IS
Cette forme de determinant de R s'obtient immidiatement, a un factenr mun^nqoe pr^s, en eliminant lea x entre les six Equations a^ ai so, p^. ec^ = 0, qui doiveot avoir lien si x est un point double de /*.
(*) yoir une autre mdthode de traiter I'equation biqiiadratique, au cas de * e^tnouissanty dans la Th^orie des formes bintures de Glebscb, p. 171.
LIS COOBMS M TftOISlfaU OfeDU 00 Dl TMOISltlll CLA8SB. 309
Nous posons r = x et nous avons ainsi I'^quation
(8) a:*-.Sx»— |tx — — S*=0,
Faisons pour x la substitution
d'ou
A* = ( ii' -h f * + fv* ) -4- a ( w -h «'tf -h w*').
Ces valeurs de x, x^^ x^ ^tant port^es dans F^quation (8), cette demi^re sera satisfaite si nous posons
P**f' * + •v'tt' -h Il« »•* = S', tt* -h «^ + W* =: - S, IIPW = 77 T.
Mais alors u', i^^, fv^ sont les racines de T^quation cubique en z
(9) .'-Is.« + ^s».-^r=o,
ou, apr^s une transformation siraple,
Pour u^y v^, M'^ comme racines de cette Equation, nous avons par suite les valeurs
t designant une racine cubique imaginaire de Tunit^. Les racines de I' equation G = o sont done donnees par
les signes devant 6tre choisis de telle maniere que le produit uyw des trois racines carrees soit egal ^/ 4- ^ T.
3l(> TOMB II. — CBAnrill II.
II n*y a ainsi de possibles que quatre combinaisons de signes
. rdpondant aux quatre racines de G = o. Parmi les racines ii*, ^»^
iv^ de r^qualion cubique (9), les coeflicients dey^tant supposes
r^elsy deux sont imaginaires conjugu^es; leur produit est done po-
sitif, et, par suite, la troisi^me $era r^elle et positive , pour que
Ton ait u^i'^w^ = qJ^T*^. La quantity 11 est done toujours r^elle,
et 1/ et ^^ sont conjugu^s imaginaireraent. De la r6sulte que parmi les quatre raciiies de T^quation (8) deux sont toujours r^elles el deux imaginaires conjugu^es, et les combinaisons de signes
donnent les deux valeurs reelles, les autres les deux valeurs imaginaires. Ou, en d'autres termes : Le produit des trois cdtes d'lut triangle injlexionnel est reel pour deux de ces triangles, imaginaire pour les deux autres , comme nous I'avons d^ja trouvc par une autre voie.
Pour la determination des points d'inflexion de^ = o, il serail encore n^cessaire dc r^soudrc deux des triangles inflexionncls en Icurs facteurs lineaires (*). Nous traiterons toutefois ce problemc par une autre mc^thode, en Ic rattachant a un autre probleme de transformation d6yk signals pstge 240 (^).
Si un triangle inflexionnel est pris comme triangle dc coordonnces, Tequation de la courbe du troisi^mc ordrc apparait, comme nous I'avons vu, sous la forme
{ id) /kr. a {j\ -4- J'l -hyl ) -4- 6by,r^y^ = o.
II s'agit d'abord pour nous de repr^senler les coefficients a, b (le la forme transform^e dans leur d^pendance des a/aa d^ '^ forme primitive sans effectuer n^anmoins le calcul direct des coef-
(*) f'oir, sur cette solution directe du probleme, Gundelfinger, Math, AanaltH, t. IV, p. 567 et suW., ainsi que la section suivaote de ces Lemons.
(') Voir, pour ce qui suit; Clebsch, Math, JnnaieHf t. II, p. 383. Le probleme a ete traite autrement encore par GuNDELnMCBR, i^id,, t. V, p. 44^* ^^'f" d'ailleurs rOuvrage de Clebsch sur la theorie des formes binaircs algdbriques, p. a34 ettuiv.. ainsi que la fin de ce Chapitre.
LBS C0CKBE8 DB Tft01Sl£llB OBDU OC D£ TH0I8I£ME CL46SE.
3lf
ficienls de transformation. A cause des quatrc triangles inflexionnels de la question, nous trouverions quatre valeurs pour -• Mais
r^quation (lo) ne varie pas, sauf le facteur additionnel e ou e^, si nous ajoutons aux j'ly comme (acteurs, des racines cubiques de Tunit^, le changeraent ne portant en fait que sur la notation.
