MI

Or, en désignant par i les indices i, 2, 3, par y les indices I, II, m, on a , eu égard au théorème d'Euler,

«I'i«2Â:3.I±Ti.r,/3 =

l^jnj l^jkj

l^ili

u, kl

IWj^l

u IW.kj

-:s>Ky*,

Une équation analogue a lieu pour le produit des deu\ autres dé-

terminants, et nous obtenons, en conséquence, la condition

qui doit exister, en vertu de 0 := o, ^ = o, Ux= o.

Cette équation aux dérivées partielles intervient à la place de (6) ou (g) ; elle est, suivant une expression dont nous nous servirons, la condition nécessaire pour que les équations $ = o, ^ = o soient en « situation d'involution » (pour qu'elles aient une intégrale Ml commune). L'équation (i i) est, d'ailleurs, aussi satisfaite pour les éléments principaux singuliers de ^ et 'i^ pour lesquels toutes les quantités <î>/, 4>y ou V/, ^j s'évanouissent (par exemple, si ^ =f^) et également encore lorsque les grandeurs ^/, ^j deviennent proportionnelles les unes aux autres. En excluant ces cas seulement, on peut donc énoncer le théorème suivant :

Le problème qui consiste à intégrer V équation ^ =. o se confond avec la qxLestion de trouver une fonction *? homogène en x, u de dimension nulle qui satisfasse à V équation aux dérivées partielles ( 1 1 ) et renferme un paramètre a .

Les avantages que présente l'usage de coordonnées homogènes par rapport à la représentation précédente sont déjà évidents sur cet exemple. Premièrement, en effet, l'équation (ii), contrairement à (6) et (9), est absolument symétrique, et elle renferme uniquement des dérivées partielles ('); de plus, les éléments à distance infinie n'ont plus besoin d'être considérés à part; il ne reste plus à avoir égard qu'aux cas exceptionnels déjà ainsi dénommés et dont l'existence tient à la nature de la question.

Le problème donné dans l'équation (7) acquiert un intérêt particulier et une utilité particulière pour les applications ultérieures lorsqu'on le traite en employant des coordonnées-points et des coordonnées-lignes homogènes. Comme alors l'expression dj — pdx doit être remplacée par udx ou dux sous la condition Ux^=- o, nous avons évidemment le problème suivant.

On demande d'indiquer les conditions auxquelles les fonctions

(' ) Voir la note de la pa^je /pS.

LES CONNEXES. ■'((jii

<t>,, ^2, ^zi F,, Fa, F3 doivent satisfaire pour qu'il existe une équation de la forme

(12) ^jf/Fi-l- *2'^F2-t- ^3dF3= Uidri\- u^dr^-^ u%dx^,

de laquelle résulte, en vertu de Ux^-- o, l'équation symétrique

( 1 3 ) Fl ^/4>i -I- F2 d^2 4- F3 f/<I>3 = x^ dui -+- x^ du.^ H- x^ du^ .

Dans le second membre de (12), nous pourrions ajouter un facteur p comme dans (7); toutefois, nous imaginerons que ce facteur est compris dans les 4>/, et nous admettrons qu'il ait toujours été déterminé de telle sorte que toutes les fonctions $, et F/ soient de dimension nulle en x et u.

Nous écrirons l'équation (12) sous la forme

d'où l'on tire immédiatement

On obtient ensuite, par différenliation, () V àV, d \^ dF;

à.v,,^ dx,, dx,,^ dxf,

d V" àF,- ô V àFi

X <li^. — X 4>j. := o,

àun Lu àx,, dxk Là àu,^

d V ^F/ à V àFi

dukLu àxk dx,,^ du^

d V àFi d V ^I"'/

X <J). . . X ^. zzzz O,

àu/, Zu ' duk du,: Lu àuh

d'où, en développant

2u\àxu dxk dxk ôx,J ~°' 2u\àu,, dx,, âxj. du,J ~

\ ( à^ àYj^ à^ dFi\ "S^ (d^j dFj d»,- dVjX ^ 2ià\du'k dxk~ dxk duj ~~ ^' Zà \àuu duk du^ du,J ~ °*

