II

cc qu'on pent exprimer en disant que dans I trois points dont le premier indice est constant sont en ligiie droite, que dans II les points en ligne droite sont ceux dont le aeuxi^me indice est constant, que dans III ce sont ceux dont les deux indices croissent d'une unit6 en passant d^un point k un autre, que dans IV ce sont ceux dont Tun des indices diminue d'une unit^ dans le passage, tandis que Tautre indice croit d'une unit^.

Prenons un des triangles ainsi obtenus, le premier par exemple, pour base des considerations suivantes, et d^signons-en les sommets par Ao, A|, A, et les cot^s opposes respectifs par ao, ^i, a^^ de telle sorte que sur ai soient situ^s les points to, ii, Z2. Si nous consid^rons, par exemple, les deux series de points

(fl^i) Ao, 20, 21, 22, Ai, («i) Ao, 10, 12, II, A„

il r^sulte de ce qui pr^c^de qu'elles sont plac^es perspectivement, car deux points Tun au-dessous de Tautre sont en ligne droits

avec oo. Mais au lieu de oo nous pouvons choisir aussi oi ou oi comme centre de projection, a la seule condition d'ordonner la s^rie Ui ainsi qu'il suit :

{a\) Ao 12, II, lo, Aj (a\) Ao II, lo, 12, A,.

Les trois series de points a^j a\j a\ sont projectives entre elles, puisqu'elles sont toutes perspectives k a^ ; mais elles ne se distinguent que par permutation circulaire des ^l^ments lo, ii, la, et sont en consequence cyclo-projectives (t. I, p. aSo). La nidme chose a lieu pour les autres triangles et les autres lignes, de sorte que nous pouvons ^noncer ce th^or^me :

Si Von considere les trois points d' inflexion situes sur une ligne inflexion nelle comme un sjsteme cyclo-projectif, les deux elements fondamentaux Jixes seront donnes par les sommeis du trianglb injlexionnel correspondant qui sont situes sur cette ligne, et Von peut de trente^six manieres choisir deux series de points telles qu elles soient placees perspectivement et que leur centre de projection soit encore un point d' inflexion {*),

ou, en d'autres termes [voir t. I, p. 280) :

Si Von considere les trois points d' inflexion situes sur une droite comme poiiUs-racines d'une forme cubique binaire, les points de la Jormeliessienne de cette dernierc seront representes par les sommets du triangle inflexionnel dont la droite fait partie,

Chaque sommet de cette esp^ce forme done avec les trois points un rapport <5quianharmonique.

II r^sulte d6j^ de \k que les deux sommets sont n^cessairement conjugu^s imaginairement, si les trois points d^inflexion sont r^els; car quatre points k rapport ^quianharmonique ne peuvent jamais dtre r^els tous ensemble. Si, au contraire, les deux sommets doivent £tre reels, il faut que deux des trois points d'inflexion soicDt

(') Od deduit facilement de ces relation! que toule courbe du troisi^me ordre admet diz-hnit transformations UnSaires en elle-iii^me,et cestransformatioiischaD({ent en elles-m^mes aimultanement toutes lea courbes du faisceau x/+ Jl A. Voir sur c€ sujet Klsim : Math. Annalen, X. IV, p. 353; HaR!«ack, ibid.^ X. IX, p. ^i.

LES COORBES DE TIOlSltyE ORDBE OU DE TROISltME CLA8SE. 335

imaginaires conjugu^s. On reconnait aussi que, dans notre cas, les neuf points d^inflexion ne peuvent pas ^Ire tons r^els par ce fait qae deux series de points situ6es perspectivement comme a^ et 02 ne peuvent donner qu'un seul centre de projection r^el. Si Ton serre la question de plus pres, la distribution des points r^els et des points iniaginaires se pr^sente de la mani^re suivante.

Nous avons d^j^ vu pr^c^demment qu'il existe toujours n^cessairement trois points d'inflexion reels, Ces trois points sonl situ^s en ligne droite; carlaligne r^elle qui joint deux d*entre eux rencontrera la courbe en un troisi^me point reel; or ce point est, d^apr^s un th^or^me pr^c^dent, un point d'inflexion. Les deux sommets de triangle situ^s sur cette ligne de points d'inflexion sont alors n^cessairenient imaginaires conjugu^s, et il en est de m^me des deux lignes passant par ces sommets, qui forment avec la droite rdelle un triangle inflexionnel. Par suite, tons les autres points dHnflexion sont imaginaires, et dans le triangle consid^r^ les points d'inflexion de Tun des c6t^s sont conjugues k ceux de Tautre. Si Ton joint maintenant deux k deux les points conjugues, on obtient un second triangle dont les c6t^s sont tons reels, et dans lequel, sur chaque c6t^, est situ^ un point d'inflexion r6el. Les deux autres triangles sont compl^tcment imaginaires el conjugues Tun par rapport k Tautre, car autrement il y aurait plus de trois points d'inflexion r^els, ce qui n'ast pas possible. Done sont toujours reels : trois points d'inflexion, quatre lignes de points d'inflexion, un triangle inflexionnel, quatre sommets de triangles inflexionneLs (^*). Ces derniers sont les trois sommets du triangle r^el et le sommet oppose a la ligne joignant les trois points d'inflexion r^els, dans le triangle dont cette ligne fait par tie.

