D*/~ (D/)«][D/DV-(DV)'] -[/!>'/- I>/DV? = o

Si le pdle j devient un point de la courbe, deux des tangentes qui en sont issues se confondent avec la tangente de ce point, et la courbe primitive y sera touch^e par sa polaire. En eflfet, T^qua-

Clebsch. — Geomdtrie, 1I« 1 5

9a6 TOME II. — CHAPITM II.

tion (i) devient divisible dans ie cas de li^f=o par le facteur { D^y )* ; d*un point de la courbe on peut done mener a celle-ci encore quatre tangentes donnecs p€ir

(2) 4/DV~3(D/)»=o.

Lorsquej^ a celte silualion, les points de la premiere polaire se d^finiront g^om^triquement d'uDe mani^re aussi simple que dans les coniques. Soil z le second point d'intersection d^un rayon issu dej^ avee la polaire, de telle sorte que ciydl = o. Si Ton cherche les points de rencontre j^ -hXr durayon avec la courbe primitive, on obtient Za/^Mz -+- X^a' = o, c'est-a-dire une Equation du second degr^ seulement relativement k X, d'oiJi ce qui suit:

Si I' on cherche sur les rayons menes par un pointy de la courbe le point quatrieme harmonique a y et aux deux autres points d' intersection, ce point decrit la premiere polaire de y, Cela r^sulte immediatement aussi de nos th^or^mesg^n^raux precedents sur les syst^mes polaires dans les formes binaires (t. I, p. a53).

Si enfin le p6lej^ est undesneuf points d'inflexion,j^etanlalor5 situd en m^mc temps sur la hessienne, la polaire se decompose en deux droites, savoir: la tangente d'inflexion (puisque la polaire est tangenle a la courbe) (*), et une autre droite r^pondant au point d'inflexion, la droile harmonique. D^un point d ^inflexion on ne peut done plus mener que trois tangentes h la courbe; leurs points de contact sont les trois points ou la droite harmonique donl il a H6 parl6 rencontre la courbe. D'apr^s le th^or^me precedent , la droite harmonique elle-mdme est d^ailleurs le lieu du point quatrieme harmonique au point d' inflexion et aux deux autres points d' intersection des rayons issus de ce dernier avec la courbe.

Pour discuter maintenant de plus pr^sla situation respective des points d'in flexion y attachons-nou's k notre th^or^me fondamental sur les syst^mes de points d'intersection, lequel ^nonce, relative-

(*) Ce contact ne peut pas, en fait, ^tre un contact improprcment dit, c'est-4-dire proYenir, par exemple, de ce que le point double de la polaire dccomposee seratt situe au point d*inflezion; car, autrement, on pourrait encore mener dn point d'inflexion quatre tangentes a la courbe C,, tandis que Tune d'elles doit eTidemmeDt 6tre situee inflniment pr^s de la tangente d'inflexion.

LES COUSBCS DE TROISlftMB OBDRE 00 BE TBOISI^E CLA88B. 337

ment aux courbes de troisi^me ordre, que toutes les courbes de cette esp&ce ayant buit points communs passent encore par ua neuvi^me point d^termin^ (p. i33). C'est ce tb^or^me qui nous a d^j^ fourni une demonstration simple du tb^or^me de Pascal. Nous en ferons ici une autre application. Surlacourbe consid^r^e prenons trois points A^ A2> A3 situes sur la droite a, et ^galement troi's points Bf, 62, B3 sur une seconde droite b\ tra^ons ensuite trois autres lignes joignant un point A avec un point B, par exemple

les lignes A| B^ A2 B2, A3 B3. Ces lignes pourront 6tre d^sign^es respeclivement par d^ , ^2? d^ et couperont encore notre courbe respectivement aux points Co C2, C3. Nous disons que ces trois points C sont situes de m^me sur une droite c. Nous avons en effet trois courbes du troisi^me ordre :

1® La courbe donn^e,

2° Les lignes </|,^2>^3 7 3® Les lignes a, b, c,

qui ont buit points communs, a savoir A|, A2, Ag, B|, B2, B3, C|, C|, et par consequent renferment toutes aussi le neuvi^me point C3, ce qu'il fallait d^montrer.

