IV) X, = T/-L
( * ] On reconDatt faeilement aussi qu'il y a concordance entre les ordres dans les
deux membres, car (p. 161) L^ est de I'ordre (y-f-i) I oth- -(« — 3)y I (m desi- ^ant Tordre de 9^,11 celui de/), et X, est de I'ordre
l84 TOMB II. — CDAPITRB 1.
La loi de r^ciprocite ^nonc^e plus haul est ainsi completemenl d^montree (p. 178).
Cette m^me loi Irouve son expression dans la correspondance des nombres M et a^i, c'est-i-dire, des nombres relalifs aux points d'inlersection mobiles des courbes (f et 4>. De toute relation entre les nombres M^ ar^i et autres dependant des (fy on pent en deduire une seconde, en permutant M avee a^i et les autres nombres avee ceux qui leur correspondent dans le systeme des 4>. En particulier se pr^sente ici la question de savoir quel nombre ^^ doit^treconsid^r^ dans ce dernier comme r^pondantan nombre a^. Les points aq sontconjointement avee les points de rebroussement dey(lesquels doivent 6ventuellement ^tre compt^s plusieurs fois), les points de corncidence proprement dits d*une correspondance dontlacourbe de coincidence est donn^e par L^ = o. Pour trouverle nombre j3^, il nous faut done former la courbe hq pour le sysl^me des 4> au lieu de celui des y. Nous allons montrer qu'ily a identite entre cette courbe et la premiere courbe hq.
La correspondance pour laquelle L^ est courbe de coVncidence associe k tout point x une courbe du systeme des courbes cp ayant sur ce point un contact d*ordre q — i et i tout point j" une courbe qui traverse sur yies points de contact de la courbe 9 tangenlc d'ordre q — i qui passe par j^, c'est-a-dire une courbe du systeme 4>. Cette correspondance sera done representee par une equation lin^aire par rapport aux. quantit^s <^{y)y et lin^aire par rapport aux quantit^s $(a:). Ax^tuellement, si Ton consid^rc un point x pour lequel ^^ s'^vanouit, la courbe 9, qui y est tangente d'ordre q — I, par suite de la definition de C>o> est n^cessairement une cooibinaison lin^aire des fonctions 90 92> • • • > 7^ • ^^ d^autres termes, dans notre expression lineo-lineaire, 4>o sera toujours multiplier par 9oy tandis que les autres expressions $ ne peuvent avoir ce facteur. Si Ton consid^re ensuite un pointy de^ situ^ sur ^o* on reconnait de mdme que 4^o ne pent pas non plus se presenter multiplie par les facteurs fi, 92, • . ., 9^. De plus^ aucun facteur constant (aucun invariant simultan^ des 9 et de^) ne pent s'adjoindre au produit 4^o9o- L'evanouissement d'un tel facteur aurait en effet pour consequence que dans Tequation de la correspondance ne figurerait plus de terme en cp© [y)' Done, en vertu de la correspondance, serait associee k tout point x de/*une courbe du systeme q — i
TBtoBIB gA?(£BALE DBS COCBBEd ALCfiBBIQUES. 1 85
fois infini determine par 9f , 92 •••)??) ayant en ce point un contact d'ordre q — i ; or, la condition necessshre et suffisante pour que dans ce syst^me il y ait une infinite de courbes 9 tangentes d'ordre q — 1 est ^videmment Tevanouissement identique de $0^ cette m^me condition ne peut done pas ^tre exprim^e par T^vanouissement d'un invariant. Le produit $0 ?o ne peut ainsi ^Ire multipli^ dans r^quation de correspondance que par un facteur num^rique, et a cause de la sym^trie il doit en ^tre de m^me dcs termes ^\<f\, . . . , ^q^q' La correspondance demandce peut done ctre representee sous lajbrme ( * )
Si Von e tab lit la correspondance analogue pour les expressions^, on obtient absolument la meme equation; seulement les x et les j^ sont intervertis. On a, en effet, k ^crire 4>/ k la place de 9,-, X/ a la place de $,• ; alors un facteur LJ~* se separe en vertu de ( IV) et Ton obtient le resultat sus^nonc^. Les correspondances etant les m^mesy leurs courbes de coincidence sont aussi identiques, ce qu'il fallait demontrer.
Les resultats alg^briquesconclus des'prec^dentes considerations continuent ^videmment k rester vrais, si la courbe^poss^de des rebroussements ; seulement, quelques-uns des otq points de coincidence proprement dits se confondent avec ces points (suivant une loi a determiner). L'etude de ces faits va nous conduire k la determination demandce du nombre j3^.
Les points d'intersection de L^ avecyqui donnent des coincidences proprement dites se decomposent en deux groupes : les aq points non situ^s aux points de rebroussement, et les r rebroussements dey, par lesquels nous supposerons d'abord que les courbes 9 ne passent pas. Dans tout point du premier groupe une courbe9 a un contact d'ordre q, et toute courbe cy qui y renferme q points voisins de /"passe aussi par un (y-|-i)**"* point voisin sur la m^me courbe. En un point du m^me groupe, une courbe 4> (comptant eventuellement plusieurs fois) a de m^me un contact d'ordre q, et, en outre, un nombre simplement injini de courbes 4[> y ont cha-
(') Voir Texemple de jr= 3, p. i65.
1 86 TOMB II. — CHAPITBB I.
cune un contact d'ordre q — i (*). Dans un rebroussement, au contraire , les f se comportent exactement comme les $ en un des points oLq\ en efTet, chacune des courbesy en nombre simplement infini qui passentpar le point de rebroussement et par q — a points voisins a un contact d'ordre q — i , parce que le point de rebroussement compte double, et parmi elles il y aura une courbe (comptant ^ventuellement plusieurs fois), qui renferme encore un (y — iy*ii>e point voisin sur^ (c'est-i-dire de nouveau en tout q H- 1 points voisins). II suit de la, d'apr^s notre loi de reciprocity, qu'inversement les $ se comportent aux points de rebroussement de/ comme les <p aux points €tq\ c'est-^-dire que nous devons prendre fig = r. Ainsi les nombres cHq et r se correspondent en vertu de la reciprocite enlre les cp et les 4>.
La mani^re d'etre sp^ciale des $ aux points de rebroussement ne pent dtre fondle que sur ce que ces courbes passent toutes, comme courbes de coincidence, au travers des points de rebroussement, car autrement les m^mes conclusions auraient lieu pour elles que pour les courbes <p. On pent, en revenant en arri^re, deduire de 1^ que notre conclusion est ^galement inexacte pour les courbes 9, si celles-ci ont des points fixes communs aux points de rebroussement; c*est-a-dire que ces derniers se comportent alors comme les points or^. Si done les courbes 9 passent toutes ensemble par r' points de rebroussement def, les nombres Uq etr — z*' ou r et oLq 4- r^ se correspondent, de telle sorteque chacundes r' rebroussement s de cette espece se correspond h lui-mdrtie,
Ces derni^res reflexions nous permettent enfin de determiner aussi les reductions qu'eprouve le nombre Uq en cas de points de rebroussement. Gonsiderons un syst^me q fois infini de courbes 9, pour lesquelles M, r, /•' sont supposes avoir les significations cidessus. Le nombre des courbes 9 qui passent par un point quelconque du plan et ont un contact d'ordre y — i avec la courbe primitive est alors
a^-, = ^[M -f- (^ — 1) [p - 1)] - pr— /)V',
p, ^ etant encore a determiner. Mais de 1^ resulle, en permutant d'apr^s notre loi de reciprocite ctq — i avec M , r avec oLq -f- /*', cette
(*) On le reconnalt de la mdme manicre que pour le caa de 7=.a.
TBiOKIB CMRteALB DI8 C0UKBB8 ALGABBIQUBS. 1 87
autre Equation
et, par Elimination de a^.i entre les deux,
Mais pour r = i*^ = o on a, comme on sait, a^ = (y + 1 ) (M -+- y/? — (/) et par suite p = 9 — !• Si Ton porte ces valeurs dans la derni^re Equation, tous les termes de celle-ci auront le facteur tj — i , ^ i'exception du terme multipli6 par p>.
Si done p' , d^signe un nombre entier a determiner, on a
P' = (^ — Op'/-r II vient par suite
«y = (7 -+- (M-^qp — q)'-qr- [{q -+- l)/*;., + l^
et
«7-i = ^iM -+- (7 - (/^ - 0] - {? - ('-•-^ p;-i '-')•
Ur^sulte de la, par substitution dq ^ + i a ^r,
LMdentification des deux valeurs ainsi trouv^es de ocg conduit a la formule de recursion
Or, nous connaissons la valeur de p" pour y = i, r=/''=i, M = 72 — 2 (p. 167, ou nous avons obtenu pour le nombre des taagentes menses d'un point de rebroussement k ia courbe G/i la valeur a , = A: — 3 ) . II r^sulte de la que Ton a p", = — i , et il vient en consequence
2pj == Sp' -I- I = — 2, d'ou p', = — 1 1 etc.