Ces relations peuvent se reprt^senter alg^briquement d'une mani^re simple si Ton introduit Tun des triangles inflexionnels, le triangle r^el par exemple, comme triangle de coordonn^es, c'est-i-dire si I'on se sert d^une forme canonique (possible en fait k ^tablir) pour Inequation de la courbe du troisieme ordre.

(') Les theorimes sur ce groupement et la realite des points d'inflexion ont eti dereloppes pour la premiere fois par PlC'CRER, Sjrstem der analjrtischen Geomeerie. Berlin, i835, p. a85 et suiv.

Tandis qu'une pareille forme simplifi^e d*6qualion 6lail possible dans les coniques d^uu nombre triplemcnt infini de manieres, il n'existe pour le m^me but dans les courbes du troisieme ordreque quatre triangles de base difTerents. D^ailleurs, dans les courbes plus ^lev^es, la simplification procur^e par une forme canonique devient toujours relativement plus faible; car une transformation lin^aire renferme huit constantes que Ton peul determiner de mani^re a faire disparaitre huit constantes de la courbe, en sorte

qu'il n'entre plus que -7i(/i -f- 3) — 8 constantes dans la forme

canonique. Mais ce nombre est d^ja ^gal k 6 pour n = 4; la simplification obtenue n'est done d6]k guere importanle. Dans les courbes du troisieme ordre il y aura d'apres cela possibility d'avoir une forme canonique dans laquelle n'entre plus qu'une constante absolue; et cette constante est en correlation etroiteavecl'unique invariant absolu de la courbe, que nous etablirons plus tard. En fait, une forme canonique de Tesp^ce dont il s'agit s'obtient par les raisonnements qui suivent.

Si I'on repr^sente par y^ = o, par exemple, une ligne inflexionnelle, on aura sur cette ligne une determination binaire de coordonnecs^a, j^3 dont les points de base coincident avec les sommets du triangle de coordonnees situes surj^i. Actuellement ces sommets doivent (nous I'admettons ainsi) ^tre les sommets d'un triangle inflexionnel? et, par suite, d'apr^s le theoreme que nous venons de demontrer, representer la forme hessienne de la forme cubique binaire qui est donn^e par les trois points d'inflexion situes surj^i = o. Mais I'^quation de ces derniers sur le terrain binaire, rapport^e aux points de base de la forme hessienne j2= o> jr3 = <>i pent, d'apres nos pr^cedentes recherches, etre suppos^e sous la forme j'^ +j\ = ^( * )» ^^ c'est en cette derniere Equation que se transformera I'^quation de la courbe pour j^, = o. De m^me les seuls termes de celle-ci qui, dans I'hypothese successive de j'j= o etj^'3= o, ne disparaissent pas sont respectivement les expressions

r\ -+-jrj et y\ -4- J J.

(*) La forine.r}— ^I donl il est fail usa^^e, t. I, p. 278, se change e?idemment en celle-ci, a la condition d'ecrire — y^ au liea de^,.

LES C0CBBE8 DE TROISliME ORDBE OC DE TROISl£llE CLAS8E. iZ']

L^ equation de la courbe du troisieme ordre, rapportee a un triangle inflexionnel, est done de la fornie

- ^tant une conslante absolue, caract^risant la courbe, et dont a

nous apprendrons plus tard a connaitre le sens g<5om^lrique. Non-seulement cette forme d^equatlon se pr^sente toujours en cas de triangles inflexionnels, mais encore elle leur appartient exclusis^ement ; car nous pouvons facilement monlrer qu'une courbe dont (8) est T^quation a toujours ses points d'inflexion sur les c6tes du triangle des coordonn^es. Formons dans cc but Tequation de la hessienne ; cette derni^re est

I ^ri h'z ^Xt

Ara ^Xt hx

ht h\ «r3

= (a»-f- 2£»»)^, j-,j,— ab^[x\ -¥x\ -f jj) = o,

ou, si nous posons a = — drti^, (3 = rt'-f- ib^, 9) A = «(rl -^Xl -^xD-^^PXiXtXz = o,

c'esl-^-dire de m^me forme que T^quation de la courbe. Pour les points d^intersection des courbes (8) et (9), nous avons done ou bien

(10) rt,3 — ^a = o ou

(11) r? -*-jJ -*-/? = o et jijjj, = o.

Mais cette derniere Equation exprime imm^diatement que les points d'intersection de (8) et de (9), c'est-^-dire les points d'inilexion, sont situ^s sur les cotes j < = o, j^2 = o> Jz = o-

L'^quation (10) n^est pas satisfaite en g^n^ral : elle donne d*aiUeurs pour a I b T^quation (e' = i)

o = «*-+- 8fl^'=rt{a -f-2^)(«H-2e^)(«-+-2e*^).

