COURBES DU TROISIEME ORDRE

1** Courbe generate, neuf constantes. Rapport anharmonique ^gal a a si Ton pose

a. Courbe equianharmonique, huit constantes :

S=:0, I — «-|-ec*=:0.

b. Courbe harmonique, huit constantes :

7? Courbe h point double, huit constantes :

R ^ T* — ^ S' = o, a = I , o, GO .

3® CoTuque et droite, sept constantes :

4® Trois droiles separees, six constantes :

N^ [accu)a%oi^ = o.

J** Courbe i point de rebroussement, sept constantes :

(*) Foir 1. 1, p. i49) le Tableau correspondant pour les coniques. Le Tableau actiiel a ete etubli de telle maniere que chacune des courbes C'j peut dtre dcduite de la precedeiite par des considerations de limites.

Clebsch. — G^om^trie, II. 23

6® Conique et tangente, six conslantes :

y° Irois droites concour antes, cinq conslantes :

8° Drdite simple et droite double, quatre conslantes :

9** Droite triple, deux conslantes :

0^ [abuYa^bjc^^ o.

Entre 8° et 9** nous poumons encore inlercaler una courbe dependanl de Irois conslantes, el qui serail compos^e d'une droite triple el d'un sommet silu^ sur elle. Mais une lelle droite n'est pas repr^sen table en coordonn^es-poinls par une seule ^qualiony=o, el pour cetle raison nous la n^gligerons pour commencer. Si Ton consid^re, au contraire, des sysl^mes de courbes du Iroisi^me ordre, on doit dans les d<§gen^ralions compter les sommels qui s\ pr^sentenl, quoique ceux-ci ne puissenl 6tre repr6senl<5s isolemenl par une ^qualion poncluelle. Alors on oblienl aussi pour les cas 8** et 9° cinq constanles, car, dans 8°, le point de rencontre des deux droites infinimenl voisines qui se r^unissent pour former la droite double sera compl^temenl d^terrain^ lorsqu'on aura poursuivi le passage k la limite ; de lelle sorte qu'un sommet est encore situ^ sur la droite. De meme, sur la droile triple dans 9 peuvenl se presenter Irois sommels si Ton imagine qu'elle provient de Irois droites particulieres, el, au contraire, deux sommels seulemenl (dont Tun compte alors double) si on la d^duil du cas 8.

Si Ton poursuil de la mani^re indiqu^e la naissance d'une degeneration d'une courbe gen^rale, les langenles d'inflexion et les tangenles de rebroussemenl auronl des situations speciales pour la courbe limite, silualions qui, du reste, peuvent 6tre differenles suivanl le sysl^me de courbes C3 dans lequel la degeneration se presente. Si, par exemple, Cj se decompose en une conique el en une langenle de celle derniere courbe (cas qui pent se deduire d'une courbe k point de rebroussemenl), la courbe, comme figure langentielle, se compose de la conique el du poinl de contact. Le

LES C0CRDE8 DB TSOlSlSHB OBDRE OU DE TR0»I£ME CLAS8B. 355

point de rebrousseroent et le point ({'inflexion sont r^unis en ce dernier, tandis que la tangente de rebroussement et la tangente d'inflexion se confondent avec la tangente de la conique. Mais, si la conique C2 d^gen^re encore en une ligne double, la tangente de rebroussement et la tangente d*inflexion peuvent ^tre representees dans ce cas limite par deux droites s^par^es passant par le point de rencontre de la droite double avec la droite simple, de telle sorte, d'ailleurs, qu'il existe encore des relations entre ces quatre lignes et la droite qui se pr^sente k la limite h la place de la ligne joignant le point de rebroussement et le point d'inflexion (*)• Si Ton compte les droites qui s'ajoutent ainsi k une courbe, en tant que celle-ci fait par tie d'un systdme de courbes plus gen^rales, comme lui appartenant essentiellement, le nombre des constantes dont depend la degeneration est naturellement eieve dans la mesure correspondante.

VII. — Application de la theorie des fonctions elliptiqnes k la Geometrie

8ur one courbe da troisieme ordre.

En traitant des courbes du troisieme ordre a point double, nous avons vu que les coordonnees des points de la courbe peuvent s'exprimcr rationnellement en fonction d'un param^tre et que cette representation est particulierement avantageuse pour Tetude de certains systemes de points sur la courbe. Main ten ant se presenle la question de savoir si un procede semblable est possible k regard d'une courbe generale du troisidme ordre et ulterieurement k I'egard d'une courbe du n}^'^'° ordre. Un examen attentif montre que cela depend du genre de la courbe. Toute courbe du genre /> = o est representable rationnellement par un param^tre ; au contraire, pour les courbes du genre p = i il, est necessaire d'introduire les fonctions elliptiques dans ce mode de representation. Nous demonlrerons plus tard ces theoremes d'une mani^re tout a fait generale ; mais, en ce qui concerne les courbes generales du troisieme ordre qui sont precisement du genre /;=:i, nous

( ' ) Ces circonstances ont ete etudiees d'une maaicre complete par Schubert pour les degenerations d'une cubique a point de rebroussement. Voir Gottinger Nackrichten, 1875, p. 359, et Math, Annalerif t. XIII.

pouvons d<5montrer directemeni rexactitude de noire proposition et des consequences qui en d^coulent; c*est ce dont nous allons nous occuper dans ce qui suit.

Nous parlirons d'abord d'une forme sp^ciale d'^quations des courbes du iroisi^me ordre et nous montrerons sur elie le caractire du probleme actuel. Nous ^tudierons en detail les relations possibles entre les points d'intersection d'une droite, relations qui donnent lieu k des questions de nature tres diverse, et sp^cialement les polygones de Steiner, comme nous I'avons fait pour les courbes a point double. Pour les courbes d'ordre superieur, au contraire, nous ne ferons qu'etablir bri^vement sur une base nouvelle les theor^mes qui nous sont connus relativement k leurs points d^ntersection avec la courbe G3. Enfin nous montrerons comment Tintroduction des fonctions elliptiques pent ^tre r^alis^e lorsqu'on suppose Tequation de G3 donn^e sous la forme la plus g^n^rale.

L' equation d'une courbe quelconque du troisieme ordre peui dtre mise sous la forme

Nous pouvons, en effet, montrer que le rapport anharmonique de cette courbe depend pr^cis^ment de la quantity A* et que, par suite, F = o repr^sente bien la courbe la plus g^n^rale du troisidme ordre. Pour Xi = o, Fequation (i) sc transforme en x\ = o ; Taxe de coordonndes a:, = o coupe done la courbe en trois points infiniment voisins : autrement dit [x\ = o, j:2 = o) est un point d'inflexion et x^ = o est la tangente d'inflexion. Par ce point passent les trois droites

( 2 ) Xj = O, x, — Xj = O, k^Xy — Xj =r O,

pour lesquelles Fequation de la courbe se transforme toujours tnx\x\^=o. Ces trois droites sont done les langentes que Ton pent mener du point d'inflexion k la courbe, et 0:3 = o est la droite sur laquelle sont silues leurs points de contact, c'est-^-dire la droite harmonique qui correspond au point d'inflexion. On reconnait d'ailleurs imm^diatement que h^ est Tun des six rapports anharmoniques des trois droites (2) et de la tangente d'inflexion

LES COORBES DE TBOISlftMS OBDIB 00 DE TB016l£lfB CLASSE. 357

Xi = o ; c'est Ik le rapport anharmonique de la courbe du troisi^me ordre, lequel est li6 de la maniere connue avec rinvariant absolu de cette courbe [voir Equation (4i)> P« 3a6].

Done, pour obtenir V equation d'une courbe quelconque du troisieme ordre sous la forme [i), il/aut calculer la constante hr au moyen de V equation ( * )

S et T etant les inv^ariants de la courbe,

Malntenant r^qoatiou(i) est satisfalte identiquement si nous posons

rintroduction des fonctions elliptiques se trouve ainsi naturellement amende. En prenant, en efTet, a = sinamu ou

X V/I'-^'JI'-^!-'^') il vient imm^diatement

^i — fA*=:cosamif, ^i — A*p*:=Aamtf.

Les radicaux des premiers membres, devant ^tre pris avec un signe d^termin^y n'ont par consequent qu'une valeur et les rela-

(') Les six racines de cette equation peuvent s'exprimer rationnellement en fonctioD de Tune d'elles (A') ; elles Bont, comme on salt {voir t. I, p. 49),

L'equation (3) est done resoluble algebriquement, et, en effet, au moyen de la substitution^ = \-r. r. f elle derive de Tequation du troisieme denr^

roir plus haut la Tkdorie des formes binaires biquadratiqueSy t. 1, p. 296 et suiv.

tlons conoues

sin* am u + cos* am 21 -^ i ,

sont satisfaltes.

A:*sin*amu+ A*am2i i

Les coordonnees d'un point de la courbe (i) F = o sont done representees sans ambiguite comme fonctions elliptiques d'un parametre u par les equations

/ pxi = sin' am a, (5) < px,=3 sinamw,

( px3== cosamu.Aamu.

A chaque valeur de u repond ainsi un point x completemenl determine sur la courbe,

MaiS; inversemcnt, k chaque point x ne repond pas une valeur unique de u, ainsi qu'il ressort des propri^t^s p^riodiques des fonctions elliptiques. L'int^grale (4) a, en effet, comme on sail, deux modules de periodicity Q. el Qf, d^finis comme ^tant les valeurs de Fint^grale prise sur les deux sections obliques de la surface de Riemann correspondante, et qui, pour la forme normale de Tint^grale de premiere esp^ce, sont donnds de la mani^re suivante

par les int^grales rectilin^aires

Jo >J^[^') Jo >/^[^) Jo Vl^t^^J

R(X) 6tant ^gaU (i —X") (i — A^X^).

