IV. — Les formes cnbiques ternaires
Nous avons d^ja plusieurs fois, lorsqu'il s^est agi de trailer d'une mani^re complete certains probl^mes relatifs aux courbes du troisi^me ordre, renvoy^^ k la th^orie des formes cubiques ternaires. En r^alite, cette derni^re ne nous fournira pas seulement une representation algebrique ^l^gante des questions que nous avons ^tudi^es; elle nous amenera encore k d^passer ]es limites du champ de nos pr^c^dentes considerations, ainsi qu'il est arrive pourles formes ternaires qucdratiques. Ainsi, tandis que la th^orie des formes a eu d'abord son origine dans la n^cessite de formuler alg^briquement les probl^mes de la G^om^trie projective, inter- \ient main tenant k Tin verse un re tour de TAlg^bre sur la G^omelrie : c'est la tAche decelte derniere de s'approprler les conceptions de I'Alg^bre et d'elargir ainsi son propre cercle dans diverses directions, ce qui s'est produit par exemple k regard de la notion des polaires. Dans ce qui suit, nous commencerons par pousser la theorie des formes cubiques ( * ) aussi loin qu'il est n^cessaire pour Felude complete des points d'inflexion ; quant aux autres formations et k leur coordination entre elles, nous n'y toucherons que d^une mani^re fugitive, surtout parce que leur sens g^om^trique n'a pas encore et<§ completement saisi.
traee d'une coiirbe C4, trace qui peut aisement aussi se formuler dans la methode de Grassmano. Les choses sont encore plus simples si Ton determine la courbe par deux faisceaux de coniques G,. Un faisceau de cette espdce s'obtient, sur lay?^. a8, en faisant monvoir c sur une droite y, et un second derive d'une figure correspondanto dans laquelle a, b, r, a, fi ont ete remplaces par a', ^, & ^ a', ^\ et oii d se meut snr /. On peut etablir la relation projective entre ces deux faiscoaux en reliant perspectivement au moyen d'un point fixe les series ponctuelles ayant y et / pour bases. On peat demontrer que tout trace suivant la methode dc Grassmann peut 6tre ainsi rameae k un trace de Chasles, c'est-a-dirc que, avec les elements do Tun, on peut determiner les elements de I'autre. *
(*) Les commencements de ces doctrines se trouvent dans les travaux de Hesse, «ur les points d'inOexion. Aronhold, dans le Journal de Crelle, t. 39 (18^9), s'est attache surtout a donner les deux invariants. Cayley a repris cette etude avec developpement, en y joignant celle des covariants et des formes adjointes du troisieme et du sixieme ordre, dans son troisieme Memoir upon quantics (i856). Les bases d'une exposition systematique du snjet ont ete posees dans le travail de Aronhold {Journal de Crelle y t. 55, i858), oO Tanteur a coordonne et etendu ses resultats de 1849. On doit encore citer, pour le developpement de la theorie, Clebsch et Gobdan, Math,
A I'^gard des formes cubiques ternaires, nous avons d'abord a consid^rer deux groupes de formations dont Tun est emprunle a la ih^orie des formes binaires cubiques, I'aulre a la ih^orie dcs formes ternaires quadratiques.
Si Ton d^signe symboliquement une forme cubique binaire par f^^alj Ic systeme de ses formations annexes comprend, coinme on sait (t. I, p. 271 ), les suivantes ( * ) :
'■' I 'R = [':':'Y=:(abY{c(lY[ac)[bd].
De ces formes on en tire immediatement d'autres qui appartiennent a une forme cubique ternaire
en faisant usage de notre principe de translation (t. I, p. 344]? savoir:
(3) Q^{abu)^[cau)clb^,
I F={abuY (cduy{acn){b€iu).
Le sens geometrique des figures obtenues en ^galant ces formes a z6ro resuhe immediatement de notre principe de translation el nous est d6ja partiellement connu :
L' equation F = o est l' equation de la courbeJ'= o en coordonnees-lignes (t. I, p. 34^)-
L* equation = o donne pour x constant V equation de la premiere polaire de x en coordonnees^lignes , pour u consta/U le lieu des pdles x dont les premieres polaires touchent la ligneu, ou ce quon nomme la poloconique de la droite m (p. 17).
A regard de cette derni^re courbe le principe de translation
Jnnalen, t. 1 et VI, Gorda!«, ibid., t. 1, Gcndelfixger, ibid., t. IV et V, et CAYin, Seventh Memoir upon quantics {Philos, Transactions, 1861, f^oir un Resume des dijfrentes denominations ou notations en usage {Math. Jnnalen, t. VI, p. 439, note).
