II
( *) On peut en dediiire une serie d'autres theordmes sur les systemcs de points tlMntersection. Consulter Cayley, Cambridge and Dublin mathematical Journal, t. Ill, p. 311, et les OuYrages cites de Cremona et Salmon. Nous nous occuperons plus tard particllement de ces theoremes.
les lignes situ^es Tune a cot^ de I'autre soient consid^rees comme les cotes opposes de Thexagone. D^signant par I, 11, III respectivement les points de rencontre de deux d'entre elles, nous pouvons regarder toute la figure comme form^e de trois courbes decomposables du troisieme ordre ayant huit points communs el qui sont :
i^ La conique et la ligne I 11 ; 2** Les trois lignes 12, 56, 34; 3® Les trois lignes 4^? ^3, 61.
Cliacune de ces courbes passe par les huit points i , 2, 3, 4^ ^f ^? I, II; par consequent la troisieme passe aussi par le neuviemc point d'intersection III de deux d'entre elles, et le th^or^me de Pascal se trouve ainsi d^montrd (^).
La proposition qui nous occupe forme, conjointement avec I'extension du principe de correspondance que nous ^tablirons plus tard, la base de la geouieLrie siir une courbe algebrique, c'est-3i-dire permet d'etablir une theorie des groupes de points sur ime courbe, semblablc a celle que nous avons ddja appris a connaitre relativement a la ligne droite ( Tlieorie des formes algebriijues binaires), Dans les recherches qui ont cet objel. rimportance fondamentale du genre (p. 65) d'unc courbe al^ebrique du /z'*"® ordre
p =z - in — i](n — 21 — fl — /•
se presentera a nous dans toute son ^lendue. Les proprieles le> plus essentiellcs des systemes de points sur une courbe apparaissenl comme dependant precis^ment du seul nombrcp, et non de Tordiv et de la classe de la courbe, de telle sorte que nous serons ullerieurement forces d'^tudier les courbes de plus pr^s suivant leur genre, et de les diviser a ce point de vue en classes essentiellemenl diflerentes. Ceci est en correlation exacte avec la theorie des integrales abc^liennes et des transformations univoques^ ce n'csl qu'une fois en possession de ces theories que nous pourrons envi-
(*) Fot'r Plucker, Analjtisch^geometrische Fsntwicklungen, t. I, i8a8, p. 267.
TO£ORIB GilMEEALE DBS C00RBB8 ALGEBRIQUES. l3S
sager dans son ensemble la g^om^trie sur une courbe. Nous sommes toutefois en situation de traiter d'une mani^re purement algebrique toute une s^rie de problemes, en nous appuyant surtout sur les trayaux de Brill et de Nother (*).
Nous nous bornons ici a la consideration des systemes de points qui sont traverses sur une courbe algebrique par ce qu'on appelle une courbe adjointe, restriction justifi^e par ce fait que les theor^mes deviennent notablement plus compliqu^s pour les courbes non adjoin tes. Sous le nom de courbe adjointe , nous entendons une courbe qui passe une fois par tons les points doubles et les points de rebroussement de la courbe fixe ou plus gen^ralement qui passe i — i fois par tout point multiple d'ordre i pour celle-ci, sans que, en general, les branches parti culi^res des deux courbes sV touchent. Nous supposons ensuite que la courbe donn^e du n**"* ordre C,j possede en chaque point multiple des tangentes s^par^es (^). Alors nous pouvons imaginer tout point
multiple d'ordre i comme remplacc par ~t(i — i) points doubles (p. 34)7 6l 6n ce qui concerne le genre poser
si la courbe Qn possede a^ points doubles, as points triples, . . . oLi points multiples d'ordre i. Pour le syst^me des points d'intersection d'une courbe adjointe, nous avons a poser dans les formules
de notre theor^me fondamental J = - 2a/i (t — i), et nous pouvons
alors r^noncer de la mani^re suivante, ainsi qu'on le reconnait facilement, puisque dans un point multiple d^ordre i sont toujours reunis i (i — i) points d'inlersection avec la courbe adjointe.
Parmi les points d' intersection d'une courbe adjointe du m'^""' ordre a\^ec la courbe donnee C/i non situes aux points singuliers.
(') Consulter, pour ce qui suit, Brill et Nother, Ue^er die atgebraischen Func* tionen and ihre Anwendung in der Geometric (Gottinger Nachrichten, fevricr iS^S* et Math. Annalen, t. VII, p. 269).
(') Sur la consideration des points multiples a branches particllement coincidentes, 'voir la Section des Transformations univoques, dans le Tome III, ainsi que la fin de la presente Section.
tSG TOMB II. — GDAPITRE I.
i^.Pour m^ n — 3, p au plus sont determines par les nm — ^oii.i[i — i ) — p = na-+- p — 2 [a = w — [n — 3 • 7'estants;
a® Pour m = n — 2 — /*, p — i ( /' H- 2) (/• — i ) au plus so/U
mm
determines par les - wt ( m -f- 3 ) 2 a/ . / ( i — 1 ) rcstant^.
Dans rexanien que nous allons faire des systemes de courbes adjointes, ou plut6t dans Texamen des groupes de points determines sur C/t par des systemes semblables, nous regarderons ces derniers corame caract^ris^s par les elements suivants :
I® Le nombre (Q) des points qui se trouvent dans chaque groupe du syst^me, c'est-i-dire le nombre des points d ^intersection mobiles d^une courbe adjointe du systeme consider^. Celte derniere peul, en effet, en dehors des points singuliers de^*, avoir un certain nombre de points d' intersection yiore^ communs avec C« ;
2° La multiplicite du systeme, c'est-i-dire le nombre (9) des param^tres arbitraires dont dependent les coefBcients d^une courbe du systeme;
3** Le degre du systeme, c'est-3i-dire la dimension ou la forme suivant laquelle ces q param^tres entrent dans r^quation de la courbe. Ces param^tres seront toujours supposes par la suite entrer rationnellement.
Quelques exemples peuvent servir k mieux ^claircir ces caracleres distinctifs. Supposons que On soit une courbe du troisienie ordre sans points singuliers; alors toutes les droites du plan forment un systeme doublement infini oo''^(y=2) de courbes adjointes qui depend lin^airement de deux param^tres ; les groupes dc points determines par elles sur Cj forment par suite un systeme lineaire doublement infini de trois points (Q = 3). D'autre part, toutes les lignes qui passent par un point fixe de C3 et qui, par consequent, coupent encore cette courbe en deux points mobiles, determinent un systeme lineaire simplement infini de deux points (Q = 2, y = i); puis les tangentes d'une conique fixe J^i Xa — a:* = o, e tan trepresen tables sous la forme
JTi -h 2>.r, -h X*Jfj = o.
