JJ
2tf„
a«ji
Urn
tti
(*) Voir Hermite, Journal de CreUe, t. 57. Pour les recherches suirantes sar les reteaux de coniques et syst^mes tan gen tie Is correspondants, twir SHnn, Proceediii^ of the London math. Society ^ mai i868, et Rosames, Math, Annalen, t. VI, p. 26^ ^ suir. Ces relations ont ^ti derni^rement exposees et ^tendues par Gundelfinger aa moyen de methodes purement algebriques (^Journal de Crelie, t. 80, p. 73).
LE8 COCRBES DB TROIftl£XE ORDftE 013 DE TROI8l£XB CLAS8B. 3'|9
Ce determinant peut se repr^senter symboliquement d^une mani^re tres simple y ainsi que nous le veirons incessamment. Nous appelons points conjugues I'un de I'autre relativement au reseau deux points de la jacobienne tels, que les polaires de Tun par rapport a toutes les coniques du reseau se coupent en Tautre (p. 96). Deux points ainsi conjugues sont Tun vis-a-vis de Tautre dans le mdme rapport que deux points de la hessienne d^une courbe du troisieme ordre, pole et point double de ses polaires, que nous avons appel^s auparavant conjugues. Or, Tenveloppe des lignes de jonction de ces points ^tait la cajlejenne ; nous a\ons done ce theor^me (qui s'etablit aussi sans peine directement pour les r^seaux de coniques, suivant ce qui a ^t^ dit ci-dessus) :
La courbe de Herniite d'un reseau de coniques est V en^^eloppe des droites qui joignent deux h deux les points conjugues I'un de I'autre par rapport au reseau.
Si done nous consid^rons une tangente de la courbe, les points de rencontre d'une conique quelconque du reseau avec elle seront situ6s harmoniquement par rapport aux deux points conjugues dont la tangente consider^e est la ligne de jonction. Les points d'intersection de cette derni^re avec les courbes du reseau seront done en involution.
Mais la condition pour que trois formes binaires
representent des couples de points de la meme involution est facile a indiquer; elles doivent, en effet, ^tre situ^es harmoniquement toutes les trois par rapport au m^me quatri^me couple. Or, les couples a| := o, if = o sont dans tons les cas harmoniques au couple 5^ ^:r (^ab)aibi (t. I, p. 268); si done cf = o doit ^tre situ6 harmoniquement par rapport k ce dernier couple, il faut que Tinvariant {^c)^ soil nul. La condition cherchee est par suite donn^e
par r^quation
{3cy^{ab][bc'[ac) ^ o.
Done, d'apr^s notre principe de translation (t. I, p. 344)' r^quation de Tenveloppe des droites qui coupent les coniques
fl* mo, blz= o, cl — o,
aux couples d'une involution, c'est-^-dire I' equation de la courbe de Hermile par rapport au reseau, est ( * )
(6) R[rf,b,c] :z^ [ahu)[bcu)[acii) = o.
Des r^sultats semblables ont lieu k regard d^un reseau tangeniiel de coniques, si nous comprenons sous cette expression la figure dualistiquement opposite au reseau , e'est-a-dire un sysl^me de coniques donn^ par T^quation
U\ 4- p«a -H 0"ttJ ^= O.
La jacohienne du reseau tangentiel, on lieu des tangentes doubles des courbes qui se d^composent en un couple de points, est donn^e par
(8; I(a,p,7)E-(apv;/y.tfptf, = o.
ct la courbe de Herniite par rapport a ce svsleine tangentiel esl
donn^e par
;9) n(«iP.7)=(«l5^);«V-'^)(.^V')=-o.
On pent main tenant ^tablir une liaison simple cntre un reseau ponctuel et un reseau tangentiel de cette nature, de telle sorte que Tun soit imm^diatement determine par Tautre. Toutes les coniques liarmoniquement inscrites a une courbe quelconque du reseau (3) [t. I,p. 368 (^)^, c'cst-a-dire toutes les coniques «J = o dans lesquelles les invariants af, bl, cl sont nuls, forment evidemment un r6seau tangentiel ; car les equations
^l ^ O, ^* — O, clzrzO
donnent trois conditions lineaires pour les coefficients a,A de uj. Nous appellerons, pour abreger, le reseau tangentiel, qui esl harmoniquement inscrit au reseau ponctuel, conjugue de ce dernier et r^ciproquemenl.
(*) La comparaison d'un terme quelconque montre que I'expressioD I](<i, ^, ^^ diif(&rc du determinant (5) par le facteur •
(*) Les mots inscrit et cireonscrit, p. 363 du t. 1", lignes 6 et 7 eu pemontanl, doivent dire intcrvertis.
LES COl'BBES DB tB018lfiHE OBDBE OU DC TBOIftt^ME CLASSE. qSi
Ici s'^l^ve en premier lieu la question de la connexit^ entre les courbes de Jacobi et de Hermite relatives k un r^seau et entre les courbes correspondantes du reseau conjugu6 ; cette question se r^sout tres simplement. Deux points conjugu6s par rapport au reseau et situ^s en consequence sur sa jacobienne sont des p61es hannoniques relativement k toutes les courbes du reseau et forment par suite une conique du reseau tangentiel conjugu^; car la condition al=o se transforme pour ul = UxUy en a^ay = u. Nous avons done ce th^oreme :
La courbe de Jacobi relative a un reseau de coniques est identique a la courbe de Hermite relatii^e au reseau tangentiel conjugue. Et corr^lativement :
La courbe de Jacobi relative a un reseau tangentiel de coniques est identique a la courbe de Hermite relative au reseau conjugue.
Nous pouYons tirer de \k quelques conclusions sur les rapports entre la hessienne et la cayleyenne d'une courbe du troisi^me ordre. La premiere est en m^me temps (dans le sens dualistique) la cayleyenne de celle des courbes du sysleme k tangentes de rebroussement communes dont le reseau polaire tangentiel de coniques est conjugu^ au reseau de polaires de la courbe originaire, et la hessienne de cette courbe de troisieme classe est identique k la cayleyenne de la cubique primitive.
Or, nous pouvons aussi 6tablir F^quation de cette courbe de
troisieme classe, k la condition d'avoir obtenu T^quation de la
courbe du troisieme ordre dont le systeme polaire se confond avec
le reseau (3).
xaj-h>.** 4-uci^o.
Dans ce but, nous admettrons un th^or^me que nous demontrerons plus tard en ^tudiant les formes cubiques ternaires. Si une courbe du troisieme ordre est donnee par
(lo) pl^ql^rl^-sl^ o,
Pj q, /', s etant des symboles de m^me sens, et que son systeme de premieres polaires doive 6tre identique au reseau (!i), Tequation de sa hessienne est
et celle de sa cayleyenne
H ( a, 6, r ) =:h ( abu ) ( acu ) ( bcu ) ^ « J ^ ii^, == « J, = o.
