III. — Daalite. — Formules de Flacker
Conformement au principe de duality, il y ^ lieu de tenir comptc non-seulement des points singulicrs, mais encore des langentes singulieres. En effet, d'apr^s le principe cite, nous devons nous figurer toute courbe comme engendr^e de deux mani^res diflerentes : comme d^crite par un point mobile et comme enveloppee par une droite mobile ('). Le point d^crivant determine dans chaque intervalle une direction, et cette direction, qui correspond
(*) Voir, pour ce qui suit, PlCckeh, Theorie der algebraischen Curven; Bonn, i83(), p. aoo ct 8uiv.
THfUlRIE CE:<EBALC DBS COCMES ALGEBRIQl'KS. 53
a un avancement Infiniment petit, est la tangente a la courbe en I'une des positions du point d^crivant. De m^me, la droite enveloppante determine, par chaque changement infiniment petit de position, un point, car un tel changement peut toujours dtre consid^r^ comme une rotation autour d'un point d^termin^; ce sera la le point de contact de la droite consider^e. Nous obtiendrons done la courbe dont il s^agit en regardant constamment la rotation de la droite comme une fonction de Tavancement d*un de ses points. Dans cette d^pendance respective des deux mouvements, quelques particularit^s peuvent se presenter, et c'est 1^ ce qui donne lieu aux points et aux tangentes singulieres. Ces circon* stances se produisent, ou bien lorsque T^l^ment d^crivant ou enveloppant atteint deux fois une seule et m^me position, ou bien lorsque Tun des deux 61^ments change le sens de son mouvement, tandis que Tautre poursuit une marche continue.
Nous avons un exemple connu du premier cas dans le point double, un du second dans le point d'inflexion[^). Au point double correspond dualistiquement la tangente double, c*est-a* dire une tangente poss^dant deux points de contact difli^rents {Jig> 17)9 et corr^lativement aux difli^rentes esp^ces de points
Fig. 17.
multiples on distingue un mdme nombre d^esp^ces de tangentes multiples. Mais il est bien a remarquer qu'une tangente double ne peut pas £tre consid^r^e comme une singularity en tant que Ton se figure une courbe comme un lieu geom^trique de points, car nous montrerons incessamment que la courbe representee par une equation g^n^rale en coordonn^es points poss^de un certain nombre de tangentes doubles, et de mSme un point double ne doit pas davantage dtre consid^r^ comme une singularity si Ton se figure la courbe comme enveloppe d'une ligne. Si maintenant
(') Voir les explications plus detaillees doiiiices p. 8.
54 TOME II. — caAprriB i.
dans un element doable se pr^sente d^abord une ind^termination k regard de la direction d'avancement, c*est-^*dire du choix de r^l^ment voisin, il n'intervientpas pour cela de discontinuity dans le roouvement du point et de la tangente, puisque Ton s'approche de Fel^ment double sur une branche d^termin6e, et que Ton considire ainsi la courbe conform Anient k sa description. 11 en est autrement pour le point d'lnflexion , la singularity consistant alors en une relation entre point et tangente, et une seule branche de courbe entrant en consideration. Un fait analogue a lieu pour le point de rebroussement en vertu de la loi de duality , car on voit imm^diatement sur une figure que 1^ le point change sa direction d'avancementy tandis que la tangente continue sa rotation dans le m^me sens. Nous d^montrerons au surplus la chose alg^briquement, et les monies d^veloppements sont egalement applicables aux singularit^s imaginaires.
Au moyen de la recherche simultanee des deux esp^ces de singularit^s, on arrive facilem en t k r^soudre la contradiction apparente que nous avons d6j4 rencontr^e lorsqu'il s'est agi de repasser de r^quation en coordonn6es lignes d'une courbe donn^e en coordonn^es points k cette Equation ponctuelle originaire. Nous reconnaitronSy en eflet, qu^il n'existe pas de courbe d^ordre superieur au second ne poss^dant ni point multiple ni tangente multiple, et qu'au contraire toute courbe d'un ordre plus eleve sans point multiple a necessairement un nombre determine de tangentes doubles ou multiples, de meme que toute courbe sans tangente multiple a necessairement un nombre determine de points doubles ou multiples. Si nous ajoutons cette remarque que le nombre n [n — i) donne pour la classe d^une courbe souflre certaines exceptions par suite de la presence d*un point multiple, il est clair que, conform^ment au principe de duality, Tordre d'unc courbe poss^dant des tangentes doubles ne doit pas ^tre imm^diatement exprim^ en fonction de sa classe k par le nombre k{k — i), et par Ik se trouve ^cart^e la contradiction apparente signal^e. Des r^sultats semblables se produisent a regard des tangentes d*inflexion et des points de rebroussement.
