C-h G=: /ir — y -h ns — y -h y[(n — i) (/i — 2) — ar/] 4- G

d indiquant le nombre des points doubles def= o, doit ^tre divisible par n, c'est-^-dire que Ton a G = ayrf.

Dans tout point double de f tombent par consequent ay coincidences improprement dites, et il y en a de meine yi{i — i) dans tout point multiple d'ordre i h tangentes separees.

En effet, pour 7 = 1, le premier membre de (ai) est nul au degr^ I — I de multiplicity en tout point de y multiple dWdrei. Pour reconnaitre ce fait dans (ay), il suffit d'observer a Tegard d'un point double x Ae f que Texpression (aiix)*a""*^i""^ devienl en un tel point proportionnelle k uj.

On peut se rendre compte directement et ainsi qu'il suit de la mani^re dont se comporte aux points singuliers de/^la courbe qui traverse les points de coincidence {*), courbe que nous appellcrons bri^vement dans ce qui suit courbe de coincidence, au cas ou les courbes cp correspondant k x ont en x =^ un point multiple dWdre 7. Si x s'approche d*un point double de y sur Tune des branches de cette courbe (avec laquelle la courbe correspondantef a toujours y points d'intersection en j:=j ), la courbe f, lorsque x arrivera au point double, poss^dera encore en xy autrcs points d'intersection avec Tautre branche de f passant par le point double, en sorte qu'il se pr^sente y coincidences impropreraeol dites. La m^me chose a lieu si x arrive au point double sur celte

(*) Le fait que ce mot a ^te employ^ dans un autre sens (p. 109) ne peut donoer lieu k aucune m^priso.

TH£0R1E Glk.x£RALK DE9 COCIBBS ALG£BBIQCE8. 1 63

autre branche, et nous avons en fait 27 coincidences improprement dites r^unies, comme cela doit ^tre.

Gonsid^rons ensuite le cas oii le point de y valeurs en x =>y prend naissance par contact. Ici nous pouvons toujours nous figurer les courbes (p qui correspondent aux points x comme d^rivant d'une vari6t6 doublement infinie de courbes du 5**"' ordre, dont chacune rencontre la courl>ey= o en 7 — i points cons^cutifs, pr^cisement par la condition qu'une telle courbe ait encore un point voisin en commun avec f. Alors ^ chaque point x correspondent les autres ns — y points simples d'intersection y d'une courbe de cette espece avecy) points dontaucun en general n'est situ^ aux points doubles. D'autre part, par tout point y passe un nombre simplement infini de courbes appartenant au SYst^me doublement infini dont il vient d'etre parl^, courbes dont chacune rencontre la courbe y* en y — i points voisins, et cela en un point non situ^ en y\ mais parmi elles figurera un nombre fmi de courbes coupanty* en y points voisins. Au point y correspond done une courbe qui traverse les points de contact ainsi signal6s de la courbe mentionn<^e en dernier lieu, c^est-4-dire la courbe de coincidence (p. 162) d'une correspondance a point de y — I valeurs. Or, une correspondance de cette espece a, comme nous le verrons incessamment, y(y — 1) coincidences improprement dites en tout point double de/*, et, par consequent, en chacun se trouvent y(y — i) points d'intersection de la courbe qui correspond k y. Si done une correspondance a en x =y un point de y valeurs provenant d'un contact du[y — iy*"« ordre, et si les courbes qui correspondent hx ne passent pas par les points doubles de J, neanmoins, pour chaque courbe appartenant ci un point y^yi^y — i) points d'intersection coincident av^ec chaque point double dej\ autrement dit, nousai^ons une correspondance a points fixes.

Nous avons pour le moment exclu de notre exam en les correspondances de cette nature. Relativement k elles, nous d^montreroos plus tard ( * } le th^or^me suivant, dont, en attendant, nous ferons it^rativement usage et que nous ^nongons ici pour ce motif:

Si dans une correspondance ayant un point de y ^valeurs

(^) Voir la Section relatiTe aux transrormations uniToques, t. Ill de ces Lemons.

l64 TOME II. — CBAPITRE 1.

en x^^y ilj a, en un point simple fixe de fy a points d' intersection pour chacune des courbes qui correspondent it x et x points d' intersection pour chacune des courbes qui correspondent a r, ily aura en ce point a H- t coincidences improprement dites, et, sile point fixe est un point double defi, il j a en ce point a-f-T + ay coincidences improprement dites. Les coincidences proprement dites y au contraire, se determinent encore par la formule (la), pourvu que I' on entende par a, /3 les nombres des points mobiles qui repondent ax ou hy.

Nous supposerons maintenant que a points d'inlerseclion des courbes qui correspondent k x soient situ^s en un point double. Alors, y ^'tant ^gal k a (par contact en .r); la courbe qui correspond aj^ se determine, de la mani^re d^crite, comme courbe de coincidence d'une correspondance dans laquelle 7 = 1, or = a et aussl T=:a. Mais, pour celle-ci, a-|-T-i-ay= -1-2 (a -hi) coincidences improprement dites sont situ^es au point double; autrenient dit, dans la correspondance ouy= 2, 2(Gr + i) points d'interseclion de la courbe qui correspond kj sont situ^s au point double. Nous avons par consequent ici a = or, t = a(a-|- i), et, par suite, le nombrcM des coincidences improprement dites devient i/=3(a4-2). Pour une correspondance oCi y = 3 , il en r^sulte a = o", t = 3 (a-h^), d'oii M= 4(^"H3). En continuant cette mani^re de raisonner (et concluant de y ^ y -|- i), on trouve plus g^n^ralement, si Tod donne a = a,

Si done J dans une correspondance A point dey valeurs en j:=r> pour la courbe correspond ante a x qui a en x un contact du (y — 1)«^'»^ ordre, a points d' intersection fixes tombent en un point double de fy il y a en ce point, pour chaquc courbe correspondant a jy y[cf-^y — i) points d' intersection fixes ^ et il s'y trouve (y-f-i),(^H-y) coincidences improprement dites. Pour a = o, en r^sulte le th^ordme 6nonc6 plus haut ; on demontre aussi de m6me le suivant : Si dans la correspondance citee pour la courbe correspondant a x, a points d' intersection tombent en un point simple fixe de fy iljr a en ce point ya points d' intersection fixes pour chaque courbe correspondant h y et (y-4-i,^ coincidences improprement dites.