Maintenanly entre p^ et u^ existe (et c'est la la proposition empruDtee a la theorie des formes) [voir p. aSy) la relation
S 6tant un invariant de la courbe primitive ^gal a
[pqr)[pqs){prs][qrsy
Or, Tdquation (ii) exprime que (si S est dilKrent de z^ro) la polaire d'un point x relativement a une courbe du troisieme ordre est toujours harmoniquement circonscrite h la polaire d' une droite u relati\fement a la cayleyenne dans le cas oil x et u sont reunis de situation. Si done u et s^ sont deux droites qui se coupent enj^, nous pouvons determiner celle des coniques du r^seau (3) qui est la conique polaire Ae y relativement 4 la courbe ^' = <s par cette circonstance qu^elle doit ^Ire harmoniquement circonscrite aux coniques polai res de Metv'relativement aH(a, b, c) = o, c'esl-a-dire qu'on aura les Equations
«A (»«7. -^ ^ H -^ y-^h ) — o, Vh[^al-^\b\-\-lLcl]^o.
Par elimination de XyX,|x on tire de 1^ pour la conique polaii du point d'intersectionj^ de ix et v' [c*est-a-dire pour p^r (/?«*') =< r^ouation
lire
'Equation
hf
Nous avons k transformer ce determinant de telle mani^re que les coordonn^es de ^ y entrent au lieu de celles de u et i^; si alors nous prenons j^/= x/, il en r^sulte T^quation cherchee de la courbe pj^ = o. Consid^rons dans ce but le determinant
LBS COORBES DB TBOlSltHB OBDRE OC DB TBOISI^HB CLASiB. a53
qui devient le premier membre de ( la) si Ton pose j^/ = /i,, ^i = li^ et que Ton mulliplie par Ufi^h**
Le determinant D s^annule lorsque deux quelconques des systimes de valeurs a, by c ou Xyj^ z deviennent 6gaux; il est done une combinaison lin^aire des deux formations
ou les signes sommatoires s'^tendent k toutes les difF^rentes expressions d^riv^es de axy byj Cg par permutation de x,y^ z, ainsi que de [abu) (acv)( hew) par permutation de u^i^,w, et ou Ton a pos^
"i— {x^]\ = ri^t —Xz^i —
«', =2[xjr]i= r J J, — X^J'^ . . .
Nous avons en consequence la relation
(i3) D:^ ni[xjrz).i'jgi^-i^-h n[hxz){hzx) [hxjr],
m el n ^tant des facteurs num^riques. Pour determiner ces derniers, faisons en particulier
xi=i, x,= o, «,= o; tti=i, tti=o, a,r=o,
Xi=o, Xi=^ ^^ Xi=o; i'i=:o, l',= I, Vi=0,
Zi=o, St=o, «,= i; (^^1=2 0, wi^o, M',— I, el
Alors, comme Sl{af by c) est ^gal au determinant fonctionnel des trois formes, et H(a, by c) egdl au determinant (5) multiplie
par 5 il vient ( * )
(i4) l[a,b,c) z=zxiX^Xi, IL[ayb,c) — — «iW,tf„
et, par consequent, dans (i3),
[•rxz]=i I, /^/^./^=:g, (/ir^)(A*r)(A.rr) = — gi
(*) Fo/r la note i dc la p. 200.
20\ TOMB II. — CBAPITRB lU
tandis que le determinant D prend, en vertu de notre substitalion, la valeur i . Nous avons par suite
Posons, en second lieu, «j^ = X2X3, b^. = XjXj, c^. =3X10:2: il viendra d'une manidre analogue
(i5) J[a, b,c] r^ ya:,j:,x„ H(^i,6,c) — -u^u^Ui,
tandis que D prend actuellement la valeur z^ro. L' Equation (i3i se transforme par suite en
et au moyen des Equations ainsi obtenues pour m, n on trouve m =3 4, 1 = — a. Nous avons en consequence ce resultal ( * i :
a% bl 4 a* b* r* fl? b} cl
— 4(*j'2)'a:'V'z— 2(/'7-;(/<2ar;(/ijy-;.
En faisant enfin ici yi=zhiy Zi=zli^ et en multipliant par ua et Vh'j nous ob tenons dans le premier membre Texpression (12) et dans le second
ce qui, d'ailleurs, ^ cause de la permutabilit6 de/t et A', est ^gal a
[2(/iA'x)/,/,./V-(/'/i'Ari(/'''/i'^)(/iA-x)];*fAP,,/-^p,k«A').
Si Ton fait dans cette expression 7^/= us^iy V equation de la polaire du point y, relativ^ement il la courbe du troisieme ordre dont la hessienne est donnee par I(a, i,c) ^=i'. = o, et la cayleyenne par H(a,i,c)-2uJ = o, sera, par suite,
Poui* yi = Xi , nous obtenons done comme equation de la courbe
(*) On peut aussi obtenir cette formula k I'aide des developpemenU en lerie donn^fl par Gordan pour les formes k plusieurs series de Tariables {Math, jiimaieit, t. V, p. 106).
LES CdCRBKS DE TROISlfiSIE ORDRB OC DE TROISlfiMR CLAftSE. 2J0
du twisieme ordre dont le reseau polaire coincide auec le reseau (3) :
i6) p^^^r,[hh'jcYiJ^i^^— [hh'h")[hh'x [h'h"y lyhx] =1 o.
Nous pouvons trouver d'une mani^re tout a fait semblable la courbe de la troisi^me classe u^ = o dont les polaires coniques forment le reseau tangentiel
conjugu^ k (3). Les Equations des courbes de Jacobi et de Hermite^ relativement a ce dernier, ^tant
nous avons comme Equation de la courbe pr^cit^e : 17) tt» = a(HH'i/]*H/H;«/-(HH'H";(HB'i£;(H'H''«;(B''Htf]ri^o.
Nous pouvons aussi introduire ici les symboles de I(a, i, c) et H(a, by c), car les courbes u] = o, H^ = o sont respectivement identiques aux courbes m^ = o, i' = o. Nous avons, par consequent, c, </ d^signant des facteurs num^riques,
Pour determiner c, c', considerons de nouveau le reseau special de coniques
dont les courbes poss^dent un triangle commun, et pour lequel I(rt,i,c), H(a, i, c) sont determines par (i4)-
Une conique u\ du reseau tangentiel conjugu^ doit etre harmoniquement inscrite aux lignes doubles x\ =^0^ x\^=i o, x\ == o, c'est-a-dire toucher les lignes X| = o, X2= o, X3 ^^ o; le reseau tangentiel dont il s'agit est done repr^sent^ par
et nous avons, en vertu de (i4) et (i5),
aSG TOME II. — CIIAPITRE II.
On doit, par suite, poser 0=^ 2, c'= — 4> ^^ ^ regard des svmboles I, H, /i, 1 existent les relations
(.8)* „.^|„., Hi = i,i.
En introduisant, k I'aide de ces relations, les symboles A, / dans r^quation (17)9 nous obtenons enfin comme equation de la courbe de troisieme classe dont les polaires coniques Jorment le reseau tangentiel conjugue au reseau (3), courbe dont consequemnient
H(/i,i,c) est la hessienne etl[a,b,c) la cayleyenne :
( 19) - 8«» ^r. (/r«)'«A/A4 + («V) («'«)(/'/' I.) [fia] = o.
La polaire d'un point quelconque y relatis/emenl a p%^= o est harmoniquement circonscrite a la polaire d'une droite quelconque v relativement a ul =^ o, ainsi qu'il resulte de Torigine de r<^quation (19); autrement dit, ind^pendamment des quantites j et V existe la relation
(20) piPy*.:= o.