TDEORIE C£!CEBALE DBS COCRIIES ALGEBRIQUES. 187
rornienl un systeme quadratique simplement infini de trois points , Si C3 a un point double et que nous consid^rions le faisceau do rayons issu de ce point, chaque rayon rencontrant encore C3 en un point mobile, le faisceau en question determine un systeme simplement infini d'un seul point [Cl = i), Enfin, g^neralement, loules les courbes adjointes du m**"* ordre {m ^lAnt'^n — 3) qui passent par s points fixes quelconques d^terminent sur C,, un systeme lin^aire de gi*oupes de points pour lesquels
Q =z urn — ^Ui, t(i — I ),
(J := nm — ^ «/ . / [I — I j — p — SI
car, parnii les Q points d'intersection, il y en sl p qui, d'apres iiotre ih^oreme fondamental sur les svst^mes d'inlersections, sont determines par les autres, et par consequent Q — /? seulement restent arbitraires; on a done y=Q — s — p. Si, au contraire, parmi les s points fixes, R sont situ^s sur C/i, nous avons
Q =: m/i — iuf'.i[i — I ) — R, q =zi mn — ^u^.t[i — I ) — s — p,
Tandis que les groupes de points sur Cn apparaissent, d^apres Texposition pr^cedente, comme dependant essentiellement des courbes adjointes qui leur appartiennent, on parvient, au mo\en (Ju theoreme appele theof^eme du reste, dont nous abordons mainlenant Texplication, a d^finir ces groupes dans une certaine mesure independamment des courbes qui les traversent, en sorte quails sont davantage des figures subsistant par elles-memes conforniement aux exigences de la Geometric sur une seulc courbe. Pour pouvoir enoncer d'une maniere precise et demontrer ce theorcme du reste, nous devons introduire les denominations suivantes.
Sous le nom de residu d'un groups Gq de Q points, nous d^si- ^^nons tout groupe de points (Gr) qui, reuni au premier, forme le >ysleme complet des intersections de la courbe en question C/, avec une*courbe adjointe; Tordre de cette derniere est ici indifferent. Nous devons encore une fois faire remarquer que, dans le systeme des points d'intersection , nous ne comprenons pas les intersections qui sont situees aux points singuliers de C/i', mais, comme leur nombre 2ai.(i — i) reste toujours fixe pour la meme courbe, nous completerons, cela va sans dire, le nombre total par
l38 TOHC It. — GBAPITRE I.
celui-U. U peut, d'ailleurs, arriver que, parmi les points de Gq (par exemple, par suite d'un contact de la courbe s^cante avec les branches de la courbe primitive aux points singuliers), il se trouve en ces points un nombre d'intersections plus grand que le nombre normal; celles qui d^passent ce nombre doivent ^tre comptees parmi les Q 4- R points. Le groupe de points Gr est dit residuel de Gq et r^ciproquement.
Nous appelons corcsiduels par rapport a Gq deux groupes de points Gr et Gr. qui sont r^siduels d'un m^mc groupe Gq, et qui. par consequent, peuvent ^tre coupes par deux courbes adjointo dont les autres intersections avec C^ tombent toutcs aux points Q: ces deux courbes peuvent 6tre du m^rae ordre ou d*un ordre different. La notion de la coresidualite tire son importance spdciale de ce fait, qu'au moyen du theoreme du reste elle est pr^cis^nient rendue independante d^un r^sidu special Gq.
Pour donner un exemple de Tapplication de cette definition, choisissons une courbe du cinquidme ordre (7i=:5) ayant deux points doubles (^ = 4). Toutes les coniques adjointes qui passenl par deux points fixes de C3 (et par les points doubles) coupenl encore C5 en quatre autres points. Chacun de ces groupes G4 esl residuel des deux premiers points fixes, et ils sont, en nombre simplcment infini, tons coresiduels relativement au groupe fixe Gj.
Le theoreme a d^montrer est maintenant d'une mani^re generate ainsi congu :
*Si sur une courbe algebru/ue les groupes de points Gr, Gr., . . . sont coresiduels entre eux relativement a un groupe de points Gq , ils sont aussi coresiduels relatii^ement a tout autre groupe dv points Gq. qui est residuel de I'un d'eux {par exemple rfe Gr) ( ' ).
Nous cclaircirons d'abord le sens du theoreme par quelque> cxemples. Considerons de nouveau une courbe C,-, ayant deuxpoint.s
( * ) Cc theoreme a et^ aussi donne pour les courbes du troisi^mc ordre par M. Sylvester, et se trouve dans rOuvrage de Salmon sur les courbes supericures qui a paru eii mdme temps que la Note publiee par Brill et N5ther dans les GSteinger Nachrichten. Historiqucment il a sa premiere origine, quoique non sous le rapport de la forme, dans Ic theoreme d'addition des integralcs abeliennes. II est, du reste, encore vrai a I'cgard des groupes de points sur une courbe decomposable; car, dans la demonstration, nous n'aurons nul besoin de supposer rirreductibilitd de la courbe /s=o.
T0£0IIIE GiMlgBALC 1>BS C0UBBC8 ALG^BRIOCES* 13^
doubles (/> = 4) ct le faisceau de courbes adjointes C2 passant par
deux, points fixes G2 (et en outre par les points doubles). Ce
dernier faisceau nous determine un systeme lin^aire simplement
infini de groupes G4 qui sont coresiduels relativement k G2. Mais,
par un tel groupe G^, on ne pent faire passer qu^une seule coniquc
adjointe; donc^ pour parvenir a un groupe Gq/ qui soit cor^siduel
du groupe G2 relativement k un groupe G4, nous devons faire
passer par G.t une courbe adjointe d'un ordre plus eleve, par
exemple du troisi^me ordre. Celle-ci coupe alors encore la courbe
Cs en sept autres points qui forment un groupe C7 cor^siduel de G^
relativement k Gj|. Maintenant le th^oreme du reste exprime que
par ces points G7 on pent faire passer un faisceau de courbes
adjointes C3 determinant sur C5 le mdme systeme de groupes de
points Gj| que celui determine auparavant par nous au moyen d^un
I'aisceau de coniques adjointes. La courbe adjointe C3 men^e d'abord
arbitrairement par Tun des groupes G4 aurait pu aussi ^tre choisie
de maniere a toucher C3 en Tun des quatre points, en sorte qu'un
point du groupe G7 decoup6 par elle aurait coincide avec un point
de G4 ; rien ne strait par la chang^ au fond des choses. Observons
en g^n^ral que les groupes Gn, Gr,, . . . et les groupes Gq, Gq,, . . .
peuvent indijfferemment renfernier des points ou tous differenls
ou partietlement les memes.