La remarque ^nonc^e en dernier lieu relativement k Finfluence des points doubles et des points de rebroussement sur la classe resulte des th^or^mes d^montr^s plus haut sur la mani&re dont sc
TUKORIE G^X^KALI DE9 COCBBES ALGl^BMQCES. 53
component les polaires en ces points (p. 24)* Nous supposerons d'abord qu*il ne s*agit que de simples points doubles et de simples points de rebroussement, et nous exclurons les singularit^s plus elev^es. La classe d'une courbe a 616 d^finie par le nombre de ses intersections avec la premiere polaire d'un point quelconque prise relativement i elle. Or, deux de ces intersections se trouvent r^unies dans un point double, trois dans un point de rebroussement, et ces points ne doivent pas ^tre compt^s, a proprement parler, comme des points de contact de tangentes issues du p6le. Chaque point double red nit done la classe de deux unites, chaque point de rebroussement de trois, c'est-a-dire que Von a
(1) k-=.n[n — 1) — itl — 3r,
formule dans laquelle d d^signe le nombre des points doubles de la courbe donn^e, r celui de ses points de rebroussement. En tant qu'il Skagit de points r^els, on peut aussi apercevoir la n^cessite (le cetle reduction ainsi qu'il suit. Considerons une courbe n'ayant aucun point double, mais dont deux branches sont rapproch^es de telle sorte qu'au moyen d'une petite deformation on obtienne une courbe a point double. On voit clairement alors comment les deax tangentes menses d'un pointy a ces branches (u et 1^ dans la fig. 18) se confondent avec la ligne qui joint j^ au point double
Fig. 18.
quand la susdile deformation est realis^e, de sorte que cette ligne de jonction compte effectivement deux fois comme tangente improprement dite. On reconnaitimmedialement, en vertu de nos considerations pr^cedentes sur la production d'un point de rebrous-
5^ ' TOME II. — CIIAPITRE I.
semen I au nioyen d'un point double avec bouclc, que la m^me ligne dolt &lve comptee troisfois en cas de point de rebroussement
L'^quation ( I ) est la premiere d'une s^rie de relations auxquelles satisfont les nombres caract^ristiques d'une courbe, et qui sont SL^l}el6es/brmules de Pliicker, du nom de leur inventeur(*).
Une second e Equation de la mdme esp^ce determine le nombre des points d^inflexion dans leur relation de dependance avec d et r. Le nombre des inflexions est, comme on sait, ^gal au nombre des intersections de la courbe originaire avec sa hessienne. Mais nous savons (p. 28) qu^en un point double de la courbe originaire se trouvent r^unies six de ces intersections et huit en un point de rebroussement. Chaque point double d'une courbe reduit done le nombre w de ses points d' inflexion de six unites, chaque point de rebroussement le reduit de huity c'est-a^dire que I' on
(t.) ji'iz=3w[// — 2) — 6// — 8r.
II est d'ailleurs fort possible que la courbe ait dans un point double des points d'inflexion, ainsi que cela se pr^sente, par cxemple, dans la figure connue de la lemniscate. Ces circonstances donnent lieu k un plus grand nombre d'intersections de la hessienne avec la courbe originaire au point double, mais non a d'autres reductions.
Des formules (i) et (2) on d^duit d'autres formules, en vertu du principe de duality. D^apr^s ce principe, Tordre et la classe se correspondent r^ciproquement; il en est de m6me du point double et de la tangente double : nous avons, par suite, a remplacer n par'/r, d par tj t d^signant le nombre des tangentes doubles. A une tangente d^inflexion, c*est-^-dire a une droite rencontrant la
( * ) Plucrer, Solution d*une question fondamentale concernant la theorie gimemle des eoiirbes {^Journal de Crelle, t. 12, i834). J^'oir Buui du m^rao suteur : System der analjrtischen Geometric, Berlin, i833, p. 289, et Theorie der algebraischeii Curven, Bonn, iSSg, p. 907 et suit.