Nous etablirons done, non pour -9 mais pour —9 une equation du
quatrieme degr^ qui doit au fond ramener ^ G = o. Cela se realise par identification des deux valeurs de Tinvariant absolu ( * ) fornixes pour la forme generate et ensuite pour la forme canonique de y. Posons
en sorte que X = ^ ^st une courbc du faisceau svzyg^lique (11) /=flX4-^A;=:.o,
et ^'^ sa forme hessienne. Cette dernicre est dlstingu^c par un accent de la formation correspondante relative aux variables primitives x/, convention que nous observerons a Tegard de toutes les formations dans ie cas de la forme canonique. Comme i^'^ se decompose en trois facteurs lin^aires, X ^^ ^ ^^^ caract^ris^ par la circonstance que son invariant S.^ s'^vanouit. Nous pouvons d'ailleurs, a I'aide des formules (49) et (5o), p. 3oa, donn^es pour S,x et T,i, calculer poury les invariants S' et T', et aussi le determinant /'de la substitution, du moment que nous connaissons la forme G 6tablie pour ^ et qui sera designee par F. Mais on a^ d'apr^s r^quation (46)> ?• 3oo,
«ri hi ht
A' = 6 br^ axt lfJr^ ^fi ^fx «/8
" 11 da^^ 4 db ^'
= (fl»4-2i»»)A'j^ — 6rt^»X
(■) yolr le precede correlatif pour les formes biquadratiqaes bioaires, t. I, p. 3o8.
3ia Tom II. — cBAPiTfei ii.
d^oAy par idenlification des deux expressions,
et par suite
(i3) r=:a^-h6ab*f Ti, =«•, r„ = 2^«, r„ — 4^^.
II r^sulte de la, d'apres (49) et (5o), r d^signant le determinant de la substitution,
^'^^ I = 24 ir (&»-£!»).
tf»
Si Ton d^duit de 1^ {'invariant absolu, on obtient pour -jj Vequor tion du quatrieme degre
ef Von trouve en mdme temps le determinant de la transformation, « yj = a est connu, au moyen de I'equation
dans laquelle ^ peut ^tre pris arbitraireraent, ce qui concorde avec le fait que les coefficients de la substitution (et par consequent r lui-m^me) ne sont determines qu'4 un facteur de proportionnalil^ pris.
Nous pouvons ais^ment ramener ^equation (16) i G = o. Si Ton pose en effet
elle se transforme en
*^* g/-^*-.Sxn« — -Isn^y
UBS COOKBBS Dl TfeOUtftMl OE^M 00 Dl TII01Sli.VE CLASSB.
et il sufBt d^extraire la racine dans les deux membres pour avoir de nouveau r^quation G(xy X) = o.
Le calcul effectifdes expressions yi , ^29 J"* d foDCtion des coefficients dey* exige des considerations quelque peu prolixes. Par les formes ^ et A,^ nous sont donn^es deux fonctions sym^triques des grandeurs cherch^esj^i, j'2, j^j, car de (i i) et (12) r^sulte (puisque
En ajant encore la valeur de la troisi^me fonction sym^trique y\jl -+-J^Jj^J +7?J'2» ^ous pouvons etablir une Equation dont les racines nous donneront les valeurs de^J,^J,^J. Mais cette troisi^me fonction est du sixi^me ordre, et exige cons^quemment Templol de covariants du sixi^me ordre qui ne se sont pas encore pr^sent^s k nous. Nous reviendrons incessamment sur ces derniers ; nous observerons seulement ici que Texpression demand^e se
forme de si Ton remplace les u/ par les grandeurs A/ = -r -r— » c'est-a-dire que nous choisissons le covariant
<p = eia3.'Sa«« ,3» = [aba) {abp) a^b^o,*^p%
f\\ f\\ yis Aj /ii fit f\\ A,
yai fz\ J%% Aj
En effet, nous trouvons pour la forme canonique
(ao)
ji
^XtXi
ft
^XtXi
'^X\Xt
^XO'% ^JTaJi 2jrirj
8(ri
\y\-^jr\y\-^x\x\)'
L'^quation cubique mentionn^e, dont les racines sontj^^, j^, y 7)'
serai t done
Sa resolution est simpliiiee par la circonstance que nous pouvons repr^senter le carr^ de son discriminant, c'est-^-dire le produit de difli^rences
[J \ J 1 / [J i J i) [>^ i Jin
par un covariant du neuvi^me ordre de J] comme nous le mentrerons incessamment; on a done une racine carr^e de moins a extraire que dans une Equation cubique g^n^rale [*),
Nous pouvons d^ailleurs trouver les expressions finales des quanlit^s j^^ sans resoudre directement T^quation (21), a la condition de calculer encore la fonction sym^trique j * +^'5 "^jl ^^ nioyen des covariants dey. La possibilite du fait r^sulle de la remarque que tout covariant de f, au cas de la forme canonique, est necessairenient une fonction entiere de y\,j\y j\j y^ J'^J^ ^' sjmetrique en j\, y\y y\. Un covariant ne pent, en effet, changer si Ton ajoute ^J\yj2yJ^ comme facteur la m^me racine cubique de Tunit^; car la formed n'en est point afTectee. Mais tous les covariants du sixi^me ordre pcuvent, comme on le d^montre aiseinent pour la forme canonique, s^exprimer ralionnellement en fonction de Tun d'entre eux et de y et A. Parmi eux on doil signaler en particulier la forme ^ d^finie par I'equation
•I - NvN'„NlN',»,
dans laquellc les symboles N, n se rapportent k la forme mixle, ^galement nouvelle pour nous,
df dA
(•) Voir les formules (16), t. I, p. 177.