Nous pouvons faire usage des resultats obtenus pour ^lablir le resultant des trois coniques a^, i^, c^. Si, en effel, ces courbes doivent avoir en commun un point j', ce point compte double est une conique qui est barmoniquement inscrite a toutes les courbes C^t du ri^seau dont il s'agit, ou, en d'autres termes, forme une conique du reseau tangentiel conjugue, et nous pouvons poser u^ = u^.. Mais alors il vient, d'apr^s les Equations (18),
La jacobienne i^= o a, par consequent, le point j^ pour point double, et toutes ses polaires coniques passent par^. II s'ensuit que la conique uz.= o est harmoniquement inscrite k toutes les coniques du svsleme des premieres polaires de 1' =0; en d'aulres ternies, on pent, dans le reseau tangentiel vuj-i-pi/p -i-aaJ = o, determiner une courbe (a savoir u^) de telle niani^re qu'on ait les Irois (Equations
vt'l /, 4- pi'l /, -h O-/* t\ ri O, V ij /a H- p // h -+- (Ti^ /, — o,
LE8 COCftBES DB TBOISI^HB OBDBB 00 DB TBOISlftllE CLAS8B.
d'ou Ton tire, par Elimination de v, p, o-,
Maintenant existe, corr^lativement k la relation trouvEe pour le (lelerminant D ci-dessus, Tequation
iV'
= 4 [uvw]ui\fiWf — a(Hw)(H«'i/)(Hi/t^),
ou, en vertu de (i8)*,
D' == — ( uvw] Uf^ Vf^Wf^ — ( ivw ) ( iwu ) ( iuv ] .
MaisD' donne le determinant qui figure dans (21), si nous y rempla^ons u par i, v par i', w par t". £a condition pour que les trois coniques c^ = o, i^ = o, c^ = o aie/if un point commun [ou pour que dans le reseau tangentiel conjugue se presente un point comptant double) est done
z' = o representant la courbe de Jacobi relative au r6seau et u\ ia courbe de Hermite; et r^ciproquement, au point de vue dualislique, la condition pour la presence d'une ligne double dans le reseau des coniques a^., b^., c^ [ou d'une tangente commune atix courbes du reseau tangentiel conjugue) [ * ) sera
23) 2[hh'h"YUi„^iH'^'h [hh'h''][hh'hr][hli!'h'')[hli''h''']=o. EnGn, comme r^sultat des d^veloppements qui viennent d'etre
(*) Left formations que nous considerons sont (comme il est visible d*apr^s leur s(*ns) des combintmis du reseau ponctuel ou du reseau tangentiel {ifoir t. I, p. 878 et 239). Leur connexite avec le determinant D n'est pas fortuite, et Gordan a demontrd que tous les combinants du reseau sont necessairement representables comme invariants fonctionnels du determinant en question {9fatk. yinnalen, t. V, p. 116).
Clebscb. — Giom^trie, 11. I'j
occasionnellement donnas sur le reseau special de coniques nous ^noncerons les th^or^mcs sulvants :
Le reseau tangentlel conjugue a un reseau ponctuel dont les coniques possedent un triangle polaire coni' mun se compose des coniques tangenies aux cdtes du triangle.
Le reseau tangentiel conjugue a un i-eseau ponctuel dont les coniques ont tmis points communs se compose des coniques qui ont poui triangle polaire le triangle forme par les trois points.
III. — Geomitrie sur les conrbes dn troisieme ordre. Lenrs modes de generatioii.
A loute courbe du troisieme ordre du faisceau xy-h X A = o a points d'inflexion communs r^pond, en quality dc hessienne, une autre courbe du meme faisceau donn^c par Fequalion
K, L etant du troisieme degr6 en x, 1 [voir Equation (3), p. a3oj : mais cette relation entre les deux courbes n'est pas r^ciproque. Si, en effet, la hessienne de )cy-|-XA=o doit coincider avec fz=z o, il faut n^cessairement que Ton ait L = o, afin que la relation Ax> = Ky puisse avoir lieu. Or, comme L renferme les quantites x, X a la troisieme dimension, nous avons ce theoreme, qui a 6t6 trouve par Hesse :
Une courbe generate du troisieme ordre est la hessienne dc trois autres courbes du troisieme ordre.
Si nous conccvons maintcnant une courbe comme la liessionni* d'une autre, ses points seront associ^s par couples de telle manien* que la polaire conique de Tun des points du couple aura en Tautrc un point double : ce sont, d*apres notre terminologie pr^cedenle, deux p6les conjugu^s relativement au reseau de polaires conique^ de la courbe primitive choisie, ou, comme nous rexprimerons pour abr^gcr, un couple de poles de la hessienne. Dc noire dernier th^or^me r^sulte done ce qui suit :
On peut resoudre une courbe generate du troisieme ordre /-=' o
LLS COIRBCS Dt: TROIM^UE CiRORE OU DE TROISltilE CLA6SF.. 259
de trois nianieres differentes en couples de points [couples de poles), de telle sorte que les points de chaque couple soient des poles conjugues relativemcnl au reseau des polaires coniques d'une cout'be y = o, dontJ'= o est la hessie.nne ( * ).
Nous avons par consequent sur la courbe Irois systemes difT^renls de couples de p61es. A Tegard des couples d'un sysl^me, on a cot important iheor^me, qui a Hesse pour auteur :
Si I' on reunit en croix les points de deux couples de poles du mdme systeme, les lignes de jonction se coupent sur la courbe, et ces points d' intersection forment un troisieme couple de poles de ce nienie systeme,
Ainsi, ^tant donnes les couples de p6les i, i' et 2, a', les couples
de lignes 1 2, I'a' et 12', I'a se couperont en deux points 3 et 3' qui seront encore un couple de p61es. Pour le d^montrer, nous prendrons les faux cotes du quadrangle complet determine paries lignes
12, i'2% I'a, 12' pour cdt^s du triangle des coordonn^es, et nous d^terminerons ensuite les constantes dans les coordonn^es de telle
sorte que Tequation d'un des cdt^s du quadrilatere, I2par exemple,
devienne
Xl -f- X, -4- JTj m o.
Alors, d'apres les th^oremes sur le quadrilatere ( t. I, p. jri } , on a, pour les Equations
de i' 2' : or, H- X, — j:, = o,
de i' 2 : jTt — ^1 -f- ^j =^ o, de 1 a' : — Xi -t- Xj -t- X3 = o,
el, pour celles de 1 \', aa', 33',
Xj r= O, X, r=r O, X, =i O,
respectivement.
Les coordonn^es des points i, I'sont, par suite de ces fixations,
Xj— :0, *, = 1, X3=: — I,
(*j Voir MacladriNi et surtout Hesse, loe, eit,
36o TOMB II. — CnAPITKB II.
done, pour qu'ils soient des p61es conjugu^s d'une conique lilLaikXiXk = o, il faut que Ton ait ^22 — ^ss = o, et de meme, pour que 2 et a' soient des p61es conjugu^s relativement a la m^me conique, il faut que Ton ait an — a^t = o. Mais de la r^sulte la troisi^me Equation an — ^22 = o, e'est-a-dire que 3, 3'sont aussi des poles conjugues pour la courhe ^^aiffXiXk = o.