Pour demontrer notre th^or^me, adniettons que la courbe
donnee ( G„ ) soit
et que sur elle les groupes des points
Gq et Gr soient determines par A m o, Gq et Gr. » par B = o,
Gq/ et Gr >» par « = o,
A=: o, B = o, a = o elant des courbes adjointes kj = o : nous avons k montrer que les groupes Gq» et Gr, sont aussi situes sur une courbe adjointe. On pent, en efTet, ainsi qu'il sera demontre incessammenty trouver toujours deux courbes adjointes
p z= o, y = o, telles que Tequation
1 '|0 TOM II. — CnXPITBB I.
ait lieu identiqucmcnt. Car alors, en outre des points singuliers dey) la courbe (decomposable)
« . B = o renferme les groupcs do points Gq, Gqs Gr, Gr*, '/./= o » G(j, Gq', Gr, Gr^,
A = o • Gq, Gr;
par consequent, pour que |3. A soit nul pour tons les points racines communs de a.B et y ./, (3 = o doit n^cessairement renfermer les groupes (jQ, et Gr,, ce qu'il fallait d^montrer.
La circonstance que I'identit^ (i) peut toujours ^tre etablie en fait r^sulte dc ce que le produit «. B remplit toutes les conditions auxquelles, d'apr^s un th^or^me de Nother expose plus haut par nous ('), est attachee la possibility de le ramener a la forme dii second nvembre ; car ce produit s'^vanouit pour tous les points communs de A = o etf= o, et, en precisant, 21 — a fois en chaque |)oint multiple d'ordre idej=^ o, tandis que A= o a en un lei point un point multiple d'ordre i — i. En vertu de Videntitc (i), le rAle de j3 . A vis-a-vis de y,fioi\, etre compl^tcment analogue a celui de a . B ; jS = o s^annule donci — i fois en tout point de / multiple d'ordre i, sans toucher les branches Ae f, c'est-i-dirc rcpr^sente une courbe adjointe, ce qui etait a demontrer.
A la place de B = o, nous pouvons main tenant faire intcrvenir un systeme de courbes B = o passant toutes par Gq, si nous consid^rons les coefficients de B comme dependant d'un certain n^mbre de parametrcs. Ces courbes decoupent sur f un systeme <le"groupes mobiles Gr,. Si alors A=o est une courbe fixe qui passe par Gq, et en outre par un groupe Gr, que a = o, d'autre part, soit une courbe fixe passant par Gr et en outre par un troisit^me groupe Gq,, et que Tidentit^ (i) doive encore avoir lieu, /3 = o rcpr^sentera ^videmment un second systeme de courbes qui passent toutes par les points fixes Gq, et decoupent sur y = o le nienie systeme de groupes mobiles Gr. que celui qui a ^te auparavant determine par nous au moycn de Tensemble des courbes B = o. Etil faul, si (i) doit <}tre une equation identique, que le spteme j5 = o ren-
(*) Foir p. 43. Nous ii'avoiis, dans le theoremc cit6, qu'a rcmplacer / psr a. B, o par A. ff/ par/, ct k prendre r=:i,q=: i — 1. C'cst la auFsi que se troure la raison pour laquelle, dans cos recherches, on se restrcint aux courbes adjoin tes.
TQEeSlE (^!|£RALE DES COORBES ALGCbRIQLES. l^|f
ferme les m^mes param^trcs arbitraires sous la m^me forme que le syst^me B = o. Les deux syst^mes B = o et (3 = o sont done completement permutables en ce qui concerne leurs relations avec f=zo\ nous dirons qu'ils sont eq u walents Vun k I'autre. Si, en particulier, les param^tres y entrent lineairement, nous pouvons enoncer ce r^sultat dans le th^or^me suivant, dont nous aurons plusieurs fois k faire usage :
Le nombre des courbes lineairement independantes les unes des autres d'un systeme lineaire de courbes adjointes est egal an nombre correspondunt relatif a tout systeme equii^alent. Quant a ce dernier, on ne pourrait naturellement choisir un systeme particularise par des conditions sp^ciales et repr^sentant par suite un ensemble d'une multiplicity plus faible.
Comme exemple d'^ventualites de cetle nature, consid^rons deux faisceaux de courbes simplement infinis, ce qui nous ram^nera au mode de generation des courbes algebriques donn^ par MM. Chasles et de Jonquieres. Par un point fixe (d'ou Q = i) d*une courbe dii w'*"* ordre (0^) sans points singuliers, faisons passer un faisceau de rayons B ^ «x -h ^ J^j- = o qui determine sur C,* un systeme lineaire simplement infini de groupes G,i i (= Gr,). Par un groupe quelconque (=Gr) de ces groupes G„| (determine par A^ w.^.-4-aVj-=o) faisons passer une courbe du (« — iy*«n« ordre a = o, ce qui est toujours possible ; cette courbe coupe encore la courbe C/i en un groupe Gq,, compose de « [n — i) — [n — 0^^('' — ^Y points : on doit alors pouvoir determiner un systeme de courbes /2 = o de maniere a avoir de nouveau
c'est-a-dire que par le groupe cit^ Gq» de [n — i)- points passe encore un nombre infini de courbes du [n — iy*"« ordre j3 = o- L'ensemble de ces dernieres forme un faisceau equivalent aB= o, de telle sorte qu'a chaque courbe B = o est associ<^e par notre construction une courbe p = o et inversement (*). Les deux taisceaux sont done Tun a Tegard de Tautre en relation projective,
(') On demontre en efl*et facilement que, sur le terrain binaire, toute transformation antToqiie est neccssairoment lineaire.
l\2 TOME II. — CHAPlTaE 1.
et I'on peut, par suite, s^imaginer la courbe C« comme engeadree par eux de la maniere [connue (p. g5). Nous reviendrons plus tard sur ce sujet.