Si maintenant u est une valeur de Tint^grale (4)9 toutes les autres valeurs de celle-ci different de u de multiples entiers de fi et Off c'est-&-dire sont de la forme

li -\- p£i-h qa\

p et q d^signant des nombres entiers. Ges modules de p^riodicile sont en m6me temps des p^riodes pour la fonction sin am, c'est-4dire qu'on a les Equations

sinam(f«±n) = sinam(«±a') = sinamM, tandis que Q et nQf fournissent des p^riodes communes aux trois

LES C0URBE8 DB TROIUtMB OKDRB 00 DB TROISltMB CLA85E. 35g

fonctions sin am u, cos am u, Aamu. Pour les rapports des quanlil^s Xiy on lire d^ja les m6mes valeurs de (5) si Ton fait croitre

Targument de -Q ou Q! seulement, car on a aussi

sinani(a±n') = sinamu, sinam ( ttdr — j = — sinamu,

cosam ( a dz n' ) =: — cos am« , cosam f « ± — J = — cos am 1/ ,

Aam(tt±n') = — Aamf<y Aamfu-I j= Aamu.

A tout point X de la courbe correspond done une infinite de valeurs de V argument, valeurs qui sont composees ax^ec I'une d'entreelles (u) sous la forme

Py q etant des nombres entiers, ou, si nous voulons nous exprimer ainsi, la courbe a les periodes

(7) w=-ft et w =: -n'.

La circonstance que Tintdgrale elliptique de premiere espece u se pr^sente ici sous la forme normale connue est une consequence de la position sp^ciale de notre triangle de coordonndes; en general, il n'en est pas ainsi. Mais on peut ramener toutes les int^grales de premiere espece k Tune d'elles, et il est en effel connu, par la th^orie des fonctions elliptiques, que toutes les int^grales de m^me module k peuvent 6tre transform^es lin^airement les unes dans les autres. Ce fait est li^, comme une ^tude g^n^rale nous Tapprendra plus tard, avec la circonstance que la courbe du troisi^me ordre est du genre p = i et ne posside qu'un invariant absolu. En prenant pour point de depart la forme normale (4)? nous pouvons ais^ment suivre dans ses details la distribution des valeurs de Tint^Jgrale sur les points de la courbe, ainsi que nous le verrons plus tard. C'est a quoi conduisenl les developpements suivanls, qui nous donneront en m^me temps lieu de traiter d'autres questions importantes en elles-m^mes.

Soient Mj, U2f «3 les valeurs du param^tre pour trois points

situ^s sur une droite, el posons, pour abr^ger,

sin am w/ == J/, cos am w / = C/, A am w,- = A, ;

alors, en vertu de (5), existe la relation

(8) Si S2 s^ =0

CjAj

Mais cette Equation exprime simplement ceci : que la somme des arguments U|, 1129 Us est nuUe ou est <Sgale a un multiple entierdes p^riodes de notre courbe. La mani^re la plus simple de le verifier consiste a mettre les Equations relatives au th^oreme d'addition des fonctions elliptiques sous la forme donn^e par Hermite (*). On a alors

(9) smam(wi-l- ttj-h. . .-+- tt,„] =

o{u) etant la fonction suivante de 5 = sinamu, c = cosamtf, A = Aam/z :

Les an constantes pi^ qi se d6terminent par les 2/1 Equations lin^aires

Le signe de Texpression qui figure dans le second membre de (9) se d^terminera par un cas particulier, en posant par exemplei^t==z/3=. . .=U2«=o,cequile transformeen + sinamMp

Si nous posons en particulier ti = a et ^5,,= o, T^quation (9) donne la valeur de

sin am ( «, -h «2 "^- ''3 )»

et les Equations (10) et (11), qui servent i determiner la fonc-

(») Hermite, Note sur le Calcul diffirentiel et le Calcul intigral (Extnit de la 6* ^dit. de rOavrage de Lacroix, Paris, 1862, p. 68) ; 'voir aussi KoBNiGSBSBGia, Thearie der elliptischen Functionen^ !!• Partie, Leipzig, 1874, p. i6«

LES C01IBBE5 DB TSOISlftlfB ORMB OC DB TR015|£HC CLASSE.

tlon (f{u), donnent ^s= o et

-hPiS

A qs\

■^Pl^l

-he,

Ai^'i.

-^Pi^l

-J-Pt^i

^tqs\^

Sl

-^Pl^l

x-^Ci

S^zqsly

d'ouy en r^solvant et observant que le determinant du d^nomina-

teur n'est pas nul,

SI s

I fiAjJi I CjA^Js

Si pour former T^quation (9) nous posons u = O; comme on a alors sin am o = o, cos am o = Aamo = i, il vient dans le premier

membre ^ — - et nous obtenons, puisqu'on a aussi u^n = 1/4=0,

sin am ( tf 1 -h 1/ , -h 1/3 ) = — \

Si

TiAi

I ^lAi^i I ^sA,^,

lei figure dans le num^rateur le determinant dont I'^vanouissement exprime, suivant (8), que les Irois points ayant pour parametres liiyUayUs sont en ligne droite. Comme maintenant le denominateur du second membre ne pent s'annuler en m^me temps que le num^rateur que pour des valeurs sp6cialcs des arguments Uf , 1/2, U3, tandis que notre Equation a lieu pour toute valeur de ces quantit^s, 11 r^sulte de (8)

sinam ( w , 4- //, -f- Wj ) =r o

ou

le signe == devant indiquer que la somme qui figure dans le premier membre est 6gaie a z^ro, ou bien ne difT^re de zero que par une expression de la forme /ww -h y^^)'; p el q sont supposes ^tre des nombres en tiers, et co et w' d^signent les deux p^riodes de notre courbe lelles qu'elles ont 6te d^finies par (6) el (7). Nous formulerons ce resultat dans la proposition suivante :

Si Von represente les points d'une courbe du troisieme ordre au moyen des equations (5) comme fonctions elliptiques d'uii parametre ( * ), la somme des arguments relatifs aux points d' intersection d'une droite as^ec la courbe satisfait toujours a la congruence

(12) I/, 4- iij -4- tt3 ^ o (mod.w, w').

A cette Equation nous rattacherons la resolution d'une s^rie de problemes que nous avons d^j^ en partie trail^s par d'autres methodes. Si nous faisons d'abord coincider deux des points, de telle sorte que la droite devienne une tangente, nous aurons

(l3) 2M|-f-ll,

OU

p, q etant des nombres enticrs. II suflQt de prendre p, q 6gaux a z^ro et — I, parce que tout nombre plus 6leve peut 6tre obtenu par addition de multiples en tiers des p^riodes. Done :

Les arguments des points de contact des quatre tangentes que I' on peut mener d^un point u de la courbe a cette dernier e sont

et, ini^ersement, le point tangent iel u d'un point 9 de la courbe

est determine par

u^= — 2P (mod.w, w').

(') Ge theoreme est d*aiUeura, comme il sera d^montrdplus tard, independant de la forme des equations (5). La representation doit seulement hire dirigee de telle manidrequ*au parametre u =0 corresponde un point d'inflexion; autrementle second membre de (la), au lieu d'6tre nul, conticndrait une constante (iiofr p. 391 et suit.^.

LBS C0CRBB8 DB TSOlSltaS ORDRB OU DB TlOlSlftME CLASSE. 363

En ayant ^gard aux relations des quatre poinls de contact k regard des trois syst^mes de couples de p61es qui sont sur la courbe (p. 262), nous pouvons aussi ^noncer la premiere partie de ce th6or^me de la mani^re suivante :

Les arguments des trois points qui, dans les trois syst ernes de couples de poles, forment un couple avec un point ude la courbe, sont

Si maintenant nous joignons le point u k un point quclconque V, Targument w du troisieme point d^intersection de cette ligne de jonction est d^termin^ par w^ — u — u. Mais le m^me argument s'obtient pour le troisieme point d'intersection de la ligne qui

joint u-i — k u -] — J tandis que les lignes joignant u k s^ -\ — et ^^

tt-h-»

mH •

a u H — se coupent au point dont Fargument est w -j — • De Ik r6suite le th^orime connu (p. 259) :

Les lignes quijoignent deux points non correspondants de deux couples de poles du meme sjsteme se coupent sur la courbe en deux points qui forment un troisieme couple du systeme en question.

On verifie du reste sur (i4) Texactitude des remarques faites pr^c^demment sur la r^alit^ des trois syst^mes de couples de p6les (p. 262). Si en eOet la courbe est bipartite, les quatre tangentes sont r^elles, et il en est de m^me de leur rapport anharmonique A'^; or ce dernier pent toujours ^tre pris plus petit que Funit^, parce que, dans le cas contraire, il y a toujours une de ses cinq autres valeurs moindre que i. Alors, comme on le sait d'apr^s (6), Q est

r^el et Q! imaginaire sans partie r^elle (i = ^ — 1) :

2« =: fl = 4*^1 «' =r n' = 2/K', en posant ( pour A'^ = i — A ^ )

(v^i--x^;iVi — /•*/*) v^(i-x^j(i — A-'n^)

Le premier des arguments (i5) est par consequent reel; mais

364 "^^^^ "• — CBAPITRI II.

rintroduclion des autres arguments dans les valeurs des coordonn^es [Equation (5)] donne aussi pour ces derni^res des valeurs r^elles, car on a, pour hf^=i — Ar*,

sin am

(, w\ , cosami/ . / , w \ I

u±-]=: ± » sinam [uzh—] = r— : 9

2/ Aamu \ 2/ Arsmamtt

(, w\ /-'sinami/ / , w'\ tAama

ttz!::-==4= y cosam (1/ zi: — | = zn:-— :

2/ AamM \ 2/ Asinamu

AamiwH — 1 = » Aamittdz — | = ir:-

\ 2/ A ami/ \ 2/^^;

cos am II

sin am IT

Aamtt

sm am I « =!z | = it: -. >

cos am u

cos;

A cos am tt

(, w-f-w'\ , I'X-' sinam tt u zh 1 = III • 2 / cosamii

Si au contraire la courbe est unipartite, le rapport anharmonique h^ devient complexe (il a d'ailleurs pour module I'unit^), et Ton reconnaitpar les dernieres Equations que le point dont rargument

est M H — a seul des coordonn^es r6elles.