On trouve ainsi d'une mani^re g^n^rale que p' est ind^pendant de q et ^gal a — i , ce qui donne le theor^me suivant ;
Dans un sjsteme lineaire q fois injini de courbes ajant surj des points fixes communs quelconques, parmi lesquels r^ points de rebroussement de f^ et rencontrant en outre f en M points
1 88 TOMB II. — CBAPITBB I.
mobiles, il existe
courbes ay ant avecjun contact d^ordre q [ailleurs qu' aiix points fixes), Dans cettejormule, p est le genre, r^ le nombre des points de rebroussement de/.
Observons, en terminant^ qae des lois analogues de r^ciprocite peuvent s'^tablir pour les vari^t^s lin^aires moins ^lev^es, de courbes 9 extraites du syst^me d'ordre 7 ('). Ces lois permettent de determiner exactement les courbes ayant un contact multiple aux divers points dey{voir Brill, loc. cit, )
EL. — Representation a determination unique de deux plans
Tun sur I'autre.
Le point de depart de nos recherches sur les courbes alg^briques a et6 la th^orie de la transformation lin^aire. Nous avons appris a consid^rer cette derni^re comme Fexpression analytique de la relation projective de deux plans, Tun par rapport k I'autre, et nous avons pu, en consequence, definir les propri^t^s auxquelles nous avions uniquement ^gard dans les courbes comme ^tant celies qui ne sont modifi^es par aucune projection (r^elle ou imaginaire) des courbes en question. A la suite de ces considerations est venue d'abord la th^orie des formes algebriques ternaires, et avec elle au premier plan la notation et le calcul symboliques, qui nous onl fourni un algorithme elegant pour les considerations geometriques. £n avangant davantage, nous avons d'ailleurs franchi successivement les limites du terrain caracterise par ces points de vue. En eflfet, les relations respectives entre la hessienne et la steinerienne nous ont deja ofTert un exemple de deux courbes ayant entre elles uue relation non lineaire, mais pourtant univoque, et dans Tetude dela geometric sur une courbe algebrique nous avons encore plus souvenl remarque occasionnellement que les propositions exposees
(') Nous deTone faire remarquer quo ces lois de reciprocite sont en correlation ^troite avec la loi ordinaire de dualite, telle que celle-ci se presente dans les espaces deplusieurs dimensions. {^Voir aussi la note de la p. 107.)
THiOKIB gCx£KALI DES COOMBS AIXStSKlQUBS. 1 89
avaient ud caract^re invariant , non-seulement vis-4-vis d*une transformation lin^aire, mais encore en g^n^ral vis-4-vis d^une transformation univoque de la courbe originaire^ c^est-^-dire qu'elles avaient lieu pour la courbe transform^e aussi bien que pour la courbe primitive. Mais, tandis que nous ne parlions plus haut que de deux courbes li^es ^l^ment par ^i^ment Tune k Tautre, on pent aussi poser la question de savoir s'il est possible d^^tablir entre deux plans, point par point, une relation k determination unique, et quelles sont les propri^t^s qui apparliennent k ces sortes de transformations. Les transformations relatives k tout le plan doiventseules nous occuper d^abord; nous traiterons dans une autre occasion de celles qui sont univoques pour deux courbes individuelles seulement.
Un exeniple tr^s simple, celui de la transformation quadra-' tique ( * ), nous montre imm^diatement la possibility d^une relation non lin^aire existant avec reciprocity, element par element entre deux plans. Cette transformation est ^tablie entre les points x etj" des deux plans supposes r^unis ou s^par^s E^ et E^ au moyen des equations
(j) p^i=X%Xzy p-^t=JzXu f>-^j=Jiri>
qui donnent imm^diatement les formules inverses ^galement a deiermination unique :
Nous nous proposons d*examiner avec soin ce cas special tresimportant pour ce qui va suivre. A une ligne droite Ux = o correspond, en vertu de (i), sur E^ une conique
(3) «i/i7» H- «irsri -+- «»riri = <>,
et inversement a une ligne Vj.= o correspond, en vertu de (a), sur
(') Elle a d'abord ete consideree par Magnus : Sammlung von Aufgahen und leknatzen aus der anafytischen Geometries Berlin, i833, et aaparavant dans le Journal de Crelle, t. 8. Elle I'a ete plas tard par STBiNsa : Systemtuische Entwicklung der Ahhangigkeity etc. Des transformations quadratiques se trouvent deja occasionnellenient dans Po:iCBLBT [Traits des proprUt^t projectives des figttrei^ 1823, p. 198), et PLcgLEB ^Journal de Crelle, t. 5 ).
IQO TOME 11. — CDAPITBB 1.
Ex une conique
nous Yoyons que la relation mutuelle des deux plans est absolument la mdme. Le caract^re univoque de cette relation devient Evident ainsi qu'il suit. Au point d'intersection de deux iignes Ux = o et Ujg = o sur E^ correspondent sur E^ les points d'intersection de la conique (3) avec la conique
Mais nous remarquerons que de ces quatre points d*intersection trois sont toujours les mdmes : a savoir les sommets du triangle ^ , = o , ^2 = o > )'8 = o • -^"-a: droites de I'un des plans correspondent done sur I' autre des coniques passant par trois points Jixes que nousappelleronspoinistondamenldiuxyet au point d' intersection de deux droites le quatrieme point d* intersection mobile des deux coniques con*espondantes [*),
Nous pouvons, en g^n^ral, d6finir geom^triquement cette transformation de la mani^re suivante : nous poserons en fait que Tensemble des droites en nombre doublement infini d^un plan correspond a Fensemble des coniques en nombre doublement infini d^un r^seau k trois points fondamentaux fixes. Aux coniques qui passent par un point de Tun des plans r^pondent alors les droites qui passent par un point de Tautre plan ; a chaque point de Tun des plans correspond par consequent Tintersecti on de deux droites (et, par suite, d'une infinite de droites) de I'autre plan, et r^ciproquement. D'apres ces id^es, nous pouvons concevoir la representation alg^brique de la transformation d*une mani^re plus g^nerale, ainsi qu'il suit. Soient Qi, Qi, Qa et Q', , Q2? Q's ^^^ fonctions quelconques lin^aires en /i, j», jz] les deux Equations lineaires
donnent de nouveau notre relation, car en les r^solvant nous
(') Deux des points fondamentaux ou m^me tous les trois peuvent fttre infioiment Toisins ; alors toutes les coniques du reseau ont entre elles un contact du premier ou du second ordre.
TBCOKII OintRALM DE8 C0CBBB8 ALGtBUQUU. I9I
obtenoDS ( *')
et les Equations X| = o, x, = o, X3 = o reprisenteDl encore en effet trois coniques ayant trois points fixes, les points fondamentaux du plan E^. L'inversion de ces formules s'obtiendrait en ordonnant les Equations (4) suivant les^,- eten r^solvant.
Nous d6signerons par |3|, ^2^ ^% l^s trois points fondamentaux du plan £j, par ai, oCfy oci les trois points fondamentaux de Ex- Pour ces trois points eux-memes, notre transformation nest plus a determination unique, et il se rencontre des points exceptionnels semblables dans toutes les relations univoques d^ordre sup^rieur. Au point aj(a:,= o, x^-^ o) correspondent en effet, d'apr^s (i) et ( 2 ), tous les points de la droite p,Ps ( yi= o) sur E^-, et inverse- Vj ment k tout point de cette droite correspond un seul et mSme
pointai sur Ex. Mais, comme la droite /B^/^j contientles points ^s, ^%
auxquels correspondent respectivement les droites enti^res asai,
flCja,, le theor^me d'apres lequel a toute droite de I'un des systemes repond dans Tautre une conique passant par les trois points
fondamentaux ne souffre pour la droite jSsjBs aucune exception. A I'aide de ces remarques, nous pouvons facilement indiquer
(*) On peut ecrire les equations (4) sous la forme ZSa^x^.^^ = o, 22^^x^^^ = o. Si I'on prend en particuUer a = a -, b = b^^ et qu'on fasse colncider les plans E et E , deux points correspondants x eX jr forment un couple de p^les conjugues relativement aux deux coniques £2<z^x.j:^= o» S£^.ar^.x^ = o. Les points fondamentaux de I'un des plans coincident avec ceux de Tautre et forment les sommets du triangle polaire commun aux deux coniques. On obtient une autre representation geometrique simple de la relation si (dans la situation reunie des deux plans) on place deux points fondamentaux aux points circulaires imaginaires et le troisieme a Torigine d'un syst^me rectangulaire de coordonnees. Si nous posons d'apres cela
'* ^i J% Tt
cc» equations (1) deviennent, pour ^a* = f ' -+- >?*,
equations qui representent, comme on salt, la transformation appelie transformation par rayons ttecteurs riciproques.
iga TOME II. — CUAriTRE 1.
les modifications que subit tine courbe par notre transformation. U est clair qu'^ une courbe G/i sur E^ correspond sur E^ une courbe C^^ dont T^quation se d^duit de T^quation de C/, en substituant simplementj^^t J^s ^ ^i> ^tc. Mais^ comme les droites a^aij a^oL^^axOLt sont couples chacune par C^ en n points auxquels correspond toujours le mSme point ((3i, P,, ou p,) sur E^r, Cj„ passe n fois par cbacun de^ points (S^^ps, {33; et ces n branches de C^^ ont toutes un cours s^par^ si les n points d^interseclion de Cah ^vec les droites fpndamen tales correspondantes de Tautre plan ont tous une situation distincte les uns par rapport aux autres. Si, au contraire, C/< passe par un point fondamental ai,
une partie fixe, savoirla droite ^tf^z qui correspond ka^, se s^pare de la courbe Cj^, etilreste seulement une courbe de I'ordre in — i qui ne passe plus que n — fois par j3, et (Sj.