(') Sur \9,fig, 18, on reconnatt faciloment qu'un point double ii tangentes reelles abftorbe toujour* deux points d'inflexion reels; ces points sont marques dans la figure. Dc naftme, suirant la fig, 19, deux rebroussements reels sont absorbes par une tangente double a points do contact reels.
tb£owe c£:(£aALC des govibes alg^briqces. 5;
courbe en trois points successifs, correspond, en veilu des ro^mes considerations y un point dans lequel se coupent trois tangentes successivesy c'est-^-dire un point de rebroussement; en d^autres termes, les nombres w ei rse correspondent dualistiquement dans les formules pr^c^dentes. Pour le demontrer, coroparons la maniere d'etre des tangentes dans le voisinage d'une tangente d'inflexion avec celle des points dans le voisinage d*un point de rebroussement. Commengons par ce dernier et transportons-le a rorigine. L'^quation de la courbe est alors de la forme (p. si4)
Les coordonn^es de la tangente d'un point x.j^^.z infiniment voisin de Torigine seront par suite, en n^gligeant les termes d*un ordre d'infiniment petits sup^rieur.
ou =: -f- = 'Xxz""*,
djr
Of
Oz
A Taide de T^quation x^s -+-J^' = o, on obtient la condition
a laquelle satisfont les tangentes dans le voisinage du point de rebroussement : c'est une courbe de troisi^me classe qui repr^sente la succession des tangentes cons^cutives dans le voisinage de ce point. En faisant done abstraction du facteur num^-
rique ~> la courbe, dans le voisinage du rebroussement, si on
la consider e comniejigure engendree par un pointy est du type a -2 H-j^* = o, ety si on la considere comme figure engendree par une ligne, elle est du type u* w-i- s^^ = Oy x =z o, y = o ^tant les coordonn^es du point de rebroussement, v = o, w =: o celles de sa langente. Or, la derni^re Equation est la contre-partie dualistique de la forme
XZ^ -f- J'' = o,
caracl^ristique du point d'inflexion (p. 33), car nous avons k
TOMB 11. — ' CRAFlTftE I.
remplacer w par a:, u par z, puisque dans u^w+i^* = o les coordonn^es de la tangente de rebroussement sont doonees par 1/ = o, iv = o, et que dans xz^ +jr^ == o celles du point d^ inflexion le sont par X = Oy jr-=.o. On arrive naturellement au m6me r^sultat en partant du point d'inflexion. L'6quation de la courbe dans le voisinage d^un point de cette nature est
.rz' -h ^ =r o,
ety par suite, les coordonn^es de la tangente d'inflexion sont Elles satisfont a la condition
2"^ l/iV* = o,
ely si nous remplagons de nouveau u par Zy w par or, noas avons Ic type du point de rebroussement. L' equation de la coiu'be dans le voisinage du point d'inflexion est done : la courbe etant consideree comme figure engendree par un point, du type
•rz* -\- y^ z=i o\
la courbe etant consideree comme figure engendree par une ligne, du type
DonCy par rapport aux grandeurs infiniment petiteSj le point de rebroussement w = o se comporte comme la tangente d'inflexion x= o et le point d'inflexion comme la tangente dc rebroussement.
Nous r^unissons sommairement ces r^sultats dans le Tableau suivanty oii les singularit^s plac^es en regard Tune de Tautre sc correspondent dualistiquement :
Coordonnees poitUs*
Point doable ayant deux tangentes reelles.
Point de rebroussement.
Point double ayant deux tangentes iniaginaires (point isole).
Point d'inflexion.
Coordonnees Ugnes,
Tangente double dent les deux points de contact sont reels.
Tangente d'inflexion.
Tangente double dont les deux points de contact sont imaginaires (tangente isolee).