Si dans (12) nous faisons les trois arguments ^gaux entre eux, nous oblenons la condition d'un point d*inflexion

Zu^o (mod.6>, »'], ou, py q ^tant des nombres entiers, (,6) /'»4-7»'

Le probleme de la determination des points d* inflexion est consequemment, lorsquun de ces points (m^o) est connu, identique. au probleme que I' on appelle probleme de la trisection sp^ciale des Jonctions elliptiques, Ce dernier depend done d'une Equation du quatri^me degr6, laquelle n'est autre que T^quation G (x, a) = o, qui sert a determiner les points d' inflexion, ainsi que nous le verrons encore plus tard(*). Les arguments des neuf points d' in-

(*) Voir la fin de cotte Section et de la Section snivante.

UBS C0CBDE8 DB TBOlSliHE OBDEB 00 DB TB0I81&ME CLA6SE. 365

flexion sont done

Sont toujours situes en ligne droite les points d'injlexion pour

les arguments desquels la somme des quantites p, aussi bien que

celle des quantites y, est divisible par 3. Si done on range les

couples de valeurs p^ q conoiine les ^l^ments d*un d^ternaiinant

dans le Tableau

I yO 1,1 1,2

seront sltu^s sur une droite les points qui appartiennent a la mdme ligne horizontale ou k la m^me ligne verticale et enfin ceux qui, dans le determinant^ apparaitraient multiplies les uns par les autres. Nous avons par consequent, pour le groupement des points d^inflexion, sans autre observation, les m^mes regies que celles obtenues par une autre voie (p. 232), et, en effet, notre Tableau Concorde enti^rement avec celui que nous avons etabli alors ; mais les nombres employes ont acquis, par nos considerations actuelles, une signification imm^diatement saisissable : ce sont les valeurs des nombres /7, ^ dans (16). On reconnait au surplus qu'il existe

toujours trois points d'inflexion sur une courbe r^elle, et trois seu-

lament, k savoir ceux qui sont donnas par les valeurs o, -r w, ^ w

du parametre.On pent conclure de \k que les arguments des points delabranche a trois inflexions peuvent tous ^Ire repr^sent^s sous

la forme — w, m et « ddsignant des nombres r^els ; on pent aussi

obtenir directement la distribution de ces valeurs de Targument en continuant le trac6 des tangentes. En premier lieu, les points

de contact des tangentes issues d'un point d'inflexion — — o

sont, d'apr^s (i4)i donnas par

^''^ i ^ft)4-(y-f-3]6>' (;?-4-3U)-f-(7 + 3]6/ ^

sur

En portant dans ces expressions les valeurs de /?, y, on reconnait que Tun de ces points tombe de nouveau au point d'inflexion en question ; par exemple, pour p = i , ^ = o, on obtient, en augmentant des p6riodes o) et (J tous les arguments,

Done, parmi les trois points de contact, un seul ( t; co ) ^st

la mdme branche que le point d'inflexion ^ o) ; les deux autres, au

contraire, sont situ^s sur I'ovale. Nous pouvons en conclure que les arguments des points de ce dernier sont toujours de la forme

//iGJH — rj m ^tant un nombre r^el, et nous obtenons ainsi, en

continuant ce trac^ de tangentes, un criterium pour la distribution des valeurs de Targument sur les branches r^elles de la courbe, comme le montre la. Jig. 3i. Sur la brancJie a trois in-

Fig. 3i.

Jlexions se troin^ent, comme it a ete dit, les valeurs u = ojusquh

u = (>i, sur V ovale les valeurs u = o -\ — w' jusqua u = co -f- - w'.

La distribution des param^tres pour les points r6els de la courbe est seule donnee par U ; ^ I'^gard des points imaginaires, la question est de savoir si une interpretation semblable est possible. Or il en est effectivement ainsi, si Ton emploie le mode de representation introduit par Klein (*). Cette representation des elements imaginaires de la courbe se rattache 4 la conception de celle-ci comme figure envcloppce par ses tangentes ; nous raisonnerons

(') F. Klei:!, Ueher eine neue Art der Riemann' schen Fldchen {Math. Jnnalen. t. VII, p. 558).

LES CODRBES DE TROItt^ME ORDRE OU DB TROISltHE CLASSE. 867

done, dans ce qui suit, sur une courbe de la troisieme classe au lieu de raisonner sur une courbe du troisieme ordre.

Consid^rons d^abord ce qui arrive, dans cet ordre de fails, pour une conique. A toute tangente de cette courbe, comme au surplus de toute courbe alg^brique, et que la tangente donl il s'agit soil du reste r^elle ou imaginaire, on pent en g^n^ral faire correspondre un point reel du plan. Si la tangente est r^elle, nous choisirons comme point correspondant le point de contact ; si elle est imaginaire, nous choisirons le seul point r^el qu'elle poss^de. Les deux fixations concordent Tune avec Tautre en ce sens que celle qui se rapporte aux tangentes reelles derive de I'autre par passage a la limite, car le point r^el d'une tangente iraaglnaire est le point de rencontre de celle-ci avec la droite imaginaire conjugu^e, et, si ces deux lignes conjugu^es se r^unissent de mani^re k en former une reelle, leur point de rencontre devient le point de contact de cette demi^re droite. Soit mainlenant, pour commencer, une conique reelle que nous supposerons etre une ellipse. De tout point ext^rieur k la courbe on pent lui mener deux tangentes reelles, et de tout point interieur, au contraire, deux tangentes imaginaires conjugu^es. II existe done toujours deux tangentes imaginaires conjugu^es auxquelles correspond le meme point reel. Les points reels qui correspondent aux tangentes imaginaires de V ellipse remplissent done deux fois V interieur de celle-ci; ils constituent une swjace ay ant la forme d'une double feuille ellipso'idique. En parlant ici d'une double feuille, nous imaginons que tons les points de I'int^rieur soient r^unis en une feuille, une fois en tant qu'ils r^pondent a une tangente G -j- iH = o et une fois en tant qu'ils r6pondent a une tangente G — iH = o. Mainlenant celle double feuille nous represente Tensemble des tangentes imaginaires de Fellipse, c'est-a-dire la distribution des valeurs complexes d'un parametre donl ces tangentes dependent ralionnellemenl. Les deux feuilles sonl li^es I'une a Tautre par des points rdels de Tellipse.

Des reflexions semblables peuvenl ^Ire failes en ce qui conccrne une courbe de troisieme classe. Une telle courbe se compose, comme on sail, ou bien de deux branches ferm^es, donl Tune est iricuspidale el Faulre ovale, ou bien d'une branche Iricuspidale unique (p. 242). Nous considerons ici seulemenl le premier cas. Nous pouvons repr^senter les tangentes aux courbes de Tespfece

TOMB II. — CRAPITilB If.

en question comme fonctions elliptlques d'un param^tre, de la m^me mani^re que les points d'une courbe bipartite da troisi^me ordre, c'est-^-dire que Tune des p6riodes de Tint^grale elliptique correspondante de premiere esp^ce est rcelle, I'autre purement imaginaire (p. 363), et, par consequent, la distribution des param^tres pour les tangentes r^elles des deux branches est la meme, sauf rinterversion dualistique, que dans \dijig, 3i.

Si done nous attribuons a un point de la courbe de troisi^nie classe la valeur d*argument de sa tangente, nous obtenons la distribution des parametres representee dans \?i fig, 32. Le long de

Fig. 32.

la branche k trois rebroussements, les nombres reels, depuis o jusqu'^ ci)y sont r^partis de telle maniere qu'aux trois rebroussements

r^pondent les arguments o, ^ w, ^ w, et les trois tangentes de re-

broussement correspondantes coupent encore la courbe en trois points qui correspondent aux tangentes issues des points d'inflexion de la courbe du troisi^me ordre et qui ont, par suite, les arguments suivants :

— w — wH — w,

jv w , ^ w -4 » I

OH w ,

LBS COrHBES DB TBOISltMB OBDEB 00 DE TBOlBliMB CLA8SB. 869

Pour les points de Tovale clrconscrivanl, la partie imaginaire de

i*argiinient a uniforin^ment la valeur constante - co', tandis qu*ellc

est nuUe pour les points de la branche Iricuspidale.

En ce qui concerne les tangentes imaginaires de la courbe, on a la regie suivante. De tout point exl^rieur k I'ovale, de m6me que de tout point interieur a la branche tricuspidale on peut, comme Tapprendun coup d'oeil sur la figure, mener trois tangentes r^elles a la courbe ; au contraire, les points r^els qui correspondent k des tangentes imaginaires conjugu^es de la courbe, et desquels ne part plus cons^quemment qu'une seule tangente r^elle k la courbe, occupent deux, fois I'espace entre les deux branches. Si, d'apr^s cela, nous supposons ces points, comme dans Telllpse, distribues sur deux feuilles s'^tendant sur le plan entre les deux branches de courbe et li^es entre elles le long de ces deux branches, elles fornient une sorte de surface annulairc, c'est-^-dire une surface qui peut ^tre transformee en un anneau ordinaire par deformation continue ( * )• A tout point de cette surface r^pond une valeur complexe de I'argument u et au point superpose de Tautre feuille la valeur imaginaire conjuguee. En particulier se trouvent aux trois places marquees sur \^Jig- 32 par de petits cercles les points de la surface qui repr^sentent les six tangentes de rebroussement qui sont conjugu^es imaginairement par couples, points aux quels appartiennent par suite les arguments suivants,

O n^ — w . — w *^ — w , — ft) 1^ — ft) .

car ces points sont n^cessairement situ^s sym^triquement entre

{^\ La surface construite par nous a la m6ine composition qu'une surface annulaire et par consequent aussi que la surface de Rieniann qui sera utilisee pour I'etude des fouctions elliptiques. Or on peut geucraleraent remplacer directement cette derni^re par notre surface annulaire et suivre sur celle-ci les contours d'lntegration des lute- {^rales elliptiques; c'est, sonsbien des rapports, plus clair etplus commode. Les deux periodes de cette integrale prennent naissance par le fait que Ton peut adjoindre d'une maniere quelconque des courbes meridiennes et des courbes de latitude au contour d'integralion conduit entre des limites determin^cs. Du nombre relatif a la composition de la surface annulaire on peut d'ailleurs conclure, k la maniere de Rieinann, que la courbe de troisieme classe est de genre i. Un fait analogue a lieu pour \ii.i courbes superieures. Voir Klein {loc, cie,).

