I. — Le systems des points d'inflezion

Nous entreprenons 4 present d'appliquer sp^cialement aux courbes du troisieme ordre les th^or^mes et les id^es g^n^rales qui precedent (^), et dans cette ^tude nous considererons les points suivants :

i^ La relation de ces courbes avec la th^orie des polaires el avec les formules de Pliicker, et surtout la situation des neuf points d^inflexion; notre int^r^t principal se concentrera sur la th^orie de ces derniers, qui se pr^sentent pour la premiere fois dans les courbes du troisieme ordre ;

2® L'exposition de leurs propri^t^s au moyen de la theorie des formes cubiques ternaires ;

3** La geometric sur une courbe du troisieme ordre : pour cet objet, les applications de la theorie des fonctions elliptiques nous feront connaitre des moyens auxiliaires enti^rement nouveaux;

(*) Pour le developpement de la thdoric de ces courbes, les traTauz les plus importauts sont les suivants : Newton, Enumeratio linearum tertii ordinis; MACLAirin, De linearum geometricarum proprietatibus generalibus tractatus (fcraduit en fran^ais par DE Jo!(QUiErbs, M^lemges de Geometric pure,'p. 197, Paris, i856); Pluceee, Sjstem des aneUytischen Geometrie; Hesse, Journal de Crelle, t. 28, 36et38; Catlet, Phihiophical Transactions, t. 147, ftinsi que les Ouvrages plusieurs fois cit^ de Salmoo. Cremona et Ch as] es (G^omStrie supirieure), Une exposition d'ensemble des theories g^ometriques a et^ aussi donn^e par Dur^e : Die ebenen Curven driiter Ordnung, Leipzig, 1871. Nous renvoyons k ce dernier OuTrage pour les deTcloppements plus etendus sur certains points particuliers de la theorie; on y trouve &ussi des indications bibliographiques plus detaillecs.

LES G0CBBE8 DE TKOISltHX OBDU OU DE TB0I81£ME CLASSE. 321

4° Les courbes du troisi^me ordre k points multiples et les degenerations de ces courbes.

Nous nous demanderons d'abord comment on peut en general considerer une courbe du troisi^me ordre ; aurons-nous, en nous basant sur la forme exterieure, k distinguerplusieurs types projectifs differentSy ou bien, comme dans les coniques, une courbe r^elle quelconque peut-elle ^tre chang^e par collin^ation r^elle (ou par deformation continue) en une autre courbe r^elle quelconque? 11 est a peine n^cessaire de faiVe remarquer que pour ces considerations de forme tons les coefficients de Tequation de la courbe doivent ^tre supposes reels. Une courbe entierement imaginaire ne peut posseder au plus que neuf points reels, a savoir les points d'intersection des courbes reellesy^= o et 9 = o, dans le cas ou la courbe imaginaire est represen table sous la forme

en supposant que ces points d'intersection soient reels. D'ailleurs, aucune hypothese sur la realite des coefficients n'est necessaire pour les recberches algebriques ulterieures.

Une courbe redle du troisi^me ordre est toujours rencontree par une droite en trois points reels ou en deux points conjugues imaginairement et un point red, et dans le plan il existe toujours des droites des deux esp^ces. Si, en effet, Ton part d'une droite a trois points d'intersection reds, et qu'on la fasse tourner autour d'un quelconque de ses points, elle arrivera insensiblement, d'apres la loi de continuite, a une position ou les deux intersections coincideront. Si Ton continue la rotation au dela de cette position limite, les deux points deviendront necessairement imaginaires, car autrement le point de contact de la position limite serait un point double de la courbe C3 ; or, nous excluons provisoirement Texistence d'un point semblable. Ainsi on sera en fait conduit a une droite ayant un seul point d'intersection red, et en partant de cette demiere on peut employer le m^me procede en sens inverse. En particulier aussi la droite de Tinfini rencontrera la courbe en un ou trois points reds ; si done nous designons sous le nom d^asyniplote la tangenle a une courbe en Tun de ses points a Tinfini, nous avons ce theorem e :

Toute courbe reelle du troisieme ordre a au moins une asym-

ptote reelle et peat toujours etre projetee suivant une courhe qui na qitune seule asymptote reelle.