(*) Les formes designees auparavnnt dans la theorie des formes binaires par A el R le Bont ici par r et B, pour eviter les confusions produites par des denominatioDS si mil aires.
LBS COtBBES DB TROlSlfiME ORDRE OC DE TROIftl^MB CLASSE. 7'jif
entraine, en vertu de ]a signiGcation du couple de points r = o dans les formes binaires, le ih^or^me suivant :
Les points d' intersection de la poloconique d'une droite u ay^ec cette droite sont situes equianJiarmoniquement par rapport aiix points d' intersection de u ax^ec la courbe originaire f=o.
La signification de Q = o se trouve en observant que Q tire son origine de la formation
si Ton y fait s^i = CgC^. Mais Q' = o est la condition pour que Ic point X el le point de rencontre des lignes Uy v soient conjugu6s Vun a Tautre par rapport k ]a poloconique de la droite u\ si done on pose pour v les coordonn^es Cic\ de la polaire lin^aire de j*, il en resulte cette consequence :
Par V equation Q = o, A toute droite u est associee une courbe du troisienie ordre comme lieu des pdles x dont les polaires lineaires sont rencontrees par la ligne u en un point qui est conjugue a X relativement a la poloconique de u, et, k cause du sens du groupe lernaire Q = o dans les formes binaires et de sa relation avec T = o, ^ chacun des trois points ou la ligne u est rencontr^e par la courbe qui pr^sente cette d^pendance avec elle, un des irois points de rencontre de u avec la courbe primitive est associ^ de telle mani^re que les trois couples forment une involution; les points doubles de cette involution sont les points d*intersection (le la ligne u avec sa poloconique.
Nous ne ferons d^ailleurs aucun usage de la forme Q dans cc qui suit. Au contraire, la forme 6 a pour nous une importance particuli^re. Nous la d^signons symboliquement par
de sorte que le produit de deux facteurs et de deux facteurs ^ regoit seul une signification effective, savoir
^eiB,,^,^^ = {aibi,-\-6ia,,)[ab),[ab),„.
En vertu de la permutabilit^ de a el by on 'a done
{abuy a, bf, = S/eifcii^,
TOMS II. — CBAPITU II.
et de \k r^sulte une representation plus simple des formes Q el F,
car on peut, d' apres cela^ dans une forme qui a lejacteur [abuf^
remplacer toujours ce dernier par u^, pourvu que I' on remplace
en meme temps les lettres aet b qui entrent encore lineairement
dans la forme toutes deux par les symboles ® (*). On a done
aussi
Q=r^|.(cetf)cie^, F=: u\[cduY[%cu)[Bdu),
et, en observant que F renfcrme encore le facteur [cduY et employ ant dPe nouveau le m^me proc^d^,
Y = ulu\. [SS' u]\
cequi, egal^ k z(^ro, n*est autre chose que T^quation en coordonn6eslignes de la conique &^u^ donn^e en coordonn^es-points ; on a
done aussi, en posant 0/a = - -5 — i — (^)f
* 2 OJCiOxig ^ '
Ui
Nous pouvons encore d^finir (et par consequent aussi F) non symkoliquement, puisque foumit Ti^quation en coordonn^es-lig^nes
de la conique a'^j. ax = ^^fikjriyh [on a fait ic\fik= g . ' -)> et il vient (p. 18)
/is
G^om^triquement, nous pouvons concevoir Ti^quatlon (3) de la mani^re suivante. F = o est I'^quation de la poloconique de u en
(') De la resultc aussi, par formation polairc, que {^abu) {^abv)a^bk=-^fik^^*^. (*) En ce qui concerne Ic facteur numdrique, 1/9/r la th^orio des formes quadntiques, t. 1, p. S'^iG et 354.
LEfl CODBBU DS TROlSltMB OBDBS 00 DB TROUlftllE CLA88B. a8(
coordonn^es-lignes ; mais, comme ces coordonnees-lignes ont ^t^ suppos^es elles-m^mes egales aux quantit^s u, c*est 1^ la condition poor que la poloconique de u louche cette ligne elle-m^me.
Xc5 tangentes de la courbe primitive sont ainsi definies par la circonstance quelles sont touchees par leurs poloconiques ( * ) .
L'aulre groupe des formes que nous avons ^ consid^rer derive des formes quadratiques ternaires d'apr^s ce principe que les invariants et Jes formes adjointes des polaires donnent respectivement des covariants et des formes mixtes de la forme primitive. Le syst^me d'une forme quadratique ternaire a^ se compose des formations
ffz=[abuYy Kz=[abcY.