Clebsco. — G tome trie, U. 24

les couples de points zero et o H — w', -^ w el - w H — w', x w cl

- Ci) + - Ci)\

Sur la surface il existe deux syst^mes de courbes ayant unc grande importance ; nous les d^signerons par les noms de courbes tneridiennes et de courbes de latitude; elles sont d^finies par la propri^t^ que le long de leur contour la partie imaginaire et la partie r^elle de Targument ont respectivement une valeur constante. Les courbes noi^ridiennes ( suivant une observation que nous ne pouvons presenter que tr^s brievement ici) seront formees par les tangentes de la branche tricuspidale, c^est-a-dire, seront d^terminecs sur la surface annulaire par la rencontre d'un plan raeni^ par une tangente semblable perpendiculairement au plan du tableau. Une courbe de cette espece est indiqu^c dans la^i^. 32, par le trait qui

joint les points ^ o) et^wH — co'. Les courbes de latitude, sur

lesquelles la partie imaginaire.de Targument est constante, courent en un sens perpendiculairement aux courbes ni^ridiennes ; a elles appartiennent en particulier les deux branches r^elles de la courbe elle-m^me, puisque sur Tovale la partie imaginaire est constain-

ment 6gale a - («)' et qu'elle est constaroment nulle sur la branche

tricuspidale. Un examen atlenlif apprend ensuite que deux courbes de latitude pour lesquelles les valeurs imaginaires constantes different de - &)' forment ensemble les deux branches r^elles d'une

courbe alg^brique du genre p = i ( * ).

(^) Cos courbes sont d'ailleurs caracterisees par ]es proprietes enoncees dans Irs tMorSmes suivants :

Le rapport anharmonique des quatre points de rencontre rdeU de chaqtie courbe a*rr les tangentes a la branche tricuspidale de la courbe primitive est constant, Les eourhrs de latitude forment partie d *un sjrsthme de courbes obtenu en construisant sur cha^ue tangente de la courbe de troisikme classe la forme kessienne H et le faiscean «/h- / H relatifs a la forme binaire biquadratique f donnee par les points de rencontre de la tangente en question avec la courbe,

A regard des courbes de latitude et des courbes meridiennes, nous mentioDDerons encore, pour fioir, la relation d'apres laquelle les deux tangentes imaginaires eonjague'es issues de chaque point de la surface annulaire sont harmoniques aitx direcuom tie ces courbes, Cette relation donne, au surplus, une connexion digue de remarqiii'

LES COCilBB$ DB TROlSlftME ORDRB OU DB TKOISltMB CLJ18BB. 87!

Nous allons encore trailer quelques autres probl^mes k Taide de r^quation (la). Nous nous proposerons d'abord une question dont la r^ponse nous a d6ja ^t^ donn(^e occasionnellement par le mode de description des courbes du troisieme ordre de Grassmann (p. 273) :

Trois points dont les arguments sont a^ b, c etant donnes sur la courbe, on demande de mener par ces points trois droites qui se coupent sur la courbe,

D^signant par u, v, sv ces trois points d'intersection, nous avons les trois conditions

rt -+- P -f- It' ^ o,

c -+- « H- r ^ o, iT ouy par addition,

(VIEZH h — y

et, finalement (en faisant P = pw -h q w'),

lb) (^1= \--y

U suffil de substituer ici kp elq zero ou i, et nous obtenons ainsi le theor^me connu :

// existe quatre triangles dont les somniets sont situes indiyiduellement sur la courbe et dont les cdtes passent par trois points donnes de la courbe.

Ensuite la comparaison des expressions (i8) et (i5) donne ce resultaty qui nous est ^galement d^ja connu :

Si I' on construit, par rapport aux sommets de I'un de ces

entre le systdme des courbes de latitude et la forme mixte Q appartenant a la courbe primitive. Consulter, pour plus de details sur ce snjet, Harnack, Ueber die Vcrwcr^ thung der elliptischen Ftmetionen fur die Geometrie der Ciirven dritten Grades {Math Annalen^ 1. 1\); "voir aussi ci-apr^s, p. 38 1.

triangles, les points correspond ants dans les trois syst ernes de couples de pdles J on obtient les sommets des trois autres triangles.

On deduit facilement de Ik la cons true lion d^ja donn^e des trois autres triangles. Si les points a, by c sont en ligne droite, on a

a -h 6 H- c ^ o, et il existe une periode 11 = 7rc«> + -W, telle que

Par suite, les Equations (i8) deviennent

Parmi les quatre solutions pr^c^demment lrouv6es, il y en a. d'apres cela, une improprement dite (P = 11), le triangle correspondant se transformant en la ligne de jonction des trois points donnes (*)•

On ne peut done inscrire a une courbe du troisieme ordre que trois triangles dont les cotes passent par trois points donnes en ligne droite sur la courbe. Leurs sommets sont les trois groupes ternaires qui correspondent aux points donnes comme poles conj agues dans les trois sjstemes. ( On peut baser sur ces triangles six descriptions de la courbe dans le systkme de Grassmann).

Nous pouvons au surplus, k Taide de I'equation (la), ^tudierles polygones de Steiner (^), que nous avons deja consider^s dans les courbes k point double ; le th^or^me sur r^vanouissement de la somme d'integrales sepr^sente alors k la place de r^vanouissemeni de la somme des logarithmes, qui a lieu dans les courbes a point double [voir p. 337, ^q^^i^ion (i6), et p. 345].

Pour construire un polygone de Steiner, nous tracerons par un point fixe a de la courbe une droite quelconque qui coupera encore

(') Voir Clebsco, Math. Annalen, t. V, p. 4q5, et pour le cas particulier oA a, *,<■ sont en ligne droite, Hbsbb, Journal de Crelle, i. 36.

(•) Foir Steiner, Journal de Crelle, t. 32, p. i8a, et Clbbsch, itid,, U 63 (tVirr einen Satz i>o/i Steiner und einige Punkte der Theorie der Curven dritter Ordnung]. Cest dans ce dernier Memoire que les fonctions elliptiques ont 6te pour U premiew fois appliquees aux courbes du troisieme ordre.

LBS COORBBS DB TROISIAMB ORDRB 00 DB TBOISl^B CLAS8E. Z']3

celle-ci en deux points ayant pour arguments U|, 1^2; nous joindrons u^ a un point fixe quelconque b de la courbe par une ligne passant par un point u^, puis u^ k a par une droite coupant la courbe en u^, et ainsi de suite. On demande quelle doit Stre la situation de b pour qu^un poly gone ferme de 2/1 c6t^s prenne naissance, c'est-^-dire, pour que le an**""c6t^ passe de nouveaupar le point U4. Cette construction nous donne imm^diatement les equations de condition suivantes :

U en resultCy par addition,

ou

Parlemoyen de cette equation, £estde(ini d'unefagon multiple lorsque a est donn^. Ensuite, tons les sommets du polygone peuvent se calculer successivement au moyen de (19), d^s que I'un d'eux, U| par exemple, a ^t6 choisi arbitrairement, et, par suite, dans r^quation (ao) se trouve la demonstration du th^or^me de Steiner :

// existe un nombre injini de polygenes de :in cotes et de :in sommets dont les sommets sont situes sur une courbe generate du troisienie ordre, dont les cotes impairs se rencontrent en un point a de la courbe, et dont les cdtes pairs passent par un second point b de cette meme courbe. Si a est donne, b est determine d'une facon multiple; d'un autre cote, a deux points associes a et b {pu couple de points de Steiner repondant au nombre n)^ correspondent des polygenes en nombre injiniment grand, le premier cdte [qui passe par a) etant completement arbitraire.

Pour ce qui concerne la determination de a lorsqu^on a 6 (ou de b lorsqu'on a a), T^quation (ao) montre qu^elle se fait au

moyen de la division en n parties des fonctions elliptiques ; en effel, il faut, pour obtenir les coordonn^es du point a, d^duire d'apr^s (5),

pour 6= -» Sin am I*— — J de simamp.

Le probl^mea, comme on le sail, n^ solutions, n 6tant un nombre premier impair, et ces solutions peuvent se repr6senter par radicaux au moyen des racines d'une seule Equation du(7H-i)'"°* degr^. Parmi les tz* solutions dont il s^agit, il en est une qui ne pent nous servir, celle oix a est ^gal a b.

Si done n est un nombre premier, il existe n^ — i points bformant av^ec un point donne a un couple de points de Steiner, Ces points se classent en « -h i groupes r^pondant aux racines de Fequation du (/i + iy*n>e Jegr^ dont il a ^t^ parl^, et cbaque groupe se compose de /i — i points. Des relations qui seront donn^es plus tard entre les differents couples de points de Steiner, on d^duira d'ailleurs des rapports tr^s simples entre les points d'un tel groupe.

Si n n'est pas un nombre premier, il pourra arriver que les nombres p, q qui figurent dans I'expression

77 w + a fa!

et qui peuvent prendre les valeurs o, i, 2, ... .,71 — i aient simultan^ment le m^me facteur en commun avec n, et alors la figure a a 71 sommets s'obtient par r^p^tition d*un polygone d'un nombre de c6t6s moindre (* ). On a done en g^n^ral ce th^oreme :

ui tout point a de la courbe repondent autant de points b quit existe de couples de nombres pj q[<^n) riajant avec n aucun facteur commun,

Les points d'inflexion donnent lieu a des polygones particulierement remarquables. On reconnait en effet sur (i6) que les points d'inflexion forment deux k deux un couple de Steiner pour /i = 3 et sur (ijr) que deux points de contact des tangentes issues des diOerents points d^inflexion forment un couple semblable pour

( * ) Gomparez les d^veloppements correspondants dans les courbes a point double, p. 340.