*Si done on joint divisement chacun des trois points d^intersec^ lion d *une droite avec une courbe du troisieme ordre h chacun des points dHntersection d^ une autre droite, ces lignes de jonction coupent encore la courbe en trois points situes en ligne droite.

On peut de cette mani^re construire une infinite de canevas dc six droitesy dont neuf sommets sont toujours situes sur une courbe du troisieme ordre. Par un cboix particulier de ces syst^mes, nous serons ramenes aux points d*inflexion. Rapprocbons d'abord les droites a elb infiniment Tune de Tautre, de sorte qu'un point A/ et un point 6/ deviennent infiniment voisins. Alors les lignes d^ , di, di sont les tangentes de la courbe aux points A|, h.2y A3, et nous avons ce theoreme :

Si les points de contact de trois tangentes a une courbe du troisieme ordre sont en ligne droite, leurs trois autres points d'' intersection sont de mdme en ligne droite.

Si ensuite les deux droites voisines a et & passent par deux

aa8 TOMB II. — CBAPITRB II.

points d'inflexion, que cons6quemraent A| ( = B|) el A2 ( = 62) soient deux points d^nflexion de la courbe, les lignes d^, d^ sonl leurs tangentes d'inflexion. Mais alors les points d'intersectioo restants C^, C2 de ces derni^res coincident respectivement avec Ao A2; autrement dit, la ligne c se confond avec la ligne a. Actuellement, comme les points A3, 63, C3 doivent aussi Sire situ^s en ligne droite, et qu'ici ils sont devenus infiniment voisinsj ils forment aussi un point d'inflexion de notre courbe. Done :

Une ligne droite if ui joint deux points d' inflexion passe toujours en outre par un troisieme point d' inflexion ( * ).

Les points dHnflexion ont, par suite, une situation particuliere les uns relativement aux autres. Par chacun d'eux passent quatre lignes de points d'inflexion ou lignes inflexionnelles dont chacune renferme deux des autres points d 'inflexion. II existera done

- g, 4 = J^ lignes de cette esp^ce, puisque dans rarrangement

actuel chaque ligne entre ^hhl fois. Nous d^signerons dans ce qui suit les points d'inflexion par les nombres

et la ligne inflexionnelle renferman t les points d'inflexion i\ k, h par L/>A. Ainsi; par exemple, i, 2, 3 seront les trois points d'inflexion situ^s sur la ligne L123. Par chacun d'eux passent encore trois lignes inflexionnelles, en outre de L|23y de sorte que nous avons dix lignes en tout. II existe done encore deux autres lignes inflexionnelles qui ne renferment pas les points i, n, 3. Si nous admettons que 4; S» 6 soient situes sur une droite L456, il y aura une douzi^me droite L789 renfermant les points 7, 8, 9. Une telle combinaison de trois droiles qui renferment ensemble la totalite des neuf points d'inflexion est appel^e un triangle inflexionnei Le nombre de ces triangles se determine comme il suit. Par chaque point d'inflexion passent quatre lignes inflexionnelles; chacune doit ^tre le cdt^ d'un triangle et d'un triangle unique. Mais, comme le point d'inflexion consid^r6 doit entrer dans chaque triangle, ii

(') f^oir Maclaurin {loc, ciV.), Nous ferons plus loin connaitre une di^onstraUoa purement algebrique de ce theorime.

LES C0CRBE8 DE TROISltMB ORDRB OC D£ TROISltUC CLA8SC. 3 39

y aura, d'une mani^re g6n6Td\e, seulementquatre triangles inflexionnels. Nous pouvons par suite ^noncer ce th^or^me :

Les neuf points d' inflexion sont siiues trois a trois sur douze droites, et ces droiles se rangent trois a trois en quatre groupes [triangles inflexionnels), de telle sorte que chaque groupe coni' pose de trois lignes renferme V ensemble des neuf points d' inflexion.

