XV
-6Xf*'
X'4-pt'
6Xa«
pt» — ).»
ou, en effectuant le calcul,
La cajleyenne se decompose done et comprend : i^ le point double; 2** une conique dont lestangentes sont donnees par
et dont V equation est par suite
6uiU^ -+- ul=^ o.
Cette courbe louche done les tangentes du point double en lours points de rencontre avec la ligne inflexionnelle.
(*) F'oir t. I, p. 3J9. Le fait que les polaires quadratiqucs d'une forme binaire cubique forment en reality une involution dont les elements doubles sont donnes par la forme hcssienne s'aper^oit immedifttement.
LES COURSES DB TftOlSltME OftDRE OC DE TROISI^MB CLAS8E. SBg
Nous allons encore utiiiscr la relation (17) pour T^tude de certains polygones inscrits a la courbe. Nous partons d'un point quel-
conque^Q de la courbe (Xq est mis pour — j et nous menons de ce
point une tangente a la courbe, tangente dont le point de contact seraX,, puis de ce dernier nous m^nerons une tangente dont le point de contact sera en X2, et ainsi de suite. On se demande comment doit ^ire situ^ le point X^ pour que le polygone soit ferm^, c*esl-a-dire pour que le «'*"*• c6t^ du polygone ainsi construit passe par le point de depart (*). Or on a, d'apr^s (17),
A, » Aj J Aj J ..., A,, }
Aq Aj Aj ^n—l
el, par consequent, les param^tres de ces points sont. en suivant Tordre inverse,
Done, pour la determination des points qui peui^eni servir de points de depart pour la construction d'un polygone ferme }.o = X;2) on a V equation
Mais on n'obtient en r^alite un vrai polygone a n sommets pour iouXe solution de cette Equation que si n est un nombre premier. Si, au contraire, on a par exemple n = mp, p 6tant un nombre premier, ( — 2)" — i est divisible par ( — i)p — i, et Tequation (20)
(' ) Cespolygonesont^te indiqiies par Clebsch relativement k une courbe de troisidme elasse a laDgente double. Voir sa Note sur le Memoire de Cremona, Sur Vhjrpocxclotde a trots rebroussements {Journal de Crelle, t. 64), et, pour plus de details (surtout en ce qui concerne la distinction du reel et de Tiniaginaire), Ddr£ge, Math, uinnalen, 1. 1, p. 509, et KosENOw, loc. cit, V hypoeyclotde s'obtient au moyen d'une courbe generate de troisidmc classo et de quatrieme ordre, en choisissant pour tangente double la droite de I'infini et pour les points dc contact de cette dernidre les points circulaircs imaginaircs. Des propositions precedentes du texte il resulte alors que deux tangentes a rhypocycloide, telles que leurs points de contact soient sltues sur une troisi^me tangente, sont toujours perpendiculaires entre elies, et que leurs points de rencontre decrirent un ccrcle qui, joint a la droite dc I'infini, forme la cayleyenne de rhypocycloide.
se forme de Tequation
en 61evant les deux membres de cette dcrniSre a la puissance a,
a ^tant ^eal k , Nous obtenons done seulement un polv-
gone k p sommets qui sera parcouru a fois pour fournir un polygone k n sommels. On reconnait qu'une etude plus attentive de ce probl^me exige des d^veloppements qui appartiennent a la iheorie des nombres, et a Taide desquels on arrive du reste facilement a le r^soudre (*).