DonCy en general, a une courbe du n'*"* ordre, appurtenant a Vun des plans et passant respectwement A*,, A*2, A'j fois par les points fondamentaux ol^, a2y ol^ de celni-ci, correspond sur T autre plan une courbe de I'ordre un — kt — A", — k^ passant respectiueinent n — (Ai-f-A's),/! — {kz-^ki), n — (A* -\-k2j fois par les points fondamentaux Pi, (3s, Ps de ce dernier plan. Ainsi, par exemple, a une courbe C4 ayant un point double en chacun des points a^^t;^)) correspond une conique qui ne passe pas par Pi, P„ p,; et, r^ciproquement, a une telle conique correspond une courbe C4 ayant trois points doubles en «{, a\, as*
Par la generalisation directe de cette id^e, nous serons conduits k la definition geometrique d'une transformation generale univoque du plan appel^e transformation rationnelle ou transform mation Cremona, C'est en effet Cremona qui a etabli le premier cette importante th^orie dans toute sa g^n^ralite (* ). Nous avons a substituer au syst^me de coniques a trois points fixes un syst^me
(*) Dans les deux Memoires : SuUe trasformazioni geometricke delle figart piaae {Memorie dell* Accademia di Bologna, 3* serie, t. 11, i863, et t. V, i863; reprodoits dans le Journal de Battaglini, t. I et HI. Fair les expositions d'ensemble (utilisets pour le texte) de Catlbt, On the rational transformations between two spaces (Proceedings of the London math. Society , t. Ill, 1870; Kosambs : Ueher ratiottaU Substitutionen (Journal de Crelle, t. 73), et Dbwulp, Bulletin des Sciences matktmatiqucsj t. V, p. 307. On trouve des generalisations pour les representations a determinations multiples dans Wibmeb, Math, Annalen, t. Ill, p. 1 1 .
TDIOaiX GlbltelLE PES C0UBBK8 lUSiBRIQOES. 1 9$
lin^aire doublement infini de courbes du n^^"^ ordre ayant un seul point d'intersection mobiley et, par consequent, n^ — i points ({'intersection fixes. Mais, d'apr^s notre ih^or^me fondamental
surles syst^mes de points d'intersection (p. i3i), - «(/H-3) — i
intersections de deux courbes d^ordre n determinent compl^te-
ment les - (/i — i)[n — 2) intersections restantes. Donc^ pour
que, /i^ — I points fixes d^intersection ^tant donnes, on puisse en avoir encore un mobile, il faut n^cessairement que ces n* — I points fixes aient les uns par rapport aux autres une situation toute sp^ciale, ou, si Ton veut, que les courbes du syst^me s^ comportent d'une fagon particuli^re, ct Tetablissement de ces relations est notre tl^che essentielle dans ce qui suit. A cela se rattache naturellement une explication sur la nature des fonctions par le moyen desquelles la transformation a lieu, et aussi une autre question, celle de savoir s'il pent exister encore des transformations univoques d*un plan autres que celles qui ont lieu par rinterm^diaire des syst^mes precedents de courbes an* — i points fixes.
Soit une transformation rationnelle reversible donnee par les trois equations
les fi etant des fonctions d'ordre n qui n^ont pas de facteur commun et dont le determinant fonctionnel n*est pas identiquement nul(^). A.dmettons que, par suite, k chaque pointy soit associe un point x par Tintermediaire des equations
les ^i* etant des fonctions rationnelles et enti^res d^ordre v par rapport aux quantites^.
Aux droites Ux= o sur E^ correspondent alors sur E^ les courbes du v'*"* ordre YiUiffi=z o, et aux droites yy= o sur E^ les courbes du n'*"* ordre ^s^ifi sur E^. Aux points d'intersection de
tt,=:0 et 2f///=-o
(^) Dans ce dernier cai, lef trois eourbes/appartiendraient k an faisceao, p. 97, notei.
Cuisai. — GdotnitrUf II. 1 3
194 TOMB II. •— CBAPiniB U
correspondent par suite les points ({'intersection de
Vy z=zo et 2 Uifi = o .
Mais le nombre de ces intersections doit n^cessairement, a cause du caract^re a determination unique suppose a notre relation entre E^ et E^, Stre le m^me dans les deux cas ; on a done n = v.
Les substitutions unis^oques reversibles sont du ntime ordre que leurs inverses.
Si nous cherchons le point x qui correspond a rintersectioD de deux droites ^ et (v plac^es sur E^, nous avons entre les Equations
k Eliminer les j:. Le r^sultat final qui renferme les u au degrE /z^ les V et les w chacun au degrE n, donne T^quation du produit des h^ points d^ntersection des courbes (7). Parmi ces derniers doit se trouver le point cherche, dont I'^quation est, comme nous savonSy representee par Zzi/a)|= o; Texpression Xii|9i'= o, si Ton pose en vcrtu de (7)
r 1 ~ «'f «'» — ^t »'j > r 1 — •*» «*! — '^'j «'i . r s = «'i w'l — «'i <'tt
est necessairement un facteur du r^sultat de reliminalion. Mais Zf/u/ renferme aussi alors les Vj w au n**""* ordre; les autres facteurs du r^sultat ne peuvent done plus renfermer v ou Wy et ron a ce theoreme :
Deux courbes quelconques lyifi= o du sjsteme se coupent en un seul point mobile et en n^ — 1 points Jixes qui sont les points fondamentaux de la transformation. La m^me chose a naturellement lieu pour le syst^me des courbes Zu/f 1= o sur Tautre plan. Done toute relation univoque de deux plans est une relation Cremona. Nous avons maintenant k fixer la position des n^ — i points fixes dans les deux plans. Comme aux points d'une droitef^^=o correspondent un a un les points d*une courbe X^,'yi'= o, il s^ensult) d'apr^s un theor^me precedent (p. 170), que cette courbe el la droite sont du mdme genre; c'est-i-dire que les courbes d'un rSseau formant la base d'une transformation h determination unique sont toutes du genre p=zQ] elles poss^dent des points
TBiORR OtMiBlLB PBS COITMBS ALCCBRIOQU. 195
multiples Equivalents a -(n — i)[n — 2) points doubles ou de
rebroussement. Nous allons montrer maintenant que ces points multiples se trouvenl tous aux points fondamentaux fixes. Si nous admettons, en effet, que le nombre suflGsant ne soit pas r^uni en ces points, chaque courbe du r^seau doublement infini devrait possEder un point double en dehors des points fixes; roais, comme il n'existe dans un plan qu*un nombre doublement infini de points, cela ne pourrait se presenter que dans Tun des deux cas suivants. Ou bien il faudrait que tout point fiit un point double , c'est-^-dire que les trois Equations
dfi dfi dfi
(/X| Ox^ Ox%
donnassent pour chaque systeme de valeurs x^yX^^Xz un systEme determine de valeurs ^oi^2>^S7 et, par consequent, en tout un novdiTe doublement infini de systEmes de cette espEce. Mais alors les irois Equations se rEduiraient k une seule, c'est-^-dire que Ton aurait les EgalitEs
dj?! ' dx^ * dx, dx, * dx^ ' dx^ dxi ' dx^ * dx,
ce qui est en contradiction avec la supposition quey),yi,yi ^^ possEdent pas de facteur commun. Ou bien il y aurait un nombre simplement infini de systEmes de valeurs x k chacun desquels rEpondrait un systEmc de valeurs ^, savoir ceux pour lesquels le determinant fonctionnel des fi est nul, et tout point semblable x serait un point double pour un nombre simplement infini de courbes du rEsean. Mais alors deux courbes de cet ensemble simplement mfini auraient quatre de leurs points d^intersection confondus en x, tandis que nous supposons que deux courbes J se coupent en un seul point mobile. Notre proposition se trouve par 1^ dEmontrEe. Chacun des points fondamentaux communs^ toutesles courbes du rEseau sera en gEnEral Equivalent k un nombre d^ntersections des deux courbes supErieur k I'unitE; nEanmoins il ne peut exister de point multiple d'ordre supErieur an — i, car autrementtoutes les courbes (fj seraient dEcomposables. Si nous admettons, en effet, qu*il y ait parmi les points fondamentaux a^ points
196 TOHi II. — GHAprrai I.
simples communs k toutes les courbes, cc^ points doubles, a^ points triples, ..., an.i points multiples d*ordre n — i, tous ces points doivent composer ensemble un syst^me de n'^ — i points, c*esta-dire que Ton doit avoir
(8) a^-h 4ai4-9a»-+-. . .M- (« — j)*OLn-i=n*^ l.