Dans le passage aux formes cubiques, nous n'avons qu^^ ajouter a tout symbole a, &, . . . un facteur lin^aire symbolique a^, bxj • • • et nous obtenons ainsi les formations
dent la premiere se confond avec la forme ainsi d^sign^e plus haut. La seconde est le determinant de Hesse, qui nous est bien connu. EUe derive aussi de si Ton fait uiUk = CiCkCx\ elle pent done ^Ire representee, en faisant usage de la designation symbolique (4), par
II ne peut exister de covariant d'ordre moins elev^ que A, ce dont on se convainc ais^ment par les reflexions generales qui suivent. Si un covariant d'une forme du tz'*"' ordre est de degre x par rapport aux coefficients, il renferme x symboles differents chacun /2 fois, et par consequent 3t« series de symboles. Mais ce m^me nombre doit aussi etre egal ^ 3X 4- |ui, (ix designant Tordre d u covariant et \ le nombre des facteurs determinants symboliques
(*) Cela resulte aussi directcinont de la theorie des formes cubiques binaires; car 7 = o a toujours et exclusivement deux racines egales en m6me temps que /*= o.
a8a TOME II. — CUAPITRE II.
qui s'y renconlrent. Nous avons done
XT? =: 3^ -+- II.
On trouve de m^me, pour une forme adjoinle de classe v et de degr^ X a X facteurs determinants,
et enfin, pour une forme mixte d'ordre [if de classe v et de degrex,
De ces trois Equations r^sulte, pour le cas ou « est divisible par 3, le th^or^me suivant :
Si ford re d'une forme ternaire est divisible par 3, elle ne possede que des cos^ariants et des formes adjointes dont I'ordre ou la classe est divisible par 3, et que des formes mixtes dtms Usquelles la meme chose a lieu pour la difference enlre lordre et la classe.
Un r^sultat semblable se produit a regard des formations invariantes qui appartiennent k une forme primitive, k r variables homog^nes, si i'ordre de cette forme primitive est divisible par r.
Nous pouvons ^tablir des considerations g^n^rales analogues en ce qui concerne les invariants. Comme une telle fonction est toujours compos^e de facteurs dutype [abc)[l. I, p. SSg), elle doit elre au moins du troisi^me degr^, cas ou la formation [abcY est seule possible. Or cette derni^re ne change pas de signe, lorsqu'il y a permutation de deux symboles, si Ji est impair; elle s'^vanouit done identiquement ; Une forme d'ordrc impair ne posskde aucun ins^ariant du Iroisieme degre. D'ailleurs, a Tegard d'un invariant de degre x et a ). facteurs determinants, on doit toujours (en posant |ut = v = o dans les pr^c^dentes equations) avoir la relation )c/i = 3X, c'est-a-dire qii'un inv^ariant de degre x renfenne
X T^n facteurs determinants.
Un invariant de la forme cubique doit done ^tre au moins du quatrieme degr^ et renfermer quatre facteurs determinants. Nous pouvons, en effet, former directement une telle fonction avec les quatre symboles a^b, c, d\ comme aucun facteur determinant ne
I.E8 C00RBE8 DB TBOlSlftME 0ID1IE OC DB TBOISltMB CLASCB. 283
peut renfcrmer deux fois le m^me symbole, le premier facteur determinant est en toute hypothise {abc); les trois autres doivent chacun renfermer une fois rf, et il ne reste pour la mani^re d y r^partir les autres symboles a, by c, abstraction faite du signe, qu^une seule combinaison possible. Si nous d^signons avec Aronhold par S Tinvariant qui prend ainsi naissance, nous avons ( ' )
(lo) S = {abc)[abd){acd){bcd].
Ce n'est que plus tard que nous rechercherons le sens geometrique de la condition S = o.
Nous pouvons aussi d^duire de la forme O Tinvariant que nous venons de trouver, car, en vertu de (4)> on a
[abu ){abi') a^ b^ — 0* m^ r^,
et, si Ton remplace les u par t*, les v par d, les x par les determinants mineurs de c et d, on oblient de nouveau S dans le premier membre; on a, par consequent,
expression qui peut encore ^tre d^duile de 0^wy = {cdu)^Cxdx^ en y remplagant les x par^, ]es u par0. On a par consequent aussi
Nous pouvons d^duire de 1^ pour S une definition non symbo- ]ique. On a en eflet, d'apr^s (12),
avec
(') C'est rinvariant d^j& eit6 plus haut (p. aSa). En effectuant le calcul, on trouvc, d'apres Aronhold, pour /*= ZZlanxjXi Xk^
^S = («,„«,„ — «;„)•-♦- (fl„,a333—tf!n)(«„,tf|S3—<'5li)
-+- ( «iaa ^3M -*- <*aU «133 — 3 <»I2J «M3 K <»lia '»IM — ''l 13 ''iM ) -»-(<»IM'»3M -»- <»I33''2M — 2'»ia3*»M3)(<'ll3«l»3 — <»IU'»I»3)'
a84 TOMB II. ^ GHAPITRB II.