Nous nous restreindrons dans ce qui suit a la consideration des sjstemes lineaires de groupes de points. Pour abr^ger, nous introduirons les notations suivantes :
Par g^^^ y^\ . . . nous d^signerons un systfeme lin^aire q fois
infini de groupes de chacun Q points et par Gq , F^ , . . . un groupc individuel d'un tel syst^me g^^\ y^^\
Tout group e dans un systeme lin4aire g^J^' est ^videnunent fix6
sans ambiguity par q points k choisir arbitrairement; les autres Q — q points d'un groupe du systeme sont par \k determines avec les premiers. Comme maintenant, d'apr^s notre theor^me fondamental sur les systemes de points d'intersection de courbes du m»*"« ordre sur G,,, dans le cas de in^ n — Z^p points au plus,
dans le cas de m= n — a — r, p — i (/* -+- a ) ( r — i ) points
au plus sont determines par les autres, nous avons ce theoreme:
Entre les nombres y, Q d'un sjsteme g^J^ determine par les intersections des courbes du in^^'^^ ordre sur une couj'be du genre p existe la relation :
Cas de w > /I — 3 7 = Q — P
Gis de M = n — a — r 7 = Q — /^ -f- i H — ( r -f- a ) ( r — i ).
Ce quUl y a surtout d^important, ainsi que nous Fapprendront des applications ulterieures, c'est la circonstance que Ton peut obtenir la r^ciproque de ce theoreme dans le cas de m£« — 3. 11 nous sufOt de le d^montrer pour m = /i — 3 ; car nous n'avons suppose nuUe part que les courbes adjointes ne fussent pas decomposables, et par consequent tout systeme de courbes d'ordre moins elcve peut etrc porte a Tordre n — 3 par Faddition de courbes fixes. D'ailleurs ces courbes sont de la plus grande importance pour ce qui suit, ct specialement pour les transformations a determination unique. Pour cette raison, nous enoncerons encore une fois relativemcnt a elles les theoremes sur les points d'intersection :
Parmi les 2p — 2 points d' intersection d'une courbe adjointe
TIltUBlE GCN^RALE DES COt'lBU ALG^DRIOl'ES* 1 4^
du {n — 3 Y^"^^ ordre, si pest'^ ijp — i au plus ( * ) sont deter^ mines par les p — i restants , et entre les nombres y, Q d'un systeme decoupepav les courbes de cette nature existe la relation
La reciproque actuellement k demontrer du dernier th^oreme consiste dans ce qui suit :
Un sjsteme lineaire q fois infini g^^^ de groupes comprenant
cliacun Q points peut toujours etre decoupe par un systeme de courbes adjointes du{n — 3 y^"^^ ordre si ^
Observons que, parmi les Q points de chaque groupe G'^', il peut
s'en trouver qui soient les m^mes pour tous les groupes du systeme g^^\ Pour Q une limite sup^rieure nous est donn^e par la
condition
car, en g^n^ral, c'est la seulement le nombre d'intersections mobiles d'une courbe C,i 3. Celte condition est n^anmoins sans influence sur la marche de la demonstration, et de cette circonslance nous tirerons pr^cis^ment une consequence digne de remarque.
II est d'abord d'^vidence immediate que Ic th^or^me est exact pourr/=:o (d'ouQ£;> — i); car, par un groupe individuel completement determine de p — i points ou d'un plus petit nombre, on peut toujours faire passer une courbe adjointe du [n — 3)'*"®
(*) Lc mot au plus est necessaire, h cause, par cxemplc. du cas suivant : Prcnous sur une courbe C^ a deux points doubles {pz=^), p — 1=3 points sur une droitc pauant par un des points doubles; une autre droite, nienee par I'autro point double > complete la premiere, de maniere k former avee elle une conique adjointe (C,3)> mais les trois points d'intersection do la seconde ne sont pas determines par ceux Uc la premiere, et Torment, au contraire, un systeme ^'^^^ D'autre part, si Ton prend \es p — I = 3 points, de telle maniere que deux soient situes sur une droite passant par Tun des points doubles et un sur une droite passunt par lo second point double, les trois autrcs intersections seront par la encore determines. Dans les courbes du Qcnre /»= ou ^; =r i, des theoremes semblables ont lieu a I'egard des courbes d'ordre n — a.
1 44 TOME II. — CnAPITnB 1.
ordre. On voit facilement aussi rexactitude du theoreme pour y = I (d'ouQ^p);car, pourQ = />etm]>/i — 3,p points seraienl en g^n^ral d^termin^s par les autres qui sont ici fixes; ifs ne peuvent done 6tre mobiles que pour le cas de tn^n — 3. Mais^ si les points fixes de la courbe s^cante Cm sont situ^s de telle sorte quMs ne d^terminent pas les autres points p, nous construirons comme il suit un faisceau special equivalent du (w — a )'*«■• ordi*e. Nous ferons passer par un des groupes mobiles G^ une courbe C^.j qui se d6c«mpose en une droite A et une courbe C/,3, de telle sorte que cette derniere soit d^termin^e par;; — i des points de G^' et rencontre encore Cn en p — i autres points Tp^t , tandis que la droite Apasse d'une mani^re quelconque par le /?**"*• point a et coupe encore Cn en n — i autres points r„|. Ge dernier groupe Ta i forme alors, conjointement avec Tp^^, le systeme des points de base du faisceau Equivalent de G,;2 qui determine le systeme^ "'. Mais la droite A est commune a toutes ces courbes G,i 2, et il reste par consequent un faisceau de courbes G/,5 par lequel doil ctre d^coupE le systeme g^'*^ En particulier aussi, puisque cela
arrive pour toiis les autres groupes du systeme, le groupe G utilise dans notre construction est n^cessairement situe sur une courbe C/,8 ; et de 1^ resulte que, des p — i points de Vp^i, Tun coincide avec le point a. Nous pouvons Enoncer ce resullal (Q = jy, y = I ) de la maniere suivante :
Si unjaisceau de courbes adjointes determine un systeme g'* , c^est-a-dire a p points d' intersection mobiles [av^ec I41 courbe principale), tout point d'un groupe indiuiduel G^ * du sjsteme est situe av^ec les p — i autres points sur une courbe C„«8, et ces courbes C„^3 forment unjaisceau equis^alent au premier.
Enfin, pour ^ = i , Q <^/;, Inexactitude de notre theoreme precedent est encore evidente ; car, par p — i points ou un nombrc moindre, on pent toujours faire passer une courbe G«s, et par consequent la construction d'un faisceau equivalent de courbes C^.s va ici de soi.
