rJ ^ ^ (yri — /^AA)4- s OTL-Hs^X

j^ est actuellement une racine de T^quation biquadratlque(i6) (');

r est defini par (i3), r par (17), OIL et dX^ par (3a); la forme ^ dans OK/, S^ I'est par ( aa ) et ft par ( 28 ).

Leprobleme des points d' inflexion est completement resolu par les equations (33). Nous avions a resoudre une Equation biquadratique et une Equation cubique, la premiere caracteris^e par Y&vanouissement de rinvariant i, la derniere par la circoDStance que le produit des dilT^rences des racines etait connu.

Nous avons encore a ajouler quelques remarques sur les nouvelles formations dont nous avons fait usage eten particulier k dcmontrer ridentite qui existe entre f et 4* ainsi que la propri^te conibinante des formes ^ et 0. Nous y rattacherons quelques observations sur le systcme de courbes de troisleme classe x.S -i- XS = o.

Nous avons deduit le covariant ^ introduit par Brioschi de la forme mixle (a3)

laquellc, egalce a zero, associe acbaque ligne u la courbe du quairieme ordre des points x dont les polaires lineaires relativcmenl a f=z o et A = o se coupcnt sur u. Pour exprimer d'abord '| par les symboles ^/, a de f\ Ay observons que 'j*, d'apres (aa), provienlde

si Ton rcmplace j^ par Xy u par N et qu'on multiplie par N'. On a

^') On tire directement ccs racines des 'racines t de Teqiiation (8)G = o, au

moycn de la substitution (18).

LES COCRBES DB TBOIftliVB OBDBB 00 DB TBOISI^HB CLASSB. .3 19

done

Ici les deux termes se lirent encore de N^N^ii;, (i, |3 ^lant ecrits pour a, ot), le premier en remplagant upara,j^ par les determinants des a, a, le second en remplagant u par a^j par les determinants desa, a. On a par suite

Le r^sultat de la multiplication donne quatre termes. Mais deux se transforment Tun dans I'autre par permutation de lettres ; il vient done

relation ou

Nous alions actuellement montrer que 2^ pent se ramener a © de meme qu'a cj»"; on pourra done ensuite exprimer toutes les fonclions <f pSiT^. On a en effet (en permutant a et i)

=:(abp)a^b^o:lp^[ P^{abu) - u^{abp)] = f — ^[abpYa^bj,Pj,

d'apres Tequation (aa), (p. 290).

Mais on a aussi (en permutant a avec |3 )

(*) Voir Tequalion ('|0 ), p. 099.

Si Ton porte ces expressions de f , f'^ dans la formule (34)y il vient

gSA/