VII. — La Geometrie snr ime conrbe algebriqae

Nous avons dej^ fait observer difierentes fois que, parmi les points d'intersection de deux courbes, et en particulier parmi les points de base d'un faisceau de courbes, tous ne peuvent pas elre choisis arbitrairement, et qu'au contraire un certain nombre sont d^termin^s par les autres.

Nous allons maintenant ^tudier avec plus de soin ces relations. Une courbe donn^e du /i'*"* ordrey= o est couple par une courbe du 77i**"' ordre o = o en mn points que nous supposerons d'abord ne pas coincider avec les points doubles ou les points de rebrous-

sement de f= o. Si m est <C1 1> il y a n^cessairement "^ —

points dUnterscction don^ies ; ces points d^terminent compl^tement la courbe 9 = 0, par consequent aussi ses autres points d'intersection avecy = o. Si Ton a, au contraire, m^ w, on peut, s'il ne Skagit que des intersections des deux courbes et non de la courbe s^cante 9 ellc-m^me, remplacer T^quation 9 = par T^quation

fji 6tant une expression du (m — /j )'*"»« ordre. Les

— (/// — n-^ \][in — /i-f- 2)

coefficients compldtement arbitraires de fz peuvent etre choisis de maniere k annuler un pareil nombre de coefficients de la fonction 9'. On peut done, sans modifier le syst^me des points d'intersection, substituer a une courbe generate 9 = une courbe speciale

qui ne depend que de

constantes. Cette courbe reduite est alors determinec par

mn [n — i)(w — a) points: si done on donne un pareil

nombre de points d^intersection Ae fz=o et9'=o, les autres

Tll^ORlE CKN^nALB DBS C0CRBE8 AtCfORlQUES. l3l

' ^ sont par la mcime fixes, et il en est naturellement

(le mSme a Tegard des points d'intersection de f=^ o et o = o, puisque ce sont les m^mes points.

Les deux nombres

m [m -h 3 ) [n — \](it — 9.) mn et ■ j

qui indiquent respectivemcnt, pour le cas de in <C,n ct celui de m^/z, combien de points d^ntersection du systeme sont donnas par les autres, se confondent lorsque7/i = « — i eim = ii — 2. Pour/»}>/i — 3, on peut done toujours admettre le nombre

-[n — i) (« — 2), lequel, ete'est la Timportant, est compl^tement

ind^pendant de m ( * ) ; mais , pour des valeurs plus petites de m, le nombre des points qui sont donnas par les autres est plus faible.

Ces considerations demandent une l^g^re modification lorsquecp passe par quelques-uns des points doubles ou de rebroussement de/1 Ces points doivent, en efiet, etre compt^s une seule fois comme Elements determinateurs de 9, et au contrairc deux fois comme points d'intersection de q avecy. Le nombre des points d'intersection determines paries autres sera alors diminu^ du nombre (c^) des points qui coincident avec les points exceptionnels dont nous parlous, et qui, par suite, sont connus par avance. On a en consequence ce theor^me :

Par mi les points d'intersection d'une courhe donnee du n^^"*^ ordref= o ai^ec une courbe du m'^"'*' ordre assujetlie a passer par d points exceptionnels de f=. o sans y avoir elle-meme de

{*) Cettc circonstancc a d'abord ete signalee pour les courbes du in6iiic ordre par Eulcr dans les JUdmoires tie V Academic de Berlin, 1748 {Sur une contradiction apparente dam la doctrine des lignes courbes^-, elle a ete expHqutie plus on detail par Cramer {Introduction a VAnaljsCj etc., 1700, p. 78), et par Plucker {Annales de Gergonne, t. XIX). L'extcnsion da theoreme a ete donnee en mSme temps par Jacobi, De relationibus, etc. {^Journal de Crelle, t. 15) et par Plucker {ibid., t. 16); on en Irouve Qoe generalisation encore plus etondue dans Plucker, Theorie der algebraischen Curven, Bonn, iSSg, p. ii.) Pour I'exposilion du tcxte, voir CLEBscn et Gordan. Theorie der Abehchen Fiutctionen, Leipzig, 18G6, p. 34-

l3'i TOME II. — CBAPITKE I.

points multiples, le noinbre des points determines par les autres

sera :

o c- - J {n—i]{fi — 9.] ^ 1° oim^n — 2, ae a;

2° oi m<Zn — 2, ae mn ■ — o.