Onpeut, eng^niral, suivre une marche semblablc de demonstration en s'elevant d'un systeme g"'^" ^ un systeme ^j^\
II nous sufTit done de montrer que le theoreme est exact pour
THiORB GfiMteALI DES COUKBES AL6&BRI00E8. 1 45
tout syst^me g^^\ s'll est exact pour les syst^mes g^^lj'? en suppo-
sant toujours que Ton ait y ^ Q — p-+-i.
Repr^sentons • par T^quation Y = o le systfeme q fois infini de courbes d^terinm6 sur la courbe primitive y= o par le syst^me donn6 g^^, en sorte que ¥ d^pende lin^airement de q param^tres.
Soit ¥0 = une courbe arbitrairement choisie de ce syst^me ; supposons qu'elle determine sury= o le groupe Tq et soit a un point de ce groupe. Tons les groupes du syst^me donn^ g'^^ dans
lesquels figure a forment un syst^me g^I/J*^; ce dernier pent,
conform^ment k Thypoth^se, 6tre d^termin^ par un syst^me de courbes G^/3. On peut done toujours, par les Q — i points du groupe Tq diffl^rents de a, faire passer une courbe C/,«s, que nous repr^senterons par = 0. Par le point a menons une droite quelconque Ux = o. D'apr^s le theoreme du reste, le syst^me donn^ g^^^ peut £tre d^termin^ par un ensemble lin^aire q fois
infini de courbes C,i a. Get ensemble est represent^ par 4> = o si
Toutes les courbes du syst^me <J> = o passent n^cessairement paries points d'intersection de Uxfo = o elf-= o non situ^s sur ^0 = ( c'est^^-dire qui n'appartiennejit pas k Tq); il en est ainsi en particulier pour les /i — 1 points d'intersection difF^rents de a de la ligne Ux = o avecy*= o. Toute courbe C^^a se decompose done en la droite Ux = o et en une courbe C,i 3 . On peut en consequence poser <I> = 1x^9, si 9 = repr^sente un ensemble q fois infini de C/,3, ce qu'il fallait d^montrer.
L'exemple suivant pourra servir k rendre plus clair le th^or^me d^montr^ ici. Nous disons que, sur une courbe du cinqui^me ordre a deux points doubles, les seuls groupes g^^^ possibles sont les deux syst^mes simplement infinis qui sont determines par les rayons passant par le point double.
En effet, d'apr^s noire theoreme, chaque syst^me g^^^ peut etre coupe par des coniques adjointes ; si done un faisceau de courbes Ca doit, en outre des points doubles, avoir encore 3 (= p — i) points fixes communs avec C5, il faut necessairement que chacune des courbes Ca du faisceau se decompose.
Dans la demonstration, nous n'avons k aucun endroit fait usage
Clebsch. — Giomitrie, II. lO
■ 46 TOME If. — CHAPITBE I.
de la condition Q^2/7 — a. MSme si cette condition n*^tait pas satisfaite, les mSmes conclusions, et par consequent aussi le ih^or^me qui en r^sulte, seraient encore yraies* Mais, comme il n'existe pas de courbes adjointes C„.3 ayant plus de 2p — 2 points d' intersection, nous devons, en revenant en arri^re, conclure qu'i7 nexiste pas de groupes de points Gq de plus de up — 2 points a Vegard desquels on ait 9 = Q — p -f- i .
Cette remarque pent servir 4 la demonstration d'un important theor^me. Les groupes Gq qui sont d^coup^s par des courbes adjointes C,/j| forment au moinsun syst^me Q — p -4- 1 fois infini: par consequent, les groupes G2;,2 forment un syst^me au mains p — I fois infini; d'autre part, ils forment au plus un tel sysl^me. Car s'ils formaient, par exemple, un syst^me p fois infini, on pourrait, par Taddition 4 chaque groupe du syst^me du m^me point fixe arbitraire |3, 6tablir un syst^me g^ '/.', ; mais un tel syst^me, en vertu de la remarque que nous venous de faire, ne pent exister. II n'y a done aucun syst^me g^'/'.^j et k plus forte raison aucun syst^me g'f^^l, etc. Ainsi :
II nexiste qu'un systeme p — 1^015 infini, autrcment dit que p courbes adjointes du [n — 3)''^"''* ordre lineairement independ antes les unes des autres. ,
Avec ce theor^me, que nous rencontrerons encore de nouveau plus tard, nous terminons les recherches de cette nature sur le> syst^mes de points d^intersection, pour y revenir ulterieurement en connexion avec la theorie des fonctions abeliennes; elles se montreront alors sous un nouveau point de vue et pourront ^Ire enonc^es d'une mani^re plus simple sous le benefice de nouveau^ moyens auxiliaires. Ce que nous avons expos^ ici pent, pourle moment, sufKire k donner un apergu de la m^thode suivie par Brill et Nother.
• VIII. — Gontinaation. — Extension da principe de correspondance.
II existe une proposition qui n'est pas en correlation immediate avec les considerations precedentes, mais qui n*est pas moins iniportante k regard de la geometric sur une courbe : c'est celle qu'on appelle le principe de correspond ance etendu; nous en abordons
TUtOME GAniRAhE DBS COQRBU ILGAbRIQCES. l^-J
mainteDaDt rexposition. Ce principe est une generalisation indiqu^e par Cayley et demontrde par Brill, relativement a une courbe quelconque du principe de correspondance de Chasles, qui a lieu pour une droite etqui nous est d^j^ connu (t. I, p. 261). En ce qui concerne les courbes du genre z^ro, ce nouveau principe n'offre rien de different du principe de Chasles^ il s'ajoute seulement au nombre donn6 plus haut un nombre dependant du genre de la courbe C/i, ce qui fait ressortir de nouveau la haute importance du genre pour une courbe ( ' ). Les nombreux probl^mes k la resolution desquels on parvient au moyen de ces formules plus g^neralcb de correspondance, et dont nous signalons quelques-uns dans ce qui suit, justifient suftisamment Texamen approfondi que nous ferons du sujet.