LBS COUKBU DB TMUlftMB OBDBE 00 DB TBOIBlftME CLAS8C. 3l5
Nous reconnaitrons dans ce covariant (p un combinaDt dii syst&me xy*+ A Ay c'esl-^-dire que nous d^montrerons I'^quation
(24) ^xx^^G'^.
D'ailleurs, entre les formes 9 et v{/ existe la relation , qui sera ^tablie incessamment (p. 319),
(»5) ^ = |,±T/.+ is./.
de laquelle nous pouvons d^duire la forme canonique de f . Commc en efiet, d'apres ce qui precede, on a, pour la forme S = o, T = — 6(*),.r6qualion (a5) donne, en vertu de (20),
pl de U nous tirons la forme i|* de^ a Taide de ( a4) J '' vient
' r — Aix-»-ftA^ — * rz»
d'ou finalement
Ce r^sullat, combing avec (19), nous donne les autres fonctions sym6triques
En outre de ces fonctions symetriques, nous pouvons encore exprimer rationnellement (sous Tadjonction de r) le produit des differences pr^cite, au moyen d'un covariant £2 d^fini (^ ^tant
(') On tire cgtte Taleur de (i5} pour a =£ i, ^ =. o.
^gal ki^^), par
TOHI II. -^ CHAPITM II.
dxi da
0^ dx^
Ce coyariant Q, est lui-mdme un combinant, c'est-a-dire que Von a Q.x == G'£2 (p. 32 1), d'ou, pour la forme canonique,
X% Xi Xt X\ Xt x%
r»ra r\
Le produit des differences des cubes y\,j\jj\y c'est-a-dire la racine carree du discriminant de I' equation (21), est done donne par
r'ft
II est a remarquer Ici que le signe du second membre n^est pas d^termin^ parce que e'est r^ et non pas r qui a 6l^ trouve par 1'^quatlon (17). L'expression (29) renferme done encore le facleur irrationnel
et la valeur num^rique de Texpression placee sous le radical se compose d'une quantity compl^lement donate dependant unique-
ment de -g et d'un facteur b^ k choisir arbitrairement, Icquel facleur, comme on le voit, sort de Tirrationalit^.
(*) Le fait que le determinant se trantforme en ce produit dans le calcul se Terifie tris-simplement en observant qu'il s'annule lorsque deux des quantites^ deviennent egales I'ane k I'autre, et qu'il doit ^tre symetrique par rapport aux trois cubes. Pour la ddterminaUon du facteur numerique, il suffit de calculer un terme.
LBS COOUBS DB TKOHltMB OKDIIB OC DB TftOISltllB CLAS8E. ZfJ
Araide des expressions trouv^es, on peutmaintenantrepr^senter les cubes et le produit des deux covariants irrationnels
Si nous consid^rons dans le calcul de ces cubes les relation s
nous trouvons imm^diatement, en ayant ^gard k (19), (27) et (ap),
(3i) [ 8r»(3iL»— .)!;,») = . {8(1— 2) /^n,
Onvoit paries deux premieres Equations que les deux covariants suivants du neuvienie ordre sont des cubes parfaits :
i6r'3lL»= ;/r, ^/^A/i)' -+- io(/r| — /^A^^)»
^ ^^ * i6r»0i;,' =r;/r, + /^A^i)»-f-io(/r, — ^*a5)»
x\u moyen des Equations (3o), combin^es avec T^quation
nous pouvons cnfin calculerlin^aireraent les trois cubes j^J, j^J,j^J en STO, X et y^; y^ = o, /a = o, j^a = o ^tant les Equations des cdles d'un triangle inflexionnel.
Si done nous extrayons la racine cubique des quantizes (32), I'unedes transformations cherchees pour la reduction h lajomie canonique sera donnee par les racines cuhiques des trois expres^
3l8 TOm II. — CBAHTfeB II.
sions suivantes :
37j:.:=i(/r,-/^A^)+ aiL4-X, (33) ( Zy\^ -(/r, - /^AA)H-j*OTt-f-i dX.,