Pour notre but imm^diat nous avons encore a d^montrer la proposition suivante :

Toute courhe reelle du troisieme ordre a trois points d' inflexion reels.

Plus tard seulement nous montrerons qu^il ne peut pas y avoir un plus grand nombre de ces points qui soient r^els.

En effet, ainsi qu'il a 6t6 demontr^, nous pouvons toujours prendre la courbe de telle raani^re qu'elle neposs^de qu'une branchc s'etendant k I'infini, et cette branche doit n^cessairement parcourir d'un trait continu Tespace compris entre les deux points A et B {fg' 23), ou elle commence k s'approcher de Tasjinptote.

Fig. 2.3.

Or, on peut admettre que les points A et B sont situ^s d'un cole different de Tasymptote, comme dans Thyperbole, car dans le cas contraire le point k Tinfini sur Tasymptote serait un point d'inflexion, cc qu'on ^viteraparune transformation lin^aire convenablc. Sur les deux c6t^s la courbe s'eloigne d'abord de cette ligne; si done les deux parties doivcnt se rapprocher pour former un trail suivi, elles doivent n<$cessairement changer leurs courbures, cVsla-dire former quelque part, en W| et Wj par exemple, deux points d'inflexion. Or, parlaprennent naissance deux parties de la branche ayantune courbure de sens inverse, et leur reunion n'est possible qu'en un troisieme point d 'inflexion tel que W3. Noire theoi*eme est done demontre.

LES COCQDBS DE TROISltllE ORDRE OD DE TROISitHE CLA8SE. 323

La branche de courbe detente ici est couple par toute droite reelle du ptan en un point r^el unique ; la courbe ne pent done plus comprendre qu'une branche qui soil rencontree par une droite en deux points r^els au plus, c'est-^-dire un ovale. Mais cette partie peut manquer aussi enti^rement. Nous obtenons ainsi les deux types suivantspour les formes possibles d^une courbe du troisieme ordre :

1° Courbe unipartite, se composant d'unc branche unique k Irois points d^infiexion (i dans Istjig, 24);

a** Courbe bipartite, se composant d'une branche semblable et d'un ovale situ^ en dehors de cette premiere partie (3 dans la

On peut envisager comme courbe de passage entre les deux

especes la courbe a point double (2 dans ^^Jig* 24).

Fig. 24.

Saivant la mani^re dont on se la Ggurera d^river d'une courbe g^nerale du troisieme ordre, on sera conduit a une courbe unipartite ou bipartite, comme \difig. 24 le fait suffisammentapercevoir. Par ceprocede de passage se Irouve en m^me temps donn^e la demonstration, non encore fournie dans ce qui precede, de Texistence des deux types pr^sent^s ( * ).

(') Des raisonneraents semblables sont au surplus Trais a I'egard des courbes d*ordre quelconque. Une courbe se compose de difierentes branches ayan tun parcours separe, que Ton devra, d'aprds von Staudt [Geometric der Lage^ Nurnberg, 1847, p> 81), diviser en pcures et impcdres, Une branche impaire peut, comme la branche a trois points d'inflexion dans la courbe C„ 6tre engendree par deformation d'une droite, une branche paire au contraire par deformation d'une conique. Deux branches impaires se coupent toujonrs ; par consequent, une courbe sans point double ne pent renfermer qu'une seule branche de cette espece au plus. Une courbe d'ordre impair sans point double en comprendra toujours une; une courbe generale d'ordre pair se compose uniquement de branches paires. f'oir aussi Klein, Math, jinnalen, !• "VI, p. a-7, el Zbctbbn, ibid.f t. Vll, p. ^\o.

22^ ''OME 11. — CBAPITBE II.