TBBORIB GtfNllaALE DS8 COCRBES AUSiBBIQQES. 1 65

Si d'un autre c6t£ nous faisons arriver le point x ft un point double de /*, il ne lui correspondra d^abord aucune courbe determinee, puisque I'expression ^{jo^y) deviant nulle independamment des y. On obtient done une courbe delermin^e seulement si Ton fait un choix entre les deux directions d^avancement possibles de X sur f et si en conformity Ton pose x •+- dx k la place de x dans ^{xyy), A a point double comme point x correspondent done deux courbes completement differentes, dont chacune a un contact du {y — i)'^'^^ ordre ai^ec une branche de f, Quelques exemples pourront servir k eclaircir la chose.

On demande d'indiquer la correspondance (f = o en vertu de laquelle h tout point x repond celle des courbes d'un reseau du ^iime ordre quitouche en ce point la courbe fz=z o. Soient a^ = o, aJ^=.o,aJP r=zo trois courbes quelconques du reseau; il faut d'abord 6liminer x^X^jx entre les trois Equations

xa^

xaj*

-f- >ay'» -f- ft«';" =r O,

xa2*"

*«rfa:

puis eliminer du r^sultat les quantit^s dxt au moyen des relations a"~"*arfx== o, /rete=o. Au moyen de quelques transformations identiqueSy on a alors k s^parer encore un facteur hx pour obtenir enfin le resultat

[accK jctjg a^ a^, J — o.

On verifie facilement aussi a posteriori I'exactitude du resultat. L'^quation repr^sente en effet, par rapport aux variables j^, dans tous les cas, une courbe du reseau; si dans cette Equation on pose j^ = X, il se s^pare en fait, k cause de Tidentit^ (* )

( a aloL^ ) OLx -f- ( «aa' ) a*^ -f- ( rz «"a ) a^ == ( aa'a" ) a^,

(^) Du theoreme (p. loa) d'apr^s lequel les courbes d'an reseaa qui passent par un point de la jacobienne de ce reseau se touchent toutes en ce point, il resulte que la conrbe ^ qui repond a un point d'intersection x de la jacobienne avec / a en x un point double et non, par suite, un contact propremcnt dit; ce que Von verifie aussi directement.

|66 TOMB II. — CBXriTRE I.

un lacteur aj, et de m^mCy si Ton pose j^ = x -h dxy un facteur a"~*adjc^ comme cela doit lire. Mais T^quation peut ^Ire consid^ree comme une fonclion lin^aire des grandeurs a^'^aiy el de la r^sulte que toute courbe r^pondant k un point j^ passe n^cessairement en fait par les points doubles de /^ ainsi qu41 a ete aflirm^.

II peut naturellement arriver aussi que le point de y valeurs provienne de ce que la courbe fa en x = y un point multiple dont les branches individuelles ont avec la courbe un contact union multiponctuel. Ccs cas peuvent £tre envisages comme des combinaisons de ceux qui viennent d'etre trait^s.

Faisons maintenant degenerer le point double def en un point de rebroussement. Aiors les considerations pr6c6dentes conservent leur exactitude en tant qu^il s^agit des coincidences improprement dites. Mais, dans un point de rebroussement, deux points confondas ensemble doivent toujours ^tre consid^r^s comme situ^s sur le /7iem<? element de courbe; done, les coincidences qui tombent en un point de cette nature doivent ^tre partiellement consider^es comme coincidences proprement dites, de sorte que le nombrc C dans ( I a ) doit encore subir une reduction si Ton demande le nombre des coincidences proprement dites non situees aux points singuliers def. Nous donnons dans ce qui suit quelques exemples relativement a la determination de cette reduction.

Admettons que les courbes (f aient en a: =:j^ un point multiple d'ordre y\ il en sera de m^me si x est un point de rebroussement, et, en general, les tangentes du point multiple sont distinctes de la tangente de rebroussement. Le hombre des coincidences proprement dites situees en x est alors ^videmment ind^pendant de la correspondance speciale et peut, pour le mdme nombre 7, ^Ire determine sur un exemple quelconque. Or, dans le voisinage dex, nous pouvons remplacer la courbe a point multiple d'ordre 7 par ses 7 tangentes. II noussuffit done de determiner le nombre dont il s'agit pour le cas oij les courbes 9 qui repondent ^ a: se decomposent en 7 lignes droites. Conslderons dans ce but la correspondance [7(71 — 0»y('* — OJt' qwi met en relation avec un point de/ les 7 (/I — i) intersections des tangentes que Ton peut menerdecc point k une courbe quelconque de classe 7. Le nombre des coincidences proprement dites doit etre egal au nombre des tangentes

TntoRlE Gil!l£RALE DE« COL'RBSS ALC^DftlQUES. 1 6;

communes des deux courbes, c'est-a-dire k

ky = y[n[n — i) — id — 3r],

ky d, r ayant k regard de la courbe f les significatioiis connues. Mais notre formule de correspondance donne le nombre

et nous avons ici k apporter encore une reduction de yr pour obtenir le nombre hy. Si done le point de y valeurs en x =j prend naissance par suite d'un point multiple d'ordre y des courbes (f, y coincidences proprement dites sont absorbees en cltatfue point de rebroussement.

Si, au contraire, le point de y valeurs prend naissance par contact, on pent encore, pour 7=2, remplacer les courbes ^ dans le voisinage de x par des lignes droites et determiner au moyen des formulas de Pliicker la reduction qui survient alors. C^est plus tard seulement que nous trailerons le cas g^n^ral ( * ) dans la supposition oik les courbes f qui r^pondent k x sont s^par^es d^un systeme y fois infini de courbes pr^cis^ment par la condition du contact. U parait ndanmoins diflEicile de donner des regies tout a fait g^n^rales. Ainsi, par exemple, des exceptions interviennent si les courbes <f qui r^pondent ^ x et celles qui r^pondent ky passent par un point de rebroussement de^*, comme le montre Texemple suivant.

