II.— Les conrbes annexes de troisieme classe
Nous revenons k la consideration des neuf droites harmoniques qui r^pondent aux neuf points d'inflexion. On peut, ainsi qu'il a deji et6 dit, conslruire une droite de cette esp^ce en cherchanl, sur les lignes inflexionnelles qui passent par un m^rae point, le point quatri^me harmonique aux deux autres points d*in(lexion de chacune. En vertu de nos recherches sur les formes cubiques binaires (t. I, p. 280), nous avons ce theor^me :
Si I' on considhre les trois points d' inflexion situessur une droite comme points fondamentaux d'une forme cubique binaire^ les points d' intersection des trois droites harmoniques correlatives nvec la ligne inflexionnelle forment les points fondamentaux du coyariant Q. Et comme le covariant binaire quadratique A est
LES COCKBES DE IBOISlftXE ORDBE 00 DE TBOISltVE CLASSR. 9^f
represent^ par les somtnels du triangle infleiLionnel places sur la ligne consid^r^e (p. 237), il suit encore de la que :
Le point d* intersection de la droite hcu^rnonique correlative a un point d'inflexion et d'une ligne inflexionnelle passant par ce point est le point quatrieme harmonique aux deux sommets du triangle injlexionnel situes sur cette derniere droite et au point d'inflexion.
II est facile, d*ailleurs, d^obtenir intuitivement et par voie directe cette proposition : Les neuf droites harmoniques sont les memes pour toutes les coubes du faisceau ^f-\- ).A = 0. On les obtiendra done comme parties des polaires des points dMnflexion relativement a toutes ces courbes, si Ton considere comme courbe primitive un triangle inflexionnel, et que Ton construise la polaire d'un point d'inflexion par rapport k ce triangle. Or, la polaire en question se compose du c6t^ du triangle qui passe par le point d^aflexion, et de la polaire du point d'inflexion prise relativement aux deux autres c6t^s du m^me triangle. La droite barmonique s*obtiendra done d'une mani^re simple, si Ton joint le point d'inflexion consid^r^ au sommet oppos^ de I'un des quatre triangles inflexionnels sur lequel le point se trouvc, et si Ton cherche le rayon quatrieme barmonique k cette ligne et aux deux c6t^s du triangle qui convergent au sommet pr^cit6. Les droites barmoniques passent, d'apr^s cela, cbacune par un sommet de cfaaque triangle inflexionnel :
Les douze sommets des triangles inflexionnels sont situes quatre a quatre sur les neuf droites harmoniques. On conclut d'ailleurs imm^diatement de la construction ce ib^or^me :
Les droites harmoniques qui appartiennent a trois points d'inflexion situes sur une ligne injlexionnelle se coupent en un sommet du triangle qui se trouye par la correspondre a la ligne injlexiori' Jielle dont il s'agit; aux cotes d^un triangle correspondent les sommets opposes,
Les droites barmoniques form en t done par leur groupement un sysleme exactement r^ciproque, au point de vue dualistique, de cclui des points d'inflexion; il en r^suUe qu'elles sont les tangentes de rebroussement communes a un faisceau tangentiel de troisi^me
Clebsch. — GiomSirU, II. 16
classe, de m^me que Ics points dMnflexion etaient communs a toutes les courbes d^un faisceau de troisi^me ordre. La theorie des courbes du Iroisi^me ordre est done inseparable de celle des courbes de la troisi^me classes Tune conduit n^cessairemenl k Tautre. Avant de passer au syst^me pr^cit^ de courbes a tangentes de rebroussement communes, nous nous proposons d^etendre dualistiquement aux courbes de la troisi^me classe les th^oremes obtenus relativement aux courbes du troisi^me ordre, en nous bornant a un court r^sum^.