Dans r^tude purement alg^brique du probl^me des points d'intlexion telle que nous Fentreprendrons plus tard, ce th^or^me forme le coeur du sujet; nous ne ferons qu'esquisser brievement ici la marche des id^es a suivre. Du groupement pr^cit^ des neuf points, il resulte que I'^quation du neuvi^me degr^ qui les determine presente un caractere tout special, k savoir la r^solubilit^ par radicaux. Elle doit d'abord conduire a une Equation du quatrieme degr6 de laquelle dependent les quatre triangles inflexionnels : decomposer alors deux de ces derniers chacun en leiirs trois cotes exige seulement une equation du troisi^me degr^ ; les points (I'interseclion des c6tes parliculiers des divers triangles sont les points d'inflexion. Pour determiner ces derniers, on aura done a resoudre, d'apres cette supputation provisoire, en dehors d'^quatlons lin^aires, seulement une Equation du quatri^me degr^ et deux du troisieme. Pour ^tablir T^quation du quatri^me degr^, on a encore besoin des d^veloppements g^ometriques qui suivent.

La courbe donneey= o et sa hessienne A = o d^terminent le Taisceau y.f-^ XA = o, dont les points de base sont les neuf points d'inflexion. Parmi les courbes de ce faisceau sont n^cessairement compris les quatre triangles inflexionnels, car chacun d'eux forme une courbe evanouissante du troisieme ordre qui passe paries neuf points d*inflexion. Nous avons done k former relati-

vement a r une Equation du quatri^me degre qui determine ces

quatre courbes sp^ciales du faisceau x/*-}- ^A = o. Or, par un point d*inflexion passent quatre rayons qui comprennent chacun deux autres points d'inflexion. Nous pouvons utiliser deux de ces lignes pour construire la droite harmonique du point d^inflexion, en cherchant sur elles de la maniere indiqu^e le point quatri^me harmonique; la ligne qui joint ces derniers est la droite harmonique cherch6e. Cette construction depend uniquement des points

a3o TOME II. — aiAPlTRE II.

d*infIexion, et non de la courbe donn^e C3 ; si done une courbeCj passe par les neuf points d'inflexion, les points quatriemes harmoniques appartenant a Tun d'eux relativement k cette courbe sont silu^s sur une droite ; autrement dit, la polaire du point se decompose. Mais il n'en est ainsi que pour les points d^inflexion, et nous avons en consequence cet important theoreme :

Si les neuf points de base d'unfaisceau de courbes du troisieme ordre sont des points d' inflexion pour Vune d'ellesj ils le seront pour toutes les courbes du faisceau ( * ), ou :

Toutes les courbes du faisceau xy'-}-iA=o ont les neuf niSmes points d' inflexion.

Les tangentes d'inflexion sont naturellement di{r<§rentes.

II r^sulte en particulier de la que la hessienne de y.f-\- X A = est encore une courbe du faisceau. Si done nous d^signons son Equation par A,x = o, nous aurons

(3) A,x = K/H-LA,

R et L ^lant du troisieme degre en 3t, X, parce que la forme hessienne est toujours du troisieme degr^ par rapport aux coefficients de la forme primitive. La determination effective de ces fonctions K, L se fait a Taide de la iheorie des formes cubique> ternaires, sur laquelle nous insisterons plus tard.

Parmi les courbes du faisceau syzygetique Tcf-^lA^o sont compris, ainsi qu'il a ete dit prec6demment, les qualre triangles inflexionnels. Nous pouvons les caract6riser par cette circonstance que leur hessienne doit coincider avec la courbe primitive ; car sur une courbe compos^e de trois droites tout point esi un point d'inflexion, puisqu'il s'y trouve toujours trois points successifs en ligne droite. Si done la courbe xy+ 1 A = o doit se decomposer en trois droites. Tune des Equations

x/h-^a = o, K/4-La = o

sera necessairement une suite de I'autre. En eliminant les x, on obtient done pour Tequation du qualrieme degr^ qui determine

(') Foir ici et pour ce qui suit Hesse {loc. ci'c).

LES COCRBES DB TBOISltMB OBDBE OC DE TROMltUB CLAS8B. a3l

les triangles inflexionnels

(4) xL~>K=:o (»).

De la distribution des points d^nfleiiion sur les c6t^s des quatre triangles, nous pouvons d'ailleurs tirer des conclusions sur leur r^alit^. A cet effet, nous resumerons dans un Tableau la situation des neuf points sur les douze c6t^s. Nous ferons pour cela usage du theor^me que voici :

Si, par un point d' inflexion tel que i, passent deux lignes inflexioTinelles tel les que L|2a ct L147, les lignes qui joignent 2, 3 A chacun des points 4^ ^ ne se coupent jamais en un point d' inflexion.