464 TOME 111. — CHAPlTne II.

Ces quatre relations expriment que des six équations (i =i^ i, 2, 3

résultent les six autres

^l».- ^ dFi\ du,, " ' du,, }

Si donc on porte ces valeurs de j^, Zf, dans les équations précédentes, il doit en résulter des identités, et de cette manière on trouve que l'on doit avoir aussi les relations suivantes :

où, d'une manière générale, le symbole (PQ) désigne l'expression dont l'évanouissement donne, d'après (11), la condition de la situation en Involution pour les équations P = o, Q = o, où, par conséquent,

^ ^ \ Ôx, Olli Olli OXi I

Le même raisonnement peut être poursuivi en sens' inverse; on a, en conséquence, l'important théorème qui suit :

Les conditions nécessaires et suffisantes pour V existence des équations [\i) et (i3) soiit données, sous le bénéfice de Mx=o,

(') Voir les Mémoires de S. 'Lie, Abhandlungen der Gesellschaft der Wissenschaften zu Christiania, 3 mai 1872 et 21 mai 18, 3, et Math. Annalen, t. VIII, où la démonstration est déduite du problème de Pfaff. Pour la marche suivie au texte, voir A. Mayer, Göttinger Nachrichten, avril 187^, ou Math. Annalen, t. VIII, p. 3o4, et Lie, ibid, t. IX. Si l'on ajoute au second membre de (12) pour raison de généralité un facteur p, à la place de la dernière équation (i5) se présentera l'équation (F,*,)=^, mais tout le reste demeure inaltéré. (Foj> Mayer, lac. cit.). Dans les formules de Mayer, il suffit de prendre toujours z constant pour obtenir celles du texte.

LES CONNEXES. ^d'j

/)a?- les équations aux dérivées partielles (i5) dont le sens est mis en lumière par (i6).

Ces derniers développements, et en particulier les équations (i5), deviennent précisément d'une grande utilité, lorsqu'il s'agit d'établir toutes les transformations appelées transformations de contact. On comprend sous cette désignation les ti^ansformations du j)lan qui changent des courbes qui se touchent en des courbes |)Ossédant la même propriété, et^ par conséquent, des transformations vis-à-vis desquelles le contact est une propriété invariante ('). A cette classe appartiennent d'abord les coUinéations du plan et, en général, les transformations ponctuelles proprement dites, c'est-à-dire les transformations de la forme

puis aussi toutes les transformations dualistiques. Déjà, dans ces dernières, il peut arriver qu'une courbe (et pour préciser une droite) soit transformée en un point, et quelque chose d'analogue se présente dans le cas plus général où l'on prend pour base de la détermination de coordonnées, non le point, mais Vêlement pi'incipal, et où l'on définit conséquemment comme courbe une variété simplement infinie d'éléments principaux dont deux éléments voisins sont en situation réunie. Cette conception conduit aux transformations les plus générales dans lesquelles le contact est une relation invariante. Nous pouvons, en effet, définir également une transformation de contact en disant : une transformation qui change des éléments voisins réunis en des éléments de même natuie.

Nous ferons d'abord de nouveau usage de coordonnées non homogènes pour la représentation analytique. D'après notre dernière définition, nous obtenons la transformation de contact la plus générale en remplaçant les coordonnées x, j-, /; d'un élément principal par des fonctions des nouvelles coordonnées x', j', p

(') Elles ont élé introduites par Lie (bien que considérées déjà occasionnellement par PlCcker et J.vcoai). Voir le Mémoire de Lie, Begründung einer Invariantentheorie der Beruhrungstransformationen {3Iat/i. Annalen, t. \H1), où les résultats des différents travaux antérieurs sont résumés.

Cleuscu. — Géométrie, III. JO

./y dp

df d-p

dx dp

dp dx ~

d dx~

d d ôx'^^ df

telles que les expressions

dj ' — p' dx' et dy — p dx s'évanouissent toujours ensemble. Si donc nous posons

{17) x'=^[x,y,p), y = -p{x,jr,p), p' = x[-^,X,p)y

entre cp, (|;, -/^ doit avoir lieu l'équation (7), et de nos développements précédents résulte la proposition suivante :

Les équations (17) représentent une transformation de contact si la condition (6) ou [g) est remplie, c'est-à-dire si

relation où

A côté de cette représentation la plus générale dans laquelle il n'y a pas de distinction entre les cas où ce sont des points et ceux où ce sont des courbes qui correspondent aux points x, j, s'en présentent de plus particulières.