Si done deux couples de sommets opposes d'un quadrilatkre complet sont des poles conjugues relatwement h une conique, il en est de m^me des points du troisienie couple, Et de \k r^sulte imm^diatement le th^oreme ^tabli par nous en ce qui concerne les couples de p6les sur une courbe du troisi^me ordre, qui ont 6t6 d^finis comme p6les conjugues relativement aux coniques d'un r^seau.
De ce th^oreme nous pouvons, apr^s Schroter, dMuire une construction tr^s simple de la courbe du troisi^me ordre. Une telle courbe est, en effet, delerminee completement et sans ambiguXte par trois couples de poles du mdme sjstenic, et ces couples de pdles peuv^ent etre pris arbitrairement.
Si , pour le systeme de p6les en question, cp ^ «^. = o est Tequation de la courbe primitive sur la hessienne ( /= o) de laquelle doivenl 6tre situ^s les couples de p6les, et qu'on d^signe par xiy x\\ Yiyy'i'y jCi, z\ les coordonn^es des points qui constituent les trois couples, on a les Equations
c'est-a-direneuf Equations lineaires pour determiner les coefiicienls de ^ = of^; mais avec a' est aussi determin^e la hessienne correspondante, ce qu'il fallait d^montrer. Pour apercevoir que les Equations (1) sont r^ellement ind^pendantes les unes des autres, c'esl- ^-dire n'admcttent pas une infinite de solutions, on pent suivre la marche que voici. On choisira les trois points x,^, zpour sommets d'un triangle decoordonn^es; alors les Equations suivantes, derivant de (i),nousseront donnEespourcp paries points corrElatifsa/,^', «':
I a^»«J =ro, a^fa^a, =:o, a-^a3a,= o, (2) } a^a,aj=o, ay>(x\ ^=^0y a,/a,«j=o,
( «jpfaia3=o, a^/aja, = 0, a^'aj ttz o.
K^aya, -0,
aa:«a:'«l~0,
cc^a^a,— 0,
«vV"j— ^»
LES COCRBBS DB TBOlSlftllB ORDBB OU DB TBOISlftSIE CLA88E. iGl
Dans ce syst^me d^^quations, les coeflQcients am, 0^2227 ^ass n'entrent que dans les Equations diagonales, et par consequent seront determines isoleraent k la (in. Les autresquantit^s a (abstraction faite dear 1239 en foncti on duqueltoutescesquantitess'expriment) se determinent alors par couples au moyen de deux, des Equations {'i)y a^iii elaLi2i par exemple, au moyen de
«ii,Xj -h am j:, -H aj,, ^3 ~ o,
Toutefois, il faut que x'^y^i — ^'^Ji ^^^^ different de zEro; en consequence, la ligne de jonction de deux des points j/, j', z'qui r^pondent aux soramets de coordonn^es x, y, z ne doit pas passer par le troisi^me sommet. Toutes les conditions necessaires h la possibilite d' effectuer les operations sont par consequent remplieSy si Ton arr^te que parmi les six points des trois couples jamais trois points allant ensemble, c*est-a-dire tels qu'il ne s'en trouve pas deux formant un couple, ne soient en ligne droite.
Actuellement, en partant des trois couples donnes 1 1', aa', 33', on peut construire un nombre quelconque de nouveaux couples, a Taide du th^or^me que nous venons de donner, et suivant lequel les lignes de jonction de deux couples se coupent sur la courbe et dans un nouveau couple ('). Onobtient, par exemple, au moyen des points d'intersection des lignes 12, I'a' et la', x'a un nouveau couple 44' J de mdme au moyen des couples 1 1', 33' un nouveau couple 55', puis au moyen de 33', 44' ^^ couple 66', au moyen de 55', aa' un nouveau couple 77', et ainsi de suite.
On peut done, si trois couples de poles du meme systeme sont donnes sur une courbe du troisieme ordre, construire autant de points que Von voudra de la courbe.
Cette construction, donn^e par Schroter, realise en fait de simplicite le maximum de ce qu'on peut demander; on obtient chaque nouveau point de la courbe comme croisement de deux droites, sans avoir besoin d'autres lignes auxiliaires.
(*) Gette construction a et^ indiquee par Schbotbb, Ueber Curven dritter Ordnutig {Math, Annalen, t. V, p. 5o). Voir aussi Clebsch, Ueber ztvei Erzeugungsarten der ebenen Gunmen dritter Ordnung {ibid., p. 4^2 )•
Les courbes iiniparlites et biparlites dii Iroisieme ordre se coinportent d'une maniere tr^s-diflfe rente vis-^-vis de ces trois sysl^mcs .de poles sous le rapport du reel et de Timaginaire. G'est ce qu'on voit aisi^ment k Taide du lli6or6me donn^ plus haul (p. q44^» cl d'apres lequel les tangentes a la courbe aux points d'un couple se coupent de nouveau en un point de la courbe que Ton peut appeler point tangentiel correspondant, theoreme qui resulte au surplus imm<^diatement du ih^or^me de Hesse sur le quadrilat^re forme par deux couples de p61es, si Ton suppose les deux couples infiniment voisins. Si a Tin verse nous partons du point o comme point tangentiel, nous trouverons comme correspondants les qualrc points 1 , 2, 3, 4? c'est-a-dire les quatre points de contact des tangentes a la courbe issues du point primitif. Si nous consid^rons a part Ic point i, il ne peut lui r^pondre comme pole conjugu^ dans Tun des trois syst^mes qu'un des points 2, 3, 4- Par consequent, les points 2, 3, 4 ^onl reux qui forment respectivement avec i un couple dans les trois syst^mes de couples de p6les. D'ailleurs, les couples 12 et 34? parexemple, appartiennent au m^me sysl^me, car, dans le cas contraire, il faudrait qu^au point 3, dans le syslemc auquel apparlient le couple la, correspondit ou bien Ic point I ou bien le point 2, ce qui n'est pas possible, puisqu'au point 1 (ou 2), en dehors du point 2 (ou i), aucun autre ne peut dtre associe. Nous avons ainsi ce th^or^me :
Les quatre points de contact des tangentes que I'on peut mener a la courbe par un point de celle-ci forment six couples de poles, et deux couples qui se completent appartiennent a I'un des trois systemes possibles.
Comme aux quatre points de contact des tangentes la courbe primitive est coupee par la polaire conique du point tangentiel, nous pouvons, en ayant (^gard au theoreme de Hesse sur le quadnlat^re complel (p. 239), 6noncer aussi celle proposition de la maniere suivante ;
La polaire conique d'un point de la wurbe du troisieme ordre coupe cette derniere en quatre points dont les lignes de croisement se rencontrent sur la courbe,
Parmi les quatre tangentes consider^es, en supposant que leur
LE8 C0CRBE9 DE TKOIftlJtllK ORDRE OC DE TROISII^IIE CLASSE. a63
point d'iiitersection commun se trouve sur la porlion a Irois inflexions, trois touchent toujours Tovale qui figure dans une courbe biparlile, car a un ovale, comme k une conique, on peut mener deux tangentes par un point exl^rieur : done, d'un point siliie sur la portion a trois inflexions on ne peut plus mener k celle-ci que deux tangentes. Si au contraire Tovale manque (ce qui arrive dans les courbes unipartites), deux des quatre tangentes devicnnent imaginaires. A une courbe unipartitc du troisi^me ordre on ne peut done mener par Tun de ses points que deux tangentes reelles. D'autre part, on ne peut mener d'un point de I'ovale aucune tangente r^elle k la courbe, car une telle tangente devrait encore rencontrer Tovale en un second point r(5el, ce qui n'est pas possible, puisque la droite aurait alors quatre points d*intersection avec Gj. De ces d^veloppements combines avec les precedents r^sulte actuellement ce qui suit relativement a la distribution des couples de p61es sur la courbe.
