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LES COOBBCS M TSCHSltaB OftDn 00 *S TBOUltME CLAStt. 3o3
Nous interromprons ici ces recberclies alg^brlques pour consacrer les r^ultais acquis k quelques applicalions . Nous serons d'ailleurs, surce terrain, forces pour ainsi dire d'introduire dans le cercle de nos considerations d'autres elements de la th^orie des formes ternaires cubiques, sans £tre pour cela complets ni m^me viser k retre(*). D^montrons sealemeni encore le ihtor^mc suivanly dont il sera fail usage incessamment :
Lajbrme cubique adjointe M = {aauY est idcntiquement nuUe.
En effety M se tire de A = a^ = [cdeYcxdx^xy en rcmpla^ant les X par les determinants formes des u et des a, d*ou
M= [cdeY [cua] [dua] [eua],
(>r on a, d'apr^s une identity connae,
[cde] [cua] = [cue] [cda] — (cud) [cea),
Substituant dans M, on obtienl
M =: (cde) [dua] [eua] [[cue] [cda] — [cud] [cea]]^
ou, puisque les deux parties se transforment Tune dans Fautre par permutation de d el e et sont par consequent identiqaes,
M =: 2 [cde] [cda] [du^] [cue] [eua].
Cette expression renfermele facteur S, car on y trouve le facteur symbolique [cde) {cda)f et les symboles e, a se presentent encore reunis dans un determinant. Mais, apres separation de S, le facleur restant de M ne doit plus renfermcr de symboles, mais seulement les quantitesu, et, comme avec ces dernieres on ne peut former de determinants non evanouissanls, il est neccssaircment nul.
(*) Pour plus de details, voir surtout Clebslb et Gordan, Ueber cubische ternarc Formen (Math, jinnalen, t. VI), ainsi quo I'crrata du Tunie VIII, et au surplus la (in de ce Chapitre.
3o^ TOMB li. — CBAPITKB II.
y. — Continuation. — Application de la th^orie des tonnes.
Les d^veloppements qui pr^c^dent nous donnent en substance le moyen d'etablir compl^tement les Equations dont depend le probl^me le plus important qui se rencontre dans les courbes du troisieme ordre : la determination des points d' inflexion. Nous ferons d'ailleurs , pour la circonstance , usage de quelques nouvelles formes surlesquelles nous reviendrons plus tard. Nous avons tir^ du groupement respectif des points d'inflexion diff^rentcs conclusions sur la nature de Tequation du neuvieme degr^ doot depend le probl^me ; or le groupement dont il s^agit reposait sur un theoreme fondamental , a savoir que trois points d'injlexion sont toujours en ligne droite. Nous commencerons par donner une demonstration alg^brique de celte proposition. -
Si X eljy sont deux points d^inllexion, on a simultanemenl les Equations
et nous avons k d^monlrer que, pour une valeur de X difierenle de ooudeoo , les Equations a*^iy= o, a'^),^=o sont ^galement satisfaites k la fois.
Or ces derni^res Equations , developpees et simplifiees a Taide de (i), donnent
^i^x + X/7x«j = o, u^oty -h ).a;ca* = o, d^ou, par elimination de X,
Mais cette Equation est en r^alite une consequence immediate des equations (i), car elle resulte du theoreme recemment demontre, d^apres lequel la forme [aauY est identiquement nullesiTon pose ii/ = {xjr)i.
Nous oblenons d'abord Tidentite de Salmon
et de Ik resulte ; k cause de (i), Tequation ( 2 ). La marche de cetle
LU CO0B9BS M TBOISltHI OftDBI 00 DB TmOISltllB CLA6M. 3o5
demonstration permet encore de reconnaitre Texactitude.du th^or^me suivant :
Deux courbes du troisieme ordre a* = o e^ a]^ = o out leurs neuf points d^ inflexion communs lorsque la forme adjointe simuUanee [aauY est identiquement nulle.
En eflety ii r^sulte d'aborddecette derni^re circonstance que deux quelconques des neuf points de rencontre sont en ligne droite avec un troisieme, que par consequent les neuf points sont group^s comme les points d 'inflexion d'une courbe C3 , c'est-^-dire que par ces points passent quatre triangles; ils sont done, d'apr^s ce qui a ct^ dit plus haut, des points d'inflexion pour toutes les courbes auxquelles ils appartiennent.
Du groupement des points d'inflexion nous avons conclu que dans le faisceau x/ + XA = o il existe quatre courbes se d^composant en des lignes droites, k savoir les quatre triangles inflexionnels, et nous avons trouv^ les valeurs correspondantes du param^tre comme racines d'une Equation du quatri^me dcgr^ tir^e des Equations
par elimination dey*et ^ (p- a3o). Par U nous arrivons k la forme G(x,X), qui a 6i^ d^finie par I'^quation (44) (p* 3oo). Done :
L' equation du quatrieme degre G(x,i) = o determine les quatre triangles inflexionnels , cest'-a^dire les valeurs du pa-' rametre x, X pour les courbes ev^anouissantes du faisceau sjzygctique, Le produit des equations des quatre triangles est cojisequemment donne par
(3) G(a,-/) = a*-SaV« + |ta/3-— sy*=o.
£tudions maintenant avec plus d'attention la forme, sp^cialeraent importante pour nous,
G = x*— Sxn«-^|TxX'— — sn*.
