SA
La premiere de ces trois equations est celle dont il a etefait precedemment usage.
Pour d^montrer que les formes t{^ et 12 sont des combinants, il suflit de montrer qu'il en esb ainsi pour la forme mixte N dont toutes deux sont d^duites d'apr^s (as) et (^8). Que N et N,x ne difT^rent que d'un facteur, c^est ce qui s'apergoit d6jk par le fait que les polaires lin^aires de x relativement aux courbes
forment unfaisceau de rayons dontle centre estdonn^ pr^cis^ment par N = o. Pour reconnaitre dans ce facteur une puissance de G, nous partirons de la forme
que Ton peut po^'er comme base de toutes les formations combinantes, comme cela est possible k d^montrer ( ' ). Or on a
[f{']^[y]-^{-')Af)U==
fir)
Mr)
Done la forme H est un combinant : H,x = GH.
(*) Voir, pour plus de details sur les cnmbinants des formes cobiques temaire*, le Memoire de Clebscb et Gordan {Math, Jnnalen, t. VI), et la buitiime Section de ce Chapilra; sur les combinants en g^n^ral, 3iath, Annalen, t. V, p. 95.
LES COCBBES DB TBOISltMC OEDBB 00 DE TBOISltHE CLA8SE. 321
Mais, d*apr6s (Sj), et Ton a identiquement (p. 3o4) .
d'ou aussi Tegalit^
Mais on tire la m^me chose de N = [aau)a]^al. si Ton difF^renlie it^rativement N suivant les x, qu'on multiplie par les j', qu'on ajoute et qu'on remplace finalement les u par les determinants des X, J. H est done une forme provenant de N et en provenant par des operations lin6aires. Mais de meme aussi N prov^ient de H, car on pent poser pour N la valeur que prend I'expression (^ )
.if i ^'° ^'" ^ / ^'H ^\
lorsqu'on y fait lesj^ ^gaux aux x. La d^pendance de N et de H se trouve par la d^montr^e, et il s'ensuit que la forme N et consequemment aussi ^ et Q sont des combinants ; on a
N,^ z=z GN, -^^x = G« ^, n,x = G» n.
Nous avons ainsi demon tre tons les th^oremes dont nous avons fait usage pour I'etablissement des formules (33).
On aurait pu ^galement rattacher Texamen du probl^me des points d'inflexion k I'^tude des formes adjointes 5 et S. Au lieu des points d'inflexion, il s'agit alors de trouver les neuf tangentes de rebroussement communes au systeme x8 -h XS=: o. On reconnail immediatement sur la forme canonique que ces courbes ont toutes pour tangentes de rebroussement les droites harmoniques
(•) Cette derniere, si Ton pose symboliquement H = A^jirj., peut s'ecrire d'une facoD plus concise sous la forme -{^hku)h%k^,
Clebsch. — Geometric, II, . 21
323 TOME II. — CHAPiTaB It.
de f=o et forment en consequence le sjsteme de courbes dc troisieme classe deja mentionne plus haut (p. 347 )• S et S ont ete en eflet d^Cnis par
on tire cons^quemment de (i4) et (i5)
car on a
dS' dS' dS' I as'
dfljii a<222, a«33j 3 da
II vient de m^me
d'oii, en elTectuant les calculs,
S' = 6(4^»-«»)*^ii',i',~6^^fl*(i^J-f-r'J-4-rJ),
5' = ia&*(4^'-+-5a')f'iPjP, + a(io6»— «»)a«(t>J 4- t'J 4-pJ).