Soit
IVquation de la courbe consider^e C/,, que nous supposerons de Tordre n et du genre p, et admettons d'abord qu'elle n'ait aucun point double et aucun point de rebroussement. Soit donn^e ensuite une Equation
en vertu de laquelle a chaque point x du plan correspond une courbe d'ordre 5, k chaque point j^ une courbe d'ordre r. Sur la courbe d'ordre y nous avons alors, lorsque simultancment
/(x) = o et /(jr)=o,
'/) Le principe a d'abord ete 6noDce sans demonstration par Catlet, Comptes rendus, X, LXII, p. 586, et plus en detail dans le Memoire, On the correspondence of two points on a curve {Proceedings of the London math. Socie^, X, I, i8C6}, ou se tronve une demonstration pour un cas particulier; il a ete enfin traite par lo meme auteur arec de nombreuses applications daba le travail : Second Memoir on the curves which satisfjr given conditions [Philos, Transactions of the B. Soc. London ^ t. CLVllI, i86S). Une demonstration algebriqne d'une formule plus generale a dte donnee en m^me temps par Brill : Ueber Entsprechen vOn PunAtsjrstemen auf einer Curve [Math. Ann€tlen, t. VI, p. 33; 1873), et plus geometriquement : Ueber die Correspondenzformel {ibid,, t. VII, p. 60; 1874). M. Lindemann a donnd une demonstration du mftme principe a Taide des integrales abeiiennes (Journal de Crelie, t. 84, p. 3oi.) — Chasles avait dejk mis k profit Tezactitude de son principe pour les courbes de genre zero : Comptes rendus, t. LXII, p. 584 *» ^^^'
l48 TOME n. — CHIPITRB I.
une correspondance en vertu de laqueile a cheque point y de la courbe r^pondent a = rn points x, et k cheque point x de la m^me courbe b^=^sn points y. On doit ici supposer d'abord que toutes les courbes mobiles correspondant hy ou hx iHont pas la m^mes points fixes communs ( * ), que, par consequent, les points a ou 6 sont tons mobiles avec y ou x. Main tenant la courbe d'ordre r
repr^sente le lieu d'un point tel que la courbe qui lui correspond passe par ce point lui-m^me. EUe determine done, sur fy
(rH- s)n =.a-\- b
points pour lesquels un des points x qui correspondent a y tombe eny ou r^ciproquement. Nous appellerons ces a -f- i points les points de coincidence de la correspondance 9 ; nous d^signerons, pour abr6ger, par (a,i) la correspondance elle-m^me en tant qu^elle est consid^r^e relativement k cp.
Les considerations pr^c^dentes cessentneanmoins d'etre exactes si r^quation (3), par suite dey(a:) = o et f{j) = o, est salisfaite pour ^ouf point 07 o\xj de f {^)y c'est-3i-dire si, parmi les points d'intersection des courbes correspondant k x, un ou plusieurs, 7 par exemple, coincident avec x lui-m^me, et si, parmi les points d'intersection des courbes correspondant ky^ S sont situ^s en/. Cette circonstance pent provenir de ce que la courbe dont il s'agit a en x un contact d'ordre y — i avec/J c'est-^-dire y points d'intersection iniiniment voisins, ou un point multiple d'ordre 7, ou un point multiple d'ordre p et y — p points d'intersection succcssifs, ces derniers pouvant alors £tre distribu^s de diverses mani^res sur les p branches de la courbe <f. Nous disons dans tons ces cas que la courbe a avecy un point d'intersection de y ^vcdears, Les choses se passent d'une mani^re analogue pour y et d. Mais
( ' ) Pour ce qui coDcerDe ces cas, nous renvoyona k la Section Smut les transform motions tmivoques, an commencement du tome III.
(') G'est ce qui arrive, par exemple, si 9= ^{x)y{y) ~''a{^)'P{t) on &i ?* poof .r = j^, renferme comme facteur une puissance de /.
TH^OBIE C£1|£BALB DBS GOVBBBS ALGtBMQUBS. IJ9
c'est un fait trJs-important que Von doive toujours ai^oir
ImaginoDs, en effet, que de ^{x^y) = o on ^limine k Faide de f{x)=^o une des coordonn^es x/ de x, x^ par exemple; alors, dans I'^quation d'^limination, le facteur Xi j^a — ^2 Y\ doit n^cessairement se rencontrer y fois, puisqu'il s'annule y fols pour Xi=:ji, Si ensuite on ^limine encore j^s au moyen dey*(y) = o, le resultant renferme ce facteur /ly fois. Mais on doit obtenir le mdrae r^sultat si inversement on ^limine d'abord ji et ensuite x^^ le facteur ci-dessus se pr^sentant alors nd fois. On a done en fait 7 = J. Le nombre y apparait comme caract^ristique k regard de la correspondance <f ; nous d6signerons une telle correspondance possedant en x un point de y valeurs par [a — y, i — y)^ ou par (a, P)^, en posant a — y=.(Xyb — 7 = /3.
Notre probl^me est maintenant d*indiquer combien de fois encore un (y -h i)'*"® point d'intersection de la courbe correspondant a x coincide avec or, c'est-^-dire combien defois, dans la correspondance [a — y,b — y)^, un point y coincide avec Van des points correspondants x.
Dans ce but, consid^rons d'abord pour y = o simultan^ment deux correspondances (o, i) et [JjV)^
?('^ir) = o et f'\x,y)=zo,
et demandons-nous quel est le nombre des couples de points Xy y sury*qui satisfont en m^me temps aux deux correspondances ( * ). Or, a chaque point j^ du plan correspondent les rr* points d'intersection x des courbes (j>= o, (5*'= o qui sont en correlation avec led; de m^me a chaque point x du plan sont lies ss^ points j. Si J se meut sur une droite, les rr' correspondants x, ainsi que nous Tavons vu dans une autre occasion (p. 109), parcourent une courbe de Tordre rs'-^sr'\ par consequent, si j d^crit notre
(*) il y a entre ce probleme et le precedent la mdme relation qu'entre le probldmo de la determination du degr^ du resultant de deux equations et le probldme de la determination du degri du discriminant d'une seule Equation.
l5o TOMB II. — CBAPITRB I-
courbey, ils parcoureni une courbe de I'ordre
(5) nlrs'-^sr').
Ghaque point d'intersection x de cette derniere avec / donnera avec un pointy situ^ suryun couple, de Tesp^ce cherchee. Le Dombre des couples de points qui satisfont en m^me temps aui deux correspondances («,&), («'>i') suryest done ^gal a
(6) n^rs' ^ s/ ) = ab' ^ ba' .