Par exemple, si aux points x,j correspond un nombre doublement infini de courbes, celles-ci peuvent être supposées données par l'équation {^œqualio directrix de Plücker)

en vertu de laquelle aux éléments principaux en nombre infini X, y, p qui comprennent le point x, j répondent les éléments principaux en nombre infini x', 7 ', p' qui se réfèrent à la courbe û = o. Aux points d'une cowrhe f[x,j) = o correspond alors un ensemble de courbes D. = o, et l'enveloppe de ces dernières (qui peut aussi se composer de points séparés) est la courbe homologue de la courbe/'= o ( * ). Un élément x, j, p qui comprend les deux points X, j el X -+- dx,j -f- dy et qui satisfait, par suite, à la condition dj — pdx = o, a pour correspondant l'élément qui est

( ') Voir Plücker, analytisch geometrische Entwicklungen, t. II, Essen, i83i, p. 25 1 . Un exemple est fourni par le cas considéré, t. II, p. 8.î, où les courbes il= o sont données par les premières polaires d'une courbe donnée.

LKS CONNEXES. 467

commun aux courbes

ôa ^ da ^

£1 = « et Û. -h -r- d.v + -T— </r = o : dv df

si donc x\ y' est un point d'intersection des deux courbes, la quantité p' qui s'y rapporte est évidemment donnée par

à.'^Pdy^"-

On a en même temps

ànr. ^ dy

ôa

dx'

da'

dy'

Toute transformation de contact qui n est pas une simple transformation ponctuelle peut, par conséquent, être aussi représentée par des équations de la forme

Au contraire, les transformations de contact qui sont de simples transformations ponctuelles peuvent être représentées parles équations (16)

x'z=f[.T,y], y=y(.r,j); on a alors

dfo d<p

1^°' '' = à/ — JT'

Les définitions analytiques données ici des transformations de contact peuvent s'énoncer immédiatement pour le cas des coordonnées homogènes si l'on se rappelle que la condition dy — pdx = o doit être remplacée par U(ix=^ o ou {^du)x= o, et qu'alors la con-

4G8 TOME 111. — CIIAPlTHIi 11. ■

dition (7) se change en l'équalion (12) ou (i3). Nous avons ainsi d'abord ce théorème qui embrasse tous les cas :

Pni' les ëqualions

(21] J>7=:F,-(x, «), Vi=^i[x,u),

dans lesquelles les fonctions ¥/, ^isont des fonctions homogènes de dimension nulle, se trouve représentée une transformation de contact si les conditions

( F/Fa) = o, ( F,*/,) = o, ( ^i^,,) = o, { F,*,) = I . sont satisfaites.

En effet, il vient alors, en vertu de 1^^.= o, m^= o,

2 1'^- dji = 2 « / dx,^ 2éji dvi ■=:'L.Xi dui .

Les équations (ly) donnent, d'autre part, cette proposition : Toute transformation de contact qui n'est pas une transformation ponctuelle peut être représentée par des équations de la forme

(22) j rto, du

( ' é}xi "" ^ 0) i

Si, enfin, il s'agit d'une transformation ponctuelle, on peut employer la représentation suivante. On partira de deux équations entre les Xi et les j ,

ii'(.r,j) = o et Q." [x,y-) ■=! o,

et l'on déterminera un élément principal passant par x au moyen d'un paramètre X par les équations

âa' . du" 6/./-J- d.r,-

L'élément principal correspondant qui passe par j est alors déterminé par

ôLi' . du" , . .

(') P'oir Jacobi, Vorlesungen über Djnamih, p. 470, et Lie, Math. Annalen, t. VIII, p. 223.

et V ensemble des équations

du' ^ du" du' ^ du"

représente la transformation de contact.

L'importance fondamentale des transformations de contact pour la théorie des équations différentielles est déjà évidente d'après leur définition et ressortira encore davantage dans ce qui suit. En effet, de notre définition de l'intégrale M, d'une équation différentielle (p. 45Ö), il résulte immédiatement que :

Les transformations de contact sont identiques aux transformations d'une équation différentielle (^ou d'ufi connexe) dans lesquelles l'intégrale Mi de l'équation donnée se transforme en l'intégrale Mt de la nouvelle équation.