On peut engendrer une courbe biparlite de trois mani6res difierenles au moven de la construction de SchriVter. Dans deux d'entre elles un point du couple de poles parcourt Tovale, I'autrela branche a trois inflexions; dans le troisidme mode de generation, les points de Tovale forment un des syst^mes de couples, et les points de la porlion illimitee I'autre. Dans une courbe luiiparlite, oii Tovale disparait, le dernier mode de description reste Ic seul r^el ; une lelle courbe ne peut done ^tre composee de couples de poles r^els (jue d'w/ze maniere unic/ue ( * ).
Al'egard du faisceau de quatre tangentes consider^ ici a lieu le iheoreme suivant, qui est fondamental :
Le rapport anharmonique des quatre tangentes que I' on peut mener a une courbe du troisieme ordre par un de ses points est constant pour tons les points de la courbe.
Nous donnerons ici une demonstration geometrique simple qui apourauteur Salmon, et nous remettons a plus tard une demonstration algebrique directe. D'un point o de la courbe menons a
(*) A ces considerations se rattachcnt d'aiitres consequences sur la manierc dent la forme de la cayleyenne depend de celle de la hessienne, et . f^oir, sur ce sujoi, Hartjiack, Math. Jnnahtt, t. IX, p. 9 et suiv.
celle-ci les quatre tangentes
oi, o^, o3, o4;
leurs points de contact i , 3,3,4 seront situ6s sur la polaire conique de o. Projetons sur la m^me conique les points de contact i', a', 3', 4' des quatre tangentes issues d*un point o^ voisin de o. Ces points de projection (c'est-i-dire les points d'intersection des quatre derni^res tangentes avec Ga) ne diffi&rent des points i, 2, 3, 4 4"^ de quantit^s infiniment petites du second ordre, la distance de o a o' ^tant une quantity infiniment petite du premier ordre. Comme, d'ailleurs, la poiaire conique de o touche la courbe originaire en o, c'est-^-dire (sauf les quantit^s du second ordre) passe aussi par o', les rayons men^s de o ^ i, 2, 3, 4 ont (aux quantit^s du second ordre pr^s) le m^me rapport anharmonique que les rayons menes de o' k 1^ a', 3', 4' ou de o' a i, a, 3, 4« Le rapport anharmonique des quatre tangentes n'est par suite pas alter^ si Ton march e de point en point sur la courbe; il est done n^cessairement constant pour toute la courbe ; ce qu*il fallait d^montrer.
Nous trouvons ainsi dans ce rapport une constante caract^ristique de la courbe , et Ton ne pourra transformer lineairement les unes dans les autres que les courbes du troisi^me ordre dans lesquelles le rapport anharmonique en question aura la m^me valeur. Nous avons d6jk. trouv^ dans une autre occasion une constante qui
est egalement caract^ris tique pour la courbe : c*est le nombre dans la forme d*^quation canonique (p. a37)
Comme toutes les constantes de la courbe pen vent ^tre alt^rees
par un changement de coordonn^es, sauf cette constante unique -9
il s'ensuit que la vaieur du rapport anharmonique precit^ ne doit
dependre que de la quantite /r = -• Cest ce qui est confirm^ par la
consideration suivante. Nous formerons, par exemple, le rapport anharmonique des quatre tangentes qui partent d'un point d'inflexionetdont Tune se confond avec la tangente d'inflexion. Ainsi un point d'inflexion r^el est donn^^ (p. 239) par les coordon-
LBS C0VBBE8 DB TIOISltlfB OftDBB 00 DB TBOISltMf CLA8SE. a65
n6es Xi = I , X2 = — I , jTa = o. L'^quation de sa premiere polaire se decompose en celle de la tangente d'inflexion
(4) JTj-f- X,— 2AXj=^0
eten celle de la droite harmonique correspondante
Les points d'intersection de cette derniere ligne avec la courbe originaire, c*est-4-dire les points de contact des Irois tangentes issues du point d^nflexion, sont done donnas par (3) si Ton fait Xi = Xa, c'est-^-dire par Tequation
;6) 2 JrJ -f- xj -f- G/xJx, = O.
Or, le rapport anharmonique cherch^ est ^gal a celui que forment les trois points dont il vlent d'etre parl^ avec le point d'intersection de la droite harmonique et de la quatrieme tangente, c'est-4dire de la tangente d^nflexion. Mais pour ce point d'intersection nousavons, en vertu de(4) et (5), les coordonn^es
pjTji^OX,— I, pXjrz:-.
Les coordonn^es des quatre points ne dependent que de A^; il en est done de m^me de leur rapport anharmonique, ainsi qu*il a 6te enonc^. Cette exposition se pr^sente encore mieux dans la th^orie des formes binaires cubiques, ou le rapport anharmonique et la constante k apparaissent Tun et Tautre comme dependant de ^invariant absolu de la courbe ( * ).
Les recherches relatives aux couples de p6les sur la courbe du troisieme ordre qui nous ont occup^s ici different essentiellement des considerations que nous avons pr^sent^es auparavant en ce qui concerne la g^om^trie sur une courbe g^n^rale d'ordre n. Les recherches dont il s'agit ne sont pas, en effet, susceplibles d'une extension immediate aux courbes d'ordre sup^rieur, car une telle courbe ne pent pas en g^n^ral ^tre regard^e comme la hessienne
(') Voir la fin de la Section Y de ce Ghapitre. L'inTariant absolu est une fonction symetrique des six Taleurs differentes quo peat prendre le rapport anharmonique dc quitre points.
d'une autre. Nous n'insisterons d'ailleurs pas sur la th^orie dcs sysl^mes de points d'intersection d'une courbe du troisieme ordre avec d'aulres courbes, devant y revenir plus tard, quand nous appliquerons a cet objet la th^oric dcs fonctlons elliptiques. Nous traiterons sculcment ici deux problemes relatifs aux intersections dont il s'agit:
1** La position sur la courbe des points ou une conique pout avoir avec elle un contact d'ordre ^lev^ ;
2° Le mode de g^n^ration donn6 par Chaslcs au moyen d'un faisceau de coniques et d'un faisceau de rayons projectif au premier, mode de description auquel nous raltacherons celui qui porle le nom de Grassmann.
Si nous imposons la condition qu*une conique touche la courbe du troisieme ordre aux points ou elle la rencontre, nous avons d'abord ^ distingucr les cas suivants :
1^ La conique a un contact simple en trois points;
2** La conique a un contact du second ordre en deux points.
Les autres cas qui peuvent se rencontrcr apparaissent comma dcs cas liniites de ceux-1^. Dansces derniers, trois conditions sontdonn(^es; il existe done un nombre doublement infini de coniques qui y satisfont. Done, dans le premier d'entre eux, nous pouvons prendre arbitrairement deux points de contact et chercher la situation du troisieme. On determine ce troisieme point au moyen du th^or^me suivant :
Les points tangentiels des trois points oil une conique a un contact simple avec une courbe du troisieme ordre sont en ligne droite.