Nous traiterons encore un probleme analogue, dont (pour les courbes sans point double) Steiner a donn6 le premier la solution. Soient sur la courbe deux points fixes ayant pour param^tres
- =p, - z=z q, Menons par p une droite quelconque qui rencon-
trera la courbe aux points X,, Xj par exemple. Joignant X2 a y, nous obtiendrons, comme troisieme point d'intersection de celle ligne, X3, et soit X4 le troisieme point d'interscction de la ligne qui joint X3 k p, et ainsi de suite. Nous construisons ainsi un polygone dont les cotes impairs passent tous par p, les cotes pairs tons par q^ et dans lequel deux sommets cons^cutifs sont en ligne droite avec p ou q. Nous nous demandons les conditions de la possibility de la fermeture d'un tel poly gone, c'est-^-dire la condition pour qu'une droite qui en fait partie rcpasse par Xi . Or I'^quation (16) nous donne les conditions
p\\^^=. — I, pW^zi — 1, ..., p\n-\''tn-^^ — '» qWz=: — I, qW^z — I, ..., <7).irt*Ai :zi: — I.
Si nous multiplions toutes les Equations dans lesqucUes entrey? les unes par les autres et de m6me toutes celles dans lesquelles entre y, il en r^sulte
(*) On traite aiissi d'une manicrc scmblablc la question des polygoues inscriu a la courbe dn troisieme ordre consideree comme hessienne d'une autre courbe, etcirconscrits a la cayleyennc corrcspondante. Voir Rosenow, loc, cic.
LES COCRBES DE TliOI8l£llB ORDRE OU DB TROISlfiMB CLAS8B, 34 1
Si done p est donn^, q n'est plus arbitraire; au contraire le point l^ pent encore ^ire choisi d'une mani^re quelconque. Le polygone seferme toujours, car on pent, au moyen des Equations 6tablies, calculer directement et successivement les param^tres de ses sommets. Par consequent :
// exists un nombre injiniment grand de poljgones a 2n cotes et 271 sommets dont les sommets sont situes sur iine courbe donnee du troisieme ordre h point double, dont les cotes impairs se rencontrent en un point p de la courbe et dont les cotes pairs passent par un second point q de celle-ci. Si p est donne, il y aura multiplicite de determination pour q , et pour deux points correlatifs p et q il existe une injinite de poljgones, puisque le premier cote peut etre choisi tout a fait arbitrairement.
On doit d'ailleurs observer encore ici que la nature du nombre n pr^sente de Timportance pour la supputation des solutions propremeat dites du probleme. Nous n'insisterons pas pour le moment sur ces questions, parcc que plus tard nous trailerons le m^me probleme relativement aux courbes g^n^rales du troisieme ordre k I'aide des fonctions elliptiques. D'une mani^re g^n^rale, les considerations pr^sent^es ici sont destinees k servir d'exemples pour une m^thode d'^tude de la Geometric sur une courbe, m^thode que nous developperons plus tard k regard des courbes quelconques Ae genre z^ro, avec extension aux courbes de genre quelconque par le moyen des int^grales ab^liennes.
Nous abordons Texamen des courbes i point de rebroussement, A leur ^gard, suivant ce qui a ^te etabli par Salmon, ont lieu simultan^ment les conditions
En effet, S et T sont les deux invariants de la forme biquadratique representee par les quatre tangentes que Ton peut mener d'un point d'une courbe g^n^rale du troisieme ordre k cette derniere (p. 320), et leur evanouissement exprime, par suite, que parmi les quatre tangentes trois se confondent, ce qui n'est possible que dans lecas de survenance d'un point de rebroussement. II s'agit d*abord de calculer les coordonnees^i du point de rebroussement au moyen des coefficients dey. Nous partirons du faisceau (5), et nous for-
343 TOME II. — CnAPlTAE II.
merons pour ce faisceau les formes S,x, T,\, R,^; en vertu de (21), il r6sulte de (7) et (8)
R.^=: x«).« r36x*6*4- I x>(-27GF — 8§» -h 9>'F«)1.
Dans un faisceau de^courbes du troisieine ordre oil se trouvem une courbe h rehroussement et una droite triple, il existe done deux courbes h point double, puis une courbe harmonique, mais pas de courbe equianharmonique.