LES C0URBE8 DE TBOlftliME OBDRE 00 DB TBOISltME CLASSB. - 3']0

n = 6. On a par consequent cet ^nonc^, dont la premiere partie a deja ^t^ donn6e par Steiner :

Deux points d' inflexion peuvent etre les points d' intersection des cotes pairs et impairs d'un hexagone de Steiner, et deux points de contact des tangentes issues de deux d'entre eux peus^ent etre les points semblables d'un dodecagone de Steiner,

Nous pouvons d'ailleurs obtenir de la mani^re suivante sur la courbe des syst^mes de points qui ramenent pour un cas special (/I =3) aux points d'inflexion. Nous posons la condition que, dans le syst^me des points b repondant k un point a, un troisi^me point soit situ6 sur la Hgne de jonction de deux autres. Si deux points semblables (i, i') sont donnas par les Equations

n It

on doit pouvoir indiquer deux nombres //, q" tels que

et que 6-f- 6' 4- &'';= o, c*est-^-dire que

3« ~^[(/'H-/''-+-K)« -+-(7-4-^' -+-?")«']= o, ou bien encore on doit avoir (/*, s etant des nombres entiers)

Comme maintenant la premiere partie du deuxi^me membre est Targument d'un point d'inflexion, on a le thdoreme suivant :

Tous les points a qui peus^ent former avec un point d'inflexion un couple steinerien de points repondant au nombre Zn^et ceuxlii seulementy possedent la propricte que les lignes joignant deux points qui forment avec a un couple de points repondant au nombre n coupent la courbe en un troisieme point constituant av^ec a un couple de meme nature^

L'^tude approfondie des syst^mes de points a, b ainsi d^finis qui dependent des points d'inflexion, et dont le syst^me des points

d'infilexion lui-m^me apparait comme le cas le plus special, oflTre UD grand inter^t. Ges systemes sont diff^rents suivant la nature des nombres

el Yoici de quelle maniere : a satisfaisant a la relation (ai), nous appeilerons, pour abr^ger, point r, s un point qui forme avec a un couple de points r^pondant au nombre n et dont Targument est

par consequent de la forme aH • Cela ^tant, si les

points r, s; r', 5'; /''', 5'' dolvent etre en ligne droite, on auranecessairement

r -\' r -\- r^^ == p^y s -h s' -\- s" ^ q^^ (oiod./i).

Si maintenant, en premier lieu, n est divisible par Zy mais quil nen soit pas de meme pour po et qo, les points r^s ; r', s' ; r^^s^ ne peuvent jamais se confondre. Si, au contraire, n nest pas divisible par 3, on pent toujours faire, et cela d'une seule maniere,

Sr^Pff, 3s^q(f (mod.«);

alors un point d' inflexion appartient au sjsteme. Si enfin les trois nombres n, po^ q^ sont divisibles par 3, chacun des neuf points d^inflexion appartient au syst^me.

Dafis le cas de n impair, les congruences

r' -^ ir^PQ^ s' -h 2s:i=qQ (mod./i)

ont lieu simultan^ment, de sorte qu'a tout point r', 5' correspond ud point r,5 et r^ciproquement. Dans cette hypothese, on pent done de tout point du systeme mener une tangente dont le point de contact appartient au systeme, et en tout point du systeme la tangente passe encore par un autre point de ce dernier. Si au contraire n est pair, k tout point r, s r^pond un point /•',/; mais, a rinverse, k un point /'', sf ne r^pond un point r, s que si les nombres p^ — r^, qo — /sont pairs, et alors au m^me point r^pondent encore les points

Cons^quemment, la tangente en un point quelconque du systeme

LES CO0BBE8 DE TBOIUtMfi OBDBB OU DE TBOISltMB CLA,8ftE. 377

passe par un autre point, mals toujours quatre par le m^me, de sorte qu'ii n'y a que le quart des points par lesquels passent les tangentes d^autres points ( * ).

LMtude des couples de points dc Steiner nous donne occasion de placer quelques explications g^n^rales relatives a la distribution binaire ou correspondance qui nous est donn^e par eux sur la courbe. Un couple de cette nature est d^fini par la relation (20), c'est-i-dire par

Si nous faisons parcourir la courbe au* point a et que nous cherchions le point b correspondant k chacune de ses positions, en attribuant aux nombres p, q des valeurs constantes d^termin^es, nous obtiendrons tous les couples imaginables qui respondent sur la courbe au nombre n et pour lesquels les nombres /;, q ont ces valeurs determin^es ; or il est clair que tous ces couples de points a'y V ddrivent du couple donn6 a, h en faisant varier les arguments d'une constante, de sorteque la condition al — V^b a — h reste satisfaite. Cette observation donne la construction g^om^trique suivante des couples dont il s'agit. On joint les points a, i a un point quelconque c de la courbe, de telle sorte que cette der-

ni^re soit rencontree par les lignes ac, be aux points V ^ a' en

supposant

fl'^ — [h '\- c\ b' ^ — [a ->r c].

II en r^sulte

Pour enoncer d'une mani^re simple le sens de cette equation, nous diviserons les couples de points ( aa) en difT^rentes classes et nous r6unirons en une m^me classe tous ceux pour lesquels les nombres p, q ont les ra^mes valeurs. L'^quation (23) nous donne alors ce th^or^me :

Si I' on joint un couple steinerien de points a un point quelconque de la courbe, les lignes de jonction coupent la courbe en

( * ) Foir, pour pliis dc details sur ces systemes de points, CLEBScn, loc, cit.

de nouveaux couples de points de la mSme classe, en sorte que Von obtient tous les couples de points d'une classe au mojren de I'un d'entre eux enfaisant mouvoir le point arbitraire sur toute la courbe.

Les diff^rentes classes de points se rangent ensuite en groupes, en tant que Ton r^unit pour en former un groupe toutes les classes

pour lesquelles la quantlte e= -{/?&) 4- yw') ne diflere que par

des facteurs num^riques entiers et k I'^gard desquelles on a par

suite

Mais il est ^ remarquer que les classes qui dans un groupe r^pondent k hi et [n — /i)e ne dilftrent pas enlre elles, puisqu'elles se Iransforment Tune dans Tautre par simple permutation de act

de J. Chaque groupe comprend done seulement -[n — i) classes,

et il existe (^^4- i) groupes semblables, corr^latifs auxracines dc r^quation du (/i-h !)•*"•• degre dont depend la division en n parties (*). D^ailleurs dans chaque groupe, si n n'est pas un nombre premier, sont comprises des classes de polygones impropremenl dits, ainsi qu'on le conclut de considerations semblables k celles d^velopp^es plus haut; mais nous n^insisterons pas davantage sur ces cas. Nous mentionnerons seulement un th^or^me au moyen duquel, en tenant compte du th6or^me precedent, on pent, comme on le voit immediatement, deduire lineairement d'un seulcoupla tous les couples d'un groupe Si Ton a en effet les equations

et que les points a'', b" ; al"^ V" soient d6finis par

a-¥-a' -^a"'=Oy b -\- b' -^ b*"=Oy on a aussi

(*) Ces (p'oupes correspondent consequcmment oiiz diverses classes nonequivi' lentes que Ton distingue dans nne transformation du /i'*™* degre.

LES C0UIIBE8 DE TROISl&ME OBDBE OU DE THOI8l£llE CLAS8B. 879

Si done deux couples a, i ; a', b' du meme groupe sont donnes, et qjjCon les reunisse diagonalement, les lignes de jonction detertninent sur la courbe deux nous^eaux couples de points qui appartiennent au m^me groupe. Dans le cos seulement oil les deux couples sont de la mdnie classe (1iz=h!)y I'un des nous^eaux couples se confond avec un point de la courbe, tandis que le second ap* partient a une autre classe, Cette derni^re observation conduit k irouver au moyen de deux couples de la m^me classe les couples d'autres classes du meme groupe. Mais comme, d^apres le th^or^me pr^c^dent tous les couples d^une classe sont donnas par un seul couple de celle-ci, on pent en r^alite construire tous les points d'un groupe au moyen d'un seul couple.

11 n'est au contraire pas possible de construire les couples de points de differents groupes si un couple unique est donn^. II est n^cessaire pour cela d'avoir deux couples

n'appartenant pas au m^me groupe. Si on leur applique en effet la meme construction, on arrive a deux couples pour lesquels

Nous avons done ce th^oreme :

Si deux couples steincriens (a, b, t\ ci, b\ e') de differents groupes sont donnes, et quon joigne a h V ^ a! ab ou a a ci , b a b\ on obtient un troisieme couple qui appartient a un autre groupe. Avec deux couples donnes de groupes differents on peut en general construire tous les couples qui repondent a un nombre n si

et que nip^ q ni pf, q' n^aient unfacteur commun avec n.

On peut d^ailleurs chercher les relations entre les couples de points qui repondent a des nombres difKrents ; nous n^gligerons toutefois le d^veloppenient de ces theories pour rattacher a ce qui pr^cfede des recherches d'un autre caract6re, celles qui consistent a 6tablir la liaison des relations entre les difKrents points de la courbe avec d'autres figures gc^om^triques dans le plan. Si Ton

38o TOME II. — OIAPITRK II.

attribue en eflfet aux nombres p, q dans (22) des valeurs conslantes, les lignes qui joignent deux points correspondants a, b envelopperont une courbe determin^e, et celte courbe est de la sixieme classe (*). A un point b correspond en eflet, en verlu de (22), le point a^b -i- t^ e ^tant une constante, et le troisi^mc point dHntersection u de laligne qui joint a et £ est d^termin^ par

Les points b dont les lignes de jonction au point correspondant & + e passent par le m^me point u sont consequemment d^termin^s par

/ /\ / 8-f-/* p(a-hq<a'

c*est-a-dire'que leur nombre est ^gal k 4, corr^lativement aux quatre couples de valeurs que Ton doit attribuer k p, q; mais par u passent, en outre, la ligne qui' joint u (corame point 6) au point correspondant u+ e et la ligne qui joint u (commc point a) au point correspondant u — e, de sorte que nous avons en tout six tangentes que Ton pent mener par u. La relation (24)1 par comparaison avec (lo), donne en passant cette proposition :

Si la ligne joignant le point a au point associe a -f- e passe par Uy les lignes qui joignent les trois points for mant av^ec a wi couple de pdles h leurs points correspondants passent egalement par u.