En ce qui concerne d'abord la forme exterieure des premieres, nous pouvons Tobtenir en construisant les figures polaires reciproques relativement a une conique quelconque des courbes representees dans la^i^. 24* Un ovale donne encore un ovale^de m^me qu'une conique se transforme en une conique ; d'une portion a trois points d^inflexion en ligne droite r^sulle une portion a trois tangentes de rebroussement passant par un mdme point ( *) et formant une branche ferm^e, car elle doit pouvoir ^tre engendr^e au moyen d'un faisceau de rayons par degeneration successive, de m^me que la portion k trois inflexions au moyen d*une droite. Nous avons, en consequence, les tjpes suivants de courbes de la troisieme classe :
I® Courbes unipartites, consistant en une partie unique k trois tangentes de rebroussement {fig' 27 et ^9 fig' a6);
2^ Courbes bipartites se composant d'une portion de cette nature et d*un ovale qui Pentoure [Jig* aS et if Jig' 26).
Dans ce dernier cas, Tovale ne pent etre situe a Tinterieur de la branche tricuspidale, car autrement il y aurait des points d*ou I'on pourrait mener cinq tangentes k la courbe. Entre les deux esp^ces de courbes se place comme element de transition (^) la courbe k tangente double (2, ^2^^. a6). Le dessin montre clairement comment se forme de cette courbe la courbe bipartite de la Jig. a5 ; d'un autre c6te, la courbe de la Jig. 27 derive de la courbe 3 de la Jig. 26 par deformation convenable et projection.
( * ) On Torifie auMi la m^me chose en observant que la courbe de la troisltoe classe est du sixi^me ordre, et qu*une courbe d'ordre pair sans point double oe pent jamais renfermer de branche impaire. yoir la note, p. 333.
(') Foir k ce sujet U/?^. 19, p. 69.
LES COCBBBS DE TBOISI^HE OHDAB OC DB TROISICME CLASSB. 343
Par translation dualistique nous obtenons, d^ailleurs, immedlatement les th^or^mes suivants :
Une courbe de la trolsi^me classe est, en general, du sixieme ordre et a neuf tangentes de rebroussement. La premiere polaire d'une droite 9^ relativement h la courbe y -^ ul =0, est une co~ nique lif f^« = o (/ui louche les six tangentes menees a <f = o paj*
Fig. 20. Fig. a6. Fig. 27.
les points d' intersection de if auec cette courbe. Si, en particulier, V est une tangente de cp = o, la conique louche elle-m^me la courbe du troisi^me ordre au point de contact. Elle se decompose en un couple de points si la droite \f satisfait a la condition
c'est-3i-dire touche la hessienne de 9 = 0, et cette derniferc courbe est touch^e simultanement par les droites qui joignent les deux points d'un couple de cette nature. La courbe dont il s*agit a les ra^mes tangentes de rebroussement que <f = o, et la m^mc propriety appartient a toutes les courbes du syst^me x^ + aA^= o ; toutefois leurs points de rebroussement sont diff^rents. La polaire d^une tangente de rebroussem'cnt se decompose en deux points, dont Tun est le point de rebroussement lui-mSme, tandis que Tautre correspond dualistiquement k une droite harmonique, et cons^quemment est le m^me pour toutes les courbes du syst^me a tangentes de rebroussement communes.
Par tout point d^une tangente k une courbe de troisi^me classe on pent encore mener deux autres tangentes k cette courbe. Si I'on cherche la droite quatri^me harmonique a ces deux tangentes et a la premiere, Fensemble de ces droites enveloppera une conique qui sera la courbe polaire de la premiere tangente. Celle-ci
se decompose, comme il a ^t^ observe, en un coaple de points, dans le cas oi!i la tangente est une tangente de rebroussement. Les neuf points des neuf couples ayant cette origine, qui ne coTncidenl pas avec les points de rebroussement, forment un sysleme de points qui fournit en m^me temps les points de base pour ua faisceau syzyg^lique de courbes du troisi^me ordre, et ainsi de suite.