Si Ton a Mj = o, toutes les courbes du faisceau (5) onl eny un point de rehroussement; done les formes S, G, F renfermeront individuellement le facteur Uy. Si Ton a inversement 6 =: o, les
equations -^ = o et -^ = o admettent la racine X = o , cVst-
a-dire qu'une courbe du faisceau voisine dej'= o a ^galement un point de rebroussement; par consequent, S,x doit aussi s'annuler pour cette courbe voisine, ce qui ne se pr^sente que pour S = o. Si done G est nul , on a aussi S = o , et il vient S.x = o pour toutes les courbes du faisceau. Mais on a alors
R.x=9xn«.X*FS T.^z=3xU.XF.
L'^quation -^ = o admet par suite la racine double X = o, el,
puisque S.x est aussi egal a z^ro, -~ deviendra un infinimcnt petit
du second ordre pour X = o, c'est-a-dire que Ton aura aussi F = o. Or on a, d'apr^s les formules de Pliicker, F = mJ«' si u' = d^signe F^quation de f= o en coordonn^es-lignes ; G admet le facteur Uyf et Ton a F = o lorsque G = o; on pent done poser
On obtient ainsi ce th^oreme :
Lfes conditions necessaires et suffisantes pour que la courbe f =^ possede un point de rebroussement sont S = o ef T = o. Xe^
(*) On obtiendrait le m&me resultat en faisant usage, h pen prds comme ci>de&sus, des courbes (4) et du faisceau (9). Les courbes (4) ont dans le cas actuel chacuoe un point double en jr et la tangente dc rebroussement comme tangente commune en c« point. (Cremona, loc, cie.)
LE8 COCRBES DB TBOlSlfillE OBDRE OC DE TBOlSiiMB CLA8SE. 343
coordonnees du point de rebroussement se determinent par la proportion continue (6 = uf )
Xx • y'\.yt '^1 j^'a • • • • • xix^Xz^^ 'ill • 'iij • '113' • • • * 'i23-
La hessienne, d^apr^s nos explications pr^c^dentes (p. 29), a necessairement au point de rebroussement un point triple, et cc point est tel que deux de ses tangentes 'coincident avec la tangente de rebroussement. EUe se compose done, dans notre cas, de la tangente de rebroussement et de la ligne qui joint le point de rebroussement au seal point d'inflexion qui reste encore. On pent aisementy d'apr^s cela, determiner ce dernier point alg^briquement lorsque les coordonnees du point de rebroussement sont connues, car on pent isoler de A le facteur a^a^] Tautre facteur lin^aire donne alors imm^diatement I'^quation de la ligne de jonction pr^cilee. II n'existe pas alors de triangle inflexionnel proprement dit dans le faisceau xy-f-XA = o. En effet, dans le premier membre de Tequation G(xy X) = o, il ne reste plus, si S = o et T = o, que le terme 3c* ; cetle Equation a done quatre racines ^gales x = o ; le seal triangle ainsi determine est cons^quemment la courbe A elle-raAme. Un syst^me de coordonnees conforme k la nature du sujet et propre a Tetablissement d'une forme canonique nous est d'ailleurs donne par les lignes suivantes ( voir ci-apr^s^g^. 3o) :
la ligne joignant le point de rebroussement et le point d'inflexion. . j:, = o
la tangente de rebroussement x, = o
la tangente d'inflexion. ;r3= o
Sous le benefice de cette fixation, Tequation de la courbe prend la forme ( voir p. 3o)
122) x\ — 3.rJ.r3z= o,
et requation de la hessienne devient, comme cela devait etre,
.^3 O JC^
■IT. •* a . -- 0»
La cayleyenne est enveloppee par les premieres polaires des
points de la hessienne. Or la polaire d'un point z plac^ sur X| = o
est
c'est-&-dire un couple de Hgnes dont le sommet est situ^ au point de rebroussement, et la polaire d'un point z de X2= o est
•2^1(2x321— .rj 23) = o,
c'esl-i-dire un couple de lignes compost de la tangenle de rebroussement fixe et d'une ligne mobile men^e par le point de rencontre de cette derni^re avec la tangente d'inflexion. Mainlenanty comme tout point de 0:2 = o compte doublement en tant que point de la hessienne, la cajl¥ne se compose du point de rebroussement compte deux /bis et du point de rencontre de la tangente dHnflexion et de la tangente de rebroussement.