Determiner le nombre des tangentes que Von peut mener d'un point de rebroussement a la courbe J'. — Les points de contact sont les points de coincidence d'une correspondance (n — 3, 71 — 3)i ayant un point fixe comptant doublement au point de rebroussement pour chaque courbe y(c'est-^-dire pour les droites passant par le point de rebroussement). Le nombre des coincidences proprement dites est, par consequent, si d'ailleurs (pour abreger) on ne suppose pas d^autre point de rebroussement sury ( d*ou /• = !), egal k

D'un autre cdt^, ces points sont les points d'intersection ayecj*

(') ^oir la fin de cette Section.

1 68 TOMB II. — CHAPITRB I.

de la premiere polaire du point de rebroussement non situ^s aui points doubles de^. Mais, pour celie-ci, six points d*intersectioQ avec / sont situ^s au point de rebroussement, c'est-i-dire trois de plus que pour un p6le quelconque ; nous obtenons done encore ^ — 3 autres points d'intersection, et, par consequent, iln'ya dans un point de rebroussement aucune coincidence proprement dite. Nous allons maintenant, dans ce qui suit, donner une serie d^exemples et d* applications de formules de correspondance, el nous apprendrons k connattre en m^me temps diiT^rents th^oremes importants par eux-m6mes et une generalisation de ootre formule de correspondance.

1** Comme exemple relatif a la formule (i3) donn^epour (oj^), nous prendrons le suivant. Soit donn^ un faisceau simplement infini, coupant C/i en un certain nombre de points fixes et en M points mobiles parmi lesquels peuvent se trouver les points x eij : on demande de determiner les couples de points d'intersection Xy y qui sont p6les conjugues relativement k une conique fixe quelconque. Un couple de cette esp^ce doit satisfaire simultanement a la correspondance 9 = (M — i,M — i)j entre les points d'intersection mobiles et a la correspondance <^ = [n^ /z)o entre un point/ de C/2 et les n points d'intersection x des polaires de j^. On obtient, par suite,

pour le nombre des couples cherches (le facleur - ^ cause de la

jymetrie )

2° Nous allons faire k present usage de la formule (12) pour parvenir au theor^me dej^ enonce plus haut sur I'idenlite du genre de deux courbes lieesTune aTautre par une relation k determination unique. Nous poserons tout de suite en general cette question : Quelle est la dependance du genre {j^)) d'une courbe G relativement au genre p' d'une courbe 01 si ces deux courbes sont liees Tune a I'autre de telle maniere qu'^ tout point P de C correspondent Off points P' de Q et k tout point P' de C x points P de G (*).

(*) Voiry poup ce qui suit, Zeutben, Nouvelle demonstration de the'orimes sur Us

TBtiOBlB GtStRALB DBS C0URBB8 ALG^BBIQUBS. 1 69

Nous d^signerons par j^ eij' le nombre des coincidences de deux points qui correspondent respectivement sur C et G au mdme point de Tautre courbe, en ne comptant pas les coincidences provenant des points doubles des courbes. Nous admettrons qu'il arrive zfois (sur chaque courbe ) que simultanement deux points correspondant a un point P coincident en P' et que r6ciproquement deux des points correspondant i. F soient confondus en P. Nous supposons d'ailleurs que les courbes C et G aient seulement des points doubles et pas de point de rebroussement. Actuellement, pour la determination des points j^ et z sur C, nous avons une correspondance

[x'(x — 1), x'[x — OV*

A cbaque point P de C correspondent en effet od points F de C^ puis k chacun de ces points x points Q sur C dont Tun se confond avec P(ce qui fait en tout, par^ns^qnent, jf points), et ainsi prend naissance la correspondance cit^e qui, en vertu de notre notation, ^ jr-\-'kz points de coincidence, car chacun des points z comme tel compte deux fois, en tant que deux points Q se confondent avec P. On a done

y-k- 2ZZZ21X (jc' — i) -H 1.x p\

d'ou, par soustraction ( ' ),

Entre deux courbes telles qua un element de la premiere repondent x elements de la seconde et b. un element de la seconde xf elements de la premiere, dont I'une est du genre p, V autre du genre p\ et qui ont respectivement y et j' points de coincidence ^

furies de points correspondants sur deux courbes {Math, Anneden, t. Ill, p. i5o). — Pour les considerations du texte, on doit supposer que la relation k determination multiple des deax coarbes estrealisee aa moyen da systeme complet des intersections, car c'est a cette condition seulement que le principe de correspondance peul dtre applique tel quel. La demonstration donnee par Zeuthen k Tendroit cite est independante de cette supposition ; le resnltat est done vrai d'une maniere (jenerale.

(*) Les m^mes Equations sobsisteront, du reste, en cas de survenance de points de rebroussement, pourvu que par y ovLjr' on entende Vensemble des points de coincidence proprement dits {yoir plus baut).

170 TOME II. — COAPITBR I.

existe la relation ( * )

Pour X = x/= I , d'ouj^ =j'== o, nous avons en particulierp = p , et Ton obtient le th6or^me suivant dont T^lude individucUe nous occupera encore plus tard :

Deux courhes liees I'une a I' autre par une relation a determination unique appartiennent au meme genre.

3^ Nous pouvons ensuite, k Taide de la formule de correspondance, r^pondre k la question de savoirquel estle nombredes courbes d^un syst^me qui ont un contact d*ordre ^lev^ en certains points avec une courbeydu genre p (^). Les correspondances que Ton rencontre alors sont toujours, d'apr^s ce qui pr^c^de (p. i63), des correspondances k points fixes; mais, dans la determination des coincidences proprement dites, d^apr^s la r^gle donn^e k Tendroil cite, il y a lieu de tenir compte seulement des points d^ntersection mobiles des courbes <f{x, j^) = o et f= o. Done, lorsque par ia suite nous consid^rerons des syst^mes de courbes dependant lin^airement de q param^tres, tons les points simples ou doubles de/ peuvent individuellement dtre communs k toutes les courbes du syst^me sans que nos formules en soient influenc6es ; car celles-ci apparaissent comme ne dependant que du nombre M des points d^intersection mobiles. Nous supposons d'abordici que y*n*ait pas de points de rebroussement.