Nous supposons ici que les courbes f ne se touchent pas aux points fondamentaux, et que les tangentes d'une courbe quelconque cf ont un cours s^par^ aux points multiples. Uo point dans lequel toutes les courbes f poss^dent un point de multiplicity k sera appel^ dans ce qui suit point Jondamental d'ordre k. Une seconde relation entre les nombres ai-r^sulte de la remarque qu'un point multiple d^ordre A: k tangentes s^par^es est toujours
Equivalent a - Ar(A' — i) points doubles. Comme, en effet, le norobre
total des singularitEs doit dtre Egal k-[n — i) (/i — 2) (ce qui revient k p=^o), nous avons
et ensuite, par combinaison avec (8),
(10) a, -h 3a, -4- Ga^-h, . . -+- -/i(/i — i)a„,= -/i(/i -4- 3) — ti.
Pour une valeur d^termin^e de /z on tire de ces deux Equations, suivant le nombre de leurs solutions compatibles en nombres entiers, une sErie dEterminEe de cas possibles en ce qui concerne la transformation. Des tables ont Ete donnEes pour cet objet par Cremona et Cajley. De n= 2 ^ /z = 7, on a, par exemple :
ntoBIB GiHtllLB DU COOUBS AVGiBKIQOBS.
lo, I, 4, 3
la, 2, 0, 5, 3
oe.
ee.
Aux points fondamentaux a donnas sur E^ correspondent sur £^, non des points individuels, mais des points en nombre infini, ainsi que nous I'a d^j^ montr^ Texemple de la transformation quadra tique. Consid^rons un point fondamental a^ d^ordre A*. Soient \i les coordonn^es de ce point, et posons pour un instant
nous avons I'^quation iden tique
tandis que a^'^^a^ =z o repr^sente le produit des tangentes au point multiple. Soit ensuite ^ un point du plan ; ^i + XT^- seront les coordonn^es d*un point voisin de ^ dans la direction (^^ si Ton prend X infiniment petit. Poury] = a^^'* nous avons done en premiere approximation ^
pj,= a(05«-^tt(05*,
c'est-a-dire qu'^ chaque direction d'avancement partant de ^ correspond sur £^ un point enti^rement determine ; et tandis que ^ accomplit une revolution complete autour du point ^, tons ces points parcourent une courbe d'ordre k dont I'^quation s'obtient par dimination des quantit^s ^, entre les Equations (i i). Les coordonnees d'un point de cette courbe sont en m^me temps representees par (i i) comme fonctions rationnelles d'un paramitre, car
igS TOMB II. — CBAPITBE I.
nous pouvons admettre entre les ^i* encore une Equation quelconque, par exemple une Equation lin^aire. Or, une semblable representation n'est possible, comme nous le verrons plus lard, que pour les courbes du genre p = o. Nous avons en consequence ce th^or^me :
^ un point fondamental d'ordre k siir Ex correspond sur E, line courbe d'ordre k et du genre p= o,
Aux k points d'une courbe du systfeme ^{fifi=:o r^unis en f correspondent d'apr^s celaA points individuels dela droite ^j= o, k savoir les points d'intersection de cette droite avec la courbe d'ordre k qui correspond k ^.
Les relations de ces courbes, appel^es courbes fondamentales, avec les points fondamentaux du systeme Zu,-<p/= o situ6s sur le plan E^ pr^sentent une importance particuH^re. D'abord les Equations (8), (9) et (lo) ont nEcessairement aussi lieu k leur Egard, c'est-^-dire que, s'il existe sur E^ j3< points simples, ^2 points doubles, . . . , on a
ft
Par combinaison des deux derni^res Equations il vient ensuite
\ iPi ^=iZn — 3 r-r \ /■«,.
N'attribuons aucune importance pai^ticuliEre aux valeurs des nombres ai,j3,-, et supposons que surEi les points fondamentaux ranges suivant leur multiplicity soient des ordres r^ , r2, . . ., de sorte queri^Ta^ra . . . etque, de mEme, les points fondamentaux sur Ey soient des ordres s^, s^, . . . , et cela de telle sorte que Ton ait
Nous pouvons remplacer ces Equations par les suivantes :
Alors, si Ton appelle ^'''"•courbe.fondamentale de E^ celle qui correspond au l^^^ point fondamental de Ey, on a le th^or^me qui suit : La A*^™* courbefondameniale de E^ passe par le t'^'^* point fondamental de Ex le meme nomhre de fois que la »'<?'»« courbe fondameniale de E^ passe par le /:'<^'»« point fondamental de E^. Soient en effet donnas sur E^ et E^ respectivement deux points fondamentaux A, B et soient F^y F^ les courbes fondamen tales qui leur correspondent; si F^ passe p fois par B^ k ces p directions d'avancement partant de B correspondent p points sur Fb ; mais ces demiers doivent tous coincider avec A, parce que A correspond encore i lout point de F^. Par consequent F^ passe p fois par A, ce qn'il fallait d^montrer. De cette demonstration r^sulte au surplus la v^rit^ du th^or^me suivant :
Les courbes fondamentales de E^ ont leurs points multiples aux points fondamentaux de Ej-.
Designons main tenant par aik le nombre qui exprime combien de fois la i^"** courbe fondamentale sur E^ passe par le A**"" point fondamental sur E^. On a alors, d'apr^s un th^or^me r^cemment enonce, atk = a*/. Entre ces nombre aik et les nombres r, s existe unes^rie de relations. En premier lieu, le th^or^me d'apr^s Icquel les courbes fondamentales sont du genre zero donne les Equations
(l3) (/-i — l)(/V— 2)==\ a/;t(a/it — l), (.Va:— l)(^* — 2)r=\ a/A(a/Ar — l).
Si deux courbes fondamentales F^, F'^ du m^me plan se coupaient ailleurs qu^aux points fondamentaux, au point d'intersection correspondraient les deux points A et A' de Tautre plan; par consequent :
Les courbes fondamentales ne se coupent qu aux points fonda-
^ g TOM II. — CB*nTM I.
nous pouvons admettre entre les encore «ne iq«' par exemple une Equation lindaire. Or, ^^^\ lion n'est possible, comme nous le verrons courbes du genre p = o. Nous avons en or '
une
urues uu gc«. . ^ ^.^ ^^^p^g pj^r une coarbe
^ un point fondamental d'ordre ^ .^^^ fondamentaux, i «« MJ courfte d'ordre k et du genre r'ondve en m^roe ^'^Pf
. J . R ce aui n'est pas possible.
Aux it points d'une courbe ^^foml B, ce q correspondent d'aprfescelaArp rleseourbet
4 savoir les points d'inter^ y,« ne ,ont coupe^ P« ^ ^^^^ d^ordre A qui correspond y^^^fondamentaux. ^^ r
Les relations de ces .-^/^ ^
avec les points fond , \ Sk<^iki ^^f^ "^ 2j '^'^ * plan Ej pr^sentent ^' T *
tions (8), (9) e' d^„,ontrer le tWor^me suivant :
c'esl-a-dire r .J^^^^ , , ,^h^K fondamentales q^i
doubles. . ^ ^^^ rf- i--'^^^ t' TW i t^pfe rf« ''o'-'^^
/r^ylnt fondamental est «S«^ '"^J'f^ ^ Uons
''I .„.uite, par co.binaison des Equations (.6) avec (.3). dimontrer le th^orfcme cit6 en dernier lieu, f'^^J^f, /"r .^.nbienne est en effel le lieu des nouveaux points
rLdamentales de ^^forrmnt la jacobienne au.^o ^"f ll^cobienne est en effel le lieu des nouveau* points ..belles des courbes du r6seau qui possfedent ^^^''jj^'est iLble aiUeurs que dans les poinU fondamenUux. Or, c ^:tble que si lescourbesdont ils'agitse ^^^^flT^^-^^^'' les courbes du r^seau ont diji le maximum des P°'°; ^^^com- „ossibles. Nous pouvons maintenant construire des co ^.^^
posables de celle espice ainsi qu'il suit. Consid^rons uu
'iOftIK G^NiRALB DBS GOOBBBS ALCteBlQUCS. 30I
^ fondamental de Tordre r sur E^. U lui <j. ^ courbe C^ du r^seau 2u|Cpi = o qui
r^, omposer en la courbe Cr correspon-
::- , ^^ en une courbe C„r« Si maintenant
«u point r, Cr reste fixe tandis que ^ jra couple par Cr en un point mobile
double de la courbe dont il s'agit C(/i.r)4^» .St une partie du lieu de ces points doubles, lie de la jacobienne. R^ciproquement, k toiUe sable du r^seau des <f correspond une droite pasoint fondamental de E^^. En eSet, k une courbe sem- Ey correspond toujours d^une seule mani^re une droite ; d courbe se d^composait, la droite devrait aussi se d6compo- X, ce qui n'est pas possible. A une partie de la courbe decomposable doit done correspondre un point particulier de la droite, c'esta-dire un point fondamental, ce qu'il fallait d^montrer. Or nous avons vu plus haut(p. ioi)que la jacobienne poss^de un point multiple d'ordre 3r — i Ik oii les courbes du r^seau ont un point multiple d'ordre r. La formule (i6) est done d^montr^e.
