Notion de l'intégrale d'une équation différentielle;

2° Notion des transformations générales de contact et établissement de ces transformations;

3° Solutions singulières d'une équation différentielle.

Si, dans l'équation

(i) rf[x,y,p).-=zo, où P^'-^^^

on entend par x, j des coordonnées ponctuelles dans le plan, à tout point jc, j sera associé, en général, par ces coordonnées une direction p ou un nombre fini de telles directions, et le problème de l'intégration revient à trouver des courbes

434 TOME in, CHAPITRE II.

(a étant un paramètre) qui soient touchées en chacun de leurs points par une direction correspondante p, ou autrement dit de faire succéder les uns aux autres de manièi^e à constituer des courbes les éléments d'arc issus des points individuels x, j.

Dorénavant nous appellerons x, j, p les cooidoniiées de l'élément d'arc considéré, et nous ferons observer, comme idée fondamentale dansée qui va suivre, que ces coordonnées seront toujours envisagées comme variables similaires. Les éléments d'arc qui satisfont à cp = o seront appelés les éléments principaux de l'équation (au lieu d'être appelés éléments de la coïncidence principale)^ et les courbesy=o, qui représentent les intégrales de 9 = 0, les courbes intégrales correspondantes. De l'ensemble de tous les éléments principaux du plan qui sont en nombre triplement infini (c'est-àdire des éléments du connexe identique u^-- o) un nombre doublement infini est détaché par l'équalion cp =: o, et ces éléments apparaissent décomposés par les courbes intégrales en un nombre simplement infini de groupes comprenant chacun un nombre simplement infini d'éléments principaux. Les éléments principaux en nombre infini qui se rattachent à une même courbe intégrale sont groupés d'une manière déterminée et remarquable. En tant, effectivement, qu'on peut considéi'cr une tangente de la courbe comme ligne de jonction de deux points consécutifs de cette dernière, on peut dire de deux éléments principaux consécutifs

•'"'■»TiP Gt .r. H- dx, j ~- dj, p -r- d]>

d'une courbe intégrale que la droite de l'un passe par le point de l'autre, ce qui trouve son expression analytique dans l'équation

(2) dy — pdx^o,

c'est-à-dire dans l'équation de définition de p. Comme cette équation se présente très fréquemment dans la suite, nous attribuerons à la relation de deux éléments voisins qui y satisfont la dénomination de situation réunie des deux éléments.

Nous appliquerons maintenant à la notion ordinaire exposée ici de la courbe intégrale l'idée fondamentale de la Géométrie projective, savoir qu'on doit regarder comme assimilables entre eux tous les résultats qui dérivent les uns des autres par collinéatioii (projection) ou par transformation dualistique (principe de dua-

lité). L'introduction des collinéations n'exige pas, à proprement parler, une extension particulière, ou du moins pas une extension extraordinaire des notions formulées jusqu'ici. Nous devons, d'ailleurs, faire observer que, conformément au principe précité, on peut parler aussi bien d'éléments principaux à distante infinie que d'éléments à distance finie, ce que précisément l'emploi des coordonnées homogènes met parfaitement en lumière; on peut aussi, comme cela va de soi, admettre par avance les éléments principaux imaginaires. On aperçoit du reste clairement comment, par la prolongation d'une courbe intégrale à travers l'infini (c'est-àdire à travers la droite de l'infini), on est amené à apercevoir en particulier que la droite de l'infini, par exemple, peut se présenter elle-même comme courbe intégrale, etc. La conception ordinaire sera déjà bien davantage dépassée si l'on demande par analogie de considérer aussi de la même manière, dans les recherches sur les solutions singulières, les résultats à distance infinie. Une nouvelle idée est, d'ailleurs, introduite par la considération des transformations dualistiques. Par elles les éléments principaux qui se rattachent à une courbe donnent, en général, naissance aux éléments principaux d'une nouvelle courbe. Cette dernière dégénère toutefois en un point si la première consiste en une droite, et l'on est ainsi conduit à envisager aussi le point ou, si l'on veut, le faisceau de rajons comme forme possible d'une courbe intégrale. Cette conception s'accorde au fond avec l'équation (2), laquelle est caractéristique pour deux éléments principaux consécutifs d'une courbe intégrale; elle est également satisfaite si l'on pose dx z=z dy = 0, p restant arbitraire, ou autrement dit si un élément principal tourne autour d'un point fixe.