Nous formerons d'abord ses deux invariants i^ ety^; (t. I, p. 084) ;
Clebsch. — GiomStrU, II. 20
3o6 TOMB II. — > CnAPITlIB II.
le premier est
Le premier invariant de G est done identiquement nul.
G^omelriqiiement nous pouvons, conform^menl a la signification de G = o, concevoir )c,X comme dcs coordonn^es dans un faisceau de rayons dont le sommet est un point d^'nflexion de f=z o ; alors G = o est repr^senl^ par les quatre lignes inflexionnelles qui partem du point d'inflexion choisi. L'equation (4)donne par suite ce theoreme :
Les quatre lignes inflexionnelles qui passent par un point d* inflexion sont cquianharmoniques les unes par rapport aux mitres (t. I, p. 297).
En eflectuant ainsi nos constructions en un point d'inflexion, nous pouvons encore enoncer de la maniere suivante la signification de r^quation
A,x = Gi A — Gj/= G|x'-4- GjV
pour x'/h-X'A= o:
Les tangentes d' inflexion des trois courbes dont la hessienne est une courbe donnee du troisieme ordre y-ff-h V ^"=^0 Jornient la premiere polaire de la tan gent e d' inflexion de cette derniere relativement aux quatre lignes itiflexionnelles.
Inversement, la tangente d'injlexion de la hessienne est donnee par la polaire line aire de la tangente d' inflexion de In courbe primitive relativement aux quatre lignes inflexionnelles.
Par 1^ sont specialement mises en relief, dans le faisceau consid^r^, les lignes dont les polaires relativement a G = o renferraenl un point double. Mais, puisque Tinvariant i^ s'^vanouit, ce sonl li^ (t. I, p. 287) les rayons de base de G, et la premiere polaire d'un tel rayon se compose du rayon lui-m6nic et de deux rayons confondus en un rayon de la forme hessienne de G. Tout triangle inflexionnel est done sa propre hessienne et celle d'une aulre courbe du troisieme ordre, et les tangentes d'indexion des courbes ainsi associ^cs aux quatre triangles forment, dans le faisceau consid^r^, la forme hessienne He de G(x,X). Mais les courbes
LES COCBBES DE TfeOltltllB OftDfeE OC DB TBOISlftMB CLAStB. 3o7
cJont la hessienne se r^duit k un triangle soot, comme nous savons, caract^ris^es par Tevanouissenient de S (p. 292), et de 1^ resulte que:
L'inv^ariant S,\ de la forme composee ytf+lA Fie dijffere que par un facteur numerique de la forme hessienne de la forme hinaire G (x, A), ce qui est confirme par V equation {49)de lapageio2.
Dans le faisceau consid^re de tangentes d'inflexion, il exisle d'ailleurs six rayons T(; = o (t. I, p. 3o3) qui se divisent en trois couples tels que, dans chaque couple, la premiere polaire d^un rayon relativement a G= o renferme i'au Ire rayon (il en est dc meme a regard de Hg = o, ce dont nous ne nous occupons pas niaintenant).
Un seniblable couple de rayons est done caracteris^, en vertu des constructions recemment donn^es , par la circonstance que parmi les courbes correspondantes du faisceau Tune est toujours la hessienne de Tautre. Comme ce fait est exprim^ par Tevanouissement de T«x (p. 3oo), il s*ensuit que :
L'ini^ariant T^x ne dijffere que par un facteur numerique du CO variant du sixieme ordre Tg de la forme binaire G(x,X), ce qui est confirme par V equation (5o) de la page 3oa.
Formons enfin le second invariant de G ; ce sera
JG = 6
=iff-)
Si cet invariant lui-mdme s'dvanouit, T^quation G = o a, comme on sait, trois racines egales, c'est-^-dire que trois dcs quatre lignes qui passent par un point d'inflcxion se confondent. Or cela n'esl possible que si la courbey= o a un point double, car c'cst uniquement par cette circonstance que le nombre des points d'inflexion pent ^tre reduit, d'apres les formules de Pliicker. Si done
nous d^signons par — ^ R Texpression qui figure dans le second
mcmbre de (5), nous avons ce qui suit :
TOMB II. — CHAPITBI n.
Le discriminant de la courbe du troisieme ordre fz=i o, cesth-^ire la fonction qui egalee h zero exprime la condition du point double, est donne par la formation ( * )
L'invariant R poss^de la propri^l6 sp^ciale de ne difierer de l^nvariant R^ .que par ud facleur ; c^est un combinant du sysl^me x^+XA (t. I, p. aSp et a8i), comme la forme T© d'une forme binaire G pour le syst^me xG -f-'^Hc- Entre les formes cities en dernier lieu existe en eflet la relation connue
Tj = - i ^Hj - 1/6HgG» + iycG») ,
laquelle, dans notre cas, en vertu de (4) et (5) et des relations Tg = — V T.x , Hg = — 3 'S«'^ » ^^ transforme en
R«x = n-gS,\=(r-is*)G»=RG*(x,>)
DonCf dans lejaisceau sjzjgetique x^ 4- ^ A = o nest comprise aucune courbe a point double R,x = o en dehors de celles qui se decomposent en trois droites [G(x,X) = o].
La resolution de I' equation G = o est tr^s simplifi^e par Tevanouissement de son premier invariant, la m^thode d'Eulcrconduisant au but (').
(') Le calcul effectue par Aronhold donne
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