(*) Si ]*on prend en particulier x^ = i , d*oiky = elp=p', il vient

y=2(/>— i) — ax(/>— 1).

Or, paisque^ est toujours necessairement un nombre positif, on a aussi;r = i (si d'ailleurs/7 est different de 1) ; et de la resulte ce theor^mc : Si deux courbes du nime genre p"^ I ont entre elles une relation telle qua chaque point de la premiere corresponde un point de la seconde, cette relation est aussi n^iproque, A I'aide des principes de Riemann, Weber a aussi donne une demonstration directe de cette proposition (Journal de Crelle, t. 76, p. 3^5). — Le eas de /f = 1 a besoin d'un ^claircissement special : il est relatif k la transformation des fonctions elliptiquei.

(*) Les formules relatives a cette question (dans le cas de r = o) ont d'abord ite etablies par DE JoNOUi^AES, iSur les problkmes de contact des courbes algibriques {Jonrnel de Crelle^ t. 66; 18G6); elles ont et^ etendues aux courbes k points do rcbroussenent par Caylet, Philosophical Transactions^ t. CLVIII, p. 109; 1868. ^oir aussi Biscoorr, Journal de Crelle, t. 56. Des demonstrations ezactes de cos formules ont ele donnees par Brill, Math. Annalen, t. VI, p. 46.

TB£0MIK C£!ltaALB DES COCMDES ALG^BBIOCES. I^f

Soil d*abord un faisceau de courbes (^ = i). Par tout point x dey passe une courbe de cc faisceau coupaniy en M — i autres points j^. Nous avons par suite une correspondance (M — i , M — i )^ ; et le nombre a des courbes tangentes est

air=a(M— l)-f- 2/1=: 2(M +/? — l),

en ne comptant pas les courbes tangentes en des points ^xe^ situ^s sur Cfl ( * ).

Si nous prenons un r^seau de courbes a M points d^intersection mobiles, d'oiJi y = 2, il y a une courbe du syst^me tangente en un point quelconque x de C;,, car une telle courbe est d^termin^e par deux points (ici successifs). Cette courbe d^coupe M — 2 points correspondants^. D'autre part, par tout point j^ passe un faisceau de courbes du r^seau ayant M — i points d*intersection mobiles, et parmi elles, d'apr^s ce qui a ^t^ dit plus haut, il y a a^ — 2 courbes tangentes; car le nombre ai se transforme en a, — 2 si Ton rcmplace M par M — i . Nous avons y = 2, car il existe en outre deux courbes infiniment voisines et tangentes en y m^me. Nous trouvons ainsi entre les points de contact x et les autres points d'intersection^ des courbes une correspondance

// existe done dans le reseau

(*) L'^uation da faisceatt ^Unt donnee par a[^" + Jla^ = o, la correspondance sur/ est determin^e par

9 = ^x Py =» <»x **j- — «x «/ = O.

Si niaintenant on considire que, sous forme non symboliquc,

•^ \dx.dr, dx^djrjdx, \c^x,4r, dx.djrjdx,

\dx,djr^ dx^djrj dx^^ on Toit que les points de coincidence seront determines par la courbe (p. i54]:

1^3 TOHK II. <— CBAPITIIB I.

courbes osculatrices [secantes en trois points successifs) (*). On peut d'une mani^re idenliqueconclure de^ a ^ +i, et Tod parvient k cc th^or^me :

Dans un sjsteme lineaire qfois injini de courbes coupant une courbe C„ sans point de rebroussement en M points mobiles, iljr a

a^=(7-Hi)(MH-7/?~^)

courbes qui rencontrent C/j e/i y + 1 points voisins {ay ant un contact d'ordre q).

Si les courbes du systeme sont du m*^*"' ordre etne sont assujetties a aucune condition, nous avons en particulier a poser M=izm,

y= -/7i(m-f-3). II existe done, par exemple, sur une courbe C*

sans rebroussement,

points dans lesquels une conique peut avoir un contact du cinquieme ordre ( ^ ) .

4** Pour determiner ensuite le nombre des courbes d'un r^seaii qui touchent Cn en deux points s^par^s, il est n6cessaire de g^n^raliser d^une certaine mani^re la formule de correspondance. Nous avons jusqu*ici toujours suppose que les courbes C5>(x, j^) = o n^avaient avec la courbe y, au point j:=j^, qu'une intersection comptant une seule fois. Or, il peut arriver que ces courbes soi3nl par exemple tangentes en un point k un certain degr^ de multiplicity, et secantes a un degr^ multiple dans les autres. Nous ne ferons que mentionner ici bri^vement ces cas compliqu^s ('). On d^montre d^abord (comme nous I'avons fait plus haut pour la formule 7 = ^) (p. 149) Ic th^oreme suivant :

Si, parmi les points mobiles y correspondant a un point j/, se

(*) Une courbe traTersant les points d'osculation a et^ donn^e par Brill, Math, Annalen, t. Ill, p. /|5q. On pourra la deduire de Tequation 4o ci-dcssus, p. 160, u Ton imagine la forme ^ {x^y) donn^e comme a la page i47>

(*) Cayley a aussi fait connaftre une courbe qui separe ces points sur la courbe principale.

(') Voir Catlet, Comptet renduSf t. LXil, 1866, et BaiLL, loc, cit.

TH£0R1B GtntllALB DU COOaDES ALCteaiQCES. 178

rencontre un point y de i valeurs [c'est-h-dire un point dans lequel se trouvent reunis i points simples d' intersection) , redproquement le point xf se comporte parmi les points x qui correspondent a y comme un point de i valeurs.