En voici la demonstration. A, B, C etant les trois points dc contact, Xy ift,, G leurs points tangentiels ( points d'intersection de leurs tangentes avec la courbe), nou3 avons trois courbes du troisieme ordre k huit points communs, savoir :
X® La courbe donn(^e;
a° Ses trois tangentes en A, B, C;
3** La conique tangente et la ligne c-Mb.
Les huit points communs sont les points Ay ift) ct chacun dcs trois points de contact A, B, C compt^ deux fois. Les trois courbes ont done necessairemcnt le neuvieme point Q commun; ce qu il
LLS CUL'RItES DE TROISItlMK ORURE OV DK TR0I$I^.3IE CLASSE. -j(>-
faliail demontrer (p. i33). Si maintenant les points A, B sont donnes, il est facile de construire le point C. Nous ni^nerons les taiig-entcs en A et B, langentes qui renconlreront encore la courbe en cX> et ift>. La ligne »X\i[, fournit alors comme troisieme point d'inlei'section le point G, et nous n'avons plus qu'^ menerpar ce dernier quatre tangentes a la courbe. Chacun des points de contact est un point C. Toutefois, trois d'cntre eux seulemont donnent une solution proprement dite. Si nous d(^signons en eflet par D le troisieme point d'intersection de la courbe avec AB, la ligne AB prise deux fois fournit aussi une conique tangente aux trois points A, B, D, et le fait que la tangente de D passe ^galement par G r^sultc do I'un de nos premiers th^oremes sur les courbes du troisieme ordre (p. aajr).
J I existe done trois systemes differ ents et composes chacun d'un nombre doublement injini de coniques qui touchent une courbe du troisieme ordre en trois points ( ' ) .
Ces trois syslemes sont, a cause de la connexile des couples de p6les avec les points tangentiels, completement separes les uns des autresy comme les trois systemes differents de couples de p6les sur la courbe. De m^me qu'ici nous sommes ramcn^s aux couples dc p6les, de meme, a propos des coniques ayant deux contacts du second ordre, nous arrivons aux points d'inflexion. Soient A et B les deux points de contact. Nous m^nerons par ces points trois droites infiniment voisines les unes des autres qui couperont encore la courbe en trois autres points infiniment voisins ; ces derniers seront en ligne droite, c'est-4-dire formeront un point' d'inflexion. Nous avons alors encore trois courbes du troisieme ordre qui ont en commtin huit points, et par consequent aussi un neuvieme point, savoir :
1° La courbe donn^r ;
2° Les trois droites voisines menses par A et B ;
3® La ligne qui joint deux des trois premiers points infinimenl voisins, et la conique tangente.
(') f^oi'r Plccker et Hesse (/oc. ciV.), et sur la relation exacte qui lie ces coniques a la courbe , en particulier Cremona , Einleitung in die Theorie der algebraischen Curveu,
2G8 TOaiE II. — CHAPITRE II.
De Ik r^sulle ce ih^or^me :
Toute droite passant par un point d' inflexion d'une courbe du troisieme ordre determine par ses deujc autres intersections avec elle deux points tels, quune conique peat y avoir simullanement un contact du second ordre.
Et encore, puisque la courbe a neuf points d'inflexion :
II existe neufsjstcmes diQerents de coniques qui ont un contact du second ordre en deux points d'une courbe du troisieme ordre,
Les deux points de contact A, B se confondent en particulier pour les tangentes k la courbe issues du point d'inflexion. Au point de contact d'une tangente de cette nature, une conique pent done avoir avec la courbe un contact du cinquieme ordre. Gomme il existe neuf points d'inflexion et que de chacun d'eux on pent mener trois tangentes k la courbe, nous avons ce th^or^me ( * ) :
// existe vingt-sept coniques qui ont un contact du cinqineme ordre avec une courbe du troisieme ordre,- leurs points de contact sont les vingt-sept points d' intersection des neuf droites Jiarmoniques avec la courbe.
Nous passons maintenant k I'examen du trac^ donn^ par Chasles pour les courbes du troisieme ordre (p. q5). En prenant sur la courbe quatre points arbitraires, nous pouvons par ces points faire passer un nombre infini de coniques. Choisissons-en deux quelconques y = o etip = o. Ghacune d'elles coupe encore la courbe en deux points, dont les lignes de jonction seront par exemple A=oetB = o respectivement. Nous avons encore une fois trois courbes du troisieme ordre a huit points communs, savoir :
I ° La courbe originaire ;
a® La conique y = o et la droite B = o ;
3** La conique t|/ =:^ o et la droite A =^ o.
Elles ont n^cessairement en commun un neuvi^me point qui est le point de rencontre de A = o et de B = o. Nous obtenons ainsi cette proposition :
(*) D'aprds la formule donnee p. 173, on trouYerait 36 au lieu de 27 poor I« nombre de ces coniques; mais dans ce nombre de 36 sont comprises les neuf Uogcntes d*in flexion (comptees chacune deux fois).
LE8 COURSES DE TROISlfeME ORDKE 00 l>C TBOISl£llB CLJ18SE. 369
Toute conique d'unfaisceau dont quatre points de base sont situes sur la courbe da troisieme ordre coupe cette dernier e en deiuc points mobiles dont la ligne de jonction passe toujours par iin point fixe de la courbe, que nous appellerons point oppos^ aux qualre points de base.
Ce th^oreme est au surplus une consequence immediate du ih^or^me du resle : Lefaisceau de rayons est equivalent au jaisceau de coniques (p. i40' ^^^ deux faisceaux sont ^galement projectifs entre eux (*), car, si y= o est T^quation de la courbe originaire, on doit avoir
X, X eiant des constantes. L'6quationy^:= o resulte done de r^Hminalion de yL entre les deux autrcs Equations
y 4- /Alp -- o, X A -f- fAxB :^^ o.
Si done on prend quatre points quelconques d'une courbe du troisieme ordre pour points de base d'unfaisceau de coniques, le point oppose donne le sommet d'unfaisceau de rayons qui, conjointement avec le faisceau de coniques, entendre la courbe du troisieme ordre suivant le procede de Chasles.
A Taide de ces th^or^mes, on pent effectuer la construction d'une courbe du troisieme ordre dont neuf points sont donnes[^). Les neuf points ne doivent naturellement pas ^tre situes de telle sorte qu'il s'y croise une infinite de courbes du troisieme ordre, car le probl^me serait alors indetermin^. II suffit d'indiquer comment la solution pent ^tre r^alis^e. On choisit quatre des points donnas pour points de base d'un faisceau de coniques ; on peut alors commencer par construire le point M oppos^ a ces quatre points sur la courbe k tracer, et ce point s'obtient comme quatrieme intersection de deux coniques dont trois autres intersections sont donn^es. Le point M ainsi trouv^, on peut facilement ^tablir entre un faisceau de rayons passant par M et le faisceau de coniques une
(*) Cela r^ulte d'ailleurs dejh de la relation a determination unique des deux faisceaux.