La forme des Equations S = o, ^ = o est done, en fait, la m^ine que celle des iquationsy= o, A= o. Toutefois, pour ^tudier les formations invariantes du syst^rae xS + XG, on prend pour base deux autres formes 11 et $ de ce syst^me, formes caract^ris^es par la circonstance que la formation All — f9 est un combinant et qu'elies satisfont aux conditions
Eiles sont d^finies par les Equations (^ )
n = S5 — TS,
(') L'introduction do ces formations permet, par excmple, de representer d'une mani^re plus concise le6 expressions obtenues plus haut pour S,^^ et ^^x (P- ^^^ ^^
LES CODBBEB DE TROISltME OftDBE OU Dl T«0I81£HB CLA8SE. 3a3
Pour le systeme xll •+- X$il existe corr^lativement ^ la forme ^ line forme de sixi^me classe compos^e avec F, F^quation en coor-
3o3); on trouve
Foir, pour les details, le Hemoire cite de Clebsch et Gordan {dfath, Annalen, t. YI), Nous mentionnerons seulement ici quelques resultats, qui sent connexes a nos recherches precedentes sur le systdme tangentiel conjugu^ k un reseaa de coniqaes (p. 25o). Nous aTons alors ^tabli Tequation d'une courbe du troisidme ordre, dont la bessienne est dounee par i^ = o, la cayleyenne par u\ = o, et cela sous la forme
pi = 'x{hh'x)U^iJj^.— (hh'h''){hh'x){^h'hrx){h''hx) = 0.
Or le premier membre de cette equation ne peut differer que par un facteur de notro forme primitiTe/, si nous posons {voir la note de la page 387)
Alors on obtient le premier tcrme de p% en ^tablissant la forme 6^ = {^^' ^T^^u^^ en rempla^nt les v par a et en multipliant par a^. Mais on a [voir ^uation (90), loc. cit,'\
et i1 vient consequemment, d'apr^s I'equation (4o), page agg,
Le deuxi^me terme de p^. donne, egal6 k zero, la cayleyenne ^^'^ = de u^ = o. Mais on a [loc. cit,, Equation (gg)]
et de la resulte, si Ton represente ^ s=.^u\ sous la forme xII + A^au moyen des equations (38),
= - &{hh'h''){hh'x){hh''x){h'h''x) = |(is./+TA).
Les equations (a), (3) nous donnent en fait, pour p^.^ la relation demandee
Nous sTons d'ailleurs ^tabli Tequation de la courbe de troisiSme classe, dont les polaires coniques sont barmoniquemeiit inscrites k celles de /i^ = o (p. a56}; cette
3a4 TOMB II. — CHAPITRB II.
donn^es-lignes deJ'=Of 5 et 6 (*), et une forme de neuvi^me classe qui r^pond dualistiquement k la forme £i.Mais d^apr^s(29), dans la forme canonique, 12 est devenu le produil des difT^rences dej'Jjj^jjj J. De m^me la forme de neuvi^me classe ne diflere dn produil
que par un facteur. Mais une Equation vl — i/J = o est T^qualion du produit des trois points d'inflexion places sur le cdt^j^3= o, car ceux-ci satisfont encore a la condition
et r^quation du point de rencontre d'une ligne /i 4- 6*^2= o avec y^3 = o est pr^cis6ment
La forme adjointe de neuvieme classe represente donCj egalee a zero, le produit des neuf points d inflexion ( ^ ) .
Et dualistiquement :
La forme de neuvieme ordre Q \jormule (28)] represente, egalee a zero, le produit des neuf droites harmoniques.
equation est
-8i/l=(iVtt/-/\/;«^-i-(i/'«'')(iVii)(i'i''«)(i''/«)=o.
Mais, en vcrtu de (1), on trouve [loc, cif., equation (9a)],
= isG iT8.
et ensuite (k cause de I'ezpression de §,^)
et nous obtenons ainsi
Ueqttation 11 = O represente done la courbe de iroisikme clatse dont le reseau polaire tangentiel est conjugiie an reseau polaire de f=o (Aronhold, loc, cit.)
(*) Comparez la representation de ^, loc. etc, $ 18.
(') Sur la formation dn produit des equations des neuf tangeites d^ in flexion, i^oir Salmon, Lessons on higher Algebra, et Clebsch, Journal de Crelle, t. 58.
LES COVBBBS DE TftOldliMB ORDRB 00 DB TBOiftliME CLAWB. ZiS
Nous avons vu (p. ^gS) que la courbe du troisi^me ordre ne peut avoir qu^un invariant absolu etn'a, par suite, que deux invariants. Nous nous proposons d^utiliser cette circonstance pour d^montrer la proposition obtenue plus haut g^om^lriquement, qui consiste en ce que le rapport anharmonique dcs quatre tan," gentes menees d'un point de la courbe du troisieme ordre a cette dernier e est constant, et pour exprimer Tinvariant absolu en fonction de ce rapport anharmonique de la courbe.