On reconnait imm^diatcment sur F^quation (aa) que les points
de la courbe peuvent s'exprimer en fonction d'un param^tre de la maniere suivante :
(23) pj7j=a', p.rj=fA*>, p.r3=:rX%
en mettant a^s k la place de x^ y/3.
Avec le secours de cette representation nous nous proposons, comme nous I'avons fait k l'6gard des courbes a point double, de trailer quelques probl^mes relatifs a la g^om^trie sur la courbe. Cette derni^re est coup6e par une droite u en trois points determines par I'^quation
dans laquelle manque leterme multiplie par ^^f*; pour lespara^ metres de trois points situes sur une droite existe done toujours la relation
Cette relation, compar^e k la relation (16) qui lui correspond dans les courbes k point double, est d'une nature essentielleraent differente. Nous verrons plus tard, dans nos recherches gen^rales sur les courbes du genre p = o, la maniere dont I'^quation (24)
LES C0UBBE8 DE TROlSltllB OEDBE OQ DE TBOISltllE CLA88B.
procede de T^quation (i6) par des considerations de limites, cette derni^re ^tant d'abord suppos^e sous la forme
log
SI nous menons main tenant d'un point Xq | = — j la seule tan-
g^ente encore possible k la courbe, tangente dont le point de contact peut ^tre suppose en Xi, puis de X, la tangente dont le point de contact sera Xj et ainsi de suite, nous avons
)o->-2>|=^0, Xj-haXjirrO, ^j+^XjnzO, .. , X;. j -+- 2 >^ = O, ...
OU
Les param^tres deviennent done de plus en plus petits et, si Ton continue le precede, s'approchentindefinimentdela valeur z^ro qui correspond au point d'inflexion. Par consequent, si I' on continue de mener des tangentes d'un point quclconque a notre courbe du troisieme ordre, le point de contact s'approche sans cesse du point d' inflexion.il est clair que Tonne revient jamais au point de depart: onne peut done construire de cette mani^re aucun polygone fermi. A Taide de la derni^re proposition on peut sans peine representer sensiblement la distribution des valeurs r^elles du param^tre sur la courbe, comme le montre l^fig- 3o. Le point X© = i peut ici
Fig. 3o.
Xj=0
encore ^tre choisi arbitrairement sur la courbe, et, partant de U,
on peut facilement construire les points > jj — «» ' " d'apr^s
noire theor^me. Le param^lre parcourt sur Tun des deux chemins possibles entre le point d'inflexion et le point de rebroussement
346 TOME II. — aiAPITRE II.
(c'est-a-dire entre o et oo ) toutes les valeurs numcriques positives, et sur Taulre toutes les valeurs negatives; il resulte au surplus de r^quation ( ^4 ) que deux points auxquels appartiennent des valeurs param^triques de signes contraires sont toujours en ligne droite avee le point d'inflexion X = o ( * ).
La construction du polygone de Steiner suivant la maniere indiqu^e ne conduit ici k aucun r^sultat. Si nous partons en effel des points p, iff nous obtenons Ic sjst^me d^^quations
;? -f- >i -f- Xj = o, ^ -h X| H- )»3 = o.
p H- >i„, -h >,;j = O, q -h >j« -h Xj z= O,
ce qui entraine p = q; on n'obtient done pas alors de polygone proprement dit.
En vertu des formules de Pliicker, il ne pent exister d'autres singularit^s concurremment avec le point double et le point de rebroussement sans que la courbe se decompose. II est d^ailleurs int^ressant d'6lablir d'une maniere complete les conditions algebriques de cette decomposition , et c'est ce que nous essajerons de faire dans ce qui suit.
Si Von impose a la courbe d^ avoir deux points doubles, elle doit n^cessairement se decomposer en une conique 5^= o et en une droite coupant cette derni^re en deux points s^par^s. On a done
(25) f = al. = r^sl. = r^s} = , ...