Si Ton prend en particulier dans (22) 71 = 2, d'oii e=-(i>

ou -w' ou - (w -f- &)'), deux points associ^s a, b forment un couple

de poles et la relation entre eux devient r^ciproque ; la figure enveloppe de leurs lignes de jonction n'est done plus que de la troisi^me classe. Done, suivant des theorem es connus, les trois courbes qui prennent ainsi naissance ne sont autres que les ^ trois co^leyennes respectives des trois courbes du troisi^me ordre auxquelles la courbe primitive appartient comme hessienne. Ainsi, parmi les

(') Voir pour ce qui suit le Memoirc de Harnack (/oc. cit.\ dans lequel se troate eipliqu^ en detail ce que sont ces courbes par rapport au reel et k rimaginaire.

LES COCRBES DE TROISlfiSE ORDRE 00 DE TROISlfiME CLAS8E. 38 1

courbes de la sixieme classe qui ont etc definies un peu plus haut, sont comprises pour n=2 les trois cajlejennes qui correspondent a la courbe primitive de la maniere connue, chacune comptant deux fois.

On peut, d'ailleurs, rendre ce qui pr^c6de compl^tement ind^pendant des couples de points de Sleiner en consid^rant € comme un param^tre variant d'une maniere continue, sans avoir ^gard a

ce qu'il se presente sous la forme -(pcjn -h qo/). A chaque valeur

de 6 r^pond alors de la maniere indiqu^e une courbe de sixieme classe, et toute tangente du plan est touchee par trois courbes du sj'steme engendre par variation de e. Car on pent ^videmment combiner les trois points d'intersection d'une droite quelconque avec la courbe primitive de trois mani^res differentes en les associant deux a deux ( * ).

Au lieu de faire usage de la relation a — i ^ e, on pent naturellement aussi associer k tout point a un point b par la condition a-hb^ e. ^loF's la ligne qui Joint deux points correspondants passe toujours par le mdme point — e ; cette esp^ce d'association est done essentiellement diJOT^rente de celle dont il a et^ parl^ pr^c^demment. Sont particulierement int^ressants les cas ou le point — e est situ^ en Tun des neuf points d'inflexion. Toute droite passant par un point semblable est, en effet, divis^e harmoniquement par la courbe et par la droite barmonique du point d'in* llexion dont il s'agit. L' arrangement par couples sur la courbe,

qui est donne par la relation a -^ b =:e3 -[p(^-^ qtfif), sera done represents par une collineation dans le plan et meme par une transformation perspectiv^e dont le centre de collineation est situe en un point d' inflexion et dont I' axe de collineation coincide (wec la droite harmonique correspond ante (^).

(^) Ce systdme de courbes est le mfiine (interverti seulement dans le sens dualistique)que celui qui, dans les courbes a deux branches reelles, fournit les courbes de latitude sur la surface annulaire (voir la note de la page 370). Nous reviendrons encore sur sa liaison avec le connexe Q ^ (abuy(^cau)c^lf dans le Chapitre II du tome III de ces I^ons.

(') Ed dehors de ces neuf colli neations il existe neuf autres transformations de la courbe C, en elle-mdme, et chacune de celles-ci prend naissance par combinaison de

38a TOMB II. — CBAPITRK II.

On peut enfm examiner la relation plus generate

ma — nb ^ s

enlre les points a et i sur la courbe. ^ tout point a correspondent n^ points i, et inversement^ a tout point i, /w* points a,meln ^tant des nombres premiers impairs. Les lignes qui joignent les points correspondants envelop pent id une courbe de la classe

2(/?i^-4- mn -f- /i*),

proposition que Ton d^montre facilcment comme la proposition semblablc pour le cas de m = /i = i . Mais au contraire on ne serail plus conduit k des courbes algebriques de ectte espece comme figures enveloppes si Ton relie deux points a^ b par la relation encore plus g^n^rale

p d^signant une constante quelconque, Dans chacun de ccs cas on peut d'ailleurs repr^senter ais^ment comme fonctions elHptiques d'un param^tre les tangentes ui des enveloppes qui ont celte origine; il suffit de calculer au moyen de (5) les coordonn^es j*/ elji des points dont les arguments sont u et |9i/ + e, et de poser ensuite m/= [^j)i*

Nous passons maintenant k dUmportantes generalisations de co qui precede, generalisations qui se rapportent aux points d'inlersection de Cj avec d^autres courbes quelconques. Soient d'abonl U|, i£2) • • . 7 !/« les arguments des six points d'intersection de C^ avec une conique. Supposons que les lignes joignant u^ et u*. Ms et 1*4, M5 et Me rencontrent encore la courbe en v^, 1^2, Vz- D'apr^s notre theor^me fondamental sur les syst6mcs de points d'intersection (p. i33), les points i^i, ^'j, ^3 sont necessairemenl sur une droite, car nous avons trois courbes du troisieme ordro qui ont huit points communs et doivent se couper en un neuvieme point; ccs courbes sont :

deux des premieres. Voir la note dc la p. iZ\. En partant des points d'inflexioD 011 sera aussi simplemcnt conduit k la consideration de ce qu'on appellc les (rroapestcrnaires d'inflexion. Voir sur ce sujet Gent, Zeitschri/t do Scdloxilcb, t. XVII.

LES COCBBES DE TllOISi£HE OBDRE 00 BE TBOiaifiXB CLASSE. 383

I® La courbe G3 ;

2? Les Irois Hgnes 1.2, 3-4; 5.6;

3^ La conique et la ligne joignant sf^ et ^2*

Par suite, en vertu de (12), existe la relation et de notre construction des points Ui resulte

d'ouy par addition,

(25) «i-h a,-|- Wj-^ tf4-MijH- ttfi^o (mod.cj, &)').

Par consequent, la somme des arguments des six points d' intersection d'une conique avec une courbe du troisieme ordre est congruente a zero [dans la representation parametrique par nous employee).

On pent d'ailleurs poursuivre de la mdme mani^re, et, par i^application continuee des th^or^mes sur les syst^mes de points d'intersection, on arrive a ce resultat que pour les arguments des points de rencontre de noire courbe C3 avec une courbe C„ existe

Tequation

«i -f- «j -h Wa -h . . . -h «3rt^ o.

Mais ce resultat est aussi une consequence directe du theor^me deTaddition des fonctions elliptiques, telque nous Tavons ^nonce dans r^quation (9).

Soit 4> = o r^quation d'une courbe du /i'*'"^ ordre, et supposons d'abord n^=. im. Si nous posons dans 4>, suivant (5),

en faisant encore

j = sinam», c=cosaniif, ii=Aam«,

et que nous ayons ^gard k ce que

4> deviendra manifestement de la forme

,lwi— J

Unt -V

et les coefncients a/, i; de cette expression se compo.sent des coefficients de $ et du carr^ du module A*.

Or la fonction <P doit s'annuler lorsque Ton met pour u Tun des arguments des 3 /z points d'intersection, c'est-a-dire pour

Ceia donne 6m = 3/z Equations pour la determination des 3/1 — I grandeurs aibi. Si done on pose de nouveau Si= sinanuMi, c,== cos am 2//, A|= Aamu/, on aura Tequation R=:o, Rd^signant le determinant suivant :

''art *s/»

• * ^3«^3rt*3/i ^8/1** 3/1'* 3/*

JjCiA,

Si d'autre part on forme, k Taidc des equations (9), (10) et (11), Texprcssion

, > ±?fo)

sin am ( « j -h «• -4- • . . 4- «3« j =

S ^ S^ m » tS

in

le determinant R figure precisement dans le numerateur de cetle derni^re, et Ton a

en posant, pour abr^ger,

Sm S. . . S^ C^iX^Sm ItttA^O.

Jj CjA^fj

Zn

• ^zn ^in^Zn^in ^3/»^8/»*3/»

f,r|A, jjCjA,

Maintenant on s'assure facilement (comme dans le cas dc /i = 1) que le determinant S ne pent pas, en general, s'evanouir par suite des 3/1 equations dont il a ete question plus haul, et consequera-

LBS C0CRRS8 DE TROISlftME OBDBE 00 DB TBOISlft>B CLA88B. 385

ment de (9) r^sulte

sin am ( 1*1 -h u, -+-... -h Ws/i ) = o ou enfin

{16] ifj -h «, -+- 1/3 H- . . . -h tf »«^ o (naod.w, 6j').

L'examen du cas de n impair s'eflectue d^une mani^re tout a fait semblable, comme le montre d^ja Texeinple de la droite, et il 11' est pas n^cessaire d^entrer dans les details. On arrive ainsi k ce ih^oreme fondamental :

Si I' on represente les points d'une courbe du troisieme ordre commejonctions elliptiques d'un argument, de telle sorte qua la valeur zero de l' argument corresponde un point d' inflexion, la somme des arguments pour les Zn points d' intersection av^ec une courbe du ti'^'"* ordre est toujours congruente it. zero.

Par ce th^or^me se trouve en m^me temps confirmee la proposilion d6ja connue d'apres laquelle, pafmi les points d^intersection d'une courbe C3 avec une courbe C„, Tun est toujours d^terniin^par Iesautres(p. i35), carTargument de ce dernier s'exprime lin^airement, en vertu de (26)1 au moyen des 3/1 — i restants.

Nous ne nous proposons plus que de faire usage de ce dernier iheoreme pour obtenir quelques propositions relatives aux conic|ues de contact, propositions qui nous sont d6ja connues par une autre voie (p. a66).