Nous obtenons done aussi pour S la quadruple somme
1 6 ^ dxidx/gdUfndUf^ dJc^djCf^dufduj^
ikmn
Maintenant, de S derive une forme adjointe si nous rempla^ons une s^rie de symboles telle que les symboles d par des coordonnieslignes w; il vient, en vertu de (lo) et (ii),
I f^ \ ^ = [abc] [abu] [acu) [bcu] = ~\ UiU,,u,,
(l4) j \^Oaii,^
c'est-a-dire une forme adjointe de la troisieme classe etdu troisieme degr^.
Or, une telle forme nous ^tait donn6e par le premier membrc de r^quation de la cayleyenne [(i), p« ^^45], et, comme k raison do Tarrangement n^cessaire des series de symboles, semblablcment a ce qui est arriv^ pour S, il ne pent exisler qu'une forme adjointe du troisieme ordre, S = o nous represente 1 equation de la cayleyenne. C'est ce qui est confirm^ par le fait qu'i Tegard d'uu ri^seau de coniques
la m6me courbe etait donn^e par [abu) [acu) {bcu) = o (p. a5o). Si nous substituons en eflet ici «t^^ ^i «^, ia i^ k A^, c^c^ a rj, Uy b, c etant des symboles de la forme primitive, nous obteDons, pour le r^scau des polaires de /",
^i^i^3 [fibu] [acu] [bcu] = o,
expression dont le premier membre, h. cause de la permutabilite
de a, A, c, est ^gal a -r S.
Uequation S = o represente done la cayleyenne.
On pent aussi 6videmment d^duire ^ Tinverse S de S. Poson>
S = a' ; il vient
(i5) S^flJ.
Les formations prec^dentes font A^\k voir le sens special do la
LF.S C0UIBB8 DB TBOISltlR OBDBB 00 DB TR0I8l£lfB CL488E. ^85
forme 0. Nous allons, a regard de cetle dernidre, d^montrer d'abord deux th^or^mes qui nous seront utiles par la suite. Nous observerons pr^alablement que d'une forme (f du ft**"* ordre et de la yiiBM classe on pent toujours d^duire une nouvelle forme
jtiv ydjrjdtfi Oxidui dx^du^j
poss^dant la propriety de Tin variance , car^ en posant symboliquement f = r^wj, nous avons
et la m^me chose a lieu pour les formes produites par la continuation du m^me proc^d^ :
et ainsi de suite.
En soumettant maintenant k I'op^ration indiqu^e^ il vient, en verlu de (4),
e' =iS^%^u^ = - [abu][[aha) b^ -^ [abb)a^],
expression qui s'^vanouit identiquement. Done : La forme deduite de est identiquement niille.
Mais alorSy h. cause de 0^0^0:r2^^) tous les coefficients ®a> Qo ^k doivenl s*annuler, d'ou cette consequence :
Toute expression qui renferme le Jacteur symholique 0^ est identiquement nulle.
Le second th^orime qui doit nous occuper relativement ^ sc rapporte k la formation
= [abc) [abd) (^cdu)* aj.bjg, Appliquons a cette expression Tidentite
[cdu) b^ = {bed) Ujg -+- ( bdu) c^ — ( bcu ) d^^ ;
a86 TOME II. — CBAPITRB II.
il vient alors
P= [abc) [abd){cdu)ajg[{bcti] Uj. -4- (ftrfwjr^ — [bcu)fljp],
Le premier lerme renferme le facte ur eflectif Ux\ quanl au second, il est identique au troisi^me, parce que tous deux se changent Tun en Tautre par permutation des symboles c, d. On a par suite
expression dans laquelle
( i6) M = {abc) (abd) ( bed) {cdu)a^,
(17) Q =^ (fl^c ) [abd) ( cdu ) ( bdu ) a^^ c^.
Si nous permutons dang Q les symboles rt et c et que nous ajou-
tions Texpression de Q qui prend ainsi naissance a la precedente,
il vient
2Q= {abc)[bdu)aj,Cj,[{abd){cdu) — [cbd) [adu)].