Si maiDtenaiit a un point x, dans une correspondance k point de y valeurs en x =y r^pondent en g^n6ral |3' points y de i' valeurs (non situ^s en x), (j' points y" de i" valeurs, etc., d'oii en tout

points j^, ontrouvera, d'apr^s le th^or^me cit6, pour chaque point y^^\ un certain nombre a^^^ de points x^^^ qui lui correspondent au degr6 de multiplicity p, de telle sorte quele nombre total des points X correspondant k un point j^ est ^gal k

Lc nombre des points de coincidence de la correspondance (a,P) qui prend ainsi naissance est, d'apres la formule de correspondance (i2),C = a-HP-l- ^7/^> cest-h-dire que Von a la relation

/'(C'~ «'- J3') + *"{€'-. a"- p")-^.,,z=z'xyp

si O?^ indique combien de fois une coincidence se produit entre un point x^^^ ou y^^^ de i^^^ valeurs etle point de y valeurs j^ =: x, si par consequent Ton pose

C = /'C'-+-rC'^-l-/*C'^+....

Uexemple le plus simple d^application de cette formule est fourni par la determination du nombre des tangentes doubles de la courbe^*, ou, en g^n^ral, par la determination du nombre des courbes d'un r^seau k M points mobiles sur^* tangentes en deux points differents de C/i. Par tout point x passe un faisceau de courbes k M — I points mobiles d'intersection dans lequel, d'apres les notations precedentes, se trouvent «! — 2 courbes tangentes (car le nombre precedent a^ est diminu^ de 2 si Ton y ecrit M — i ^ la place de M). Ghacune de celles-ci coupe C/j en un point de deux valeurs

174 TOMB 11. — CRAPITEB I.

et en M — 3 points d'une seule valeur. Nous avons done

D'ailleurs C''= aj est le nombre (d^j4 connu pour nous) des courbes osculatrices, tandis que C'= aan indique le double du nombre cherch6. Si done nous supposons la courbe y d^pourvuc de points de rebroussemenl, nous trouvons pour le nombre des courbes doublement tangentes du reseau

aii=:(ai— 2) (M — 3) — a,+ (aj— 2) -f- (M — a) -f- (a, — 2)/?.

Mais nous pouvons aussi trouver de la m^me manidre le nombre aiq des eourbes d*un syst^me lin^aire q fois infini a M points d'intersection mobiles tangentes en un point a un degr^ q de multiplicity et siraplement tangentes en un autre point. On obtient

pour faire eoncorder nos notations avec celies de Brill nous devons poser a^ =: [y]j, et ai^ = [i, ^]y. Notre derni^re Equation devient par 1^

On pent d^une mani&re tout a fait analogue ^tablir une formule apprenant k former le nombre [^, yjn au moyen du nombre

et une generalisation ulterieure donne finalement une formule de recursion pour le nombre [7,^, •••ty^'^jii; c'est-i-dire pour le nombre des courbes d*un systeme lin^aire de multipliciie

(*) Le nombre a* se determine ainsi qu'il suit. En tout pointy est tangente une courbe da reseau. Or celle-ci compte double dan8|l*ensemble des a, courbes da rtoeau passant par^^ qui touchent/; par consequent, de fait, cbacun des autres M ^) points d'intcrseclion avec / doit 6tre compte conime point xf de deux raleun correspondant a^, ainsi que Texige le theoreme ci-dessus.

(*} Les formules de recursion trcs compliquees donndes par db Jo:iQOiftKU et Biill

TH£0HIE Gil!«teALB DBS COORDES ALC^BRIQOeS. 176

Pour finir, nous reviendrons encore une fois sur les formules relatives aux nombres a^^ parce que leur 6tude attentive conduit a des relations g^om^lriques dignes de remarque entre certains systemes de courbes. Nous apprendrons Ik k connaitre une loi de reciprocite ( * )qui doit dans un certain sens ^tre consider^e comme une generalisation du principe de duality.

Soient donn^es d'abord deux correspondances (f[x,j)=o et ^{Xyy) = 0; soit 4>= o, la courbe de coincidence (p. i6a) de 9, ¥ = o celle de^\ supposons ensuite que 9 et ^j; soient ^galement de I'ordre r par rapport aux x, de I'ordre 5par rapport aux j^ et n*aient aucun point de coincidence commun. Nous consid^rerons le systeme lin^aire de correspondances cp -f- X^p = o. Tout point de f sera alors un point de coincidence d'une correspondance du systeme, et d'une seulement. Si, en eflfet, deux correspondances du syst^me devaient avoir un point commun de coincidence, ce dernier serait evidemment un point de coincidence pour toutes les correspondances du systdme, et, par consequent, aussi pour (p et ^, ce qui est en contradiction avec rhypoth^se. II suit de la que par chaque point dey il ne passe 'qu'une seule des courbes de coincidence appartenant au systeme 9 + Xv|> = o, c'est-a-dire que ces courbes forment le faisceau 4> -H XV, ou, en d'autres termes : L^ equation de la courbe de coincidence d'une correspondance cp(j:,^) = o est lineaire par rapport aux coefficients de (f; a un systeme lin^aire de correspondances repond done aussi un systeme lineaire de courbes de coincidence. C'est ce que confirment les deux examples que nous avons calculus ci-dessus (cas dey=ietde7=:i).

Maintenant, dans le systeme f + Xi]; = o, seront comprises un certain nombre de correspondances pour lesquelles deux points de coincidence se trouveront infiniment voisins, et ce sont pr^cis^mentcellesdont les courbes correspondantes de coincidence faisant

peuvent kite remplaeees par des formules directes relatirement simples au cas ou le systime liaeaire de courbes depend uniquement de points fixes de la courbe primiliTe, et oh toutes les courbes qui en font partie sont adjointes de cette dernidns. Cea formules directes ont ei& d^uites par M. Likdemanii de la theorie des fonctionsO; Yoir Btrichte der naturforsckenden Gesellscha/t zu Freiburg in Br,f t. VI I, p. 273.

(*) Foir Brill, Math, jinnalen, t. IV, p. 537. La loi de r^iprocite qui ya 6tre deTeloppee peut aussi se deduire de la theorie des fonctlons 6. Foir Liiidbiia:<n {loc. cit,).

176 TOME II. — CBA?1TRB 1.

partie du faisceau 4> -4- XY = o touchent la courbe /*= o. Mais nous coonaissonsy d'apr^s ce qui pr^c&de (p. 161), Tordre des courbes 4> et V, et aussi, d'apr^s la formule relative k «!, ie nombre de cos courbes tangentes du faisceau, et, par consequent, le nombre des correspondaaces ayant le caract^re pr^cit^.