Au moyen des Equations ^tablies on trouve d'autres relations entre les points fondamentaux sur les deux plans. D6signons par p le nombre des points r, par a celui des points Sy c'est-^-dire posons
Eo sommant maintenant les Equations (i6) Tune suiyantiyTautre suivant k^ ce qui rend les deux seconds membres ^gaux, il yiendra
is, d^apr&s (12), on a \ /\= \ Sjf^ d'oOi p = a. Le nombre des
points fondamentaux dans les deux plans est le mdme, et ton a
Nous nous proposons aussi de montrer que les nombres ^i , 0^3, ... ne difl^rent des nombres |3|,|32, ... que sous le rapport de Tordre etnon sous le rapport de la grandeur; qu'ainsi pour tout nombre oCi
Ma
TOMB II. — CHAPITBB I.
il existe un autre nombre £gal |3a(* ). Nous donnons cette demonstration un peu longue avec d'autant plus de raison qu^elle repose uniquement sur la numeration des constantes et sur certaines considerations de symetrie, qu'elle est ainsi int^ressante en elle-meme.
Nous pouvons, au moyen des Equations (i4) et(i7), obtenir la valeur du carr^ du determinant A forme des nombres a,A; car dans les premiers membres de ces equations se trouvent immediateroent les termes individuels de ce carre, c'est-^-dire les expressions qui se presentent comme termes dans le determinant k p{= a) lignes forme en multipliant A par lui-m^me suivant le theoreme sur la multiplication des determinants. La valeur A^ dont il s'agit est, sous le benefice de la formule (ia)y egale aux deux determinants
rJ-4-i
fz^t
rl-^l
JiJ,
SiH
^;-hi
La valeur absolue du determinant des aik est done egale a n
Le signe reste indetermine parce que Tordre des lignes dans le determinant n'a pas besoin d'etre compietement determine parlr rangement des nombres r et 5 par ordre de grandeur. En effet, parmi eux il pent s'en irouver d'egaux dont la permutation ferail varier le signe de A, et il en est toujours ainsi dans les exemples connus jusqu'ici.
(*) La demonstration do ce th^or^me, dejk ^tabli par Cremo:sa, a ete donoee par Clebscu, Zur Theorie der Cremona* schen Transformationen {Math, jinnalen, t. IV, p. 490)* Cette proposition est d'ailleurs (suivant uoe communication deM. Frthm a M. Lindemann) une consequence immediate du iheordme donne plus loin sur la possibility de remplacer la transformation Cremona par des transformations quadratiques.
THtoBIE GfotaALB DBS COUBBBS ALCteBlQCBS. ao3
Nous imaginerons maintenant que le determinant A des dik est partag^ par des lignes horizon tales et verticales, de telle sorte que dans chacun des rectangles ainsi formes on n'ait que des lignes horizon tales appartenant aux m^mes valeurs de r et des lignes verticales appartenant aux m^mes valeurs de s.
CoDsid^rons un de ces rectangles. Aux nombres r qui s'y rencontrent(*) r^pond un groupe de points fondamentaux sur Ej, et ce dernier fournit pour la transformation un certain nombre de coDslantes qui seront employees d^une maniere completement symetrique pour la formation d'un r^seau de courbes Si'/yi = o surEx(').
La m6me chose a lieu pour les quantit^s s qui se rencontrent dans ie rectangle ; le groupe correspondant de points fondamentaux du plan Ej doit de m^me d^pendre sym^triquement des constantes du. groupe r^pondant k r sur Ej, el, r^ciproquement, entre les quantites r et les quantites s regne une complete symetrie. Les quantit^s a qui figurent dans une ligne verticale de notre rectangle doivenl d'apr^s cela se r^p^ter dans les diff^rentes lignes verticales, et cela dans toutes les permutations, et chaque permutation le
(') La d^pendance entre les nombres r., s^ qai repondent k Tune des grandeurs a^ est etablie par les formules precedentes. Celles-ci peuvent, a I'aide dc (i8), s'ecrire sous uoe forme encore plus simple. En eflct, par resolution de (i5) suivant les quantites r,s, il vient
et, en faisant usage de ces Equations, on tire de (i4) ^^ ('?) P'^*' resolution suivant les a^(dans ThypothSse de V ou A' constant)
(*) Une transformation Cremona est, d'une maniere generale, caracterisee par un certain nombre de constantes absolues qui ne peuvent dependre que des points fondamentaux, puisque le reseau des f? est completement determine par ces derniers. Si Ton consid^re les modifications projectives des deux plans (lesquelles dependent de bait constantes) comme non substantielles, on pent, sans changer le caract^re de la transformation, assignor dans chaque plan des positions quelconques k quatre points fondamentaux, et consid^rer alors comme constantes propres de la transformation les ap — 8 rapports anbarmoniques de faisceaux de rayons diriges de deux des quatre points semblables sur les trois antres et sur un einqui^me point fondamental. Ce sont la les invariants ahiolus de la transformation en ce sens qu*ils sont inyariables par toute modification projective.
304 TOMB II. — CBAPITMS I.
m^me nombre defois. Solent k le nombre des 6l6ments d*ane ligne verticale du rectangle , p le nombre de leurs permutations, / le nombre des 6l^ments dans une ligne horizontale, q le nombre de leurs permutations : on aura
fjL ^tant un nombre entier, et il en r^sulte de m^me^ si Ton change le rdle des lignes horizon tales et verticales,
(20) k = yq,
V 6tant un nombre entier. Le nombre des permutations sera toujours plus grand que celui des ^I6ments, except^ :
1^ Si tous les ^l^ments sont ^gaux, cas oh le nombre des permutations est <5gal a i ;
2® Si tous les elements sont ^gaux les uns aux autres a Texception d*un seul, cas ou le nombre des permutations est ^gal au nombre des ^16ments.
Ges deux cas provisoirement exclus, les Equations (19) et (20) sont impossibles y car elles exigeraient simultan^ment que k idt ]>/ et Z>/r. Dans le premier cas, au contraire, nous avons/? = 1, q =-ij et par suite /r et / quelconques ; dans le second, nous avons p^=^hj q == Ij d'oii 1=^ ^kyk =syl. 11 faut done que Ton ait p = v = i, A = /. Le rectangle devient un carr^. De Ik ce th^or^me :
Dans les rectangles de A qui sont determines par des groupes oil les quantites r et s sont e gales respectiv^enienty les elements a sont toujours egaux entre eux; ce nest que dans le cas unique oil le rectangle est un carre quil peut se presenter dans chaque ligne horizontale et verticale un terme different des autres, Ces termes sont alors egaux entre eux, et par inversion des lignes on peut en remplir I' une des diagonales du carre.
On peut d^ailleurs montrer toujours par des raisons de sym^trie que dans la representation du determinant entier deux carr^s semblables ne peuvent se trouver k c6l6 ou au-dessous I'un de Tautre. ( f^oir Glebsch, loc. cit.) D'ou cette proposition :
-^ tout groupe de r ne peut repondre au plus qu'un groupe des renfermant un nombre egal d' elements et conduisantj ensanble
TBjSORIB CANteALK DU COOIBBS AUS^BEIQOU. ao5
avec le premier, dans I'interieur de ^yhun carre de aik doni les elements ne sont pas tous egaux a lafois.
Maisy d'un autre c6t6, il existe n^cessairement aa moins un groDpe de cette nature, car autrement au groupe des r correspondraient des rectangles renfermant des elements 6gaux, et le determinant des a s'^vanouiraity tandis que sa valeur d'apr^s (i8) est egale k±n,
Ce n^est que dans le cas ou le groupe des r se r^duit a une seule quantite r que cette conclusion n'est pas v^rifi^e. A tout groupe de r renfermant plus d^une de ces quantit^s r^pond un groupe de s d'egale grandeur , et r^ciproquement. En en faisant abstraction , il ne reste plus que des quantit^s r ou 5 diff^rentes entre elles ; mais le nombre de ces quantit^s r est n^cessairement ^gal k celui des quantit^s 5 dont nous parlous. Nous avons ainsi d^montr^ notre proposition, c'est-^-dire ce th^or^me :
Les nombres a; qui indiquent combien de quanlites r dev^iennent chaque fois egales les unes aux aulres, et les nombres |3| qui indiquent combien de quanlites s deviennent chaque fois egales les unes aux autres, ne different au maximum que par V arrangement et non par la grandeur.
Nous avons ainsi, par exemple, dans le tableau precedent, pour n=^6f une transformation
ai = 4» «« = »» «j = 3, «4 = 0, «g = 0,
etune autre
ai=:3, «i=4» a| = 0, «* = I, ag = O.
D*apr^s notre proposition, chacune des deux est la transformation inverse de Tautre, except^ dans les cas sp^ciaux o(i chacune est sa propre inverse. II en est toujours ainsi conform^ment au tableau pour les transformations qui vont de72 = a k n= 5. Pour ces transformations d*ordre inf^rieur notre th^or^me n'exprime done rien du tout.
Enfin, le th^orime suivant est d^une importance fondamentale pour cette th^orie :
La somme des nombres qui expriment I'ordre des trois points
206 TOMB II. — CHAPITRB I.
fondamentaux les plus ele^es d'une transformation du «**** ordre est plus grande que /i, cest-it-dire que ton a
relation ou, d'apr^s nos hypotheses pr6c^dentes, Tj ^ ^a = r^ ^ r^ ^ . . . Nous avons, en efiet, en vertu de (12), les Equations
y r? 4- r; = «* — I — r} — rj, > O -+- r, = 3ii — 3 — Tj — r„
le signe sommatoire ^' se r^f^rant k tons les indices i, exceple i = ri, r2, /'s* Nous nous proposons de montrer qu'il est impossible que Ton ait
Mulliplions la seconde des Equations (21) par r^ et retranchonsen la premiere ; il vient
rA '•'— \ r?=:r,{3/i — 3 — r, — r,) — /i*-M4-rj4-A;.
