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ou, aprds dEvcloppcment,

(2) a*b[u] -| i/J 4- i/J j f- rt' — \b^] u^tt^u^ r= o.

Celte Equation est cxactement de la mEme forme que celle de la courbe originairc; la caj'^leycnnc se comporte done parrapporl aux sommets du triangle des coordonnEes comme la courbe originairc par rapport aux c6tEs, et de la rcsulte que la caylevenoe a les droites harmoniques des points d^inflexion de la courbe primilive pour tangentes de rebroussement, et par suite est comprise dans le systcme de courbes par nous considErE. La mEme chose est vraie pour la cayleyenne d'une courbe quelconque du faisceau y.f^ XA = o; car, pour obtenir son Equation, il sufBt de rcniplacer dans ( a) a par xa -f- X«, i par 3c4 -h X(3, ce qui n'altEre pas la forme de TEquation.

Gomme maintenant, dans les neuf couples de lignes qui rEpondenl comme premieres polaires aux points d'inflexion, c*est loujours une droite du couple qui est la tangente d'inflexion, ces dernieres son I aussi touchecs par la cayleyenne et la dEterminent comply*-

LES COCRBES DE TROIftltHB OftDRB OC DE TROISIEME CLAS8E.

lement. A Taide de ces ^l^menls de determination, on pent construire la cayleyenne suivant un proced^ qui sera expliqu^ plus tard. Nous r^sumons ces r^suUats et les r^sultats r^ciproques dans les propositions suivantes :

Les neuf tangentes d'inflexion d'ufie courbe quelconque du falsceau a points d'inflexion communs deter-minent une courbe de troisieme dasse, et toutes ces courbes de troi^ sieme classe ont les m^mes tangentes de rebroussement.

La courbe de troisieme classe determinee par les neuf tangentes d'inflexion d'une courbe du troisieme ordre est Venveloppe iles couples de Ugnes en lesquels peupent se decomposer les polaires de certains points relativement a la premiere courbe, et en mime temps I'enveloppe des lignes qui joignent ces points aux points doubles des couples de droites corres- DondantSm

Les neuf points de rebrotissement d'une courbe quelconque du sjrsteme a tangentes tie rebroussement communes determinent une courbe du troisieme ordre, et toutes ces courbes du troisieme ordre ont les rn^mes points d'inflexion.

La courbe du troisieme ordre d4lermin^ par les neuf points de rebroussement d'une courbe de la troisieme classe est le lieu des cou^ pies de points en lesquels peui*ent se decomposer les polaires de certaines droites relativement a la premiere courbe y et en mSme temps le lieu des points d* intersection de ces droites avec les tangentes doubles des coU" pies de points correspondants.

Parmi les courbes du troisieme ordre se trouvaient quatre svsl^mes de trois droites ( triangles inflexionnels) ; cons^quemment, parmi les courbes de troisieme classe figurent quatre sysl^mes de Irois points (ce sont les sommets des triangles pr^cit^s). Ces derni^res courbes doivent aussi ^tre touch^es par les tangentes d'inflexion d'une courbe du faisccau syzygetique du troisieme ordre, el il s'ensuit que :

Parmi les courbes a /Mints d'in^ flexion communs^ il en existe quatre dont les tangentes d'inflexion se coupent trois fois trois a trois en des points qui forment les sommets d'un triangle inflexionnel.

Parmi les courbes a tangentes de rebroussement communes ^ il en existe quatre dont les points de rebroussement sont situ^s trois fois trois a trois sur des lignes droites qui formeat les cdt^s d'un triangle inflexionnel.

Ces propositions expriment, pour les courbes dont il s'agit, une

propri^t^ invarlante, et plus tard nous ^lablirons rinvariant de r^vanouissement duquel elle depend.

Nous pourrions aussi considerer la hessienne d^une courbe du troisi^me ordre comme la jacobienne du r^seau de ses premieres polaires. Nous avons vu (p. io5) que ce r^seau est en m^me temps le r^seau de coniques le plus g^n^ral, et nous confirmerons ce resultat en 6tablissant pr^cis^ment I'^quation de la courbe du troisi^me ordre correspondante. Nous pouvons par suite, en partant d^un semblable r^seau, d^finir ainsi la hessienne : elle est le lieu des points doubles des courbes 6vanouissantes (d^composables)de ce r^seau. De m^me la cayle}^enne pent aussi se d^finir comme Tenveloppe des droites dont se composent ces coniques ^vanouissantesy et sous ce point de \ue on a coutume de la d^sig^ier sous le nom de courbe de Hermite (*).

L' equation de la jacobienne ou hessienne du reseau de coniques

est, d'apr^s ce qui precede,

(4) ' [o^b^c) =13 [ahc]ajcbxCx := o:

V equation de la courbe de Hermite par rapport au mcme riseau se tire des Equations

par Elimination de x, A, |ul, v^, (^2) ^3 1 ^lle est, par consequent.

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