Px

(.^-OPL

{'^ O^rfx

«iA

'r-iffs„n-2

Nous d^velopperons ce determinant suivant les termes de la demi^re ligne verticale. Alors, en premier lieu, k cause des Equations (18) et (20), tons les termes sont nuls sEpar^ment; mais le lerme multipliE par le facteur «"~*a^j. est doublement nul. Ge dernier est, en efTet, Egal k

ety par application de I'identitE

il en r^sulte une somme dont les termes sEpar^s sont chacun doublement nuls. Pour les deux derniers termes, cela r^sulte imm^diatement des Equations (18), (20) et (28); le premier terme renferme le facteur nul hdxj et TEvanouissement de Tautre facteur s'obtient par Elimination des dxi entre (28) et aj~* adx= o. Nous pouvons done laisser de c6tE le terme qui a aj"^ a^j. comme facteur vis-^-vis des deux autres termes du determinant ; ce dernier se rEduit, par suite, k la somme

(33) [(,-!){,' «A)«:,p5,-{r-,){pa*)P,«'^Jai^i-«:;-'^,*«r'- Les remarques suivantes servent k la transformation de cette

l58 TOm II. — CXAPITRB I.

somme. A chaque point x correspondent, d'apr^s notre hypothise, les points x el x -h dx ; r^ciproquement, au point x -+- dx doivenl de nouveau correspondre les points x-hdx et x, c'est-i-dire qu'e/z mdme temps que (28) a lieu encore ['equation

(34) <-««rf,Pi-«|Srf^=o.

Comme d'ailleurs dans notre cas, ainsi qu'il a il6 observe plus haut (p. 154), Texpression a'j.^^j. est identiquement nuUe ou renferme le facteury, on a aussi, en vertu de/= o et df= o,

(35) ^^iPi-'Prfx-i- /-ar* Pi«rfa:= O,

OU, k cause de a^~* «</:r= o, kdx= o,

En consequence de cette Equation, on pent s6parer de (33) un facteur commun nul. Si Ton permute encore dans le second terme les lettres accentu^es avec les non accentu^es, on obtient par suile, comme result at de I' elimination des d^Xi entre (29), (3o), (3i),

(36) [s[s - OPLal + r[r- i)«5,?i]«S-'iSr = o.

L'^limination des dxi entre cette equation et entre a"~' ajjc= 0, kdx=^ o donne done

-4-r(r-i)(a«A)(«W)p«]ar«|Si-»«r'^r'.

OU, comme nous T^crirons en abr^g6,

Pour chasser les ki employons dans le premier membre les

identit^s

(^ak)a^= (paa)Ar^-4- {^xk)a^^ {c^ak)^^,

{pbk)a,= (^ba)k,^(Po:k)b,-^(o^bk)^^.

U vient alors, en vertu de/" = o,

sin3=(Paa)(«iAr)«-«(3rarir.

Nous pouvons encore transformer la derni^re expression au

TB£0B1B Gltll^lALS D£8 CO0RBE8 ALG£bRIQOBS, 1^9

moyen de Tidentit^

(|3^a)/-,=: (i3«/-)a^- (|3xX-)^^- (a^X']?^'

Des trois termes qui prennent naissance, ]e premier disparait en vertu de (34)>le second en vertu dey=o; le troisi^me est igelk — n^, et, par cons^qaeDt, il vient, si S d^signe le facteur dell,

(38) ni + ngzizS/'.

Pour former aussi la difference Di — II,, nous emploierons pour II I ridentit^ suivante {IV, t. I, p. 35a) :

- {abp]H:. -h 2[pab){abk)A'^p^.

Si Ton porte ceci dans Ili^il ne reste plus que les deux derniers termes de la somme qui figure dans le second membre. L'expres* SLonlliy au facteur pr^s al.~^^i~*«J~*^x^, devient done 6gale k

et de m^me U^t k part le m^me facteur, est ^gal k

- 1 (abo,)^P^.Ai H- (o^ab){abk)a,pik^.

Dans la formation de la difference, nous emploierons pour les deux termes Tidentit^

A cause de la permutabilit6 de a, by et k cause du facteur (a&A:), nous pouvons ^crire, pour la difference qui figure dans le second membre, ii[ix^a)bx. Nous d^signerons pour Tinstant le facteur ainsi transform^ de A-^ dans 11^ — 11, paraX. Ce facteur pent se ramener k IIi et 11,.

La forme (aP^)*^"*^!"'^""^ est en effet identiquement nulle dans notre cas ou ^/=^ a^ pour facteur; on a done ^galement, en toute hypoth^se, en vertu de/= o eldf= o,

I Go TOMB II. — CBAPlTm I.