Mais dans le premier membre figure une expression positive, d cause de r j ^ r4 . . . et nuUe uniquement pour ra = r^ = Tj = . . . . Nous avons done pour le second membre
r3(3/i — 3 — Tj — r,)>/i» — I — r J — - r*.
En admettant maintenant que Ton ait /i^ri + rs + r^, nous obtenons
r, (3r, — 3 -V 2ri -h 2r,)>r« -H2(r,r, -^ r,r, H- r,ri) — 1
ou
2rJ — 2rjr, — 3r, H- i >oj
or, cela est impossible, car on a par hypoth^se rj r^ ^/-J et 3 /'a }> 1 , puisque r^ doit £tre au moins 6gal k i . Nous avons done fourni la demonstration demand^e. ^
Ce th^or^me sur la multiplicity des trois points fondamentaux les plus 6le\6s acquiert une aussi' grande importance k cause du
TBtOBIB CtMttALB DBS COOMBS ALGtBBIQOBS. 20-)
coroUaire suivant. Faisons subir au plan E^ une transformation quadratique dont les trois points fondamentaux coincident avee ''o '"a? ^9' Par ces demiers, toute courbe dq n**"* ordre du r^seau 2)^,y} = o passe respectivement r^ r^, r^ fois; k chacune d'elles correspond done, d'apr^s la r^gle donn^e plus haut pour la transformation quadratique, une courbe de I'ordre an — r^ — r2 — /'s sur le nouveau plan E^, et toutes ces courbes forment encore un r^seau ayant un point d'intersection mobile, car les droites du plan E^ leur correspondent une k une par Finterm^diaire du plan Ex. La relation directe entre E^ et E« est d'apr^s cela ^tablie par des fooctions de I'ordre 2/1 — ri — r^ — r^. Or, on a ri -f- rj -f- rs > /i, et par suite en toute hypoth&se
c'est-4-dire que la transformation originaire est ramen^e k une autre d'ordre moins ^lev6. On peutproc^der de la m^me mani^re k regard de cette derni^re, jusqu'^ ce que Ton arrive finalement k une transformation quadratique ou a une transformation lin^aire, clinversement on doit, par application r^it6r6e des transformations quadratiques, revenir k la transformation originaire. Nous avons done la proposition suivante :
Toute transformation Cremona peut Stre remplacee par une suite de transformations quadratiques, les trois points fondamentaux d'une transformation de cette nature etant places aux points de base les plus eleves du systeme des courbes de transform niation{*).
Soit, par exemple, une transformation du quatri&me ordre dans
laquelle
«i = 6, a, -- o, a^zizi.
(*) Ce theoreme a et^ trouTe k peu pris dans le mftme temps par Clifford (qui I'a donni sans demonstration; Tfoir le Hemoire ciU de Cayley), par Mdther (Math, Janaien, t. Ill, p. 16 j), et par Rosanes (/oc.c<V.). L'in^alite n ^ r, + r, + r, et le Uitertme sur la composition des transformations sont encore yrais lorsque plusieurs des points fondamentauz se rapprocbent infiniment les uns des autres, ce qui n'a pis m consider^ dans le texte; voir Notbbb, Math, jinnalen, t. V, p. 635. La possibility de la transformation mentionnee r^ulte anssi de considerations sur les courbes de Tespace; voir Halpben, Sur eertaines perspectives gauehes des courbes pUuui alg^rifues (Comptes rendus, 1 5 mars 1876 )•
308 TOMB II. — « CBAPITftB I.
Nous placerons les trois points fondamentaux d'une transformation quadratique au point triple et en deux des points simples. Nous arrivons ainsi k des courbes du troisiime ordre ayant un point double qui provient de ce que la li^e joignant les deux points fondamentaux simples ( courbe fondamentale lin^aire de la transformation quadratique) est encore rencontree par la courbe C4 en deux points. Nous avons done une transformation du troisi^me ordre dans laquelle ai =r 4> ^3 = '• Actuellement, en faisant usage de deux points ot^ et du point a^ pour une nouvelle transformation quadratique , nous obtenons des courbes du deuxi^me ordre k trois points fondamentaux simples, comme cela devait ^tre.
De m^me que nous avons 6tudi^ plus haut les courbes sons le rapport de leurs propria t^s qui restent invariables par tonte transformation lineaire, de mdme on pent, ainsi que nous Tavons d^j^ observe, rechercher les propri6l^s des courbes, ou en g^n^ral des figures 'planes, qui persistent dans toute transformation Cremona, et d*un autre c6t^ ^tudier la mani^re dont ces propri^t^s sent influencees par la transformation. Dans cet examen, on pent, en vertu de nos derni^res reflexions, se borner k consid^rer les transformations quadratiques. Nous avons d6ji parl6 plus haut des modifications que subissent les singularit^s d'une courbe particuli^re dans une transformation de cette nature, en tant au moios que ces modifications se produisent aux points fondamentaux de la transformation (p. 192). Or, il n'existe pas d*autres modifications que celles mentionn^es alors. Si, en effet, la courbe Cm a en dehors des points fondamentaux un point double P sur Ejr, it ce point double repond un point double P' de la courbe correspondante C sur E^. C*est 1^ une consequence immediate du caract^re univoque de notre transformation, car, par suite de ce caract^re, a toute direction d'avancement sur C/i partant de P doit r^pondre une seule direction d'avancement partant de P' sur C^ Un fait analogue a lieu pour les points multiples d*ordre plus eleve. Ici se pr^sente en premiere ligne le theor^me sur la comer- \fation du genre (p. 170), theor^me que Ton ^tablit aussi directement sans difficult^ pour les transformations quadratiques. Supposons qu'a une courbe Cm sur E^ r^ponde sur Ej une courbe C^. On aura jtA = am — ki — A'2 — A*!, si Cm passe respectivement
Tn£OaiB G^H^ftALB D£$ C0U1BE8 ALCtDaiQUES. aOQ
/{, ^2> ^3 fois par les trois points foDdamentaux sur E^^ et C^ passe respectivement X{, Xs, X3 fois par les points fondamentaux sur E^ six, =m — k'j — ^3^ X2 =/w — ^3 — kiy X3 =m — A, — A"2. De ces relations r^sulte directement Tidentite .
Mais le genre des deux courbes ne diff<^re de ces deux expressions que d'un nombre dependant uniquement des points multiples Don situ^s aux points fondamentaux, et ces points multiples sont les m^mes pour les deux courbes. Les deux courbes appartiennent (lone au mSme genre, ce qui ^tait k d^montrer.
On pent au surplus d^montrer facilement aussi rinfluence d^une transformation du n**"* ordre sur C^; on arrive, au moyen des principes d^velopp^s plus haut, k la proposition suivante :
j4 line courbe C^ de E^, passant // fois par un point Jondamental /•/, correspond I [x etant egalii nm — ^ r/ // j une courbe Cj*
qm passe Xif fois par chaque point fondamental s^^ T^k etant egal
amsk — \riaik>
Au moyen de ces formules on pourrait encore prouver T^galitd du genre, mais nous n'insisterons pas, parce que dans les transformations a determination unique pour certaines courbes seulement nous parlerons en detail de faits semblables.
Pour donner des exemples d'autres propri^t^s qui persistent dans la transformation Cremona, observons que deux courbes qui se touchent se transforment n^cessairement en deux courbes qui sont egalement tangentes (et que Tordre du contact est le m^me), ou en d'autres termes qu'^ tout groupe de points voisins sur I'une des courbes r^pond sur la courbe transform^c un groupe de m^me nature.
11 r^sulte, par exemple, de la que la courbe de coincidence qui repond^une correspondance donnc^e sur une courbe ^possede la propriety del'invariancenon-seulement vis-a-vis des transformations
Clebscb. — GeomStrie, II. 14
2ro TOME II. — CHAPITRE t.
lin^aires, mais encore vis-^-vis des transformations Cremona (';.
JNous consid^rerons dans ce qui suit une application de la th^orie developp^e ici. L'observation que, dans une transformation Cremona, a tout point multiple d*une courbe pris pour point fondamental correspondent sur la nouvelle courbe de> points s^par^s, pent serv\r a transformer une courbe donnee ayant des points singuliers quelconques en une autre courbe qui ne possede que des points multiples ordinaires ( c'est-^-dire (le> points multiples a tangentes s^par^es). Par des transformatioDS de cette esp^ce la singularite du point multiple consid^re sera, ce qui est important, d^compos^e en difKrentes classes, d*une maniere analogue a ce que nous avons vu dans la m^thode de NewlOD. Cramer et Puiseux(*). Si dans les recherches en question nou< employons uniquement des transformations quadratiques, il nV a la n^anmoins aucuneparticularisation,puisque toutes les transformations Cremona ont ces derni^res pour ^l^ments (p. 207).