La partie qui figure entre crochets dans le second membre est, d'apr^s une identite connue, 6gale a [acd) [bdu), et de la r^sulle
2Q==(«^c) [acd] [bduY ajpCjcj ce qui se transforme en — P si Ton permute b avec c; on a done
P = 1 iMw^.
Permutons maintenant, dansTexpression M,a avec c et avecrf, ct ajoutons a M les expressions ainsi formees; nous obtenons
3M =: [abc) [abd)[bcd) [[cdu)ax — [adu) c^ — [cau)dj.],
Mais Texpression entre crochets est, d'apr^s une identity connue, egale a [acd)ux' De la resulte
(18) 3M=:[abc)[abd)[bcd)[acd)rt^z=zSu^,
et par suite
('9) P = gS«»,
LBS COOBBES DE TROISltMB ORDBB OU DB TBOUliMB CLAtSB. ^87
ce que nous formulerons dans la proposition suivante : La forme deduitede 0, sav^oir
V — e>\,ei) u\^=i [abc] [abd] [cduYoj^bjc^
a la valeur 7; S m^.
Nous pouvons sans peine saisir le sens g^om^trique de celte formule si nous consid^rons que P n^est autre chose que Tinvariant a\ pour les deux coniques
fl* ^ e^tt| = o ct «* =E Q'x^\i ==: o.
IcI Ton a ^crit a^ et u\ pour la meme forme 0; mais, dans a^ , = o est regarde comme I'^quation de la poloconique de w, dans ii\ comme lY^qualion en coordonn^es-lignes de la polaire conique (lex. Dans (19) se trouve done ce th^or^me :
La polaire conique de x est haimoniquement uiscrite h la poloconique de u lorsque x est reuni de situation avec u, et mdme sans cette dernie,re condition lorsque S est mil.
Nous pouvons interpreter Tequation (18) d'une mani^re lout a fail sembiable. On reconnait en effet, sur (16), que M n'est autre chose que Texpression a^Ujax-, car nous avons (en posanl s = uf)
Zv]ug = [adc) [[obv) [acv] [bcu)-\- ( bcv) [abv] [acu) 4- (ucv) [bd') [aba] = 3 [nbc) [abv) [bcv) [acu)^
ce qui se transforme en M si Ton remplace a par d, v para, et qu'on mulliplie par ax- Par consequent, dans (18) se trouve ce ih^oreme dont nous avons deja fait usage ( * ) :
La polaire conique d'un point x relatiuement a la courbe primitive est harmoniquement circonscrite a la polaire d'unr
(*) f^oir p. 252. La forme U{a, b, c^=. {abu){acu){hcu)^ deduite de» coniques a\ ^\y ^\y est egale a a. ^,c, [abu){acu){bcu\ si on l*etablit pour les polaires coniques des sommets du triangle des coordonnees relativement a a\^ et elle est, par suite, ^galc
^7fS, d'ou le facteur - dans requation (u), p. 332, au lieu du facteur 3 dans I'equa-
tion (18).
droite u relatwement h la cayleyenne si u et x sont reunis de situation, et m^me sans cette condition si S est nuL
Les Equations (i8) et (19) nc sont que des cas sp^ciaux d^une r^gle plus g6n^rale dont voici T^nonc^ :
Lorsque la representation sjmbolique d'une forme renferme deux facteurs de S, tels que [abc), [abd), et en outre les series c, d reunies en unfacteur determinant sjmbolique, la forme est divisible par S.
Tout produit de I'esp^ce cit^e se compose en effet d'une somme de termes de la forme
[abc) [abd) [cdu) aibj^Cid^'Ef
E ne renfermant plus les symboles a, by c, d, et les quantit^s u d^signant une autre s^rie de symboles ou des coordonn^es-lignes. Mais le terme dont il s*agit doit toujours ^tre divisible par S du moment oil il en est ainsi pour I'expression
L = [abc) [abd) [cdu) a^byC^d^ = - [abc) [abd) [cdu) [a^^by-h bjcOy)c,d^,
Or, comme cette derni^re est symtStrique en a et i, elle derive, par formation polaire, de la forme
L'= [abc) [abd] [cdu) ctx^x^z^tt
et nous avons seulement a d^montrer que celle-ci renferme le facteurS. Permutons, dans L',c, d^ et ajoutons k Ula formation ainsi obtenue. II vient alors
2L'= [abc) [abd)[cdu) axb^[c^dt -^ d^Ct) = [abc) [abd) [cdu) [cdv) a^b^
'xy
en posant ^/= {zt)i. Or cette expression s'obtient au moyen dc
P z=z[abc) [abd) [cdu^a^b^,
si Ton forme T^quation du p6le de la droite 9 relativement i P = o. Mais, comme P, suivant (18), contientle facteur S, la m^me chose a lieu aussi pour \J. c. q. f. d.