La forme d'une courbe du troisi^me ordre peut d^ailleurs difKrer beaucoup en appareDce de celles representees dans i^Jig' M, i^i Tovale est divis^ en deux parlies par la droite de rinfini, si l^undes points d^inflexion s'eloigne k Tinfini, etc. ; et Ton oblient ainsi, suivant ces diverses dispositions par rapport a la droite de I'inGni, Ics diff^rentes variet^s de courbes du troisi^me ordre, telles qu elles sont indiqu6es dans les classifications de Newton, Cramer, Pliicker, Mobius et Cayley ( * ). Notre classification fondamentale en courbes unipartites ou bipartites ne signifie pas, d'ailleurs, que toutesles courbes d'une classe puissent ^tre transformees les unes dans les autres par collin^ation. Cette transformation n^est au contraire pas possible; car une courbe du troisieme ordre a, comme nous le verrons plus tard, un invariant absolu, et cet invariant doit avoir la m6me valeur pour deux courbes si elles sont transformables lin^airement Tune dans Tautre (^).

Nous rcsumerons d'abord bri^vement dans ce qui suit une serie de theoremes qui resultent imm^diatement des ddveloppeinenl> generaux donnes precederament, en particularisant settlement les nombres qui y figurent, ce qui nous conduira immediatement a des proposixions importantes sur la situation des points d'inflexion.

La courbe du troisieme ordre (/^a^z= o) est en g^n^ral de la sixi^me classe (t. I, p. 347 ®^ ^* ^'» P- ^^) '» autrement dit, on peut d*un point quelconque j" lui mener six tangentes. Les six points de contact de ces dernieres sont situes sur la conique a^ay = o qui e^l la premiere polaire dej^ (?• 7) • Toutes les premieres polaircs forment un r6seau de coniques; parmi elles il s^en trouve un nombre infini

(') Foir sur ce sujct Salmon , Higher plane Curves,

(*) La courbe C, a, en effet, deux invariants S et T, tels que S' divise par T' est rinvariant absolu {'voir plus bas). La condition d'existence d'un point double est alora S' — 6T*= o ; a la distinction de deux types de C, correspond la separation des cas dans le^quels la valeur de S' — 61' est> ou <o, ainsi qu'il resulto de la consideration des quatre tangentes issues d'un point de la branche impaire, si Ton fait usage des theoremes sur la realite des racines d'une equation du quatri^me degre (Clebscu, Theorie der bindren Formerly p. 160 et 4^8). Voir la fln de la 5* Section de ce Chapitre.

Pour les courbes d'ordre supericur, on a ce th^or^me :

Une courbe de genre p ne peut avoir plus de p-hi branches ^ et dans un ordre donni ff, (/I— !}(« — 2) etant igal ou sup^rieur a p^ il existe tou jours des courbes ajattt cette valeur maxima. Fair Habrack, Math, jinnalen, t. X, p. 189.

LBS C0GRBE8 1>E TROtSltMB OBDRE OC DB TR0I8I£MB CLA8SE. aa5

ayanl un point double, c'est-a-dire se d^composant en un couple de droites. Le lieu des p6les relatifs a ces coniques est une courbe Ju troisi^me ordre (form^e en ^galant a z^ro le determinant des secondes d^rivees), la hessienne (p. ii)

[abc)*aybyCy =■ o,

qui coupe la courbe primitive aux neuf points d'inflexion. Son equation s'obtient en ^liminant les quantites x entre les trois equations

ou Ton a fik = rz -r — r— ct oil les quantites or/sont les coordonn^es

(iu point double r^pondant ^j^. Or ces Equations ne varient pas si Ton permute les xi et lesj)<i, et de la r^sulte ce th^or^me :

La hessienne et la steinerienne d^ une courbe du troisienie ordre sont identiques.

On deduit encore de la cette proposition :

La polaire lineaire d^un point y de la hessienne louche cette courbe au point double de la premiere polaire de y.

Nous insisterons, mais plus tard seulement, sur les propri^tes de

la cayleyenne ou courbe enveloppee par les lignes xy*

Nous pouvons facilement aussi donner I'equation du produit <les six tangentes issues de j^. Si, en effet, x est un point d'une telle langente, T^quation

/(x H- Xr) =/ H- 3XD/4- 3)L«DV-+- 5i»DV=: o,

dans laquelle /=ai, !>/'= a^a^, D^/== a^^a*, D^y= a^., doit donner pour X deux racines ^gales ; autrement dit, son discriminant doit s^annuler. Le produit des six tangentes issues d'un point y est done donne (t. I, p. 27a) par