Si Ton a a' = o, I'^quation du produit des quatre tangentes que Ton peut mener Aey ^ la courbe y^ ai = o est (p. 2a6)
^fiy^J— 3 (D/)*= 4«i h^b^^ Zala^ K^y= «
= Ai = Bi=Ci,
courbe du quatriime ordre qui, d'apr^s sa nature speciale, est couple par toute ligne u en quatre points dont le rapport anharmonique est le m^me. Done la courbe de quatri^me classe (t. I,
/=(ABtt)*=o,
dont les tangentes rencontrent la courbe A^ en quatre points ^quianharmoniques, ou bien est touch^e par toutes les lignes u, ou bien repr^sente encore le pointy. La forme (ABa)* doit, en consequence, se decomposer en deux facteurs, dont Tun est ind^pendant des u, Tautre des A, B. Mais ce dernier ne peut dtre que u^ comme on Fapergoit de suite geometriquement. Or, comme (ABi/)* est une formation invariante, il ne reste plus pour le premier qu'une expression invariante dependant uniquement des coeiBcients de la forme primitive f et du quatri^me degr^ par rapport k ces coefGcients, c'est-^-dire I'invariant S. On a donc(* )
(39) i= [ABuY—cSu^,
et de mcme
(40) j = {ABuY{ACuY[BCuY=c'Tu%
(*) Les invariants et les covariants de la forme binaire donnec par les quatre tangentes issues de jr ont ete, dans ces derniers temps , compl^tement representes par Harnack au moyen des inTsriants fonctionnels de / {Math, Annalen, t. IX, p. 318).
Cf d d6signant des facteurs num^riques. Or le rapport anhannonique des quatre rayons A^= o depend, comme on salt, de l^invariant absolu
Jt — ^.'2 x^ ''
il est done independant de j^ ce qu'il fallait d^montrer. Nous avons en particulier ce th^or^me :
Le rapport aitharmonique d'une courbe du troisieme ordre est ^quianharmonique en cos d' ev^anouissement de I' invariant S, harmonique en cos d' evanouissement de I'ins^ariant T. Une courbe equianharmonique est done caracterisee, d'apres ce qui precede, par le fait que sa hessienne se decompose en trois droites et qu aux points doubles de cette courbe les tangentes d' inflexion se coupent trois a trois, une courbe harmonique par la circonstance que la hessienne de sa hessienne nest autre que la courbe primitii^e (p. 247 et 3oo).
Nous avons pr^cedemment represent^ Finvariant absolu d'une forme binaire biquadratique comme fonction du rapport anharmonique « ; nous avons trouvi (voir equation (28), 1. 1, p. 297)
y* "'(H-a)»(2 — «J*(l — 2aj*
Nous obtenons en particulier, pour a = i , la condition pour une racine double : i^ — 6p= o. Mais le premier membre de cette Equation doit, dans notre cas, se confondre avec le discriminant dey = a* , ^ un facteur pr6s, c'est-a-dire avec
Nous avons done, en vertu de (89) et (4o),
C i^ = c^ S' a*/ , Cy * = c'» T» u'/ ,
d'ou — == I . L'in^ariant absolu est lie avec le rapport anharmo^ nit/uc a de la courbe du troisieme ordre par V equation
T» / ' (H-a)«(2 — «)•(! — aa)>
LE8 C0CEBE8 DE TIOISI^ME OADAC OU DB TROlSlfiME CLASSB. 3l7
Naturellement , on a de m^me, pour une courbe du faisceau xf-hXA = o,
S'l , (l— ««\-+- O'iA^'
et, comme x, X entrent au douzi^me degr6 dans S' et T^, il s'ensuit qu'il existe toujours dans le faisceau syzygelique 3ty-|-XA = o douze courbes de mdme rapport anharmonique (toutefois il n'y en a que quatre ^quianharmoniques et six harmoniques).
YI. — Gonrbes dn troisieme erdre k point double on k point de rebronssement. — Lenrs degenerations.
