I ^=SS

Or une courbe du troisi^me ordre ne peut avoir qn'u/t invariant absolu,caron peut dans son Equation d^truire toutes les constantes, a Texception d\ine, par transformation lin^aire. II n'existe done que deux invariants S et T, et le proc^de S appliqu^ a T doit ramener a S. Pour former d'une mani^re effective ST il sufiit, en vertu de ( 3o)y de remplacer dans 6G ou 6& les quantit^s u par les svmboles a de A. Nous choisirons & et nous obtiendrons

n=z6[abc){abd)(ace){bcii){deiiY.

'Ji)6 TOME II. — CHAFlTaR It.

Mais, d'apr^s (25), on a

nous avons done dans dT k dcrire toujours dkldi place de dy e, a. et

r? a la plaee de (rfea)', c'est-^-dlre que Ton a

(3i) n: = [abc] [abd) [acd) [bed) S — S*.

Les invariants S et T! forment done comine f et A ouQ^^et^X.^ anS'U-vis du procede J, un systeme ferme.

Nous reconnaitrons plus tard le sens g^om^trtque de la condition T = o, lorsque nous formerons A,x ; celui de la courbe G r= s'obtient par la consideration suivante. Nous partirons de la forme de C designee par ^' :

G= [abc] [rtbd) (ace) [bcu] [deu)*.

Celte derni^re pent 6tre compos^e avec les coeflicients de 6 etS,

car, puisque

e = [dcu)^d^ej, ~ eiw|,

il en r^sulte, si Ton diflfi^rentie suivant les x, que Ton multiplie par les^, puis qu*on ajoute, et cela k cause de la permutabilite derfete:

Sjg SyU^=[ dett ) * d^ ey .

Si maintenant on remplace dans les deux membres les x par les determinants des a, by les y par les determinants des a, c, et qu'on multiplie par (a&c) (6cii), on obtient dans le second membre la forme precedente de G' =: S, et il vient par suite

G = [^ab] [^ac] [abc] [bcu)u^^.

On a d'ailleurs, d^apres ( i4)> ^^ d^signant par Sikh les coeflGcienls

de S,

fj Ug = [abc] [abv] [aa*] [bcu],

et par suite, en rempla^ant 9 par et multipliant par u\y { 32 ) 6 = «? = ej «,ttj-

LES COOKBES DB TllOI8l£lfK ORDRB nu DB TBOISltHS CLA8SE. ^97

Or, dans le second membre figure Tin variant si militant unique p^ de la poloconique p^^0 = o de u el de la polaire conique i/J ^ i'^ Uj = o de u relalivemenl a S = O.

La courbe de troisieme classe G = o est done ens^eloppce par les lignes u dont la courbe polaire relativement a 8 = o est harmoniquement inscrite h leur poloconique relalivement iif= o.

La forme de Sdonn^e dans (3a) nous conduit aussi a Texpression de d6 ; mais nous ne voulons pas effectuer le calcul qui s'y rapporte parce que nous ne ferons pas usage par la suite de la forme ^x\. Donnons seulement les Equations auxiliaires qu^on y emploie afin de montrer comment les relations qu'elles contiennent peuvent £tre formul^es g^om^triquement. Eu ^gard aux valeurs de J0 el ds dans (aS) et (28), il r^sulte de (82)

( 33 ) (JS — 251 //,!/» 4- 3e? u, 4,

et, par des transformations ull^rieures de cette expression, on demontre les trois equations suivantes ( * ) :

(34) 6 = -gS«i+i/,«^,.C.

"6 (36) e?i/,4=gSs,

lesquelles donnent lieu aux th^or^mes que voici :

•Si u est une droite rencontrant les premieres polaires de x relativement afet^en des couples de points harmoniques, la polaire lineaire de x relativement h f=o passe par le pole de u relativem,ent « S = o lorsque x et u sont reunis de situation, et independamment de cette circonstance si S est nuL

La courbe du deuxieme ordre qui est liee a une ligne u par V equation S = o rfe la maniere connue est harmoniquement circonscrito h la polaire de u relativement h la cayleyenne lorsque u est une tangente de cette derniere courbe^ et il en est ainsi pour toute ligne u si S est nuL

(*) Voir Clbbsch et Gorda!!, Math, Annalen, t. VI.