La chose a lieu en même temps pour toute équation différentielle quelconque, et par là se trouve établie une différence entre les transformations générales de contact et ces transformations que nous avons considérées précédemment et auxquelles était simplement imposée la condition restrictive de ramener l'intégrale Mi d'ïfwe équation donnée à l'intégrale M, de l'équation transformée, et qui, par suite, sont à peu près, par rapport aux transformations générales de contact, ce que sont les transformations unidéterminatives d'une courbe particulière par rapport aux transformations Cremona de tout le plan. Bien que nous ayons, dans des considérations précédentes, supposé le caractère unidéterminatif de la transformation, cette supposition est inutile pour les questions qui se présentent actuellement ; en effet, les développements donnés alors, et en vertu desquels la transformation (21) doit satisfaire aux équations aux dérivées partielles suivantes ;

pour présenter à l'égard d'une équation /(or, zf) := o la relation

TCi.MK lU. — CIIAI'II'HK II

précitée (p. 4o3), continuent à être vrais indépendamment de la circonstance dont il s'agit.

Si ces conditions doivent être remplies indépendamment de / = o, en vertu de iix= o, on en déduit de nouveau les équations (i4), dont sont dérivées les équations (i5). Il suffit, en effet, dans ce but, de remplacer / dans le second membre de la première

équation par \ -r—ui, à part un facteur numérique, et dans la seconde équation par \ ^ — jt/. Si l'on annule alors individuellement

les coefficients des grandeurs -r — » -v-» on tire de nouveau de la

^ dxi aui

première équation les conditions (i4)> à part le facteur K qui se présente dans le second membre, et de la seconde les équations correspondantes au point de vue dualistique

Mentionnons immédiatement ici l'important théorème qui suit :

Toute équationdifférentielle dupremier ordre peut être changée par des transformations de contact en une équation différentielle quelconque du prender ordre ( * ) ; elle n'a donc point d'invariants 'vis-à-'vis de ces transformations .

Pour le prouver, il suffit de montrer que l'on peut ramener l'intégrale Ml de l'une des équations à celle de l'autre; et, pour apercevoir immédiatement que cela est possible, il suffit d'observer que tout système doublement infini de courbes peut être transformé en la double infinité des points du plan et que, par suite, tout système simplement infini de courbes peut l'être dans les points d'une droite telle que Xi = o. La possibilité de transformer toute équation différentielle en une autre quelconque résulte, en effet, de la possibilité démontrée par là de mettre toute équation sous la forme canonique X\ =■ o. Avec la réduction de l'équation

(') Le fait n'a plus lieu pour les équations d'ordre supérieur. [Foir Lie, Gottiiiger Nachrichten, 1872).

différentielle à cette forme très simple, son intégration serait naturellement fournie aussi, car les courbes intégralei de l'équation Xt sont connues; elles se composent, d'après ce qui précède, des points de la ligne Xi = o considérés comme sommets de faisoeaux de rayons. C'est là une manière très digne d'attention de formuler le problème d'intégration.

Comme vis-à-vis des transformations de contact les points et les courbes ne diffèrent pas essentiellement, dans le but d'obtenir une généralité complète, nous ne parlerons plus de coordonnées-points. Au contraire, nous désignerons actuellement, en finissant, par Xt, X2, X3 les paramètres homogènes d'un système doublement infini de courbes (M,) que nous appellerons système « spécial ». Une équation

représentera la courbe enveloppée par les courbes spéciales M« dont les paramètres Xi satisfont à l'équation <f ='o. L'équation