Si les points a: et j^ pr^sentent k regard des deux correspondances une reldiiion sjmetrique (auquelcas on a n^cessairemenl a=b^ a'= b')f le proc(§d^ employ^ donnera la meme courbe de Tordre n{r/ -¥- sr^)^ que nous fassions cheminer x ou bien y sur la courbe/*; chaque point d'intersection avec y con tribue ainsi deux fois a la formation d'un couple. Le nombre des couples cherches est done ^gal k la moitie du nombre qui vient d'etre trouv^: r = ac^= bb',
Le nombre pr6c^dentai'+ bal doit subir une reduction si Tune des correspondances ou toutes les deux ont un point de plusieurs valeurs enjc=^ et si Ton se propose d'indiquer le nombre de points Xjy ayant sur/* une situation s^par^e qui satisfont aux deux correspondances. Si en efTet ^', par exemple, poss^de un point de y' valeurs (en sorte que pour cp', lors du transport de x sur fy y' points j^ soient toujours r^unis avec x), un couple compost de deux points voisins x, y de cette esp^ce satisfait en m^me temps k la correspondance (f, aux (a4- i) points Ae f ou ont lieu des coincidences de a>, et y' fois en chacun de ces points; nous avons done k retrancher le nombre y'[a+b). Le nombre des couples separes de points qui satisfont simultahement aux deux correspondances
{a,b) et [a' -y\b' -'/),.
est, par consetjuent, egal h
Nous d^terminerons la reduction ult^rieure qui a lieu si f a en m^me temps un point de y' valeurs en x =J^, c*est-a-dire si les cor-
THCOBII GttMiftALB DBS GOURBB8 ALG^BBIQCES. l5l
respondances donn^es sont
au moyen des considerations de limiles qui suivenl.
Imaginons d^abord que I'une des correspondances, ^ par exemple, soil un peu diform^e (c'est-^-dire que les coefficients deT^quation correspondante (f = o soient un peu modifies ), de mani^re qu'elle se change en une autre
qui ne poss^de en x ni point de valeur unique ni point de valeur multiple y mais donne, au contraire, sur C;, y points x ouy ^voisins de celui-ci pour tout point y ou x. Le nombre des couples de points communs aux correspondances r et c^' est, d^apr^s ce qui precede, ^gal a
flft'-h ba'— 7'(a-4- b).
Parmi ces couples, il en existe encore qui se composent de deux points tres-voisins x^y^ et qui, en tant que ces points coincident, occasionnent une nouvelle reduction du nombre indiqu^ lorsque Ton fait r^trograder la deformation de (f en tt. II s'agit de trouver ces couples.
Nous consid^rerons en particulier un point de coincidence G
de la correspondance cj/, c'est-^-dire un point oil sont r^unis
/-+-! points x = y de 9'. Tandis que le point x se rapproche du
point G, le pointy qui doit ensuite coi'ncider avec lui arrive dans
le voisinage dear, se confond avec a: lorsque x atteint G et s'^loigne
de nouveau de a:, si x s'^loigne de G. Done, tandis que x passe
par un point de coincidence de ol^y parcourt tons les points de f
voisins de Xy Tun des points allant pour ainsi dire au-devant de
Tautre et le d^passant ensuite. Mais parmi les points voisins de x
sont compris aussi les y points qui tirent leur origine du point
dey valeursde 9, par suite de notre deformation. Done, k chacun de
ces y points, si x passe par un point de coincidence G de ^', doit
repondre une fois le pointj^ qui coincide avec x. Pour tout point G,
il se produit par 1^ y couples formes de points voisins Xj y y qui
satisfoot en m^me temps aux correspondances 9' et tt, et qui, la
l5a TOMB II. -*• CBAPITBE I.
deformation de 9 cessant, appellcnt une rMuction correspondante dunombre aV -\- hal — /(a -)-&)(*).
Si done C est le nombre des points de coincidence de ^, il reste
(8) (y/] = ab'-h ha! ---/[a -+- ^) — 7C'
couples de poinls Xy j ayant une situation s^par^e qui satisfont simultan^ment aux correspondances cf et cp'.
Nous proc^dons maintenant dissymetriquement en d^formant Tune des correspondances cp; si ^ la place nous avions d^form^f', nous aurions obtenu la formule
G d^si^ant le nombre des points de coincidence de la correspondance cp. Gomme les deux valeurs donn^es pour {(f^') doivent ^tre ^gales Tune a Tautre, on obtient par comparaison
Ce quotient a pour f la m^me forme que pour ^ et doit, par suite, dtre compl^tement ind^pendant de la nature sp^ciale de la correspondance ; il pent Stre d^termin^ par une correspondance a regard de laquelle le nombre C est connu par une autre voie. Prenons, par exemple, la correspondance entre le point de contact j d'une tangente de G« et ses autres /z — 2 points d'intersection x avec G/i pour laquelle C est ^gal au nombre des points d*inflexion deyi et par consequent ^ 3/i (/z — a ). Ici nous avons
azzzriy b = n[n — i), 7 = :i,
et consequemment la valeur du quotient sera ^gale k{n — i) (/i — 2), 6gale k up. On a done hi formule de correspondance
(11) Cr= 'rt — 7) 4- (/5> — 7) -f-27/?.
( *.) Les conclusions du texte ne sont ^tablies que pour des points reels. Mais on peut proceder alg^briquement, ce qui r^sout aussi le cas- Imaginaire. f^oi'r BiuUt Math. Annalen^ t. VI [loc, ctt.)»
THiOME G^NlBALB DBS C0CBBE8 ALGteRfQQU. t53
et ensuite, par substitution,
{??') = (« - 7) (*'- /) -^ (ft - 7) («'- 7') - V7/- Si Ton pose encore
a 6tant le nombre des points x correspondant au point j en yertu de la correspondance f et non confondus avec y^ et ainsi de suite, nous avons ce th^or^me ( * ) :
Le nombre des points de coincidence d'une correspondance (p = ( a, |3 )^ sur une courbe du genre p [d'abord supposee sans point doubles y etc) est
et le nombre des couples de points x, y satisfaisant en m^me temps aux deux correspondances c = (a, (3)^, ^'= («', ^')^i est
(i3) (yf) = «3' + (3«'~2/>7/.
Mais on ne doit prendre encore que la moitie de ce nombre si ip et (f' ont une relation compl^tement symetrique^ ainsi qu'il a d^j4 €l€ fait plus haut pour le cas de y = )/== o.