Dans Tapplication ult^rieure de ces d^veloppements, la remarque .suivante sera encore utile. Pour le nombre osg des courbes d'un syst^me lin6aire(^) ^ fois infini a M points d'intersection mobiles y qui ont un contact d'ordre q^ nous avons trouv6 plus haut la valeur (p. 172)

En posant ici M — i k la place de M , c*est-^-dire en consid^ranl un systeme de courbes de la m^me multiplicity a M — i points d^intersection mobiles seulement, on reconnait qu^il n'y a dans ce systeme que a^ — (^-Hi) courbes ayant un contact d'ordre y. La courbe du systeme qui a un contact d'ordre q au point fixe lui-mdme compte done q -hi fois parmi I' ensemble des courbes dont le contact est du meme ordre,

£tant donn^es actuellement ^ -H i courbes ?0)^i)92> • • • » 9^, nous consid^rerons le systeme q fois infini

dont les courbes individuelles coupent la courbe f en M points mobiles (et en outre en a points fixes simples ou doubles de/). Paries points de contact des courbes du systeme q — i fois infini,

qui ont un contact d'ordre q — 1 , faisons passer une courbe 4>o (qui sera, par suite, la courbe de coincidence d'une correspondance entre un point de/ et les points dans lesquels une courbe du sysl^me passant par ce point a un, contact d'ordre q — i). Par les points correspondants du systeme

faisons passer une autre courbe 4>|, etc., de mani^re k obtenir en

(*) Par systime, on doit tonjours entendre ici un systeme lin^aire.

TU£ORIE C^N^MALE DBS C0UBBE8 ILC^BniQCES. I77

tout 1/4-1 courbes 4^o>^i > *2> • • • > *^« Une combinaison lin^aire des ^ 4- I sysl^mes q — i fois iDfinis ainsi d^termin6s des f donne alors sury uae correspondance qui se compose lineairement (*) des 17 4- 1 correspondances cities (c'est-4-dire d^terminaDt les4>)y et, par consequent, leur courbe de coincidence se compose de meme lineairement avec les 4> suivant le th^or^me precedent. A TeDsemble des syst^mes q — i fois infinis que renferme le syst^me donn^,^ fois infini des 9, correspond ainsi un syst^me lineaire q fois iofini de courbes 4>. Dans ce dernier, choisissons de nouveau un syst^me q — i fois infini

(I) *|4-pi*,4-. . .4-f)^i*,,= 0.

A chaque courbe de celui-ci correspond un syst^me q — i fois infini d^termin^ de courbes op, el pr^cis^menl un syst^me comprenanl la courbe foi car les systemes r^pondant respectivement aux courbes 4>j , 4>,, . . . , 4>^ renferment individuellement la courbe 90- Maintenant, dans le syst^me (I), il y aura un certain nombre de courbes ayant un contact d'ordre y — i [q points de section). A une telle courbe 4> doit alors correspondre un syst^me q — i fois iofini de courbes 9 pour lequel q des courbes ayant un contact d'ordre^ — i qui y sont comprises coincident; car k tout point d'intersection d'une courbe 4> avec ^correspond une courbe cp du sysl^me correspondant des 9, ayant en ce point tin contact d'ordre q — i . Parmi les systemes q — 1 fois infinis de courbes cy qui sont possibles dans le syst^me q fois infini donne et qui comprennent la courbe 90^ figurent dans tons les cas ceux dont les courbes passent loutes ensemble par un point d'intersection de 9^ dcwecf (car cela donne une condition lineaire pour les q param^tres). Dans un tel syst^me, la courbe tangente d'ordre q — i , au point fixe lui-m^me, compte q fois d'apr^s une observation r^cemment faite. Parmi les points de contact des courbes 4> de notre syst^me q — i fois infini qui sont tangentes d'ordre q — i se trouvent par consequent dans tous les cas les points d'intersection de /*avec 9^; et en outre encore d'autres points (dependant uniquement de Tensemble dest^ourbes 9) dont nous devrons nous occuper plus tard.

(*) A un point X de / doit en efiet correspondre alors une courbe 9 du systeme q—-i fois infini ayant en ce point un contact d'ordre q — a, c'est-a-dire une courbe composee lineairement avec les courbes f, (f^oir ci-aprcs, p. 184.)

Clbbscd. ' GionUtrie, II. 11

178 TOXiS II. — Cn.lPITBE I.

La reciprocite entre les courbes 4> et cp peut, d'apres cela, senoncer de la maniere suii/ante[*) : Si Ton groupe les ^ + 1 courbes y en y + i syst^mes de chacun q, et que Ton cherche les courbes d'un tel syst^me qui out avecyun contact d'ordre q — i, on pent faire passer par les points de contact une courbe 4> qui, en dehors de ces points, ne rencontre plusy*qu'aux points fixes des ^ et aux points singuliers. Chaque systeme fournit ainsi une courbe 4>, et ces courbes forment ensemble un systime de 9 -H i courbes. On pent de nouveau appliquer k ces derni^res la meme operation que Ton a appliqu6e aux courbes cp, et les courbes mobiles qui prennent ainsi naissance ne sont autres que les courbes f dont on esl parti.

Avant d'aller plus loin, ^claircissons ceci par un exemple. Supposons que Ton ait ^ = 2, et, par consequent, le r^seau

Nous formons les trois faisceaux

yo-f->yi— O, yi-4- ,U3?,= o, y,-f-vyo=o.

Dans cliacun d'eux il y a un certain nombre de courbes tangentes dont les points de contact sont traverses respectivemenl par les courbes 4>2 = o, 4>o = o, 4>| = o. Actuellement considerons, par exemple, la s^rie simplement infinie des faisceaux

laquelle embrasse toutes les courbes du r^seau, mais les range seulement d'une maniere sp^ciale en ce que la courbe cpi est commune a tous les faisceaux. A un point x de/* correspond dans le premier faisceau la courbe yo('^)^i(/) — ^i {x)(fo{y) = o, dansle second la courbe 91(^^)92(7) — 9^{^)9i{y) = ^> P^^ consequent dans le r6seau (d'apres notre arrangement) le faisceau de courbes

(*) Dang la marche saivie par Brill (loc.cie.)^ ces theoremes apparaissent comme des applications d'un theordme sur les determinants, d'ailleurs important, mais 6ur lequel nous n'insisterons pas ici.