Un exemple relatif à cet objet nous est fourni par le système des courbes intégrales d'un connexe (i, 1) qui peuvent, en général, être représentées sous la forme (p. 435)

x^j' x\^ .t\> = con st .

(avec X, -f- ^2+ l-i= o). Ici les trois côtés du triangle de base forment une courbe du système ; de même aussi ses trois sommets doivent être envisagés comme courbe? intégrales, car l'équation des courbes en coordonnées-lignes est absolument de la môme forme. Il existe bien, d'ailleurs, des équations différentielles dont toutes

'(5*) TOME m. — CHAPITRE 11.

les courbes intégrales se composenL de lignes droites (par exemple, celle de l'équation p = o), et de même aussi on concevra des équations dans lesquelles des points se présentent exclusivement comme courbes intégrales. Anal} tiquement ce sont simplement les équations qui ne renferment pas p, c'est-à-dire les équations de la forme <^{x, j) = o, ou simplement x = o. Elles sont satisfaites par tous les éléments principaux dont les points sont situés sur une courbe fixe (p. 352 et suiv.), et les courbes intégrales qu'on en peut déduire sont précisément ces points eux-mêmes considérés comme faisceau de rayons et, en outre, la courbe formée par les points en question, laquelle doit être considérée comme solution singulière ( ' ).

Nous satisferons aux conditions de la Géométrie projective rappelées ici si (en négligeant d'abord les éléments à distance infinie), nous définissons une courbe intégrale de la manière suivante (-) :

Une série simplement infinie d'éléments principaux x, j, p sera appelée une courbe intégrale ou mieux {^aßn que l'expression de courbe ne donne lieu à aucune confusion) une variété intégrale à une dimejision ( une intégrale M, ), si, pour deux éléments principaux consécutifs x, j, p et x -h dx, y -f- dy, p -h dp situés à distance finie, la condition (2), c est-à-dire

dj — p ch: = o est satisfaite.

Le problème de l'intégration d'une équation (ä[x, y,p) ^=^ o peut alors, y compris le cas où p ne figure pas dans 9, se formuler en disant que les éléments principaux en nombre doublement inßni de l'équation cf = o doivent être rassemblés dans les intégrales M) en nombre simplement infini.

Donc analytiquement on demande, pour embrasser tous les cas, d'établir une équation supplémentaire renfermant un paramètre arbitraire a

(3) ■}^[.T,X,p,y.)=zO,

(') Voir le dernier exemple à la fin de cette seclion.

(') Voir Lie, Zur Theorie partieller Differentialgleichungen erster Ordnung [Göttinger Nachrichten, 1872, p. 473).

LKS CONNEXKS. 4^7

et teile qu'en vertu de 9 = o et t]/ = o la condition ( 2 ) soit satisfaite indépendamment de la valeur du paramètre a, que cela ait lieu pour tous les éléments principaux qui satisfont aux équations (p = o, 4^ = o, ou pour une partie seulement d'entre eux. En effet, pour une valeur donnée de a, les éléments principaux communs aux deux équations forment un système simplement infini, et l'on obtient l'équation des courbes intégrales en coordonnées-points

(4) A-V,y,rA]—0,

dans le cas où il est possible de l'établir, en éliminant p entre (j) rn= o et c|/ = o. Mais on peut aussi considérer l'équation (4) ellemême comme une équation de la forme (3), puisque, conjointement avec l'équation implicitement supposée