(•) Voir Chasuu, Construction de la courbe du troisieme ordre determinee par neuf points {jComptes rendus, mai i853). On trouve aussi la solution du probl^me traitee d'une mani^re approfondie dans les Ouvrages cites de Cremona et de Duregp.
liaison telle que lous deux engendrent la courbe cherch^e sui\ani le proc^d6 de Chasles et que par suite on en Irouve les points deux a deux comme points de rencontre d*un rayon avec une conique (t. I, p. 65).
Au probl^me traits ici se rattaohe imm^diatement le suivant: Etant donncs huit points quelconqiies, on demande de construire le neunejne point qui, reuni aiix premiers, laisse la courbe du troisieme ordre indeterminee. La solution repose essenliellement sur la construction du point oppose a quatre des poinLs donnes pour deux courbes diflerentes du faisceau qui passe par les huit points et sur rappl'ication de cette proposition, facile a demon trer, que le lieu des points opposes a quatre points de base d*un faisceau de courbes du troisieme ordre sur differentes coiu^be.^ de ce faisceau est une conique passant par les cinq autres points
de base,
A c6t6 des modes de description de Schroter et de Chasles s'en place un autre qui a ^t^ trouv^ par Grassmann (*) et applique aux courbes d'ordre quelconque ; ce dernier est d'un caractere essentiellement diflferent et en quelque sorte m^canique. Nous en donnerons d'abord I'^nonc^ pour les coniques, a I'dgard desquelles il a d^ja ^l^ formellement indiqu^ par Maclaurin et Taylor ;- . Nous avons ce th^oreme :
Si un point x se meut de telle maniere que les lignes qui h joignent respectivem,ent it deux points fixes a, b coupent deux
Fie. 28.
droites fixes oLy P en deux points dont la ligne de jonction passe par un point fixe c, le point x decrit une conique [fig' 28).
(*) Grassmann, Die Uneale Aiisdehnungtlehre, Leipzig, i8/|/|, et diflerents Meinoirf^ dans le Journal de Crelle, t. 31, 36, 42, 52. (') Voir aussi Chasles, Apercu historique.
LES CO0BBE8 DE TROKltMB ORDRE OU DE TROISlfiME CLASSE. 3^1
Si nous d^signonsy en effet, les coordonnees des points x, a, by c respeclivement par j:/, a,, &,, c/, et celles des droites a, (3 respectivement par a,-, j3|, nous aurons, pour les coordonnees de la ligne qui joint x et a,
en posant^ pour abr^ger,
De mSme les coordonnees de la ligne qui joint x et i sont
el, par consequent, celles du point d'inlerseclion de 11 et de a seront
i X\ -(-f'^ljaa— ;-^«;j«j---[;^«)»a]i,
elTon aura de mSme, pour les coordonnees du point de rencontre de i' et de |3,
Maintenant les points j^, :; et c sont assujettis k ^Ire en ligne droite, c'est-i-dire que Ton a T^quation
[[xa),CL]i l^xb],p]^ Cj --0,
laquelle est du second ordre en x et represcnte consequemment une conique. On pent aussi verifier sans peine ce r^sultat g^ometriquement. Le faisceau de rayons ayant c pour sommet coupe, en eflet, a et (3 en deux series de points plac^es perspectivement; les lignes qui joignent respectivement ces points d'intersection a a et b donnent deux faisceaux projectifs de rayons ayant a et & pour sommets : done le point d' intersection x de deux rayons cor respendants de ces derniers decrit en fait une conique. On reconnait en m^me temps que cette courbe passe par les points a^ b et par Ic point d'intersection de a, 3. Elle renferme aussi necessairement le
TOMB II. — CBAPITIE tl.
point de rencontre de ac el jS, ainsi que celui de be et a, car pour ces points la condition du th^or^me est remplie en toute hypoth^se. On obtient ainsi imm^diatement cinq points de la conique.
A regard des courbes du troisi^me ordre^ nous pouvons 6noncer de la mani^re suivante le mode de description de Grassmann :
Un point x decrit une courbe du troisieme ordre si les lignes qui le joignent h trois points fixes ay b, c rencontrent sepeirement trois droites fixes a, J3, y en trois points situes sur une droite [mobile). Cette droite enveloppe une courbe de troisieme ciasse
[fig- ^9)-
La derni^re partie du th^or^me n'est qu'une consequence de ia premiere, car la droite mobile se meut pr^cis^ment de telle sorte que ses points de rencontre avec trois droites fixes a, jS, y, joints a
Fig. 29.
trois points fixes «, i, c, produisent trois droites qui se coupenl en un point (mobile ) a:, et cette propri^l^ correspond dualistiquemcut d'une mani^re complete k la condition impos^e au point x.
L Equation de la courbe du troisieme ordre ainsi engendree peul s'etablir directement. Les coordonn^es du point de rencontre des lignes xa et a, et de celui des lignes xb et |3, sont encore donnees par les Equations (7 ) et (8). Le9j«o^rdonn6es du point de rencontre de xc et y seront, d'une mani^re analogue,
ti = [[xc],f\.
Actuellement les points j', z, t devant toujours 6lre en ligne
LU CODUlf DB nOUlillE OBDBE 00 DE TtOMltllB CLAMB. 373
droite, il en r^sulte
[(*«). «lt [(**). Pit [{*c),y]i [(xa),a], [(xb),p]t [{^c),y]t =0,
[(x«),a]. [(x*),|3], [(xc),r].
ce qui est r^quation de noire courbe du troisi^me ordre. Nous pouvons ais^ment aussi indiquer neuf points par lesquels la courbe est d^termin^e; ce sont les suivants (^ig^. ag) :
1° Les points a, i, c;
2** Les sommets afy V ^ d du triangle a, |3, y;
3** Les points a", h" ^ d' ou les droltes «, p, y sont rencontr^es
respectivement par les droites bc^ ca, ab.
On reconnait en efiet facilement, a Texamen de la figure, que les conditions de notre th^or^me sont satisfaites d'elles-mdmes dis qucx est situ^ en Tun de ces neuf points. Ces derniers ont vis-i-vis les uns des autres une situation particuli^re, mais non de telle nature qu'un nombre infini d'autres courbes du troisieme ordre puissent s'y rencontrer. On I'^tablit en observant simplement que nous avons ^t^ conduits dans (ii) a une courbe compl^tement d^termin^Cy ou encore de la roani^re suivante. Par les huit points
passe, outre une courbe g^n^rale du troisieme ordre, la courbe qui se compose des droites or, |3, ab; or le neuvi^me point qui leur est commun est le point c/, compt^ deux, fois comme point de rencontre de a et P, et par consequent nest pas le point c.
c. Q. F. n. La question de savoir comment, ^tant donn^e une courbe du iroisi^me ordre, on pent trouverles elements qui lui donnentnaissance d'apr^s le proc^d^ de Grassmann, pr^sente un int^r^t parliculier ( * ) . Par Ik se trouvera d^montr^e en m^me temps la proposition que toute courbe du troisieme ordre pent dtre engendr^e de cette mani^re. Nous revenons au syst^me pr^cit^ de neuf points. Sa propriety caract^ristique et d^terminante consiste en ce que les points a, b, c et of, b', d forment deux triang^les dpnt lc$
(*} Voir Clbbsch, Math, AnnaUny t. V, p. ^i\,
Gldscb. — Giomdtrie, II. 1 8
2'j\ TOME II. — CBAPtTRE II.
sommets sont sitii^s sur la courbe et dont les c6t^s se coupeni corr^lativement sur la courbe en a!\ hl\ c". Si nous consid^rons ces trois derniers points commc donnas arbilrairement sur la courbe, nous avons k resoudre le probleme suivant :
Trouver un triangle dont les sommets a, b, c sont sitites sur Li courbe du troisieme ordre et dont les cotes passent separeinent par trois points a!' ^ V, d* donnes sur la courbe.