Avec les formes 0, Q, F, S, «, les formations les plus simples
LU CO0BBE8 DB TBOlBlAMB OBDBB 00 DE TBOlSltMB CLA8SB. 289
sont ^puis^es, et leur examen nous permet d'^tudier en detail le faisceau sryzjgetique xyH-XA = o. Nous commencerons par etablir pour la fonction compos^e x^ + XA les formes qui nous sont connues poury*(en exceptant toutefois F et Q).
A cette fin, il nous sera utile de faire usage du proc^d^ de diflerentiation compost que Ton indique par la letlre 3, et k regard duquel nous avons d^montr^ plus haut qu*il n'altere pas rinvariance d'une forme (f faisant partie du syst^me qui appartient a/(t. I, p. 334)- Ceproc^d^ consisle ici idifKrentier <y suivant les coefficients antk de/", 4 les multiplier par les coefficients correspondants a/AA de A et 4 ajouter les produits, c'est-^-dire qu't/ est dejini par I' equation
dans laquelle le signe sommatoire se rapporte a toutes les combinaisons des indices i, A', h. Si nous d^signons main tenant par 9«x la forme qui est par rapport k xy+ X A ce que (p est par rapport kf, nous obtiendrons, d'apr^s le th^or^me de Taylor, pour (f.x, une s^rie proc^dant suivant les puissances de x, X, et dont les coefficients <fi se d^duiront les uns des autres par difT^rentiation. Mais nous apprendrons plus tard k remplacer la differentiation simple par le proc^d^ d, et nous avons d*abord k rechercher rinfluence du proc^d^ J sur/, A, 0, S, 5 (•).
Or on a, par definition,
Po'iir fixer Tinfluence du proc^d^ J sur une expression sjmboliqiie plus compliquee cp, remarquons que toute s^rie de symboles renfermes dans cp indique la presence lin^aire et homog^ne des coefficients aikh dans cp. On voitpar \k que le proc^de de difft^rentiation conduit k la somme des expressions qui prennent naissance si Ton diffi^rentie seulement suivant une telle s^rie ; on a
(')l Les deax proccd^ se distinguent par la circonstance que, dans le premier, les flciljl sont consideres comme independants des ajffij ce qui n'a pas lieu dans le precede i, Ce dernier a ete introduit par Aronbold.
Clebscd. — Gtrometrie, II. in
990 TOMB II. — caAprrtB 11.
Done on deduit d*une foi-me 9 la forme dtp en remplacanl successhement dans la /or me symbolique de f chaque seric de symboles par uneserie de sjmboles de A etenfbrmant la somme des expressions obtenues,
PouV in trod ui re au lieu des symboles a de
les symboles a^b^ c de^, ilcst n^cessaire d'observer que, parsuite de la permu lability de a, by c dans A, on a
-[obcYaibkC,,.
Si done dans un produit symbolique se rencontre le sjmbole a, r introduction des symboles a^ by e de la forme primitive se fml en remplacant a qui entre troisfois, unefoispar a, unefoisparhy unefois par c, et en multipliant par [abc)^.
^application du proc6d^ ^ ^ A donne done d'abord^ suivantla premidris r^gle^
et ensuite, par application de la seconde r^gle et subsliiution des symboles c, dy e defkoiy
i^ = 3[abc) (abd) a^b^e^ [cde)*.
Le second membre s'obiient aa moyen de P, k la condition de poser Ui=iei et de multiplier par e^; on a pour cette raison, d'apr^ Tequation (19)^ puisque e^ =fy
(21) ^l = 3(a^a)'aar6;r** = - S/.
L' applieation du procede d au eouariant A ramene done a la forme f multipliee par - S.
U r^sulte de li, si Ton tient compte de (20), que rapplication m^me reit^ree du procede d a A ne pent conduire 4 aucun covariant nouveau. Tous les covariants qui ont celte origine soni
LE8 COCBBES DE TfeOttUtHK 0BMI8 OV BB TBOISlftVE CLA8SB. 291
nccessairement des fonctions lin^aires de f et A, et leurs coefficients sont des invariants produits par rapplicalion r^it^r^e du proc^d^ d ^ S.