Nous avons vu qu'en cas de survenance d'un point double la forme EE devient Ic cube du premier membre de r^quation de ce
(') II est du reste facile de se rcndre scmblablcment compte de la distribution des valeurs da parametre sur une courbe & point double. II resulte de (8) qu'an point double (pour /a = i), suivant qu'il est considere comme place sur Tune ou sur I'autre branche de la courbe, repondent les valeurs ji ^ o ou A = 00 , tandis que jl s= — i determine Ic seul point d'inflcxion r^el; puis il suit de (9) que deux poinu ayant les
valeurs parftmetriques Jl et - sont en ligne droite avec le point d'inflexion. La valeur
ii = + 1 donne, d'apr^s (17), Ic point de contact de la seule tangente qu'on peut encore mcner du point d'inQexion k la courbe, et aiiisi de suite.
LES COORBES 1>B TBO»l£llB ORDU OU DB TBOISlfiME CLA88B. 347
point double. Lorsqu'il surviendra un second point double, n devra done £tre identiquement nul, ce qui est confirm^ par la reflexion suivante(M- L^s invariants S et T ne s^evanouissent evidemment pas ici s^par^ment, car autrement la courbe a deux points doubles se d^duirait de la courbe a point de rebroussement par des considerations de limites, ce qui n'est pas possible {voir p. 349)- Au contraire, la relation
subsisle comme en cas de simple point double. Main tenant, la formey= r^s^. n'a plus que les deux invariants
iz=[rss'Y et y~[,v/5")».
L'^vanouissement du second exprime la presence d'un troisi^me point double; S ne pent done 6tre proportionnel a/, parce que ce cas dej = o ne pent pas davantage se deduire de la presence d^un point de rebroussement. Si I'ou a au contraire i = o, la ligne r touche la conique; autrement dit, la cubique acquiert un point de rebroussement, et Ton aura encore S = o , T = o. Ces derniers invariants deviennent done proportionnels k des puissances de i, et, comme S est du quatri^me degr^, la seule hypoth^se possible est
(26) S = ci\
c d^signant un facteur num^rique, d'ou
Comme, d'ailleurs, S et G d6rivent de S et T par le proc6d6 de
-r UiUkUh {voir p. 284 et apS), et qu'on a
(*) Foir GoBDAN, Ueber Citrven dritter Ordnung mit zwei Doppelpunkten {Math. 'dnnalen, t. HI ), et GcifOBLFixcER, loc, eit.
348 TOME II. — CnAPlTBB II.
il en resulte, si Ton applique aussi ce proc^d^ a R = o,
(28) 6TG— S'S=:o ou v^6c/G=rc/*S,
ou, apr^s multiplication pariy^ dans les deux membres et en vcrtu de (26) et (27),
(29) n==TS — SG = o.
Le fait que T^vanouissement identique de 11 est ^galement suf-
fisant r^sulte de ce qu'il se produit sans supposer T^vanouisse-
ment de S etT, et que d'autre part, comme nous le vcrrons, ilne
suffit pas pour causer la presence de trois points doubles, le point
double, dans la circonstance od R=o, 6tantd*ailleursindetermin^.
On efiectue la d(^ termination du facteur num^rique c en calculant directement, a I'aide de i'^quation
^^ikh=^ n^ui-^ ^k^hi-^ ni^^ik^
les conditions qui y sont relatives. Nous ne donnons ici que les r^sultats. On a
gS = ^[®cuYc^u^ =z^[vsuY[ss'u)[rss']y
278= 27(ea/]'c^rf^ =2/',
\ 243T = 243(0a^/)'aa^^^ = — 2/» (»).
Au moyen de ces Equations, nous trouvonsimmidiatementc= — et ensuite (3.) SA-T/=-^y,V..