Apr^s avoir expos6 dans ce qui pr^c^de les points les plus importants de la th^orie des courbes g^n^rales du troisieme ordre, il nous reste k rechercher les modifications que subissent les relations etudi^es en cas de survenance de singularit^s, et sp^cialement en cas de point double ou cuspidal et de decomposition de la courbe que Ton consid^re. Nous aurons, dans cette voie,i nous occuper de deux questions essentiellement distinctes :
1° Quelles sont les relations n^cessaires et suflisantes entre les invariants fonctionnels de la forme cubique pour caract^riser chaque singularity ?
a^ Comment peut-on, en supposant ces relations satisfaites, repr^senter les points ou tangentes singuli^res qui se rencontreront an moyen des invariants fonctionnels de la forme primitive ?
Enfin on devrait en troisieme lieu rechercher quelles particularites offriraient les diverses courbes covariantes dans les cas sp6ciaux consid^r^s. Toutefois, cette derni^re question nous conduirait trop loin ; m^me pour la r^ponse aux deux premieres que nous avons pos^eSy les fragments de la theorie des formes cubiques ternaires donnas plus hautne suflisent pas; nous aborderons d'ailleurs ces deux questions pour Stre complets, mais en nous r^fi^rant eventuellement k d'autres travaux( ^ ). Au surplus nous apprendrons a connaitre, dans la theorie des courbes a point double comme
(') Et en particulier au Memoire plusieurs fois cite de Clebscu et Gobdam, Math, Annalcn, t. VI.
3a8 TOMB II. — CBAPITRB 11.
dans celle des courbes k point de rebroussement, de nouveaux moyens auxlliaires pour I'^tude de la G^om^trie sur une courbe, moyens dont I'extension conduira plus tard aux applications des fonctions elliptiques a la th^orie des courbes g^nerales du troisieme ordre.
Nous commencerons par Fexamen des courbes qui ont un point double (< ).
Ces courbes sont caracteris^es par r^vanouissement du discriminant R, lequel est form6 avec les deux invariants
S = [abc) [abd] [acd] [bed], 1:=[abc) [abd] [ace) (be/) [de/]*
de la maniere suivante (p. 3o8) :
Done ici se pr^sente imm^diatement la question de la determination du point double y dans Fhypothfese R = o. Nous devons chercher k d^couvrir une forme adjointe qui, ^gal^e a z6ro, repr^sente ce point compt6 au moins trois fois, car il n'existe pas de forme adjointe de classe moins ^lev^e. Or, on a une forme de cettc nature dans la forme designee pr^c^demment (p. 822 ) par 11 et d^finie par I'^quation
(i) nr=S6 — T5.
Pour le prouver, nous d^montrerons d'abord la proposition auxiliaire suivante :
Si les courbes d' un faisceau
(2) Y,al^\0Ll=:O
setouchent toutes en un point de base y^ il existe dans le faisceau une courbe qui a eny un point double; il existe en outre
courbes ay ant des points doubles en d'autres points, cest-a-dire
( * ) On trouvera des points nombreux de la theorie de ces courbes traites plus en detail dans TOuvrage de Salmon, ainsi que dans Wetb, Theorie der mehrdeutigtn geometrischen Elementarffebilde, Leipzig, 1869.
LES COCRBES DB TROtSl^MB ORDHE 00 DE TROIftl^ME CLA8SB. 339
que, parmi les 3(n — i)^ courbes a point double figurant en general dans un reseau, deux se confondent avec celle qui aun point double cny ( * ) .
Gomme les courbes (a) ont toutes la meme tangente enj^, on peut poser a"~* ai = pa"~* «/, p ^lant une constante. Pour X = — p, on obtient par suite une courbe qui a en j^ un point double , ainsi qu'il a 4il€ ^nonc6. Soient ensuite z et tdeux points quelconqucs; relions projectivemeni chacun des deux faisceaux
au faisceau de polaires
(3) ^OyOl'^ -f- \OLyOL%-^ = O.
Les points d^intersection des polaires correspondantes engendrent respectivement les deux courbes
ou, si Ton pose i//= (y^)i, ^i= {y^)n
(4) (flaa)«r*«r*==o et (fl«f^) «r* «x"' =<>.