Maintenant, Texpression («Atf)* ax^xO^x n^est autre chose que Tunique invariant simultane des polaires coniques de x relati- Yemen t ^ /"= o et A = o. L'^quation (22) comprend done ce iheoreme :
Si X est un point d'une courbe du troisieme ordre, on peat circonscrire a la polaire conique de x relatisfement a cette courbe des triangles qui sont triangles polaires de x relativ^ement h la hessienne et inscrire a cette derniere des triangles qui sont triangles polaires de la premiere. J I en est ainsi pour tout point x si Vinvariant S s'annule.
Nous insisterons encore sur le cas de S = o. D*apres les d4veloppement5 donnas pr^c^demment, il existe pour les coniques du reseau a^oe^ = o un nombre doublement infini de coniques qui pr^senteni a leur ^gard la relation enonc^e ; ces derni^res forment le reseau tangentiel conjugu^ et peu vent par consequent se repr^sentersous la forme %u^ + ^''^ +/^u|=o; Up =0, 11^ = 0, u| = o elant trois courbes quelcoaques du reseau tangentiel. D'autre part, les coniques 6 ^ [abuY ^xbx^^o dependent en g^n^ral quadratiqucment de deux param^trcs, tandis que leur Equation en coordoan6es-points fl?.a^ = o renferme ces param^tres lin^airement. Si maintenant 8 = 0, la presence de a.*o ^29 -^a ^lu second degr^ ne sera qu^apparente *, mais cette derniere circonstance ne sera possible que si toutes les coniques du reseau tangentiel ont un triangle polaire commun ( ' ), car elles peuvent se representer sous
(^) Cette demonstration s'etablit plus eiactement corome il suit : Nous poiivons eooDcer In proposition du texte en disant qu'<7 n existe point d* autre reseau de co^ niques C,, duns leqnel une seuie courbe passe par dciLx points quetconques, et deux droites quelconques sont egalement tangentes a une courbe unique, que celui dans lequel toutes les courbes C, ont un triangle polaire commun. Demonstration : Toutes les coniques C, passant par un point x forment un faisceau de courbes qui ont, en tonte hypothese, un triangle polaire commun ; une droite quelconque u est touchee par deax courbes de ce faisceau, ayant m^me triangle polaire commun. Leurs ^uations en coordonnees-lignes etant f = o, ^ = o, toutes les autres courbes C, du reseau qui touchent la ligne u doivent 6tre representablcs sous la forme ^+A^ = 0, c'est-a-dire qu'elles ont aussi en commun le mSme triangle polaire. Gommo d'ailleurs n et X ont £te pris arbitraireraont, noire proposition est demontree.
la forme
Au\ 4-^«J -h /xkJ — o,
et en coordonnees-points, pour xX = w, Xp. =; k^ jxy. —-. /,
A^y I, m <§lant trois nouveaux paramelres entrant ^galement lineairement. Mais dans ce cas le r^seau conjugal a^.ax= o du r^seau tangentiel O = o se compose des coniques qui passent par les sommets du triangle polaire commun au r^seau tangentiel; ce!> dernieres ont done trois points communs, e'est-a-dire que la courbe A^^aJ.=-: o a trois points doubles ou, ce qui revient au m^me^ se compose de trois droites (p. io3). Comme d^alUeurs la hessienne du r^seau tangentiel @ = o est en m^me temps la caylejenne du r^seau conjugu^ (p. aSi), nous avons ce ih^oreme:
La condition S = o ex prime que la hessienne do y= se decompose en trois droites. La cayleyenne se compose alors des trois points doubles de la hessienne, et le triangle forme pcu^ ces derniers est triangle polaire relativement a toutes les polaires coniques de la courbe primitive. II r^sulte au surplus de la derniere partie de cette proposition qu'e« cas d' evanouissement de S I' equation de la courbe primitiy^e pent etre mise sous la forme
xj H- jtJ -f- j-J = o.
Dans ce cas, le reseau tangentiel des polaires coniques de la cajole jenne est conjugue au reseau de celles de la courbe primitive, puisque toutes les courbes du premier sont touch^es par les cotes du triangle pr^cite. II en resulte de nouveau, n^cessairement, que Texpression M = a^ Ugax est a un iacteur num^rique pr^s ^gale au produit Se/x) comme nous Tavons trouve dans F^quation (18). A rinverse, nous aurions pu tirer de la derniere equation le sens de r^vanouissement de Tequation (18) et la n^cessit^ de la relation (ua).
Un iheor^me analogue a celui relatif aux formations derivees de f par le procede $ a lieu pour les formations d^duites de B par le meme procede. De se tire d^abord la forme
LES COCmiBS DB TBOISliMB OEDBB OU DB TBOISlftSB CLA89B. SgS
Comme on le voit immedlatement, ^z= o est ['equation d'une conique dont les tangentes u sont rencontrees par les polaires coniques du point x relatii^ement «/*= o et Ar= o en des couples de points harmoniques (t. I, p. 35o).