Nous allons maintenanl montrer que le syst^me de courbes de
troisi^me classe qui r^pond au faisceau x/*-H ^A = o n'est autrt chose que Tensemble des cayleyennes de ce faisceau , et que, par consequent, lacayleyenne def= o s'y trouve elle-m^me comprise. Cette courbe devrail, conform^ment k nos formules g^n^rales, £tre de la classe 6 (p. 87); mais comme, dans les courbes du troisi^me ordre, la hessienne et la stein^rienne se confondent, toulc tangente comme ligne de jonction des points correspondants des deux courbes compte double. La caylejenne est done de la troisieme classe*
Cette courbe est en meme temps enveloppee par les couples de lignes en lesquels peu^ent se decomposer les premieres polaires. Consid^rons, en effet, deux points x et^ de la hessienne qui sclent conjugues, c'est-a-dire tels que la premiere polaire de x ail un point double en j^, et que la premiere polaire de y ait un point double en x. Les deux couples de lignes qui prennent ainsi nais> sance se coupent en quatre points, et toutes les coniques qui passent par ces points ont leur p6le sur la llgue xy. Parmi ces derni^res coniques figure encore un troisi^me couple de lignes dont le point double z doit £tre situ^ de m^me sur la hessienne, tandis que le p6le correspondant z' est situ^ sur xj* En z se coupent d^ailleurs les tangentes dc la hessienne aux points x elj ; car la tangente en j^ est, d^apres ce qui a ^te dit plus haul (p. 2a5), en m^me temps la polaire lin^aire de x relativement a la courbe originaire; cette derni6re droite se confond avec la polaire dear relativement au couple de lignes correspondant. Mais actuellement x, jy z sont les sommets du triangle polaire commun aux coniques du faisceau pr^cite ; la polaire lin^aire de x forme done le c6te oppose k Xy et cons^quemment elle passe par Zj ce qui donne le th^or^me suivant :
Les tangentes de la courbe de Hesse en deux de ses points
LES COORBSS DB TROlSlillB ORDRB 00 DB TlOISltHB CLAS8E.
conjugues x et y se coupent sur cette courbe en un point z qui est le point conjuguedu troisieme point d' intersection delam^me
courbe auec la droite xy.
Done, puisque les p^laires lin^alres de x et j* se coupent en z^ la premiere polaire de z passe n^cessairement par x et y^ et comme z est un point de la hessienne, et, par suite, la polaire de z un couple de lignes, il en r^sulte que :
Une droite qui joint deux points conjugues x et y de la hessiennCy c'esl^a-dire une langente de la cayleyenne, fait partie integrante de la premiere polaire du point z, qui est conjugue au
troisieme point d' intersection de la ligne xy auec la hessienne sur cette dernier e courbe. Notre proposition est done d^montr^e.
A Taide de cette nouvelle definition de la cayleyenne^ nous pouvons ais^ment ^tablir son Equation. Soit
f^3 aj^^ErB 222 aij^i^xix^Xf^ — o
r^quation de la courbe originaire du troisieme ordre (on suppose o-ikh == akih == cikhi = ahkh ainsi que i 4- A 4- A: = 3 ) et posons
la condition pour que la premiere polaire d^un point x se 'decompose en deux lignes u et ^ sera donn^e par les Equations
/%% --=- «»<'3> 2/„ = u^v^ 4- P, tf,.
En eliminant les grandeurs x/ et Vi qui entrent ici lineairement, nous obtenons V equation de la cayleyenne sous la forme
«lll
^ll»
coarbe qui est effectivement de la troisieme classe. Lam^me ^qua-
^^6 TOME II. — aiAMTRE II.
tion s'obtiendrail, rclalivement auxquantit^s i^/, par Elimination de> quanlit^s Xi ct i//. Si nous supposons en particulier que la courbe du troisieme ordre soil donn^e sous la forme canonique (8), nou^ obtenons les (Equations de condition
/jl : fl.rj : - u^i'i, 2/,, — 26X4 r- //,r, -+- l^,a„ /„ r- rt.r, r-: //,«;„ a/j, :z- -^bx^ z.- //,!', -\- i^jtt,, /„ - fl.rj 1 lljPj, 2/,, I- 2*X,= tfjP, -+- PjW,,
et de la se tirent, par elimination dcs quantites Xi, les trois equations
2Z»tt, Vi — a[ tt,p, -h p,«j ) -- o,
2 ^tt,f J — fl ( «/, P, -f- (', tf, ) i-= o, 2^l/,C3 — tf («iP, 4- P|«8) = o.
Par consequent, apres Elimination des quantitEs Vi, il vienl pour I 'equation de la cajlejenne sous la forme canonique
abu^
— au^
— fl'/Zj
^btt^
— au^
~ aUf