Ui.Vi+ «jj-^-h 113X3=0

représente, si les xi sont considérés comme des paramètres, un nouveau système linéaire doublement infini de courbes Mj que nous appellerons système conjugué du système originaire. Si l'on attribue aux grandeurs xi, ui des valeurs fixes telles que cette équation soit satisfaite, nous appellerons encore ces grandeurs les coordonnées d'un élément principal. Il ressort immédiatement de la signification par nous attribuée à une équation <p (.r) = o que deux courbes des systèmes conjugués l'un à l'autre qui forment un élément principal se touchent respectivement; c'est ainsi que s'exprime géométriquement la condition récipi'oque dans les deux sens qui intervient à la place de la condition de la situation réunie du point et de la droite. En général, dans notre détermination actuelle de coordonnées, la spécialité de rôle que nous avons attribuée jusqu'ici au point et à la droite disparaît. La division des transformations de contact en transformations ponctuelles ou tangentielles proprement dites 3t en transformations plus générales d'éléments perd également ici son principal caractère. Il doit naturellement subsister une semblable division dans les formules, mais cette division ne répond plus à des conditions géométriques;

la séparation n'est plus que relative et dépendante du système de coordonnées choisi; elle n'est pas absolue.

A l'égard des éléments principaux ainsi définis, ont lieu tous les théorèmes précédents si l'on définit encore la situation réunie d'éléments voisins par la condition Udx^ — [dii)x=o. En particulier, une équation ^{x, u) = o qui renferme d'une manière homogène les X et les u et qui est supposée liée avec i^x= o sera appelée une équation différentielle. Intégrer cette dernière, ce sera établir une nouvelle équation

renfermant un paramètre a, de telle façon qu'en vertu de cp^ o, (|; = o, M^=: o, on ait aussi

U^/^ = o ou ( r/rt ) ^ = o

(p. 46o)> et ainsi de suite. Toutefois nous ne nous proposons pas de parcourir ici cette systématisation générale.

Nous avons considéré plus haut des transformations linéaires infiniment petites (p. 427). On peut de même établir des transformations de contact infiniment petites. Nous représenterons une transformation de celte espèce sous la forme

e désignant une grandeur infiniment petite, les (p,- étant du degré zéro par rapport aux zf/, du premier par rapport aux x,-, et les t|/, étant du premier degré par rapport aux zz/, du degré zéro par rapport aux x/. En opposition à nos hypothèses précédentes, nous faisons donc usage maintenant de fonctions de la première dimension {^^ Y ^^^ seconds membres des équations (28) doivent satisfaire encore ici aux conditions (la) si l'on pose

F j = Xi + sy/, * j = iii-\~ t-^i.

Mais on trouve alors, en développant et négligeant les grandeurs

(•) Une fonction de la première dimension par rapport aux x sera, en généra), de la forme 2A,.r^, les A,- étant des fonctions de dimension nulle en x et 11. On voit facilement que les équations (i5) subsistent aussi pour les fonctions de dimension non nulle.

es du second ordre,

les lettres h, i pouvant recevoir toutes les valeurs i, 2, 3 et, en particulier aussi, toutes deux une même valeur. Ces équations expriment qu'il existe une fonction H pour laquelle

Les seconds membres de ces équations doivent être du même degré en x^ u que les seconds membres de (aS); on a donc

d'où

Zj àui\ôukj Lu Oui\dx,,)

it et négligeant une constante inutile à considérer,

> M.- — = H et (le même > .r,-; — = ri; ^ dui Zu oxi

c'est-à-dire que H doit être une fonction de la première dimension par rapport aux Xi et aux u/. Si l'on pose encore, dans ( 23 ), x + c?.r à la place de r, u -{- du à la place de ç', et dt à la place de e, on obtient ce théorème :

H étant une fonction de la première dimension par rapport aux Xi et aux Ui, toute transformation de contact infiniment petite peut être représentée sous la forme ( ' )

Au moyen de ces équations, à lout élément principal d'une équa-

(') yoir Lie, Götiinger Nachricliteii, \S-'\, p. 'V^i, et Mach. Àimnlen, t. Vlll, p. 239.

/574 '•"ME '"• ~ CHAPITRE n.

lion <t> = o répond un élément principal voisin. Il peut arriver en particulier que ce dernier appartienne de même à l'équation <I> == o, et alors cette équation est évidemment ramenée à elle-même par la transformation (24), ainsi que nous l'avons déjà également vu plus haut pour les transformations linéaires. Parmi les équations <î> = o de cette espèce figure, en premier lieu, l'équation H = o elle-même. En effet, si, dans H, on pose x -h dx à la place de X et u-\- du à la place de u, H se transforme, eu égard à (24), en

XT V ^H 7 V ^H , TT

/j dxi ^ dui

Si l'on applique, au contraire, la transformation H, c'est-à-dire la transformation (24), à une équation quelconque <î> = o, il vient

d.Vi-h y —-dui=^-hdty (-^ :, 3—3—

la fonction 0 se transforme donc en elle-même lorsque ($, H) = o, en vertu de 4> =0 (ou 4> identiquement nul), mais ne s'annule pas immédiatement en vertu de H = o.