Supposons d'abord qu'une conique doive toucher C^* aux

irois points i/|, UijU^] deux points d'intersection se confondent,

vi nous avons

a(w,-+- tti-^ WjJ^o

ou

L'hypo these /?=o, 7 = 0, donne la condition que les trois points soient situ^s sur une l!gne droite, cette derni^re pouvant on effet, si on la compte deux fois, ^tre consid^r^e comme une conique tangente. // existe done seulement trois systemes de coniques de contact proprement dites, systemes se distinguant par la circonstance quentre les arguments de leurs trois points de con-

Glebsch. — G^m^trie, II. ^5

386 TOME II. — CHAPITBB tl.

tact existent respectis^ement les equations

(28) Wi+i/j-f-ttj^-w, w,-f-ttj4-a5^-&)', tt J -h «8 -4- «j^-(«-h to'

A Taide de ces relations on v^rifie encore ais^ment, en tenant compte de (i5), la construction obtenue plus haul pour le troisi^me point de contact, si les deux autres sont donnas. Si Ton fail passer par 1/4, u^, 1/3 une autre conique rencontrant encore la courbe Cj en ^j, s^^y ^3> on a

«i -+- "« H- «8 "»- *'i H- »•« H- <'3^ o, d'ou, k cause de (28),

et de 1^ r^sulte la proposition suivante qui a Hesse pour auteur :

Si Von fait passer par les trois points de contact dUine conique une nouvelle conique, celle-ci coupe encore la courbe en trois points qui sont les points de contact d ^une autre conique appartenant an tnenie systenie.

Si la conique doit avoir en deux points distincts [ui et Uj ) un contact du second ordre, on aura

ou

Les deux points de contact sont done, d'apres (16), constamment en ligne droite a^^ec un point d' inflexion.

Nous mentionnerons encore comme dernier exemple ia determination des quatre points (i^i 1/27 ^3? ''«) ^6 la courbe qui sont les opposes du point u (p. 269). En prenant ii|, 1*2, Uj, «i comme points de base d'un faisceau de coniques dont les courbes individuelles coupent encore C3 aux points mobiles Us, Ut, on a

ttg-h WgE= — ("1+ Ui-h ttj-h 1/4^

L£8 COCHBES DK TB0I81£MK ORDRB OC DE TROI8l£lfB CLA8SB. 887

Si done on pose v^^^Ut-^ u^-h u^-^- «*, on a toujours Tiquation

ttj -h l/fi -h P H= o,

c'est-^-dire que les lignes de jonction des points d'interseetion mobiles passent toutes par le m^me point dont Targument est (^. Toutes les recherches relatives aux syst^mes de points d'intersection, et par suite, en particulier, le tli^or^me du reste, peuvent ctre efleclu^es de la meme mani^re; mais nous insislerons d^autant inoins sur ce sujet que les ddveloppements correspondants dans les courbes d'ordre sup^rieur nous occuperont encore. Faisons seulement observer que les propositions sur les polygones de Steincr admettent une generalisation facile si Ton remplace les lignes droites par des courbes du /i**"* ordre qui coupent la courbe C3 en trois points mobiles et ont cons^quemment 3/z — 3 intersections fixes avec elle. On pent done, en particulier, au lieu des c6tes de polygones, choisir, comme Fa d^j^ fait Steiner, des coniques passant par trois points fixes de la courbe.

Nous av^ons rattache plus haul, pour plus de simplicite, I'introduction des fonctions elliptiques dans la theorie d'une courbe du troisienie ordre a une forme canonique de V equation de cette der~ niere; il y a, d'ailleurs, raoyen d'effectuer aussi les calculs ind^pendamment du syst^me de coordonn^es employ^, comme nous le verrons encore plus tard(*). Nous allons d'abord signaler bri6vement la marche des d^veloppements qui y conduisent.

Nous placons le triangle des coordonn^es de telle sorle que le sommet (xi==o, x-^^-o) se trouvc sur la courbe, ce qui suppose la connaissance d'un point quelconque de celle-ci (etnon plus d*un point d'inflexion). L^equation de la courbe se presente alors sous la forme

?3' 4'2> X* ^tant des fonctions homog^nes en j',, x* de Tordre de leur indice. Nous chercherons les coordonnees des points d'interbection d'un rayon du faisceau Ixt — x^= o avec la courbe. Si, d'apr^s cela, nous faisons 0:2= Xxi dans 93, ^j, y^u et que nous

(*) foir la Section suivaato do ce Cliapilre.

n^gligions les indices, notre Equation se transforme en et il vient par consequent

ouy en d^signant par p un facteur arbitraire,

px3= — ^dzs/^^^/irX'

Si Ton transforme maintenant la courbe par le choix d^un autre triangle quelconque de coordonn^es, les nouvellcs coordonn^es seront des fonctions lineaires de oTi , :r2,a:s, et, par consequent, les coordonn6es d'un point de la courbe seront des combinaisons lineaires des expressions qui figurent dans les seconds membres des Equations (ag). Ces coordonnees sont done, en general, des fonctions entieres du second degre d'un parametre X, augmentees de la racine carree d 'une expression du quatrieme degre. En d^signant cette derni^re par M et les fonctions entieres precitees par G|, G2, G3, il vient pour un point x de la courbe

les quantit^s a,- etant des cons tan tes. La fonction M est la meme dans les trois expressions, et ce fait r^sulte de ce que la condilion i/^= o ne doit conduire qu'^ une Equation du troisi^me degre, circonstance qui n'aurait pas lieu dans le cas contraire. Nous obtenons posilivement aussi au moyen de (3o) T^quation du quatrieme degre

les equations (3o) representeront done, si G|, G2, G3 et M sont independants les uns des autres, une courbe du quatrieme ordre ( ' )

(*) Cette courbe a d'ail]eurs deux points doubles, com me nous le verrons plustard.

LES COURBES DE TBOlSltMB ORORE OU DE TROlSltllB CLASSE. 889

qui ne se r^duil k une courbe du troisi^me ordre (par separation d'une droite passant par le sommet du faisceau de rayons ci-dessus) que si I'equation du quatri^me degr^ en question admet une solution ind^pendante des quantit^s i/|. Or, par suite des Equations ( 29), tel est ici le cas, car, si nous y faisons ^ = o et que nous prenions le signe du radical positif, les quantit^s Xi deviennent indetermin^es et les coefficients des quantit^s u/ dans Ux s^^vanouissent identiquement.

Pour introduire actuellement les fonctions elliptiques, imagi-

nons qu^on ait mis k la place de X un nouveau param^tre jr

et qu'on ait determine les constantes a, j3, y, 3 de telle sorte que la fonction M, abstraction faite d'un facte ur constant, se transforme

en A(i — X)(i — k^X). Alors X = o, X = oo, X = i, X = — sont

les quatre racines de M = o ; autrement dit dans le faisceau de rayons a:^ — Xxi = o on a choisi pour les rayons oti = o et X2=5 o deux tangentes menses du sommet du faisceau k la courbe , car aux valeurs X = o et X = 00 correspond par Tinterm^diaire de ( 29) ou(3o) chaque fois un seal point de la courbe. Cela pos^, soit main tenant

y^X = sInam//y y/i — / = cosami/, ^1 — A'-' ). = A am w, de telle sorte que les equations (3o) se transforment en

[ii] p^i= yi(sm*amii) -h p/ j

les quantit^s |3/ ^tant des constantes et les quantit^s 9/ des fonctions rationnellcs enti^res de leur argument, tandis que Targument qui appartient k un point x est lui-meme defini par

Dans les Equations (3i) a en m^me temps disparu le caract^re arbitraire qui existait auparavant dans le double signe du radical ; les deux points places sur le m^me rayon du faisceau x, — Xxi= o sont actuellement distinguds par les arguments u et — u.

SqO tome II. — CDAPITRE II.

En parlant des equations (3i), on demonire maintenant de la mani^re la plus simple V identite des theoretnes precedents relatifs aux systemes de points d* intersection sur une courbe du troisieme ordre avec le theoreme de l^ addition des fonctions elliptiques, en introduisant au lieu des fonctions s, c, A les fonclions appel^es H et en utilisant k regard de ces derni^res un th^or^me dont le th^or^me d'addilion pr^c^demment employ6 peut ^tre d^duit comme cas particulier. Pour le premier objet on se sort d'un th^or^me tir^ de la th^orie de ces fonctions et qui a 6le donne par M. Hermite (*) :

Toute fonction doublement periodique de la forme

oii¥ et f sont respectivement des fonctions entieres des degrcs n et n — a en s^j peut se representer comme le quotient d'un produit de fonctions H divise par une puissance d' une fonction 6, ety pour preciser, on a

C etant une constante et ai, oto,- » ., oi2n les "valeurs racines de V argument pour la fonction qui figure dans le premier membre, Entre ces dernieres existe toujours la relation

Nous aurions pu naturellement d^j^, dans notre representation pr^c^dente, ^viter enli^rement Tintroduction de5,cA et uliliser directement les fonctions H, ce qui ^pargnerait le calcul de

sinam(//iH- «j-h. . .4- u^,i)\

neanmoins, dans les cas les plus simples, le calcul avec les fonction susuelles s,c,^ est plus abr^g^.

Sous le benefice de la proposition ^nonc^e, nous obtenons au lieu des Equations (3i), si nous ^crivons p au lieu de p0*(m), des

( ' ) Foir HcRMiTE, he. cit.