Ces demi^res se coupent en4(^ — i)^ points; on s'assure facilement que 3(/i — i)^ de ces points de rencontre tombent aux points doubles du faisceau (a), tandis que les (/i — i)^ res tan ts sont identiques aux points de base du faisceau (3). Actuellement, si une courbe (3) telle que «" = o a un point double enj^, on demontre ais^ment (au moyen de la m^thode employee k la page 98) que chacune des deux courbes (4) ^ ^galement eny un point double. Ces courbes se coupent done encore en 4('* — i)^ — 4 points simples; parmi eux(/i — i)^ — a tombent n^cessairement auxpoints de base simples du faisceau (3); il ne reste done plus que
^[n - i)« - 4— [(„ - i)«— 2] = 3(/i — i)« - a points ou les courbes du faisceau peuvent avoir un point double.
(') Cremona, Einleitung indie Theorie der ehenen Curverif n" 88.
33o TOMB II. — CHAPITRE U.
Consid^rons maintenant en particulier le faisceau ( * ) (5) xai + X«» = o,
Ux = o ^tant une droite quelconque. Soil R,x le discriminant de la courbe (5 ) et soient S«\, T«\ ses deux invariants. On aura
S.X = x*s 4- xn (?s -+- - xn« ^'s -4- -Aj x>» ^»s h — ^^-^ 5i* <?*s,
T«x = x«T-h x»>^4- - xn« (?«T-h . . . 4- >« ^T,
le symbole d'op^ration S ^tant d^fini par
UiUi^Uh.
Or on trouve
^^ = ^[(fl^c) [abu] [acu] (^c<i)] = o, ^G = §[[ahd] [abu] [aeu] [bfu] [defy] = [abuY [efuY [aeu] [bfu] = F,
Par consequent, il vient
( S.X=:x»(xS-h4>S),
2x").*(i86*-h3TF — 4SS*) |x).'(276F-85»)4-9X*F»],
Done, dans un faisceau de courbes du troisieme ordre oujigure
(') Pour I A m^thode employee dans ce qui suit, voir HebbitBi Journal de CreiU, t. 84, p. 3oo, et LiNDEMAMif, ibid., p. 3o3.
LES COOSBES DE TBOlSliME OROAE Oil DB TBOISI&MB CtASSE. 33 1
une droite comptant trois Jois, il n'y a plus que quatre courbesh point double.
La courbe a^= o peut avoir elle-meme un point double Qnj^ de sorle que R = o. Alors, dans R,x, tous les termes doivent renfermer le facteur Uy, car si li^est^gal ^z^ro, toutes les courbes du faisceau (5) ont ^yidemment en ^ un point double. Le second terme de K^\ est surtout important pour nous ; nous allons montrer qa*il est proportionnel k la troisi^me puissance de Uy. Consid^rons dans ce but, k la place du faisceau (5)^ le faisceau
(9) xflj-i->Zf^r^«'^r=0.
Designons par R^^ le discriminant d'une courbe de cefaisceau, en sorte que Ton ait
en posant
Rj = g > ^^— [U(Vjtw^ -h WiUj^Vh -^ ^U^'k^h
Or on a, d'apr^s (8),
ii vient, par suite.
Ri = I2W;.<V"'r= 2 > -r —
dui
Vi^k.
Actuellement, si Ton a R = o et m^- = o, toutes les courbes (9) se touchent en y^ et la courbe a' = o doit ^tre compile deux fois, d'apris un lemme pr6c6dent. Pour T^quation Rxv= o, la valeur ^ = o sera done une racine double ; il suit de la que non-seulement $ = mJ|, mais aussi UrVrWr renferme le facteur Uyy ce qui n'est possible que si i/' est proportionnel k u^, Notre proposition est par \k d^montr^e.