Le problème de l'intégration de l' équation <î> = o est, dans ce sens, identique au problème de la détermination d'une transformation infiniment petite qui ramène la fonction <î> à elle-même. Mais toute fonction H qui représente une équation différentielle en Involution avec ^ ne représente pas réciproquement sans préparation une transformation infiniment petite. On l'econnaît par cette proposition combien l'étude plus étendue de ces transformations présente d'intérêt; toutefois nous ne nous étendrons pas davantage sur ce sujet (* ).

A ces explications sur la notion idéale des équations différentielles, nous ajouterons pour finir quelques remarques sur leurs

(') Eu particulier, on obtient une nouvelle manière de concevoir la proposition appelée Théorème de Poisson et de Jacobi. {Voir Jacobi, Forlesungen über Dynamik, p. 268). On arrive ensuite à interpréter géométriquement la théorie du facteur d'ingrabilité. Sur ce dernier point de vue, n^oir un Mémoire de Lie, Abhandlungen der Gesellschaft der Wissenschaften zu Christiania, iSy^j P- 242 et suiv.

solutions singulières. On a coutume d'introduire ces dernières de la manière suivante ('). L'équation

dans laquelle « est un paramètre, représentant une infinité de courbes, on considérera le lieu des points d'intersection des courbes consécutives, lieu dont l'équation s'obtient en éliminant c entre

(25) /=o et ^=o.

Ce lieu, s'il n'existe pas de relations particulières entre les constantes de la fonction f, est l'ern>eloppe des courbes y= o, et il se présente comme solution singulière de l'équation différentielle dont les courbes intégrales sont précisément données par /*== o. Or il peut arriver que la courbe ainsi trouvée ne soit pas une courbe proprement dite, mais soit absorbée en tout ou en partie par le lieu des points doubles des courbes/= o ou d'autres points singuliers mobiles, ou qu'il n'y ait pas de courbe du tout, comme, par exemple, ûf^=o-\-a^., c'est-à-dire si/ = o représente un faisceau de courbes. D'ailleurs on peut, dans ce dernier cas, en conséquence de notre définition générale des courbes intégrales (p. 4^7)5 considérer comme figure enveloppe les points de base d'un faisceau de courbes envisagés chacun comme sommet d'un faisceau de rayons et, dansée sens, parler encore d'une solution singulière. Si, au contraire, les points d'mtersection de çp = o, 4' = o, par exemple, se réunissent par couples, toutes les courbes intégrales se touchent aux points dont il s'agit, et il existe un nombre fini d'éléments principaux spéciaux, mais aucune solution singulière formée par eux.

En présence des diverses hypothèses possibles, on doit se poser tout d'abord cette question : Qu' arrive-t-il en général (-)? c'esl-

( ' ) Pour ce qui concerne une exposition systématique de ces théories sous leur aspect usuel et, eu particulier, dans leur dévelopj)cnient historique, voir Koole, A treatisc on differentinl équations, 2° ed., Cambiidge and Dublin, i8G5, p. i63 et suiv., ol Supplementary -volume, p. 28 et suiv.

(^) Voir, pour ce qui suit, Dardoux, Sur les solutions singulières des équations aux dérivées ordinaires du premier ordre [Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. LXXI, et Bulletin des Sciences mathématiques, t. IV, 1873), ainsi que Clf.iîsch [Vath. Ànnalen. t. VI. p. 211).