Pour la discussion approfondie des faits dont il s'agit, adoiet- Ions en premier lieu que la courbe consid^r^e C poss^de en P un point multiple d'ordre i k tangentes s^par^es. Appliquons a C la transformation quadra tique
dont le point fondamental (x< = o, Xa==o) sera suppose situe en P. Au point P de C correspondent sur la nouvelle courbe C' {points s^par^s sur la droite^3= <^ (p- 191 ), et la singularite de P est par suite ^puis^e.
Supposons en second lieu que toutes les 1 branches de C se confondcnt enP, mais neanmoins de telle sorte que deux branches quelconques n'aient entre elles qu'un contact simple, et par consequent ne se confondent qu^au premier ordre d^infinimcnt pelil5. L^equation de notre courbe C suppos^e d'ordre n sera
(*) Voir left exemples relatifs k de semblables courbeft, p. i54, i56, 160 et p. i;i< note I.
(') Voir, pour ce qui suit, NOtbeb, Gotfinger Nachrichten, 1871, p. 267, etMarh. Annalen, t. IX. La posftibilite de la transformation citee se deduit aussi de cons)<i^ rations sur les courbes de I'espace. Voir Halpiien, Sur certaines perspectives gauches ues courbes planes algebriques {Comptes rendus, i5 mars iS^S).
T0£0B1E G^nfiBALB DE8 C0DBBE8 ALCteBIOt'ES. ail
et par la transformation quadratlque pr^c^dente elle devient
Cette courbe a, comme r^pondant au point P de C, i points consecutifs communs avec ^^3=0 au point de renconlre de cette ligne avec la droite X|^2-f- Xj^i = o, sans y avoir de point multiple; une separation nouvelle de ces points voisins n'est done possible par aucune transformation rationnelle. Nous disons roaintenant que la reduction subie par la classe n[n — i) de C, par suite de la singularity P, est 6gale 4 1(1 — i) -hi — i . L* influence de la singular ite sur la classe est done la md/ne que si le point singulier P
etait remplace par -i[i — i) points doubles ordinaires, parmi
lesquels seraient compiis i — i points de rebroussement ; et, conform^ment a cette id^e, nous nous exprimerons souvent comme si la singularity avait pris naissance par le rapprochement graduel des singularites simples pr^cit^es( * ). Pour le d^montrer, observons qu'auxlignes menses par le point Q(X| = o, j:3=o) correspondent sur le plan E^ les lignes droites passant par le point
Q'(ri = o,j3=o),
landis qu^en g^n^ral k une droite sur Ex correspond une conique sur E^, et r^ciproquement. Or, comme les points voisins (le C se Iransforment en points voisins de C, le nombre des tangentes que Ton pent mener de Q a C sera n^cessairement ^gal au nombre de celles menses de Q' & C, les tangentes qui ont leur point de contact en Q' mfime ne devant pas 6tre compt^es. II est egalement ais^ de justifier directement cette proposition a Faidc des propositions ci-dessus [voir p. 19a). En effet, la courbe C passe i fois par le point fondamental Xf = 0,0:2= o, et ne passe au contraire pas par les deux autres points fondamentaux ; la courbe G est done de Tordre 2/z — i et a au point ^'4 = o,j"i = o un point multiple d'ordre 71, tandis qu'elle a en chacun des deux autres points fondamentaux un point multiple d'ordre n — i, tous k tanentes separ^es. Si maintenant $ designe Tinfluence que tous les
(') II n'est d'ailleurs nuUement deiuontre par notre resolution d'un point singulier quan point semblable puisse 6tre remplace dans tous les problemcs qui se presontent par los singularites simples qui s'en dcduiscnt.
313 V TUME II. — CBAPITBB I.
autrcs points singuliers de G (lesquels existent egalement dans Ci exercenl sur la classe de C, cette derni^re devient
A-'= (2/7 — i)[in — i — i) — $ — n[n — 1) — 2(/i — i][n — / — i).
En vertu de la multiplicity ^nonc^e du point Q', le nombre des tangentes menees de ce point a G est ^gal a
A:' — 2(« > /) zzi /?(/i — i) — (J — / [/ — i).
Mais ce nombre est egal k la classe de C augment^e du nombre des points de rebroussement r^unis en Q ; done, puisque Q n'a pas ele pris sur C, il est en fait ^gal au nombre des droitcs passant par Q qui rencontrent G en deux, points voisins. Notre proposition interm^diaire est ainsi demontree.
Parmi les A' — 2(71 — i) tangentes issues de Q', lalignejj = o est comprise i — 1 fois, car sur elle sont situ(^s i points voisins de G. Mais ces derniers proviennent du point P en vertu de la transformation; la ligne Q'P' comple done de m^me * — 1 fois comme tangentc de C, c'est-4-dire que la classe de C est
Admettons en troisieme lieu que le coefficient de j:J"' dans C renferme le facteur x, j:< -4- xjOTq a la /'*"• puissance [l=i)\ l^s autres facteurs de j:J~' peuvent aussi se decomposer en diflKrenls groupes a valeurs multiples, ce qui n^cessiterait une ^tude tout a fait analogue ; mais, dans tous les cas, Texamen suivant de la relation AeJ vis-a-vis du facteur multiple d*ordre /dont il a ^te parleest independant de cette question. Nous admettons, d^ailleurs, que le facteur X|X| -+- XaO^a entre dans le coefficient de xj"'"'", c'est-adire Adins fi^r{x\}0C2)j pour r = i, 2,. . ., /, au moins /| — r fois, avec Thypoth^se l\ S I. Alors dans G le premier terme de Tordre / s*^vanouit et tous les termes suivants sont nuls a Tordre /|. La nouvelle courbe G a done, au point d'intersection de 73 = avec Xj^i -+- X| j^'2= o, un point multiple d'ordre /| dont, en general, les branches ne serontpas toutes tangentes a la ligne ^'3 = 0. Par ce point multiple seront absorbdes /| des / intersections dej3=o avec G qui y sont situ^es, et il n'en reste plus que / — /, voisines les unes des autres. Done, d*une mani^re tout a fait analogue a co qui se passait au cas precedent, le point P de C, tant qu'il s'agil
des / branches par nous consid^r^es, est Equivalent k -l[l — i)
points doubles, parmi lesquels se trouvent / — /| points de rebroussement, et k un point multiple dWdre /| — i. Ce dernier est
equivalent k -'li[l\ — i) points doubles si ses 1% tangentes sont
toules distinctes les unes des autres; dans ce cas, la recherche de la branche multiple d'ordre /< que nous consid^rions est termin^e. Dans le cas contraire le point multiple doit £tre soumis k un plus ample examen. Get examen se fait absolument de mdme, en modiGant la courbe C par une transformation quadratique dont un point fondamental est situE au point multiple d^ordre /^ et ainsi de suite. G^om^triquement, on doit se figurer la singularite de P comme Etant telle que parmi les i branches]/ coincident, que parmi ces derni^res /« ont encore en commun un autre point voisin, que par suite un point multiple d'ordre /| s'est injiniment rap^ proche du point multiple d'ordre i, et eel a dans une direction suiuant laquelle I tangentes du point d'ordre i se confondent.
Cette consideration est justijiee, au moins pour les problemes qui ne sont pas influences au fond par les transformations h determination unique.
Un probUme de cette esp^ce est celui de la determination de la classe de G ; on pent eifectuer cette determination comme on Fa fait pr^cedemment a I'aide des deux points Q et Q'. Si nous sup* posoDs que les autres i — / branches du pointmultiple Pne donnent pas lieu a d^autres recherches et que les tangentes du point multiple d^ordre /| r^cemment trouvE ne coincident pas par groupes; la classe de G' sera
V=(si/i — 0(2/1 — / — i) — § — n[n — i)
La classe h de la courbe G est egale au nombre des tangentes qui peuvent ^tre menses de Q' a G', et qui sont differentes des n — i tangentes du point multiple d'ordre n — lenQ' (chacune de ces tangentes comptant double) et de la ligne j'3 =: o. Or, dans le cas actuel, une branche du point multiple d'ordre /< touche la ligne j,= o, et cette branche est de Tordre / — /| ; done / — U des A'
3l4 TOMB II. — CHAPITBE I.
tangentes issues de Q' coincident avec yj=o. On a en consequence
Done, ici encore, la classe se determine conform^ment a la definition g^om^trique du point singulier que nous avons recemmenl donnee.
Nous ^claircirons ce qui pr^c^de par Texeinple suivant. Supposons une courbe du 2/i'*"" ordre a point multiple d'ordre a/i — a en P { j:« = o, j:2= o) donnee par T^quation
rindice inf^rieur de/' indiquant encore Tordre des deux fonctions homog^nesy'en X|,X2. En efiectuant la transformation (22), nous obtenons la courbe
c'=r;r|[/i,^i(j,.ji)]'4-/,„(j-„j,).ji=o.