Or, si nous remplagons dans cette ^qaation les dxi par les determinants mineurs {bk)ib'^~\ le coefBcient de [n — i) devient pr^cis^ment ^gal k la forme X ci-dessus; le coefficient de (r — i), d'autre part, devient ^gal k Texpression d^sign^e plus haut par lis, et, par saite, son prodait par k^ ^gal k — n, et, d*une maniere analogue, le coefficient de {s — i) sera £gal ^ +n| aufactenr pres kx' Nous avons d'apr^s cela la relation

(/I - i)>f^X= (r- i)n, - (5 - i)ni.

Si nous portons ceci dans Texpression trouv^e pour XIj — IIj, el

que nous d^signions les coefBcients de - k% dans IIi par Ti, dans II3 par T„ il en r^sulte

(„,)(n,-n,) = ^*M«-'){Tt-T,)-t-2(r-i)n,-2(*-i)n, ou

(89) 2(a5-h/i — 3)nj— 2(2r-f-/i — 3)nj=:A:=(/i — i)(T. — T,\

Cette Equation, conjointement avec (28), donne les r^sultats snivants :

4(r + 5-f-«— 3)ni = A5[2(2r-H/i— 3)S-+-(« — i)(T,— T,)], 4(r+ 5-4-71— 3)n,= A:l.[2(25-h /I — 3)S— (/i — i) (T,— T,)].

La separation du facteur k^, de T^quation (37) est en consequence accomplie. L' equation de la courbe cherchee qui decoupe surf^=z o les points de coincidence de la correspondancea^.^'^ = est par suite

S, T = Tj — T, etant definis de la manidre suivante :

S=(a«P)(*aP)«r»l3rar*6rS

On voit clairement par ces exemples comment on a it proc6der dans le cas general. On pourra, en ayant ^gard aui equations A*^^ = o^ au moyen d'un procede analogue au precedent,

TBtoBIB Gfi!(£aALB DBS COOIBBS ALCfoRIOCBS. l6l

dans lequel les symboles oe et |3 de la fonction (f = ^^x^^x ^^^^ ^"^~ ploy^s symelriquementy ^liminer successivement entre les Equations qui d^finissent le point de y valeurs de la correspondance en x^=y les diff^rentielles des divers ordres, que ce dernier point provienne d'un point multiple des courbes f en cet endroil, ou d'un contact multiple de cette courbe avec f, ou de la presence simultan^e de ces deux circonstances. On a alors k s^parer toujours du r^sultat final comme prEcEdemment, au moyen de transformations identiques, une puissance de kx comme facteur, pour obtenir enfin T^quation de la courbe qui determine sury les points de coincidence. Mais nous pouvons, du reste, indiquer Vordre de cette courbe sans examen d^taillE des operations alg^briques dont 11 s^agit, parce que nous connaissons, d'apr^s la formule(ii)9 le nombre de ses points d'intersection avec/; ce nombre est (a = r/i, h = sn) Egal k

Le nombre dont nous parlous reste le m^me si f poss^de des points doubles ou multiples, car les operations alg^briques indiqu^esrestent toujours r^alisables. D'un autre cdtE, le raisonnement qui nous conduit a TEtablissement du nombre C=:a-|~p + 27/^ n'est pas modifi6 par la presence de points multiples sur f, au moins si les diverses branches du point multiple ont toutes un cours separE (' ). Dans ce cas, le nombre C devient plus petit que le nombre des points d'intersection de la courbe prEcEdente avecy=: o. Cela s'explique par la circonstance que cette courbe passe par les points multiples de fj que, par consequent, en ces points des coincidences se produisent sans que les points coincidents soient situEs Tun pres de Tautre sur la m^me brancbe de courbe, ainsi que cela deviendra bientdt plus clair; or, pour les coincidences de cette esp^ce, nos conclusions g^ometriques cessent d'etre vraies. D'apr^s cela nous ferons les distinctions

(*) Dans la correspondance employee ci-dessus a la determination du nombre des points d'infleKion (p. i5a) se presente encore cette particularity que les courbes f (les premieres polaires) ont aux points multiples des points yfxex communs. Pour eriter les dilBcultcs qui resultent de \k (difficult^s sur lesquelles nous reviendrons plus tard), on pent choisir un autre ezemple, par exemple la correspondance (n — i, n — i),, qui est determinee par les lignes d'un faisceau de rayons sur /*= o.

CuEBSCB. — G^mdtrie, II. II

suivanles : Nous appellcrons comcidence proprement dite toute coincidence qui pr end naissance parce quun des a points mobiles correspondant h un point y est situe infiniment pres de ce point sur la meme branche de courbe, et coincidence improprement ditq celle qui so trouve dans le cas contraire. D'apr^s cc qui precede; en consequence de cette definition, on a la proposition que les coincidences impropi'ement dites reunies aux coincidences proprement dites forment sur J = o un sjstcme complet de points d' intersection. Si done nous d^signons par G le nonibre des premieres, le nombre