Nous nous posons maintenant la question de savoir comment les points de coincidence d*une correspondance peuvent Atre d^termin^s alg^briquement par un proc^d^ ^liminatoire. Nous montrerons en particulier qu'il est toujours possible d'obtenir une courbe d^coupantsur^* les points Gde coincidence, que, par consequent, les points de coincidence forment toujours le sjrsteme complet des intersections de favec une autre courbe. Nous pouvons d'abord former explicitement cette courbe pour les cas les plus simples de 7 = i et y = a ; pour 7 = 0, elle est donn^e directe-
ment par o \Xjx) = o.
C) ObseiTons sp^clalement que les formules trouToes, d'apres le raisonnement qui a serri k les obtenir, ne peurent £tre employees que si la correspondance entre les points X eijr est repr^ntable par une equation f) = o» c'est-k-dire si les a = a H- y points qui ripondent ii jr aussi bien que les b := ^-^y points qui repondent k x Hon d^tennin^ par les intersections d'une courbe mobile.
l54 TOMB II. — CRAPITRB I.
Soil done d^abord y = i • Nous poserons sjmboliquement
de telle sorte que dans f les r symboles a acqui^reot une signification effective conjointement avec les s symboles |3. D'apr^s Thypoth^se, nous avons
( ' 5 ) a*^ p^ = o ( ^yentuellement en vertu de /== o ) ,
et pour j^ = x + rfx on doit avoir
Pour pouvoir ^liminer les dilKrentielles dx d'une fa^on symetrique, observons qu'entre les a?/, pour leur attribuer une valeur absolue, on peut toujours supposer une Equation de la forme
les quantit^s hi d^signant des constantes. De la r^sulte alorsi comme troisi^me Equation,
(17) A"irfLci -h A"jrf;rj-4- A",rflr,= o.
Entre cette derni^re et les Equations (16) on peut actuellemenl ^liminer les dxj et Ton trouve la condition
(18) (^zl3A:)ar'«;sr =0.
Mais, au lieu de (16), on aurait pu aussi prendre pour base les Equations
(«9) <r^P'x^dx=o, «r'«rfx=o;
on a done par consequent aussi
(20) (/.«A:)ai-^«r|3i = o.
Nous chasserons les hi en faisant usage de Tidentite (t. I, p. 352)
[ufxk) p^= [apk) a^-4- (Pa^) a,-h [nap] ^^,
car, ^ cause de (18) et a cause defz= o, (20) se transforme alors, k part un facteur constant kx, en
TBftOBIB CisteALB DBS C0VBBB8 ALGiBBIQCES. 1 55
el cette equation represente la courbe cherchee, Le nombre de ses points d'iDtersectlon avecy*est en fait ^gal k
nr -\- ns -^^ n[n — 3) = nr — i-f/w — i-h 2p.
Soil en second lieuy^= a. Cette circonstance pent d'abord provenir de ce que la courbe qui r^pond 4 x a un point double en Xy la courbe qui r^pond k y ayant de m^me un point double en j^; on a alors, ind^pendamment des z^
(22) «;^rP.^o, «r'i5i«,= o.
Nous cherchons les points x dans lesquels une branche du point double touche la courbe /, cVst-^-dire dans lesquels on a
(23) «;pi-*«x = o, «r*«rfx=o.
L*6limmation des dx entre ces Equations et (17) donne
(24) (P«*)(P«i)a;isi-««r' *r' = o.
Mais, au lieu de (23), on aurait pu aussi prendre pour base les Equations
(25) «r'«3x|3i = o, «r'«rfx=o;
on a done aussi
(26) («ax)(«^^)«ri3>r^r» = o.
Remarquons, d'ailleurs, que les Equations (18), (20) et (21) elles-mSmes sont satisfaites, en vertu de (22), pour tout point x plac^sury. Pour chasser les hi de (24)9 nous emploierons les identit^s
Dans Texpression obtenue, les termes multiplies par les facteurs flx,ftx s'^vanouissent k cause de y= o, le terme en (3^ en vertu de (26); il reste un terme multipli^ par Ar^ et deux termes multiplies par hx^x' Ces derniers, en vertu de la permutabilite de a et de h sont, a un facteur commun pr^s,
l56 TOMB II. — CBAMTEE I.
Pour le terme qui figure dans le second membrey emplojons ridentit^
Dans Texpression obtenue, le second terme s'^vanouit en vertu de f= o, le troisi^me en vertu des Equations ( aa ) . L'expression ( 24) se transforme done, abstraction faite du facteur A^, en
Nous pouvons ^crire celle-ci encore plus sym^triquement; on a en effet
((xab)^^= (a|3*)a^-f- {pab)a^-h (a^P)^^,
et par suite, les autres termes disparaissant,
Nous pouvons permuter encore ici a et i et former la sorame des deux expressions. Ala place de (api)ax intervient alors le facteur
l[[a^b)a,^{a^a)b,]=';-[{aab)p,^{Pab)a^].
L' equation de la courbe cherchee est done finalerhent
(27) »PH=[(«a6)'pj - (p«6)'«j.]«r'isr «r'*r' =0.
Le nombre des points de coincidence qu'elle d^coupe sur/= Concorde avec celui qui a ^t^ trouv^ plus haut.
Nous obtiendrons une autre courbe du meme ordre dans la supposition que le point de deux valeurs en x = j^ prenne naissance par contact. Dans ce cas, k la place de (aa) interviennent les Equations
(a8) «;;pi-*|S./x=o, «r*l3>./x=o,
et a la place de (a3) les conditions
(29) «:?r' Pd'. -4- (5 - 1 ) «;isr ' PI. = o.
(30) «->«rfV+(«-i)«r'a3, = o,
(31) A,rf*x, + *,<f'.rj+ *,d*a-j=o,
TB£0B1B GiNtoidLB DBS COCRBBft ALGftBBlOOES.
Undis que les Equations (i8), (20), (ai) sont satisfaites pour tout point de f. On peut ici imaginer que les dxi aient ^t^ calculus aumoyen de (29) et (3o)enfonctiondes d'^xij porter leurs valeurs dans a"~* atix=o et dans Tune des Equations (28), et entre ces deux Equations r^unies i (3i) ^liminer les d*Xi. Toutefois, I'^limination se fait plus sym^triquement de la mani^re suivante. On ajoutera F^quation qui intervient k la place de (i9)> savoir
«r * «:/«.ri3'i -h { r - 1)«;-^- c^j^^j = o.
et Ton ^liminera entre elle et entre (29), (3o) et (3i) les grandeurs d^jCi. Cela donne le r^sultat