Si Tun de ces quatre facteurs s^annule, la courbe est toujours un triangle; elle a, par suite, un nombre infini de points d'in-

flexion et n'est pas pour le moment Tobjct de notre ^tude. Ed effet, pour a = o, T^quation (8) donne directement j^jj^a j'j=so,

etpour fl = — ae'i ou i =1 ae** elle devient

y devient aussi proportionnel a A lorsque T^quation (10) est satisfaite, comme cela doit Itre (p. aSy).

Avee le secours de la forme canonique precedente, nous demontrerons facilement le th^or^me de Hesse : que toutes les courbes du faisceau xy-H XA = o ont leurs points d^inflexion communs. La hessienne de la courbe

est, en eflet, donn^e par

{la) A«x = A(r; -4-rJ -\'xl) -f-6Bj,j',/3=^--.o

ou A, B dependent de x,a 4- ^a, xi 4- ^jS comme a, (3 drpcnJotil de a, 6, oil par consequent

A — ^ 6{'JLa -^ la){xb -hip)*, B— (x/f -l->a)»-h 2(x^» -+-\S)»;

et, puisquej^J -\-yl 4-j>'J ^^ytyijs peuvent s'exprimer en/elA, il en r^sulte de nouveau T^quation (3) : A,x== K^-f-LA, ce qui implique le th^or^me de Hesse.

Les coordonn^es des neuf points d'inflexion, ainsi que les equations des douze lignes inflexionnelles , peuvent facilement ^Ire donnees maintenant. En admettant que les lignes j^i =::: 0,^3:^0, j'j = o soient r^elles, nous avons pour j^i z^ o

et, par suite, si Ton pose j>^2 = i , ^3 = — i , — c ou — e^ ; et Von troui^e ainsi pour les coordonnees des neuf points d' inflexion Ja Table suivante (e^^= i).

LE8 C0CRBE8 DB TBOISI^KME OBDU OU DB TROISlftME CLA8SB. 330

Sur jri = o . . , o, i, — i; o, i,— -«; o, i, — «';

^,— o.. — iS o, i; —1, o, l; — e, o, i; ^-jr=o... I, — f, O; I, — «*, O; I,— I, O,

qui dans celte disposition Concorde enti^rement avec le Tableau (7) ci-dessus. Trois reunions de points places sous ou a cdt6 les uns des autres donnent chacune un triangle, ainsi que trois reunions de points d'un terme-d^terminant positif ou n^gatif d^duit du Tableau. II est facile de s'en convaincre directement, puisque le determinant form^ avec les coordonn^es de trois points semblables s'annule, et que, par consequent, ceux-ci sont en ligne droite. Pour les produits des cotes des quat7*e triangles injlexionnels, nous avons les Equations

ni. [jTx 4- c J-, -h r J ) [jx -+- r« -+- «rj ) [xx + «Vi -*- «V3 ) = 01 IV. (riH-«*r«-+-r3)(ri-+-r» -^«V3)(ri-+-«r« -*-«r3) =o.

Ici II se compose des termes-d^terminants positifs de la Table el renferrae un c6te r^el et deux, cdt^s imaginaires conjugu^s;

III se compose des lignes verticales et est totalement imaginaire ;

IV est compost de termes-determinants n^gatifs, et est conjugue imaginairement k III, cdt^ pour c6t6.

Ges relations se comportent naturellement d'une mani^re tout a fait analogue si I'on prend pour point de depart un des triangles imaginaires au lieu du triangle reel. On pent effectuer le passage d'un triangle inflexionnel a un autre de la mani^re suivante. L'equation de la courbey=o rapportee au triangle I(j-4 = o, jtjuj: 0,^3= o) etant donn^e sous la forme (8), nous poserons, pour la rapporter au triangle II par exemple,

et, pour abr^ger,

'?^X\-\-X\^y\, >P =7,7,73; tf' z=^ z\ ^ Z\ -\r Z\, fzn: 242,33;

il vient alors

?' = 3(7? 4-^5 H- ji) 4- i8r, rjj, = 3,, 4- I8^^,

d'ou

et pour Tequation cherch^e de la courbe, rapportee au nouveau triangle.

Pour la resolution effective du probl^me des points d'inflexioo, il nous reste, apr^s ces explications d^taill^es sur le groupement des neufpointSy a etablirles formules de trans formation au moven desquelles une courbe quelconque du troisi^me ordre peut ^tre mise sous la forme canonique reconnue par nous comma possible, e'est-a-dire ^Ire rapportee a un triangle inflexionnel. La question de la determination des points d'inflex.ion est done ramen^e k un probleme de transformation, tout comme celle pr^c^demment trait^e de la recherche des points communs a deux conlques. Liquation du quatri^me degr^ (4) rem place ici Tequation du troisi^me degr^ 4{^) = o qui a servi pour ce dernier probleme (t. I, p. 1 53 et suiv.)