Car si 24 et 87 se coupaienten 6, et que 5 par exemple filtle troi-

si^me point compris dans 16, il faudrait que 8, 9 (comme ^tant les seuls points qui restent) fussent en ligne droite avec i aussi bien qu^avec6y ce qui n^est pas possible. En consequence, nous ^tablirons imm^diatement le Tableau suivantdes groupes ternaires situ^s sur les douze lignes inflexionnelles el formes avec les neuf points :

Nous pouvons, en effet, choisir arbitrairement (i), (2), (3), (4)> parce que par i passent dans tons les cas quatre lignes inflexionnelles. Nous pouvons ensuite, ainsi qu'il a ^16 montr^ pr^c^demment, admettre que 4^ S, 6 et 7, 8, 9 sont situ^s chacun sur une droite, ce qui fixera (5) et (9). Nous pouvons encore joindre le point 2 avec4y 5 et6, et, comme les nombres 24 ^ ^5, 26n'entrent pas encore ensemble dans (1), (2), (3), (4), (o)i (9)> et qu'au contraire 4 se trouve d^j^ avec 7 dans (2), 5 avec 9 dans (3), 6 avec 8 dans (4), nous n'avonsplus le choix, pour chacun des trois couples 24; 25, 26, qu^enlre deux des nombres 7, 8, 9, les autres nombres ne pouvant pas leur 6tre adjoin ts d'apr6s le th^or^me precedent. Enfin, on reconnait ^galement que, d'apr^s ces d^ter-

(') Cette Equation sera dtudi^e plui en deiail ci-apr^s, dans la theorie det formes cnbiques ternaires.

a33 TOME II. — CDAPITHE II.

minations, les trois lignes issues de 3 ne peuvent plus comprendre que les points qui figurent dans (lo), (ii), (i^)- Dans le Tableau ainsi form^, chaque reunion de trois groupes superposes forme un triangle inflexionnel ; car dans chacune entre une fois, et seulemeni une fois, chacun des nombres i, 2, .. ., 9. Nous pouvons representer plus sommairement encore la loi de ce groupement, ainsi qu'il suit, ficrivons les neuf nombres sous la forme de determinant :

D^signons maintenant les triangles dans Tordre ou ils se presentent dans le Tableau (5) ci-dessus par I, II, III, IV, de sorte que III par exemple se compose des lignes L159, L267» Lsis- ^^ reconnait imm^diatement I'exactitude de la r^gle suivante.

Sont toujours en ligne droite :

Dans I, trois points d'une ligne horizontale de (6) ;

Dans II, trois points d'une ligne verticale de (6);

Dans III, trois points qui, dans (6) consid^r^ comme dele^

minant, donnent un terme positif *, Dans IV, trois points qui, dans la mdme hypoth^se, donnenl

un terme negatif.

Mais le groupement dont il s'agit prend une forme beaucoup plus simple encore si Ton designe chaque point d'inflexion par deux nombres (comme un element d'un determinant), et qu'on derive par suite 00 au lieu de i, 01 au lieu de 2, etc. Nous avons alors les neuf points d^inflexion

et la r^gle simple : Sont en ligne droite, h i' exclusion des autres, les points pour lesquels la somme des premiers nombres, aussi bien que la somme des seconds, est divisible par 3. Cette representation ne parait ici presenter d'avantage qu'au point de vue de la forme: n^anmoins, plus tard, ^Taide de latheorie des fonctions elliptiques.

LE8 C0CEBE8 DE TK0I8l£]IE ORDKE OD DE TEOISlftVB CLASSE. 333

nous serons en situation d^assigner aux couples num^riques oo, oi une signiGcation r^elle, circonstance qui nous conduira directement au th^or^me ^nonc^ en dernier lieu. Nous nous servirons d'autant plus de celte mani^re d'ecrire par la suite. Si nous designons mainlenant par des traits d^union les lignes inflexionnelles en aflectant des traits parallMes aux lignes qui forment un triangle, nous avons le Tableau [voir, t. I, p. ao)

— or

-Oi

io 21' —a — ^>" -2i

autrement dit, on a les lignes el les triangles suivants :