Si maintenant nous appliquons de nouveau ^ 5 '^ proc^d6 d, nous oblenons deux termes dont Tun est form^ par application de Fop^ration aux coefficients de f remplaces par les symboles a, Tautre derive de Tapplicalion de Fop^ration aux coefficients de A remplaces par les a. La premiere partie donne une nouvelle forme mixte
F-a seconde partie ramcne de nouveau 4 en vertu de (22), car cetle demi^re ,^quation exprime que
Cetle seconde partie devient done - S (abu)^ ax bx, et il en r^suite
(261 ^5 — 3C-+-ise.
Mais avec la forme DC celte s^rie de formations est termin^e, car k Taide des m^mes considerations on obtient immediatement
I nm '
Les/ormesQy ^, ^ forment done comme f et A, vis-a-vis du procede 8y un systeme ferme.
Deux groupes limit^s d'une fagon semblable proviennent des formes S et 5. Nous trouvons d*abord
9S = 9[[abc) [abd)[acd] [bcd)]z=z ^[abc)[abii)[acai)[bca), 9S z= ^[[abr) (abu) [acu] [beu)] := 3{ab%) [abu) (acta) [bau).
En d^signant les deux nouvelles formes, abstraction faile des
394 JWn lU — CaANTM IK
facteurs imm^riques, par T el S, noas avons done
i iS—Tz=z [ttbc) [ahst) [oca) ( bcx),
•^^S =^ zzz [aboL){abu) [aau) [bau].
Pour apprendre a connailre les propri<il^s de T et 6, donnons d'abord leurs expressions par rapport aux symboies origioaires dey*, et oela d*apr^s notre r^gle pr^c^dente sur le remplacemeDl des symboles de ^ par ceux de^*. Nous remplacerons done les 2 divis^ment par rf, Cyf et nous multiplierons par [defy. II vienl alors
( T=:::{abc){abd){ace){bc/){iie/)\
^^^ i ^=:(abd){abu](aeu]{b/u][def)*.
Nous observerons que ^ se forme de T comme S de S par substitution des coordonn^es-lignes u aux quantit^s c, cc qui est important pour le calcul de dT ; et si Ton forme Fexpression
> ^^ "/"A^/ki I
on obtient en tout six termes qui tirent leur origine de la substitution successive de u ^ chacune des six series de s^mbolcs qui interviennent dans T. Maintenant^ a^ by c entrent dans T sym^triquementy car T ne varie pas si Ton permute a et i, 4 la condition de permuter simultan^ment eelf, Les series de symboles ay b, c fournissent done trois termes ^gaax qui, d'apr^s (29)1 sont tous ^gaux k S. De m^me les series d, e, y fournissent trois termes ^aux, car elles entrent aussi sym^triquemeni, puisqaeT ne varie pas si l*on permute par exemple if ei e ei simuItaB^nent aussi b et c. Si done nous d^signons par ^' les trois termes provenant des series cf , e, fy nous aurons
Nous allons d'ailleurs montrer que 6 et 6' sont ^gaux. On a
€'= [ahc] [mbd] [ace) [bcu] (d€u)K
LBS C00BBB8 DB TBOI«lA«B OBOBB 00 »B TBOISltXB CLAS8B. 3^
et, si nous ^crivons, dans 6^ c pour le symbole/^el que nous per^ mu lions a avec d^
^=(abd) [bdu) [fien) [bcu] (ace)*.
La diQerence des deux expressions donne, par consequent,
G' — G = [abfl) (ace) [bcu) [deu] [[nbc] [deu] — [ace] [bdu]].
Mais les deux termes entre crochets sont, d^apris une identity
conoue, ^gaax k
[dau) [ebe] + {^cu) [abe].
Si Ton effectue la substitution , il r^sulte d'un ih^oreme precedent que G' — 6 est divisible par S, car la premiere partie renferme [ehc) (flce) et a, h encore r^unis^ Taulrc renferme [abe) [abd) et d^ e encore reunis. On a par consequent
Mais le facteur X ne peut plus, en dehors des trois series iiy renfcrmer qu'une seule s6rie de symboles de/*, et, comme on n'en peut tirer aucun facteur determinant symbolique qui ne soit pas nul, il en r^sulte
6' — g :zr O. C. Q« F. D.
Entre I'inuarianf^ et lafornieadjointe 6 existent done les relations