Au point singulier de G correspondent sur C les n — i points doubles ordinaires d^termin^s par j^J = o eij'n^i (j'2»J^i ) := o. II se forme done d'abord n — i classes dont chacune se decompose ensuite en deux points, c'est-a-dire que G a en P un point multiple d'ordre 2(71 — 2) k n — i tangentes s^par^es sur chacune desquelles est encore situe un point double voisin de P, en d^autres termes, au point P se trouvent n — i contacts de la courbe C avec elle-m^me (p. 39). Le nombre des points doubles s^pares auxquels ^quivaut P est done finalemcnt ^gal k
On voit clairement par ce qui precede comment en continuant ce proc^d^, on arrivera enfin, apr^s un nomhrejini d*op6rations, a une courbe ne poss^dant que des points ordinaires voisins les uns des aulres ou s^par^s; en effet, deux branches de courbcs ne peuvent serencontrer qu'en un nomhrejini de points voisins. Actuellement, poursimplifier le langage, nous exprimerons la degeneration d'un point double en un point de rebroussement en disant
TD^OBIE G^N^aALK DBS COCBfiES ALGABBIQCES. 2l5
que du point double s'est rapproche iin point de ramification ( * ). Nous avoDS alors la proposition suivante :
T'out point multiple d^ordre i d'une courbe algebrique peat, par des transformations Cremona, dtre resolu en un point mul* tiple ordinaire d'ordre i, auquel s' adjoignent de la maniere precedente un nombre determine de points de ramijication, et en unc serie de points multiples d'ordre /| , /a , . . • {la somme Z| -f- Za -+- . . . etant inferieure ou egale ^ i), qui renferment chacun un certain nombre de points de ramification.
La resolution du point multiple eOectu^e ici est en connexion elroite avec la r^gle de Cramer prec^demment enonc^e, et avec Ics developpements en s^rie par lesquels )a singularity en question pouvait ^tre de m^me d^finie. En eflFet, ces derniers dt^veloppcments ont et^ aussi obtenus par des transformations successives; toutefois celles-ci n'^taient univoques que pour le voisinage du point considere et non pour tout le plan (comme, par ex.emple, la transformation X =: o/P, ^ =J^'*> P- 35). On pent, du reste, arriver ^galement par des transformations quadratiques successives aux dt^veloppements en s^rie que fournit la m^thode de M. Puiseux ; toutefois nous n'entrerons pas ici dans Texamen des details necessaires(^).
(*) Cette denomination est empruntee a la tbeorie des surfaces de Riemann. Les points de ramification de celles-ci correspondent, en efTet, aux points de contact dos tangentes proprcment dites roenees du point h Tinfini sur Taxe Y a la courbe. Mais, parmi ces derni^res, Tune se rapprocbe ind^finiment du point double (d'aprds Ics formules de PliiclKer) si ce dernier devient un point de rebroussement, de sorie que tout point de rebroussement donne lieu h un point de ramification de la surface de Riemann.
(*) Voir sur ce sujet NOtber (/oc. cit\ § 3. II est avantageux, pour le cas dont il s*agit, d'employer la transformation quadratique speciale
dont deux des trois points foudamentaux sont situes infiniment pres Tun de Tautre. Elle donne pour x, = *, ar, =^-, x, := i\y^= J^S^i "^f^Jt = ' la substitution Jf = j/, ^ = x^y employee par Hamburger {^Zeitschrift de Sciiloxilch, t. XVI, p. 474 et suiv. ), et K5!iiGSBERGEH {Theorie der elliptischen Functionen, Leipzig, 187/1, p. 471 et sniT.).
Shito a, dans ces derniers temps, donne une theorie approfondie des points singuliers bases sur la methode de Puiseux, et a aussi determine directement leur influence sur les formules de Plucker (voir Proceedings of the London mathematical
ai6 TOME II. — cnAPITRE I.
Nous appliquerons dans ce qui suit les r^sultats obtenus a la tJieorie desfortnules de Pliicher.
Pour determiner la classe d'une courbe C poss^dant des singularit^s quelconques, il faut la transformer d'apr^s ce qui precede. Si nous supposons que Ton a ainsi trouv^ que les points singuliers de C sont Equivalents k un certain nombre de points multiples d'ordre 9/ (i = i , a . . . ,) dont chacun ne possede que des tangenles sEpar^es, et que le nombre total des points de ramification qui sont r^unis aux difFErents points singuliers soit Egal k x, on aura pour la classe de G
(24) k — ii[n'^\) —lqi{qi— i) — "/-,
ainsi qu*on le deduit facilement de la continuation du procede employ 6 dans I'Equation (aS). On reconnait par 1^ que Tensemble des points singuliers est Equivalent k d points doubles et r points de rebroussement si
En eflet, il vient alors
(26) k-=iri[n — 1) — id — 3/-.
On pent, par des considerations correlatives des precedentes au point de vue dualistique, exprimer inversement n par A*. On doildans ce but remplacerla courbe C par la courbe r^ciproque K, c'est-a-dire par celle qui en derive au moyen d^une transformation dualistique (t. I, p. 329). Aux tangentes multiples de C correspondent des points multiples deK; ces dernicrs devront Etre resolus suivanl notre m^thode par des transformations rationnelles. En admettant quails aient ete ainsi trouvEs equivalents ax' points de ramification et k un certain nombre de points multiples ordinaires d'ordre^'^, la classe de *K, c'est-a-dire I'ordre de C, sera donn^e par
Society, t. VI, p. 1 53; 1876. Des recherches semblables ont ^te pounuivies par M.Hu- PDEM ; dies n'ont ^te jusqu'ici publiees que par exlraits : Comptes rendus^ t. LXXVIII, p. iioS, 1874* et t. LXXX, p. 97; 1875.
TB£0RIB CEN£KALE DES C0CBBB8 ALCteRIQrBS. ifj
relation oit
Enfin on peut montrer que ies nombres w, /r, rf, r, ty w satisfont a requation dualistique par rapport k eile m£me
;'29) (/I — 1) (/I— 2) — -irf— 2ri= (X: — i) (/■ — 2) — 2/— • 2«',
qui s'est pr^sent^e aussi dans Ies nombres pluck^riens (p. 65). Pour le verifier, nous ferons usage d'un th^or^me dont nous avons deja parl^ plusieurs fois et que nous d^montrerons plus tard d'une mani^re approfondie ; ce th^oreme est le suivant :
Deux courbes liees point par point I'une a I'autre par une relation uniuoque (^ determination unique) et dont chacune ne possede comme singulariles que des points multiples ordinaires, appartiennent au mSme genre,
D^terminons d'abord le genre p de la courbe C dont la classe a ^le donn^e par (23). Les singularit^s dc C auxquelles se r^fere le nombre 3 qui figure dans cette relation exerceront sur le genre de C une influence ^gale, par exemple, a d'; on aura alors
On peut d'une mani^re semblable calculer le genre de la courbe apr^s chaque transformation. On a finalement une courbe C ne poss^dant que des singularit^s ordinaires et dont le genre se Irouve egal a
Nous definissons ce nombre comme le genre de la courbe G. Nous
y sommes autorises si nous d^montrons que le nombre dont il s'agit est dualistique k lui-m^me conform ^ment k F^quation (29) (')•
La courbe r^ciproque designee par K peut ^tre transform^e en une courbe K'n'ayant que des points multiples ordinaires; alors son genre est, d'apr^s la definition qui vient d'etre donn^e, egal ao genre de R', c'est-^-dire egal a
Or, K' est lie a K et cons^quemment aussi a C et C, par une relation ^determination unique; le th^oreme cite plus haut surTegalite du genre est done applicable aux courbes C et K', et ron a par suite aussi
= -^A- — 1) (X- — 2) — t — ri', C. Q. F. D.
En r^sumant ce qui precede, nous arrivons au theor^me suivant e nonce d'abord par Cayley (^) :
En tant qu'il s^agit des formules de Pliicker^ toiis les points singuliers d'une courbe algebrique peui^enl etre consideres comme equivalents h d points doubles et r points de rebroussement, et de meme toutes les tangentes singulieres peuv^ent etre constderees comme equivalentes h t tangentes doubles et w tangentes d' inflexion^ les nombres rf, r, t, w etant determines de la nianiere indiquee par les formules (a5) e?^ (28). Les formules de Pliicher sont alors donnees par (26), (27) ef (29) oupar
O.p — 2rr:/-|-r — in
- - n -\-iv — ik
(*) Le faifc que le nombre p reste inTariable dans toutea les transformatious univoques se conclut immediatement de considerations semblables a celles appliqueet dans ce qui suit aux courbes G et K. Sur la determination dep, voir auasi HaubuIi Sur un point de la thSorie des fonctions abeliennes (Comptes rendtts, ag juiii 187^).
(*) yoir le Memoire deja cite do Catlet, Quarterly j'otirnal, t. VII.
TB£0R1E G^M^BALC DJU C0VBBE8 ALG^BBIQCU. 319
II est k remarquer que les nombres ty w dans ces forniules ne donnent pas imm^diatement le nombre des tangentes singuli^res ordinaires de C; car les tangentes des diff^rentes branches d^un point singulier peuvent ^tre en m^me temps des tangentes singulieresy de telle sorte que les points de la courbe r^ciproque K qui leur correspondent sont en m6me temps des points multiples de cette courbe. C^est done par une ^tude approfondie des points correspondants de la courbe r^ciproque que Ton d^cidera combien des t-hw tangentes singuli^res de C sont absorbees par les points singuliers.