ày

elle remplace complètement la combinaison des équations Cj) = o, t|/ = o. Si l'équation (i) ne renferme pas la quantité p, une équation (4) est tout à fait insuffisante pour représenter l'intégrale M.^ . On devra, au contraire, combiner avec l'équation (^ = o une équation (3), en sorte que, dans ce cas, notre nouvel énoncé du problème de l'intégration devient par le fait nécessaire. Il est, d'ailleurs, évident en soi que les équations (3), qui deviennent actuellement applicables à la représentation des intégrales M, de 9 = 0, sont précisément des équations ne renfermant pas p, mais bien un paramètre a. Il ne s'agit plus alors que de représenter les points de la courbe cp = o ; ce à quoi on arrive le plus simplement possible en coupant 9 =z o par un système simplement infini d'autres courbes.

Les propriétés que doit posséder une fonction ^ pour déterminer de la manière décrite une intégrale M) de cj) peuvent se représenter par une équation différentielle linéaire du premier ordre aux dérivées partielles. On doit, en effet, pouvoir alors trouver pour chaque élément principal commun de 9 ettp un élément principal voisin qui soit en situation réunie avec le premier (p. 4^4) et appartienne aussi aux deux équations, ou, autrement dit, il faut

la coexistence des trois équations

df , dx

-r- dx -+-

dx

d^ df

pdx — dj

desquelles rési

Lilte

dx

d!, dp'

d-^ d(p dx dp

fd^ d^ \àj dp

d-^ do ôj dp

C'est là la coïididon pour que les éléments principaux communs f/e ç = o, ^l' = o (ou même seulement une partie séparable de ces éléments) forment une intégrale M, pour les deux équations ( ' ). Il faut naturellement exclure le cas où deux des équations (5) se confondent l'une avec l'autre, c'est-à-dire où l'on a

d'f à'f d'à d-ij dl ^ d-\t

dx ' df ' dp dx ' df ' dp

ce qui arrive, par exemple, pour (j; = tj^ -f- const. , ainsi que le cas où l'équation (6) est satisfaite par l'évanouissement des dé-

Nous reviendrons ultérieurement

(') Voir, Jacodi, Vorselungen über Dynamik, herausgegeben von Clebsch, Berlin, i866, p. 172 et 237 et suiv. L'équation (6) se transforme effeciivement en l'équation de condition de Jacobi si l'on introduit en outre le quotient p'.qviVL lieu de — /> ; il faut alors traiter y?, q absolument comme des coordonnées-lignes On aura ensuite à éliminer les grandeurs dx, dj, dp, dq entre les quatre équations

-^ dx -+- ^ dr -h ~ dp -h -^ dq =^ o, ÖX df ■^ dp ^ dq ^

dp , dp j dp , dh ,

--^ dx -\- ^ dy -^ -^dp -i- ^ dq — o,

dx à> ■' dp '^ dq ^ .

pdx-^qdf — 0,

xdp-\- ydq^^o,

ce qui donne, eu égard à ce que çj, <p sont homogènes enp, q, l'équation de condition de Jacobi

d-f dp d'i, àl__à^ àp^ àp dx dp df dq dp dx dq dj

Voir aussi ci-dessous la même question traitée eu coordonnées homogènes.

sur ces cas exceptionnels quand nous ferons usage des coordonnées homogènes.

Nous pouvons établir et énoncer ce résultat sous une autre forme qui nous sera utile plus tard. Les équations (5) expriment, en effet, que l'expression pdx — dj s'évanouit en conséquence des équations ^«^ = o, d^:=o^ et cette circonstance se présente évidemment toujours si l'on peut déterminer une fonction x("^>T^ P)"» telle que l'on ait

(7) ck — yjî!^z=[df — pd.r.)p,

et réciproquement. Nous nous proposons donc maintenant d'établir la condition à laquelle les fonctions 9, (^, x doivent satisfaire pour qu'une équation de cette espèce soit possible.