La cajleyewie est aussi envdoppee pat' les lignes u dont la polaire conii/ue relali^ement a G = o e£ /a poloconi^ue sont harnioniquement inscriies et circonscrites, Lefait a lieu pour toute ligne u en cos iV es^ajiouissement de f, lA se trouve, d'apr^s la definition de G par (32), iine cerlaine reciprocitci enire les courbcs rS = o et 6 = 0.

Si Ton reunit enfin les r^sultats donnas dans (33), (35) et (36), on obtient

(37) <rs=-.|s&.

Les formes ^ et ^forment done, relatis^ement au precede i^ un sjstemeferme de mdme quefetti. Nous verrons plus lard comment le syst^me xS + XG =: o est aussi oppos^ gdom^triquemenl au faisceau x^ + XA = o ; il compose pr^cis^ment I'ensemble des courbes de troisi^me classe qui ont les neuf droites harmoniques pour tangentes de rebroussement communes.

Dans les formules relatives 4 dA, d8, dfi, ddC, d^, dS, d^, dT oous avons maintenant les mat^riaux ndcessaires pour T^tablissement de ces formes par rapport a la fonction compos^e xy-h XA.

Nous pouvons ^crire la forme 0,x sans autre explication; on a

^ ^1 ^x'e-4- 2xX6-4-x«oc.

•Pour A,\, nous trouvons d'abord le d^veloppement

(39) Aar-r AxM 3Aj>cn-f- 3A,xX«-h AiX»,

^galit^ ou, d'apr^s le th^or^me de Taylor,

A,- [abi*.]^a^h^%^, Aj ^ (/ia9)*n^«^|3,. A, rzz ;«,37)««,,5,v,.

Ghacune de ces formes derive de la pr^^dente par un procM^ de differentiation dans lequel les ai^h sont consid^r^s comroe ind<^ pendants des a,A>i, tandis que le proc^di d s'6tend toujours m^mc auxcoefHicienls dey*contenus dans les ctikh* Si done nous indiqaons par rindice ol ajout^ k la lettre d que le proc^de i doit s'^tendre uniquement aux coefficients de la forme primitive renferm^ dans

les ocikkf nous avoos

Or on a, d'apr^s I'^quation (a5), daikh=' - Sa/AA, d*ou aussi

OaA| :=r — SAy 0,iAj=SA|9

et nous pouvonSy en consequence, calculer les quantii^s A( au mo^en iles equations pr^c^dentes. II vient

En substiuianl les valeurs trouv^s dans la formule relative a A,\ et ordonnant suivanty*et A, 11 vient (* )

(4l) A,x= fx' - ^x)« -^ '^A A H- ^^ xn H- TxA' -h ^ aA /.

On voit imm^diatement que les considerations ^tablies pour les expressions A,* conservent leur valeur pour les coefBcients de tout developpement

({»,x d^signant la forme fadjointe ay^tablie relativeEnentax,y'+ XA.

^ regard des coefficients y,- existe constamment le sjsteme d'eif tuitions

, <^ft= (« — 2)fj-+- -S.a^i, ^yj — (/I — 3)^4-4- -S.3y„

(') Cette formule contient encore le th^orime de Hesse^ p. a3o.

3oo TOME II. — CHAnTKB II.

En employant ces Equations au calcul des coefficients S/dans nous obtenons

I s«x— (x»+ isxA« -+- |t),' j .s -4- ( 3xn — -sa») g.

Les Equations A3 = o et Sj = o donnent respectivement la hessienne et la cayleyenne de A ^^ o; nous avons done, en vertu des expressions trouv(5es pour As etSs, les ih^or^mes suivants :

Si S s'evanoiiit, la hessienne de A se confond avec A ; en d'autres termes, A-= o se compose de trois lignes droiteSy et la cajleyenne de A=:o se confond as^ec celle def= o ; elle se compose de trois points, comme nous Vas^ons deji troui^e ci-dessus [p. 292 elsuiv.).

Si V invariant T s'evanouit, la hessienne de la hessienne se confond avec la courbe primitive f= Oj et la cayleyenne de la hessienne se confond avec G = o.

Dans la formule relative k A,^, on remarque que les coeflicienU de y et A sont les d6riv6es partielles prises suivant x el X de la forme binaire biquadratique G(x, i) = G, qui a Texpression

(44) G = X* — Sx«).* — |t/.a» — — S« A^ ( > ).

II vient en effel