Nous avons done le th^or^me suivant :
La condition necessaire et suffisante pour quune courbe du troisieme ordre se decompose en une coniqiie et en une droite qui
( ' ) 11 suit de Ik que dans (27) on doit prendre le signe n^gatif du radical.
LE8 COCRBBS DB TBOlSltMB ORDRB 00 DB TR0I81£ME CLASIE. 349
la coupe est I' e\fanouissement identique de la forme
les coordonnees de la droite so calculent alors au moyen de Vequation
dans laquelle [en posant A = a^)
Les coejjficients de Vequation de la conique se trou^ent en dwisant par r^ dansf.
II se produit une particularisation de plus si la conique est touchee par la droite. Alors on a
I ^ ss r^^ 1= o;
done, suivant (3o), les invariants S et Ts'^vanouissent, comrae cela doit elre, puiscjue celle hypoth^sc provient du point de rebroussemenlpar degeneration. Mais G cstaussi,d'apr6s (3o),identiquement Qul si i s'annulcy et il vient
:32) a7ai==27Ai=4r»y.
Nous voyons de plus par (3o) que S devient ^gal (sauf un facteur numerique) a u', les quantites yi etant les coordonnees du point de contact de r, car Tevanouissement de [rsuy exprime que le point d'intersection de /• et de u est situe sur 5J = o, et
(ss'u ) ( rss' ] =: o
est r^quation du pole y de r, lequel se confond ici avec le point d'inlersection dont il a ^t^ parl^. Done :
La condition necessaire et sufjisante pour quune courbe du troisieme ordre se compose d'une conique et d Uine droite tangente a cette derniere est V evanouissemenl identique de G. Les coordonnees ji du point de contact se determinent au moyen de la proportion continue (8 etant egal a u' )
^1 •/i^tt/i/a* • • • '^XxXiXz^^ •^111 • ^itj ' ^113 • • • • ^i2j>
et les coordonnees r/ de la tangente par
A eta/zt egal a a^.
*Si /a courbe du troisieme ordre doit avoir trois points doubleSy il faut que la conique s^y dans le cas caract^ris6 par 11 ^ o, se decompose en un couple de lignes, c'est-^-dire que Ton ait
^ et
^% =^ PxQxi /= r^PxQx-
Alors tout point de la courbe est un point d'inflexion; A deviendra done proportionnel k f^ et, en effet, il r^sulte de (3o) et (3i), a cause dey = o,
(33) 9A= — // et SA-T/:=0.
Pour la decomposition d'line courbe du troisieme ordre en trois droites, il est done necessaire et suffisant que f soit propertionnel a A, cest-a-dire que lajorme mixle [voir p. 3i4)
soit identiquement nulle. Les coordonnees pi, qi, ri des trois droites se determinent au mojen des equations
Pour r^soudre ces Equations d'une maniere effective, on pout proc^der ainsi qu'il suit. Soient y el z deux points quelconques du plan; on d^terrainera les points j^ -+- Xz, ou leur ligne de jonction rencontre la courbe y== a^ = o, au moyen de T^quation du troisieme degre
al -h 3>aJ«- -f- Zl^Qyal -4- >'«? =o.
Nous d^signerons les coordonnees de ces points par |, |', |'', de telle sorte que, X, X', X'' 6tant les racines de T^quation pr^cedente, on aura
?/=r/-+- X2i, ti=Xi-^ >•'-/, Z^Xt -h x"2/.
Les tangentes de f= o aux points ^, ^', J" coincident alors
LE8 COURBES DE TROIttliME ORDRE 00 DE TROISI&ME CLAS8E. 35 1
avec les trois droites en lesquellesy se decompose; aulrement dit, les quantites/?/, y,-, /'i sont d^termin<Ses par les Equations lin^aires qui suivent ( * ) :
opi= a^a,, pqi= a^.a,^ pr^zTz a^ai,
II peut arriver en parlicuUer que les trois lignes droites passenl par un m^me point, e'est-a-dire que le determinant {pqr) s'^vanouisse. Nous avons alors aussi
' = [P^^? = o et y = o,
et par consequent, d'apr^s (3o),
comme c'^tait k pr^voir, car ce cas prend naissance lorsque, dans I'hypothese d^finie par Gei^ o, la conique 5^ = o se decompose en un couple de lignes dont le sommet est situ6 sur /'a:= o. De (3i) r^sulte d'ailleurs Azzeeo, et, en effet, la polaire d'un point quelconque, d'apres nos lois g^n^rales, se compose d'un couple de lignes dont le sommet est situ6 au point triple de f-=- o, et par la on reconnait g^om^triquement que la r^ciproque de notre derni^re proposition est vraie (*).