L'équation (7) se décompose immédiatement en les trois relations suivantes :

d'j> d-ii df d'if dv di^

et, en éliminant y^ et p, on retrouve l'équation (6). Nous obtenons cette dernière sous une autre forme en introduisant les dérivées totales; comme, en effet,

la seconde équation donne, eu égard à la première,

1c ~~'^' 'dv ~ "'

et par combinaison avec la troisième équation il en résulte ensuite

d'jf d-h âf dh

^^' dx Op dp dv '

équation qui se tire directement aussi de (6) en vertu de (8). Si donc 9 = 0, 4* = o dowent avoir une intégrale M, commune, c'est-à-dire s'il doit exister ujie équation de la forme (7), il faut l'accomplissement de la condition (9), dans laquelle, contrairement à (6), interviennent les dérivées totales.

Or ces considérations gagnent immensément sous le rapport de

46o TOME III. — CHAPITRE II.

la symétrie et de la clarté de l'exposition à Fintroduction de coordonnées homogènes et, pour préciser, à l'emploi simultané de coordonnées-points et de coordonnées-lignes homogènes. Ces coordonnées s'introduisent dans le cas général absolument comme il a été expliqué plus haut (p. 386 et suiv.) pour le cas particulier des équations algébriques, en transformant l'équation difFérentielle en une équation entre les coordonnées-points et les coordonnéeslignes et en ajoutant alors les conditions Ua:= o, Uda:=^ o, en faisant, par conséquent, la substitution

^4 'TCn H\ Wo

x=-^, J = " , p^- i. xp-y = -^ .

Dans les fonctions homogènes de dimension nulle qui prennent ainsi naissance, les dénominateurs .ra, u<i jouent tout d'abord un rôle remarquable; toutefois, on n'a nullement à considérer exclusivement des fonctions ayant ces dénominateurs, et il sera, au contraire, avantageux de les remplacer par les fonctions les plus gene'rales d'ordre nul et de classe nulle. Si l'on a, en particulier, affaire à des équations différentielles algébriques, on ne partira pas nécessairement de fonctions dont le dénominateur est formé par des puissances de «2 et Xs, mais on choisira, au lieu de ces dernières, les quotients de deux fonctions algébriques, dans lesquels le numérateur et le dénominateur ont la même généralité, en sorte que si, par exemple, l'on fait 0 égal au quotient des connexes a"Ui" et a'^u^ , l'équation ^ = const. représente le système linéaire le plus général des connexes.

La condition (2) de la situation réunie de deux éléments voisins X, M et X + dx, u -h du est actuellement à remplacer parles deux équations

(10) 2 «/ c/jT, = 0 et 2 Xi dlli rrr o ,

dont chacune est, en vertu de u^^^ o, {u -h du)x+dx^^ o, une conséquence de l'autre. En effet, la première équation (10) combinée avec Uj:=o exprime la même chose que l'équation (2), savoir que du pointa: part une direction d'avancement zt qui est déterminée par le point x -h dx. Un fait analogue existe à l'égard de la seconde équation (10).

Supposons maintenant qu'on ait sous les yeux une équa-

homogène en x, u et de dimension nulle, et cherchons la condition pour qu'elle ait, avec une autre équation Y(x, u) = o, une intégrale M, commune, c'est-à-dire pour que les éléments principaux qui satisfont aux équations $ =l^ o, 'F =i^ o, Ux^=^ o forment une courbe intégrale (courbe de coïncidence principale) de <ÎJ = o. Nous avons alors, à la place de (5), les conditions

> -r— dxi -i- y — — dui^^ o,

^Uidxi=z o, 2.Xidui^ O;

et par élimination de dxi, dui, en désignant parles indices i, 2, 3 la différentialion par rapport à Xt , X2, X3, par les indices I, II, III la difTérentiation par rapport à u^, Uo^ ihf et en fixant les valeurs absolues des o:, u par les équations 1^=1, ui=i i (d'où Y,hidxi= o, lllidii>i=:^ o), on en tire l'équation de condition

"yn