11 est a peine besoln de faire observer que les points d^intersection non situes en des points singullers de la courbe primitive peuvent sc rapprocherind^finiment les iins des autres suivant un groupemenl quelconque, sans que la verity de noire theoreme en soil influencec. La proposition soufTre neanmoins exception lorsque les points a choisir arbitrairement dependent d'une certaine mani^re les uns des autres. Si, par exemplc, la courbe cj^ = o se decompose en plusieurs autres d'ordre moins elev6, le syst^me en tier des points d'inlersection se decompose aussi en plusieurs autres-^ et dans chacun de ces systemes de points d'intersection il ne doit se trouver parmi les points donnes qu'un nombre ^gal a celui qui suflit pour determiner les autres, en vertu de notre theoreme, dans une courbe d'ordre ainsi abaissd. Si, par exemple, nous coupons une courbe du quatrieme ordre sans point double (d = o) par une courbe du troisieme ordre qui se decompose en une droile et en une conique, on ne pent cboisir que deux points de la droite et cinq points de la conique, done en tout seulement sept points pris arbitrairement surCt,tandis que, dans le systeme des points d'intersection d'une

courbe quelconque C3 avec d, 9 =:3« [n — *) (« — 2) [

points peuvent ^tre choisis arbitrairement sur C4. An contraire, les points fixes (dont le choix est arbitraire) peuvent se decomposer en systemes separes sans que la verite de notre theoreme en soit influenc^e, k la seule condition que le systeme des points a determiner par eux ne se decompose pas. II pent arriver, d'aulre part, que pour des systemes non d6composables d'intersections les

mn (w — 1)(// — 2)-|-J points donnes (dans le cas de nuvtn — a)

ne suffisent pas pour determiner les autres. On pourra mSme se poser precisement ce probleme : Ltant donnes

mn [n — i] [n — 2)4-^— r

TUEOme UESIEBALE DE8 COl'BIES ALG^DftlQCES. 1 33

points, determiner les /• autres de mani^re que, pris avec les premiers, ils ne d^terininent pas les autres -{n — i ) (// — 2) intersections

d'une courbe du m^^^ordre passant par les S points exceptionnels (le /= o. Et, en fait, le problc^me dont il s^agit, dans le cas de w=rt — 3, aura plus tard pour nous une importance toute particuliere. Nous enoncerons done le tli^oreme donne ci-dessus sous

une forme plus exacte en disant que -(« — i)(/i — 2) — 5 ou

mn ///(//* -h 3) — 3 points d* intersection au plus sont deter-

mines par les autres lorsquil ninterifient pas d' autres conditions, Ce theoreme, a cause de ses nombreuses applications, fait partie des propositions les plus importantes de la th^orie des courbes algebriques; il est en particulier le principe essentiel de ce qui va sulvre ( ' ). Nous observerons d'abord, pour le cas de ni = «, que,

parmi les /«* points de base d'un faisceau, - (m — i) ("^ — ^') ^^^^ en fait determines par les autres, et que par consequent

seulement sont arbitraires (p. 93). La proposition appliquee au\ courbes du troisieme ordre donne d'ailleurs du theoreme de Pascal une demonstration extr^mement simple et que nous ne voulons pas omettre de mentionner. Pour m = /^ = 3 notre theoreme esl ainsi con9u :

Toutes les courbes du troisieme ordre qui ont huit points cotnmuns p assent encore par un neu^ienw point.

Soient maintenant les six points i, 2, 3, 4? ^9 ^ situes sur une conique et reunis en couples de telle maniere que, dans Ic tableau [voir t. 1, p. 63)

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