La condition necessaire et sufjisante pour la decomposition de la courbe en trois droites d'unfaisceau est done donnee par /'evanouissement identique de A. Les coordonnees du point triple j^ ■^e calculent au mojen de I' equation
F= [abuY[cduY[acu)[bdu] z=z £i«.
Apres les avoir trouvees, on introduit, pour determiner les
(*) Lorsqu'une forme du n^^°^^ ordrese decompose en n facteurs]ineaire8,un procede tout k fait analogue est naiurellemeat applicable pour la determination de ces facteurs.
(') Voir Sylvester, Cambridge and Dublin mathematical journal, t. VII, p. 187 (i853). Le thooreme a ^te etendu par Hesse {Journal de Crelle, e. 56, p. 363) aux courbes d'ordre quelconque : Consequemment une courbe du n^"'* ordre se decom^ pose en n d/oites passant par un point si son covariant hessien est tdentiquement nuL ConsuUez Sylvester, Philosophical Magazine, i853, et le travail de Gordan et Nother cite,. p. 97.
352 TOMB II. — CUAPITRE 11.
quanlit^s p/, qi, 77, de nouvelles variables au moyen des Equations
les grandeurs a/, ^/^lant compl^lementarbitraires. Alorsy devient une forme binaire en ^2> Hs et peut, d'apr^s la th^orie des formes cubiques binaires, se repr^senter sous la forme
pourvu que Ton determine convenablement les quantit^s a/ et £/. On reconnait d'ailleurs facilement que dans ce cas la forme S renfermant le facteur [pqr) est identiquemenl nulle.
Si, de plus, deux droites p et q se confondent^ c'est-4-dire si Ton a
la courbey= o est couple par toute droile u en deux points coincidents, et consequemment la forme F est idenliquement nulle. Nous pouvons alors, dans les Equations (3o), poser s = ^=^q; nous avons par suite
(34) 9^-=-^q'c[7ru)\
et I'on peut tirer de la simultanement la droite double q et le point de rencontre de q et r, Les choses se passent d'une raaniere analogue a ce qui arrive dans le cas de N=^ o, sauf que Tequation cubique dont on se sert a ici deux racines ^galcs.
Si enjin les trois droites se confondent, on a dans (34) qi= /'/, d*oii resulte identiquement
(*) Cc resultat peut 6tre generalise et sVxprimo alors par la proposition suivante :
Si pour une forme ternaire f= a^ la forme mi'xte 6 = (abuya^-^ ^5~* ^^' iden^ tiquement nulle^f est la nf*"' puissance cPune expression liaSaire,
En effet, d'aprcs le principe de translation (t. I, p. 342), la condition 6 :^ o sigoifie que toute droite rencontre la courbe /= o en un groupo de points qui, considerc comme forme binaire, a son covariant hessicn identiquement nul. Mais cela vcut dire que le groupe binaire de points se compose d'un point compt^ n fois. c. q. p. d.
LE8 COURSES DE TEOISlfillE ORDM 00 DR TROlSliMR CLA6SR. 353
De la condition/ =y^ on tire imm^diatement pour le calcul des quantit^s qi la proportion continue
Pour finir, nous rassemblerons en abr^g^ dans le Tableau suivant les r^sultats que nous venons d'obtenir, en ajoutanl pour chaque esp^ce de courbes le nombre de constantes qui restent encore arbitraires ( * ).