THtoME GiMClULK DES COORBEf ALGAbBIQCES. 1 79

d^ou, en fail, une correspondance qui se compose lin^airemeDt avec les correspondances donn6es paries deux premiers faisceaux. Sa courbe de coincidence est, d^apr^s cela, donn^e par 4>,-hp 4>o=: o (p. 175). Maintenant a une courbe tangente du dernier faisceau correspond un faisceau des (f dans lequel deux courbes tangentes se confondent, et qui, par consequent, ou bien a, comme il a 6i6 d^crit, en un point d'inlersection de^ avec cpi un point fixe, ou bien renferme une courbe osculatrice du r^seau des (f. Si done nous d^signons la courbe de coincidence de la correspondance

par Xi = o, on a X| = 91 .L, L = o determinant sur y les points ou les courbes du r^seau ont une osculation. Or, ces points sont independants de Tarrangement fait par nous des courbes en faisceaux; on a, par consequent, aussiXt = 9s.L, X3 = f3.L, siX,=:o, Xj= o determinent les courbes tangentes des faisceaux 4>^-f- p ♦ 4 =0, ^i-+-p4>j = o (il sera d^montre ulterieurement qu'aucun facteur constant ne pent se trouver k c6te de cfi, J29 fs dans le second membre). II suit de Ik que, dans tout faisceau compris dans le r^seau des 4>, il se rencontrera des courbes qui touchenty= o en ses points d^intersection avec L = o. Done, tandis qu^en un point quelconque de fune seule courbe du r^seau des 4> est tangente, il y a un nombre infini de courbes de ce reseau tangentes en chacun des points dont il a ete parie. Or, un point dans lequel cette circonstance se pr^sente est, comme on sait, situ^ sur la jacobienne du reseau (p. 102), et nous avons par suite ce theor^me :

Les points oil une courbe du reseau des (f a une osculation a^^ec la courbe f sont situes sur la jacobienne du reseau des ^ ( * ) .

(') Od peut aussi le demontrer directement par yoie algebrique; on trouye alors que L est la courbe de coincidence deja mentionnee plus haut de la correspondance qui determine les courbes osculatrices, y etant dgal k a (p. 173, note). Designant psr {fX'P) 1® determinant fonctlonnel des trois fonctions ftXt^ dlrise par le produit de lears ordres, on a, d'apr^s la note de la page 171,

l8o TOMB II. — CHAPITRB I.

Ces relations se dessinent d'une mani^re tout k fait analogue dans le cas g^n^ral. Nous avons d'abord encore ici a montrer que, dans un syst&me q — i fois infini de courbes 4>y M seulement des courbes ayant un contact d'ordre q — i dependent de la mani^re dont les q systemes q — i fois inGnis de courbes <p ont ^le choisis parmi la totality de ces courbes, tandis que les autres, au contraire, ne dependent que de Tensemble des courbes f , et nous nous proposons de montrer que ces autres courbes sontles appoints dans lesquels une courbe cp pent avoir un contact d^ordre q. Dans ce but nous ^tablirons les considerations suivantes :

Un syst^me /f — i fois infini, compris dans le syst^me q fois infini des cp, est, en toute hypoth^se, determine par q courbes choisies arbitrairement dans le premier. Consid^rons maintenanl

d'ou, en vertu des explications du texie,

On a d'ailleuro constamment, ainsi qu*il a ete obserT^ p. i65, les idontitea

(/?>o?t)?t-t-(/?i?«)fo-«-(/?«fo)?i =(?«fi?»t)/;

et, en faisant usajjc, on troiive, en vertu de (i) et (3), pour la determination deL, U relation

ce qui demontre le theor^me du texte. On peut d'ailleurs montrer que L est toujoun une fonction eutiere. Nous supposerons que les courbes 9 soient de I'ordre m et, pour plus de simplicite, ne passent pas toutes par les points doubles de/. Alors les ^sont, d'aprds (1), de I'ordre 2m-^n — 3; L est, d'apres (3), de I'ordre 3(m-f-« — 3), cl par consequent du ro6me ordre que la courbe de coincidence de la correspondance consideree p. 166. Voir aussi p. 161,

(J>) (/?.?i)p.Cr)H-(/fi?t)p.Cr)-f- (/?.?.)?! (r) = o.

Parmi les points d'intersection de cette dernidre courbe avec /, y(yH-i) = 6 se trouvent rdunis en chaque point double de/( d'apres le theor^me sur les coincidences improprement dites, p. 164 ); mais au mdme point sont situes des points d'intersectioo en nombre egal de cbacune des courbes (/^^ ^,^) = o avec/, comme il resulte d*un theordme enonc^ p. 164 (car les courbes ^ comme courbes de coincidence psssent toutes par les points doubles et cuspidaux de /). La courbe (y^,^*) coupe done/ Bux m6mcs points absolumcnt que le produit ^|L, et peut, par suite, dtre representee sous la forme f,L-4-K/. Puisque L se comporte aux points singuliers do /comrae la courbe de coincidence de la correspondance (5), 11 en resulte que L est ia fonction calculee par Brill {Math. Annalen^ t. HI, p. 46^) (i^ P&r^ un facteur numdrique). — Los theoremes exprimes dans les equations (3), (4) relativement aux determinants fonctionnels se rattacbent a ceux donnes par Clebsch {Journal de Creiie, t. 69 et 70,.