Au lieu de.la forme II on peut introduire la forme 9 d^finie par (i ), car on a, a cause de R = o,
« = T6--gS*S
IVous avons done V equation ( * )
et les coordonnees du point double j" se determinent par la proportion continue
jr\''jr\yi'y\x^'" " :jirir3== 'fill : ^111: ••- :^i«.
ou Ton a, pour ^ = u^^ S = u^,
Aprds que le point double a €t€ ainsi trouv^, on peut mellre r^quation de la courbe sous une forme canonique tr^s simple. Deux c6t^s du triangle de base qu^il convient d^introduire sont donnas par les deux tangentes du point double et se trouveront cons^quemment par decomposition de Texpression a^ a^ en ses deux facteurs lineaires (t. I, p. i3i); le troisi^me c6te est forme par Tunique ligne inflexionnelle. On n'a plus en effet que trois points d'inflexion ; les six autres sont rassembl^s au point double (p. ny et 71 )y puisque la hessienne A =r oy a elle-m^me un point double et que ses deux branches y touchent celles de la courbe primitive. Les trois points d'inflexion sont naturellement encore sur une droite, et c'est cette derni^re qui doit former le Iroisi^me cdt^ de notre triangle de coordonnees. Pour la trouver,il nous faul chercher les courbes ^vanouissantes du faisceau
(10) x/-H>Ar=0,
lesquelles sont en general donn^es par T^quation du quatriime degre G()c, X) = o. Or cette derni^re, par suite de ce qu'en vertu de R = o ses deux invai*iants sMvanouissent (p. 807, et 1. 1, p. 299 et suiv.); a trois racines ^galcs.
// existe done dans le faisceau [10) deux courbes quise decom-
(*) On peut appliquer Ja m6me m^thode pour demontrer que
fti R = o, R designant le discriminant d'une courbe du /i " ordre et jr son point doable. Foir aussi Stlvestbr, Philosophic€d Magazine, 4* serie, t. Ill, i852.
LES C0CRBE8 DE TROISlftME CLASSB OU DB TROISltME CLA8SE.
posent en trois droites, la premiere comptant trois fois et la seconde une fois seulemenl.
La premiere ne donne pas d'ailleurs de triangle proprement dit, car, ainsi qu'on peul le d^montrer en efiectuant par des considerations de limites le passage de la courbe g^n^rale k la courbe speciale et en ayant ^gard k ce que six. points d^inflexion sont reunis au point double, elle se compose des lignes qui joignent le point double aux trois points d'inflexion.La derni^re, au contraire, se compose de la ligne inflexionnelle et des deux tangentes au point double ; deux c6lis nous sont done d^j^ connus par decomposition de I'expression a^- a^ en facteurs lineaires, et il est ainsi facile de trouver les coordonn^es du troisieme c6te. Soil X3 = o Tequation de ce dernier, et soient xi = o, 3:2 = o les Equations des tangentes au point double. L'^quation de la courbe pent toujours etre mise sous la forme
carcette courbe a en Xj =0, x^ = oun point double e Ices cdt^seuxmemes du triangle pour tangentes ; ensuite ^3=^0 coupe la courbe aux points d'inflexion, puisque liquation de la hessienne dcvient
OLJCi yjT, 7^, yxj px, y.vi V^j '/.r, o
7*(a7.r,j:,j:3 — axj— pxj);
la hessienne ne rencontre done la courbey = o en dehors du point double qu'aux points ou celle-ci est rencontr^e par x^ = o. Mais nous pouvons encore, en modifiant la definition des coordonn^es x, faire disparaitre dansy les cons tan tes a, j3, y au moyen de la multiplication par des facteurs convenables, ce qui correspond ^ la ciixonstance que la courbe du troisieme ordre k point double n'a plus d'invariant absolu (c'est-i-dire plus de constante qui la caracterise absolument). II r^sulte aussi de ce dernier fait que toute courbe C3 a point double est representable sous la forme pr^c^dente, car une telle courbe pent ^tre transform^e en une quelconque de m^me nature. Nous avons par consequent ce theoreme :
L' equation d'une courbe du troisieme ordre a point double
pent toujours ^treamenee d'uneseule manierea la forme
(11) /^.rJ-H j?'-f- 6xiX,X3=:0,
et V equation de la hessienne est alors
^ A ^ aOTi JTj JFj X* — jrj = O.