Deux triangles de cette nature une fois trouv^s formenl la ba^e d^une description de la courbe suivant le proc^de de Grassmann, et cela d\ine double mani^re, car le choix que Ton fait de Tun de ces triangles pour triangle abc et de Tautrc pour triangle afly est indifferent. Nous montrerons qu'on pent toujours trouver quatre triangles repondant aux points a", i", c"^ cos triangles forment six couples, et Ton a en consequence cetle pn>position :
Trois points donnes arbitrairement sur une courbe du troisieme ordre conduisent a douze manieres d'engendrer la courbe sui^^ant la method e de Grassmann,
Les quatre triangles dont il a et^ parl^ s'obtienncnt de la mani^ro suivante. Joignons les points b" et cf' par une droile que nous supposerons rencontrer la courbe en rf; nous admettrons aussi que la courbe soit coupce par la ligne a"d en a"'. De ce dernier point a'" menons a la courbe une tangente dont a sera le point de contact, et soient c et b les points que les lignes joignant a a // et c" delerminent sur cette tangente. Nous afflrmons qu'alors la droite a"b passe aussi pare et que par consequent les points a, by c forment un triangle de Tespcljce cherchee. Nous avons en effet trois courbes du troisieme ordre :
1** La courbe originaire donnee,
2** Les lignes da"a"'y b" ac, d'ab,
3° Les lignes d¥?y IF^a^ ^, qui se coupent aux points a'^, b" y c/', rf, i, d" et au point comptant doublement a, par consequent en huit points ; elles ont done le ncuvieme point c commun. Comme maintenant nous pouvons mener de al" quatre tangentes a la courbe, et comme, ainsi qu'on pent le voir facilement, la construction de deux points i*' ou c°
LES COURBES DE TROlSltME OKDRE OU DB TROlSltME CLA88B. 37b
Irouves d'une mani^re analogue k eH' ne donnerait rien de nouveau, nous avons ce th^or^me :
11 exisie quatre triangles dont les somme/s sont situes sur la courbe du troisieme ordre et dont les cotes passent separement par trois points donnes sur la courbe.
De ce que les points a, b, c ont ^te trouv^s comme points de contact des tangentes issues de a"', b"', d", on tire la consequence suivante :
Ay ant un triangle de Vespece consideree, on en deduira les trois autres en cherchant par rapport aux sommets du premier les trois sjstemes de poles conj agues qui leur correspondent sur la courbe ens^isagee comme hessienne de trois autres courbes. Par celte relation du mode de description de Grassmann avec les syslemes de couples de p6les conjugu^^s se trouve ^tablie sa connexion avec le mode de description de Schroter qui a ^te expos^ plus haul. On reconnait imm^diatement que la mdme courbe, obtenue par le procede de Grassmann au moyen des points a, b, c et des lignesa, j3, y, est aussi constructible suivant le procede de Schroter ail mojen des trois couples de points a, al\ b^ b'\ c^ c'.
Onverifie aussi sans peine, directement, que ccs couples de points sont bien des couples de pdles conjugu^s. Pour cet objet, il suflit de montrer que les points d'intersection des lignes ab' et a'b, OU ac* et dc ou bd et V c sont encore situ6s sur la courbe ; or il en est evidemment ainsi, car, si Ton joint par exeraple le point de rencontre des deux derni^res lignes k a, by c, les points de rencontre de ces lignes de jonction sont situds sur une droite, comme le demande le modede description de Grassmann, a sa voir la droite a.
Done, tandis que le m^canisme de Grassmann donne naissance a la courbe par un procede continu, la ra^thode de Schroter fournit un moyen de construire lin^airement autant de points s^par^s que Ton voudra de la courbe.
Apres avoir ainsi ^tabli la dependance respective qui existe entre ces deux modes de description, on demandera encore de les ramener au mode de description de Chasles, et voici comment on pent y parvenir. On regardera dans la^g^. 29 le point 3 comme fixe, et Ton se servira des points «, i, 3 et des lignes a, P pour
276 TOME II. — CliAPlTBE II.
engendrer une conique suivant la method e de Grassmann, de leile maDi^re que les lignes joignant ]e point d^crivant x k a elb rencontrent respectivement les lignes a, |3 en des points dont la ligne de jonction passe par 3. Gette conique passe aussi en toute hypothese par le point d^intersection d des lignes ab' el baf , cslt les lignes qui joignent ce point k a el b coupent les lignes a, (3 precis^ment en b\ of, qui, de m^me que 3, sont situ6s sur y. Ainsi le point d est toujours le m^me de quclque maniere que 3 puisse etre silue sur la Jigne y ; si done on fait inouvoir 3 sur y, et que Ton construise de la maniere indiqu^e pour chaque position de y une conique, toutes ces coniques forment un faisceau dont les points de base sont situ^s en a, by d j d. Ajoutons maintenant encore le point c. A chaque position de 3 correspond aussi un rayon passant pare, la ligne de jonction de 3 avec c, laquelle passe aussi par x. Par Tinterm^diaire du point mobile 3; le faisceau de rayons passant pare se trouve done reli^ projectivement au faisceau pr^cite de coniques, et les points d* intersection x des courbes correspondantes des deux faisceaux engendrent la courbe meme que nous avons precedemment obtenue d'une autre maniere, Au lieu du point c nous pouvons, comme cela va de soi; prendre aussi le point a ou le point b. 11 est encore a remarquer que le faisceau de coniques employ^ ici est dans une situation sp^ciale par rapport au faisceau de rayons, puisqu'un point de base du premier forme avec le sommet du second un couple de pdles sur la courbe construite; od nepourra done pas, inversement, tirer immediatement des ^l^ments donnas d^un trace par la m^thode de Ghasles les ^l^ments des modes de description de Schroter et de Grassmann relatifs a la m^me courbe (*).
(') II y a lieu au surplus de faire des reflexions analogues en ce qui concerne les modes de description de Grassmann, de Chasles et de Jonquieres pour une courbe d'ordre quelconque. Si, par exemple, dans la^^. 29, on fait mouvoir le point csvr une nouvelle droite ^, et que Ton construise pour tout point de celte droite, coniidere comme point c, la courbe C, qui lui correspond, ces courbes C,, en nombre infini, formeront un faisceau dont ies neuf points de bane sont faciles k indiquer. t'n faisceau de rayons projectif relativement au faisceau de coniques s'obtient de la maniere suivaiite : Joignons cbaque point c de i k un point lixe </, puis le point de rencontre de cette ligne de jonction et d*une droite fixe c a un nou?eau point fiie e. Le faisceau de sommet e est alors projectif par rapport k la serie de points decrite sur it et cons^quemment par rapport au faisceau curviligne precedent. On obtient ainsi le
LES COURSES DS TIOISliMB OIDSB OC DB TROISiftME CLA88E. 277