CIIAPITRR II,

à-dire si les coefficients de l'équation difierenlielle donnée ne satisfont à aucune relation particulière. En premier lieu, il est clair que pour tout point de la courbe intégrale singulière deux des directions d'avancement correspondantes (éléments principaux) se confondent. Or le lieu des points pour lesquels cette circonstance se présente est, en général, le lieu des rebroussements des courbes ' intégrales, et n'est pas, à proprement parler, une courbe enveloppe, ainsi que nous l'avons déjà vu précédemment dans les équations difFérentielles algébriques (p. Spi), et qu'on le démontre absolument de la même manière pour les autres équations. D'autre part, il va de soi que l'on déduit des équations (aS) une courbe enveloppe proprement dite si les coefficients de f= o sont de nature générale ('). Nous pouvons exprimer ce fait dans la proposition suivante :

Les constantes, dans une équation difféï'entielle du premier ordre, sont assujetties à satisfaire à des conditions particulières, si les courbes intégrales doivent avoir une courbe enveloppe proprement dite; dans le cas contraire, il existe entre les constantes de l'équation intégrale des relations telles qu'à la place de cette courbe se présente un lieu de points de rebroussement. La question de savoir lequel des deux cas se présente en général dépend de la question de savoir si l'on suppose que l'équation différentielle ou l'équation intégrale soit donnée comme générale (^).

Il nous reste à indiquer les conditions moyennant lesquelles on obtient une courbe enveloppe proprement dite. Notre raisonnement précédent, qui nous a conduits au lieu de rebroussements

(') Il peut naturellement se présenter dans des cas particuliers des exceptions d'une autre espèce. Ainsi, par exemple, de la courbe déduite de (aS) se séparera le lieu des points doubles des courbesy:=o, ainsi qu'il a été observé, lorsqu'il se rencontrera un lieu de cette nature; il se pourrait aussi que la courbe lût absorbée tout entière par un lieu semblable, et alors il n'y a plus d'enveloppe. Un tel lieu de points doubles n'a d'ailleurs plus de rapport avec le lieu des rebroussements, car pour un point du premier deux des rayons homologues de coïncidence ne se confondent nulle part.

(*) Le fait qu'un lieu de rebroussement se présente lorsqu'il n'existe pas de courbes enveloppes proprement dites a déjà été démontré par De Morgan : On some points of the calculas ( Transactions of the Cambridge Philosophical Society, Vol. IX, Part II).

Li.s ci>.\mm;s. 4 77

F = o ne devient inexact que si la direction d'avancement, qui appartient à un point de F = o et qui doit être comptée double, se confond avec la tangente de F en ce point, car alors une courbe intégrale peut s'approcher de ce point et s'en éloigner de nouveau sans francliir la courbe F et sans pourtant former un rebroussemcnt précisément, parce qu'elle touche la courbe F au point dont il s'agit; la courbe 4> = o enveloppée par les droites des éléments principaux comptant double (dont les points sont situés sur F = o) doit, par conséquent, se confondre avec F = o. Mais la condition du contact proprement dit est réciproque par rapport à elle-même; la même courbe F sera donc nécessairement aussi enveloppée par les droites qui sont, en général, les tangentes d'inflexion des courbes intégrales (tangentes de F'=()), c'est-à-dire qui, complétées par un point comptant double, forment un élément principal comptant double de l'équation différentielle; et enfin le lieu $'= o de ces derniers points sera identique à F := o.

Si donc une solution singulière [une courbe enveloppe proprement dite) doit se produire, il faut que le lieu des points de rebroussevient des courbes intégrales (F = o), o« une partie de ce lieu, se confonde avec le lieu des tangentes d'inflexion de ces courbes (F'= o), ou avec une partie de ce dernier. Avec l'enveloppe se confondent alors le lieu des points d'inflexion et l'enveloppe des tangentes d'inflexion, ou du moins des parties de cette courbe.

La formation des équations F = o, F'= o peut s'effectuer de la manière décrite précédemment, car les règles qui y sont relatives sont applicables aussi bien aux courbes transcendantes qu'aux courbes algébriques. On peut alors reconnaître immédiatement sur ces équations s'il existe une solution singulière et indiquer cette dernière ; F doit précisément renfermer un facteur qui, repré senlé en coordonnées-lignes , est précisément identique à U7i facteur de F'. Des facteurs linéaires de F et F', s'il s'en présente, exigent seuls des études spéciales, parce qu'ils ne sont représentables que dans un seul système de ^coordonnées. Dans ce qui précède, sont renfermés les principes d'après lesquels on tranchera de la manière la plus avantageuse ce genre de questions.

Nous observerons encore seulement que, dans des cas particuliers, les courbes intégrales peuvent être liées à la courbe F = o