Le faisceau x,J-h XA =. o ou
(12) ('^i"*" ^\) (Jt — 6^)4-6x1 j-,j;3(x 4- 2>) =0
ne renferme maintenant en fait que deux courbes ^vanouissantes, r^pondant aux valeurs x = 6X et x = — 2 X. On reconnait d'ailleurs qu*en ce qui concerne la situation des sommets du triangle de base sur la ligne inflexionnelle, a lieu le m^me th^or^me que pour une courbe g^n^rale (p. 234); ceux-ci, en effet, sont determines par les lignes X| = 0^X2= o, tandis que les points d'inflexion le sont par x^ -h xj = o. En consequence :
Les tangentes au point double coupent la ligne inflexionnelle en deux points qui representent la forme hessienne relatii>e a la forme cubique binaire donnee par les trois points d' inflexion, Le covariant Q de cette derniere est determine par les trois droites harmoniques des trois points d' inflexion ( * ).
Ces trois lignes passent par le point double comme la polaire d'un point quelconque; le tbeor^me que nous venons d'enoncer a done lieu aussi bien pour les rayons du faisceau determine par le point double que pour les points de la ligne inQexionnelle Xs = o. Au surplus, pour ce qui concerne la reality des points d'inflexion, il en est de m^oie que pour ce qui concerne les poiuls de base d'une forme cubique consider(§e relativcment k la forme hessienne. Done, parmi les trois points d' inflexion, deux sont imaginaires conjugues et un reel si les tangentes du point double
(*) On peut, en general {ifoir la suite du texte), relicr la geometriesar la courbe k la theorie des formes cubiques binaires, en prcnant k cet eflet les rayons allaot du point double aux trois points d'inflcxion comme rayons de base,ainsi que Tout fait Icci ( Math, jinnalen, X. VI, p. 633), et Rosknow ( Ueber Curven dritter Ordnung mit Doppelpunkt^BreB\a\jf 1873), sans employer la forme canonique. Nous reWendrons plus tard sur ce sujct en traitant des courbes de genre zero.
LEg COHMES DB TK0I8l£llE ORDKE 00 DB TROISl£llB CLAS8E. 335
sont reelles^ au contraire, tous sont reels si les tangentes du point double sont imaginaires, cest-h-dire si ce dernier est un point isole (*).
Nous pouvons d^ailleurs ^tablir une liaison entre la g^om^trie sar la courbe et la g^om^trie dans le faisceau de rayons d^ termini par le point double, car tout rayon de ce dernier ne rencontre plus la courbe qu'en un seal point. La courbe est done representee sans ambiguite sur le faisceau de rayons et par suite aussi sur une droite quelconque. Pour donner k cette relation une expression algdbrique, pour exprimer les coordonn^es d'un point de la courbe parcelles du rayon correspondant dans le faisceau , nous recourrons au mode de trac6 des courbesdutroisieme ordre indiqu^ par Chasles et DU Ton emploie un faisceau de rayons et un faisceau de coniques projectif relativement au premier (p. 268). Une courbe a point double prend en effet naissance lorsque I' on place le sommet du faisceau de rayons en I'un des points de base du faisceau de co~ niques, car, le faisceau de rayons <^tant donn^ par X| -t- Xxj =• o, r^quation d'un faisceau de coniques projectif de Tesp^ce annonc^e sera de la forme
A oTi 4- B.r, -f- > ( Cxj 4- D j:, ) =1 o,
A, B, G, D ^tant lin^aires par rapport aux quantit^s Xj et Ton obtient par elimination de X
(A^i -h Bxj] JT} — (Cx| -+- Dxjjxi = o,
Equation dans laquelle chaque terme est au moins du second ordre en X|, Xo- c. Q. F, D.
En se fondant sur ce mode de description, on peut aussi ejffectuer
la construction de la courbe si le point double o et six autres
points
(') Comment la premi^je de ces courbes derive de la courbe generate C,, c'est ce qui a m montre p. ai3; quant k la courbe h point isole, on peut imaginer qu'elle proTient de la courbe 3 de ^^fig' 34, Torale se rdtrecissant de plus en plus de fa^on k se reduire a un point.
5071^ donnes. Nous emploierons par exemple les points o, i » 2I} 3 comme points de base d'un faisceau deconiques; nous rapporterons
k la conique qui passe par 4 1^ rayon o4y ^ celle qui passe par 5 le
rayon o5, a celle qui passe par 6 le rayon 06; la relation projective entre le faisceau de rayons et le faisceau de coniques est alors fixee. Si Ton imagine encore que cette relation soit ^tablie de m£me par le faisceau de tangentes des coniques en Tun des points i, 2, 3 (p. 95), la construction du point d^ntersection d'un rayon quelconque passant par o avec la courbe n'ofTre plus d^sormais de difficult^.