LES COUBBEft DB TBOUltllB OBDBE 00 DB TBOISI^B CLA88E. 3gi

formules de Tesp^ce suivante :

/)Xy=C/H(«-5/)H(tt-u/)H(ii-?,)H(«-'^/)^ avec

Ici trois des grandeurs ^/, r//, ^/, 5^/, nous pouvons dire les trois premieres, sont les valeurs de Targument u pour les points de rencontre de lalignex/=o avec la courbe primitive. Mais, d'apr^s nos d^veloppements pr^c^dents, il doit y avoir une valeur de u pour laquelle les trois grandeurs pjCi deviennent ind^termin^es, et pour cette raison nous pouvons poser

Faisantaussi entrerle facteur H(u — B-) dans p, il vient

(33) pj-, = C/H(ii-5,JH(«->:,)H(«-?/),

avec

5i -+- Il -+- :,= 5,-+- 13, -f- ?,= 53-f- i;j-+- ?3= — ^. Or, par une transformation lin^aire de Fargument

nous pouvons toujours obtenir que dans le dernier membre de ces relations figure z^ro au lieu de — ^, car alors les valeurs racines des quantit^s xi sont donn^es par les valeurs

et Ton a encore, d'apr^s le th^or^me de M . Hermite,

Nous avons maintenant a consid^rer les points de rencontre de la courbe du troisi^me ordre avec une courbe d'ordre n

Si nous introduisons dans $, au moyen des Equations (33), les fonctions H, nous ob tenons une expression qui, multipli^e

— —Y-, — r-^ I 9 devient une fonction doublement periodique parce que, d'apr^s (33), tout produit px/ se transforme par multi> plication par — — r— en une fonction semblable, et cette fonction doublement periodique a les 3/2 valeurs racines

qui correspondent aux 3/i points d'intersection de 4> == o avec la courbe primitive, et une valeur racine w=5d'ordrede multiplicity rif laquelle correspond au facteur [li{u — •^)]". Si done nous appliquons de nouveau le theor^me de M. Hermite, $ doit pouvoir se repr^senter sous la forme suivante :

avec

La derni^re relation apparait encore, comme dans F^quation (35)^ sous la forme

(37) ^'l^-^'iH-. . .-M'jnSO,

si au moyen de ( 34) nous introduisons un nouvel argument (^ a la place de u. II est d'ailleurs facile de voir que la realisation effecti{fe de cette derniere transformation, c* est-ii-dire la determination des constantes 5, revient it la determination d'un point d' inflexion de la courbe primitive. Pour les points de rencontre d'une droite quelconque avec cette derniere, il risulte en effel

de (36)

et de Ikf pour un point d^inflexion u,

3«^ — S^ ou «=— -5-+--P,

P d^signant une combinaison lin^aire des multiples des p^riodes.

LE8 C0CBBE8 DE TBOISl£llE ORDRS 00 DB . TBOIAI&MB CLAS8E. ^3

Les arguments des points d'inflexion sont done eonnus lorsque I'on eonnait la valeur des constantes 3. On reconnait en m^me temps que par la transformation ( 34 ) est assignee k un point d'inflexion la valeur d'argument (^ ^ o, ce qui concorde avec nos fixations pr^e^dentes relativement k T usage de la forme cano* nique (p. 364). Nous verrons plus tard comment on pent determiner en fait les grandeurs 3- dans leur d^pendance des coeilGcients de r^quation de la courbe primitive et du sommet du faisceau de rayons employ^ dans la representation param^trique ( * ).

Nous sommes ainsi, ind^pendamment de toute forme canonique, conduits au th^or^me suivant :

Les coordonnees des points d'une courbe du troisihme ordre sans point double peui^ent se representer comme fonctions elliptiques d'un argument, et alors la somme des arguments de ses points d' intersection ai^ec une autre courbe quelconque est congruente h zero si I' on suppose qua V argument nul corresponde un point d^ inflexion,

Dans ce theor^me se trouve ^nonc^e une propriety des courbes du troisi^me ordre qui appartient ^galement k toutes les courbes du genre p = i, ainsi que nous Tapprendront ulteHeurement des recherches plus g^n^rales. Nous reconnailrons aussi plus loin que toute courbe du genre p = i pent ^tre transform^e uni-determinativetient en une courbe du troisi^me ordre par des substitutions alg^briques.

YIII. — La representation typiqae d'ime forme temaire cnbique et la representation parametriqne generale de la conrbe dn troisieme ordre.

La realisation la plus generale de la representation parametrique de la courbe du troisieme ordre, representation qui n'a pas ete executee d'une mani^re effective dans ce qui precede, exige des recherches speciales relatives aux formes cubiques ternaires; nous ne devons d'ailleurs donner ces recherches que dans la mesure necessaire pour Tetablissement des formules finales. Nous ne pouvons eviter ici quelques calculs un peu prolixes, que nous

(*) Foir la fin de la Seclion suivante, p. '119 et suiv.

394 TOMB II. ~^ CHAPITRB 11.

placerons ensemble pour commencer et qui out pour but d^arriver a ce qu'on appelle la representation tvpique de la forme temaire fondamentaley= a' ; sous leb^n^nce desformules a ^tablir, Tintroduction des fonctions elllptiques s^eiTectuera d^aiileurs tr^s-simpiement.

Nous revenons d^abord a T^tude de la forme mixte

(i) N=(flaw)aiaJ = Ni«,„

dans laquelle nous avons prec6demment reconnu un combinant du systeme x/*+ ^^- On voit imm^diatement, en tenant compte de r^quation (22) (p. 290), que Ton a la relation suivante, dont nous devons nous servir incessamment,

(a) (^N^ro,

si par la lettre i on d^signe encore le proced^ connu d^fini par $y*= A (p. ^89). Mais Tequation (2) est aussi la consequence de la proposition generale suivant laquelle pour tout combinant TI on a identiquement dW = o. Un combinant 11 est en eflet defini par la condition

(3) n[xaH->«) = Mn(a).

Or, en ordonnant suivant les puissances de x, X, on a

(4) M=:Mox^-l-Mix^-U4-...,

ce qui donne d'abord, pour X = o, x = i,

(5) n(fl)=Mon(a),

d'oili Mq^ I . Mais, si Ton egale dans les deux membres ies coefficients de x'"* X, on obtient, d'apr^s le theor^me de Taylor,

-, — a/*A = Mjn(a) ou ^n = M,n.

Maintenanty dTi n'est que de deux unites plus elev(S que 11 par rapport aux coefllcients deyj M| serait, par suite, un invariant de^ du second degr^ par rapport aux quantit^s a. Mais une telle fonction n'existe pas (p. 282); on a done Mf == o, et cons^quemment aussi dll = o. La r^ciproque du theorime est vraie, c'est-a-dire qu^on a ^galement la proposition suivante :

LE8 C0CRBE8 DE TROISUME OBDRB OC ]>B TR0I8I£|IE CLA8SB. SgS

Toute forme 11 pour laquelle la forme SH s^e^anouit est wi combinant.

Si Ton a en efiet HI = o, la formation correspondante (dn)«x> c'est-a-dire la forme SW 6tablie pour x/-4- XA au lieu de f^ sera pareillement ^gale k z^ro. Or on a (p. 3oi)

d'ou, pour n«x, r^qualion aux d^riv^es partielles

do dn^x __ dG du^ dx ()a d> dz

Cette derni^re, int^gr^e, donne

F d^signant une fonction arbitraire. Mais, comme Tl^-k est une fonclion homogene rationnelle et enti^re de /., X, on ne peut avoir que n,x= CGP, p 6tant un nombre enlier et G une quantity ind^pendante de x, X. Si maintenant on pose x = i, X = o, il vient G = I, d'ou C = n. L'^quation (6) se transforme done en

(7) n.,= Gen,

c'est-a-dire que 11 est un combinant, ce qu^l fallait d^montrer. On reconnait en m^me temps que le facteur M dans [i) est toujours line puissance de l' expression

La circonstance que dans le d^veloppement (4) '^ second terme doit manquer est ici confirmee par le fait que le second terme manque anssi dans G, et par consequent dans toute puissance de G.

Actuellementy consid^rons conjointement avecNles deux formes mixtes suivantes, qui sont 6galement du quatri^me ordre et de la premiere classe :

(L=*„Ni6,(6N«)=:L>„

^ ' I M = .S„NJ^^(|3N«)=M»«„..

En verlu de (a) et en verlu de T^galit^ dA = -S/*, ces fonctions sont li^es entre elles de telle fagon que

(9) (^L^M, (JM=-SL.

Exprimons maintenant L et M par les symboles de y*et A. On lire L de

en remplagant i^ les quantites j^ par les determinants des quantit^s u et bj 2? u par by puis en multipliant par bx \ on a ainsi

Des deux parties du second membre, la premiere revient k la seconde si Ton permute a, b et qu*on prenne la demi-somme de Tancienne expression et de la nouvelle. On a alors

= - {aab)a;;,(ij,b^[{bau)cLx— {acLb)u^], = -[abz]{abu)ulajtbx— — UxSf,

car, d'apr^s ce qui a 6l^ dit [p. ago), on a

Si Ton porte ce rdsultat dans I'expression pr^c^dente dc L, il vient

(10) la = y{abu] {nbu)a^b^Gcl ^ -^S/u^.

On a ^galement

LBS CODRBBS DB TBOISlftMB ORDRB OD DB TB0181&MB CLAS8E. 897

maisy si Ton proc^de a regard du second ternie comme on I'a fail plus haul vis-^-vis du premier de L, on aura

Le facteur de - it^ est la quantity d^sign^e par A2 dans le d^veloppement de A,i (p. 298) et a cons^quemment la valeur X Tf — g S A; si Ton porle le lout dans Texpression de M, il vienl

II est n^cessaire de calculer d^abord, au moyen des formes y, A, Ly My N, certaines formations simultan^es qui donnent lieu k differents groupes d^^quations. Pour abr^ger, nous d^signerons k Foccasion les formes mixtes par une simple lellre minuscule, c^esla-dire que nous n^gligerons les facteurs symboliques L* , M*, NJ: et que nous ^crirons

Ui au lieu de L^ u/ , u,^ au lieu de M^ u,n , «,^ au lieu de N^ u,^ ;

les grandeurs /, m, n sonl alors des quantil^s eflfeclives, el Ton a

(JL dM d^

dui OUi OUi

Les formations k calculer sonl les suivanles ( ' ) :

n. Oj^a) , ec^a/, «x«m» ^x^\^ «x«* > <^x<^\\

in. Ox^/^m^ ^x^m^.n ^jr^.*^/. ^jc^t^m* «-r«/««;ii «ar«.t^/;