TBiOHIB GMxARALE DEH COORBBS ILG^DRIQUBS. l8l

un syst^me q — i fois infini de celle nature renfermant une courbe (f quelconque (comme y^), el, en outre, q — i courbes cp voisines les unes des autres et tangentes d'ordre q — i, c'est-adire s^cantes d'ordre y en q — i points $ de^ voisins les uns des autres (*). La courbe 4>, qui r6pond au syst^me ainsi construit, aura toujours en \ un contact d'ordre q — 2 avecy, mais elle coupera simplement la courbe aux autres points ou d*autres courbes <p de notre systeme ont avecyun contact d*ordre q — i. Si nous faisons actuellement avancer f sury, notre systeme q — i fois infini variera avec \j tout en renfermant encore cp©, et en particulier \ peut avoir une position telle que la courbe correspondante 4> soit tangente de Tordre q — i, c'est-a-dire s^cante d'ordre q, Dans ce cas, Dous avons dans le systeme en question des courbes f , non pas y — I, mais q courbes voisines, qui ont chacune avec f, aux points 5, un contact d'ordre q — i . Cette circonstance se pr^sente, d'apr^s ce qui pr^c^de, premierement aux points d' intersection de / avec 9^ (p. 176), deuxiemement aux a^ points ou une courbe (f peut avoir un contact d'ordre q, cette courbe comptant alors double. Mais le fait ne peut avoir lieu en d'autres points dey.

En effet, une courbe <f , ayant quelque autre part un contact d'ordre y — i, ne compte toujours qu'une fois; un des sysl^mes q — I fois infinis compris dans le systeme q fois infini des courbes y est done compl^tement d^termin^ par q courbes voisines, et consequemment ne comprendra plus la courbe 90 dont le choix est entierement arbitraire. Done, dans les points de contact des courbes 4> du systeme q — i fois infini r^pondant k y© qui sent tangentes d'ordre q — i, sont uniquement compris, en dehors des points d'intersection de cpo avecy, les points OLq qui dependent de I' ensemble des 9.

Mais ces points doivent ^tre compt^s q — i fois. En effet, puisque les 4>, conformement a leur definition, rencontrent /* en a^.i points mobiles, ct^.i ^tant ^gal, d'apr^s ce qui a et6 dit p. 172, ay[M-+-(y — 1)(/> — i)], ety^tantd'abord suppose n'avoir pas de points de rebroussement, on a pour le nombre Xq^i des courbes qui appartiennent au systeme (I) et ont un contact

(*) On peut determiner des coorbes semblables en tout point de /, parce qu'une courbe f est pr^cis^ment determinee par q points (qui sont ici voisins).

1 8a TOMB II. — CBA?ITRB I.

d'ordre q — i la relation

Ces points doivent ^ire situ^s en partie aux M intersections de cp^ avecyqui ne sont pas communes a toutes les courbes y (car par les points communs passent aussi les courbes 4>), en partie aux points aq\ c'est-^-dire que pour toutes les valeurs de M existe n^cessairement la relation

7»M H- 7 (<3f* — 1 ) (/? — I ) =: xM -4- ).(^ -h i) (M -f- ^/? — 7).

Mais de la r^sulte x = i et a = 7 — i . c. q. f. d.

Les Xq^\ points sont traverses par une courbe que nous designerons par Xoy et qui passe en outre par les points singuliers ainsi que par les points simples de J communs aux courbes ^, Nous nous proposons de determiner la maniere dont se comporte X| en ces derniers points. Nous le pouvons, d'apr^s un th^or^me pr6c^dent (p. 164), parce que X© est courbe de coincidence d'une correspondance a point de q — i valeurs en x = J", correspondance en vertu de laquelle i tout point x r^pond une courbe 4> du systeme (I). Mais nous connaissons la m^ni^re d'etre des courbes aux points en question, puisqu'elles sont courbes de coincidence de correspondances en vertu desquelles a tout point x r^pond une courbe ^ ayant en ce point un contact d^ordre q — 2. £t en tout point double dej\ ou se trouvent a points d'intersection fixes, d'apres le theoreme pr^cit^ et en observant que Ton a y= 7 — i, sont situes y (a -h <7 — 1) points d'intersection des 4>, et par consequent

(11) qlq^tr-hq^l] ^ q ^ i]z=z q*<T -h q[q^— l)

points d'intersection de Xq. Au contraire, en tout point simple dey dans lequel les 4> ont a points communs avec^, sont situes qa points d'intersection des 4>, et cons^quemment q^a points d'intersection de Xo. Or, il est facile de voir que dans tous les points d'intersection de X© avec / le produit 90^^"* s® comporte de mdroe, si L^=: o est la courbe de coincidence qui d^coupe les points aq. En effet, pour ces derniers il y a, d'apr^s le m^me th^or^me, (7-4-1)^ points d'intersection de L^ qui tombent en tout point simple de /* appartenant a I'espice pr^citee, et par consi-

TBtoRIB C£:|£HALI DES COUIIBBS ILGfomQUBS. f83

quent

points ({'intersection du produit 9oL!I~ • D'ailleurs, en tout point double dey oil se trouvenl a points d'lntersection fixes des (p, sont situ^s (y H- 1)(^ -f-7) points de L^ et par consequent, comme dans (11)9

points de yoLJ"'; enfin, ce dernier produit passe une fois par les M points d'intersection de fo avecyet ^ — i fois par les points a^, comme cela doit 6tre. Si done C d^signe un facteur constant, nous pouvons (sous adjonction de^) poser (* )

(ni) x,=:C.f,.Ly.

Mais le facteur C ne pent 6tre qu^un facteur num^rique, ou, en d'autres termes, nepeut plus renfermerles coefficients des courbes (p et f. Autrement, en efTet, son evanouissement exprimerait que dans le syst^me (I) il existe une infinite de courbes 4> ayant un contact d'ordre q — i (Xq ^tant identiquement nul); mais il faudrail alors, ou bien que (fo eikt une infinite de points communs avecy, ou bien qu'il exist^t dans le systeme une infinite de courbes 9 ayant un contact d'ordre q (d'oii L^^o). Mais ^videmment les deux conditions ne peuvent pas 6tre indiqu^esparl'^vanouissement d'une expression unique C. Done, puisque G est un facteur num^rique, il doit, par raison de sym^trie, avoir la m^me valeur dans toutes les Equations qui se d6duisent de (III) par permutation de tfQ avec f i, 72; • • •> ^gi ^^ nous pouvons le faire entrer dans la definition des expressions X/; Xf, X2, Xj, . . ., X^ ayant un sens analogue k Xq. On a done les equations