Pour obtenir imm^diatement T^quation de Ja courbe sous la forme ( 1 1), il suffit de prendre Ic faisceau de coniques sous la forme
(l3) >a:J — arj-h 6.r,j?3 = o,
Xi'^y<X2=^o ^tant encore le faisceau de rayons. Mais de (i3) r^sulte, pour Xi = — 1x29
(i4) Xj -f- ^'xt — 6^^:3=0.
Nous trouverons done, en dcrivant - au lieu de X,
ou, en multipliant par SX/x,
Les coordonnees des points de la courbe se representent done
comme desfonctions du troisieme degre d' un parametre -> X, |*
etant les coordonnees des rayons du faisceau determine par le point double^ rapportes aux tangentes du point double comme rayons de base; alors a chaque point de la courbe coiTespond un rayon du faisceau, et reciproquement,
Cette repr(§sentation au moyen d'un parametre est surtout utile gourT^tudede laG^onl^trie sur la courbe. Nousallons, enenfaisant usage, traiter quelques probl^mes que plus ttird nous traiterons d'une mani^re semblable k I'^gard des courbes du genre z^ro. Coupons la courbe par une droite quelconque u ; les valeurs du
LPS COURBBS DB TR0IS1£ME ORDBB OC DB TROISlillE CLASSE. 337
parametre qui correspondent aux points d^intersection se determinent au moyen de Tequation du troisi^me degr^
6)L*fii/i — 6X/**aj -h [y? -4- it}]u^=zo,
Divisant cetle derni^re par 1/3 fx^, nous avons relativement a-
une Equation dont le terme constant est toujours egal k Funit^, de quelque mani^re que la droite ait ^t^ choisie. Si done on d6signe par I'addition d^ndices les racines de T^quation, on a toujours
;i6) hh.h = ^^^
et Von peut par cette relation determiner le troisieme point d' intersection de toute droite si les deux autres sont connus.
Si en particulier la courbe est touch^e par la droite u, deux des racines sont ^gales entre elles, et nous avons
^3 Pi
Cette equation determine les deux points de contact
(les tangentes menees d'un point {^bj (i^) de la courbe a cette dernierCj ou inversement le point tangentiel {\zi ^b) du point (^o /^O*
Si enfin la ligne u est une tangente d^inflexion, il vient
-- = — I ou >' -h a' :=r O,
c est-a-dire 0:3=0 comrae cela doit 6tre. Les equations ( 1 8 ) donnent immediatement, en vertu de ce fait que les deux valeurs de T^iifJ^t ne different que par le signe, le lhcor(!;iTie suivant :
Si Von joint au point double les points de contact des deux tangentes que Von peut mener a la courbe par un point de cette derniere, les lignes de jonction sont situees harmoniquement par rapport aux tangentes du point double. Tous ces couples de rayons forment par suite I'in^olution quadratique des premieres polaires
Clehscb. — Geomdtrie, II. 22
de la forme binaire cubique representee par les lignes dirigees vers les points d' inflexion ( * ).
Par \hiy a tout point de la courbe correspond un second point, el deux points correspondants ont le m^me point tangentiel et ferment consequemment un couple de pdles, en employant ce mol comme lorsqu'il s'est agi des courbes g^n^rales du troisi^me ordrc (p. 258). Mais en cas de point double il n'existe sur la courbe qu'un seul syst^me de ces couples, et, en effet, une courbe du iroisi^me ordre du falsceau (12) ne pent Atre consid^r^e comme hessienne qu'a T^gard d'une courbe unique du meme faisceau, car les coefficients deviennent, par Tisolement d'un facteur quadi*atique commun, lin^aires en x, X. La ligne qui joint les points d\in couple de cette nature enveloppe la cayleyenne (p. 224) » ^t ^^ consequence nous pouvons ais^ment ^tablir T^quation de cctte dernierc. L'equation d'une ligne de jonction telle que celle donl nous parlons est en effet, d'apr^s (18),
Xj