Tangente de rebroussement*
TBiOllE 0£!f£BALB DBS COCBBES ALG^BBIQCES. 69
En vertu de ces d^veloppements, la transformation dualistique (les Equations (i) et (a) donne les deux relations suivantes :
On pent aussi, par une voie g^om6ti*ique et directe, rendre sensible aux yeux la proposition contenue dans T^quation (3), au moins tant qu'il ne s^agit que de quantit^s r^elles, ainsi que nous I'avons fait a regard de F^quation ( i ) ; et I'on y parvient en partant d'une courbe qui n'a besoin que d'etre un peu d^form^e pour acqu^rir une tangente double. Alors deux branches de la courbe parcourent tr^s-pres Tune de Tautre un segment AB, comme dans la fig. 19, pour donner naissance, apr^s la realisation de la transformation , a la tangente double. Les deux points de rencontre d'une droite quelconque (i«) avec les branches pr^cit^es sont alors transport's sur la tangente double et doivent, comme Intersections improprement dites, £tre retranch's du nombre h[k — i). En effety un point d^ntersection de u avec la courbe est defini par la propriety qu^on pent mener de ce point a la courbe deux tangentes co'incidentes. Mais il en est ainsi pour tout point d'une tangente double. Si maintenant, dans la courbe k tangente double (fig- 19)7 on fait graduellement coi'ncider les deux points
Rg. ig.
de contact) on reconnait qu^un troisi^me point d^intersection de u lombe sur la tangente double, cette derniire devenant tangente d'lnflexion. On pent alors faire que les branches designees par a dans \3Ljig. 19 se confondent enti^rement avec la tangente double, ce qui donne naissance k la courbe ponctu'e dans cette figure. Les quatre formules de Pliicker (i), (a), (3)y(4) montrent que
6o TOMK II. — CHAPITKE I.
toule courbe possede r^ellement certaines des slngularit^s ^tudl^es. ainsi qu^l a 6i6 affirm^ plus haul. D'aiUeurs, T^quation (3) nous donnc Tordre d'une courbe en fonclion de sa classe ; la reduction demand^e est done due exclusivement k la presence de tangentes doubles et de tangentes d'inflexion dans toute courbe g^n^rale du /J*"* ordre. Les points d^inflexion et les points de rebroussemenl ne peuvent manquer simultan^ment que si Ton a
/,• =z: //, ft — : t r=z '■ 9
c'est-a-dire dans unc espece tris-particuli^re de courbes d'ordre pair; pour qu'il nV ait ni points doubles ni tangentes doubles, il Taut que
ce quiy en faisant abstraction des courbes du second ordre, r^pond a une espece particuli^re de courbes de Tordre 3 A ou S/i + a. Les deux circonstances dont il s*agit ne peuvent £tre r^unies pour « ^ a.
Les quatre equations qui ont lieu entre les trois couples de siihgularites ordinaires, c'est-a-dire entre les nombres hk, dt, /hv, ne sont toutefois pas ind^pendantes les unes des autres. Au contraire, Tune d'elles est la consequence des trois autres, car de (i) et (a), de m^me que de (3) et (4)t r^sulte liquation, non susceptible d^^tre modifiee par des considerations de duality,
Ainsi trois des six singularitcs sont completement determinees par les trois autres. ]£tant donn^e, par exemple, une courbe d 'ordre n sans point double ni point de rebroussement, on a
k nr n[n — l),
Nous avons precederament determine les 3/t(/t — a) points d*inflexion par une courbe d'ordre 3(/i — a) qui les traverse. D'une
TH£0ME C£!<teALE DES GODKBBS Al^KBRIQOES. f)l
mani^re tout a fail semblable, nous pouvons obtenir directemenl le nombre t en faisant connaitre une courbe de Tordre [n — 2)(/i* — y) qui passe par les n(n — ^)(«^ — 9) points de contact des tangentes doubles. La possibility de ce mode de determination ne va nuUement de soi, car nous verrons plus tard que, parmi les points d'inlersection de deux courbes, il y en a toujours un certain nombre qui sont d^lermin^s par les autres, en sorte qu'il n'est pas possible de determiner sur une courbe alg^brique un syst^me de points au moyen d^une seconde courbe sans obtenir d'autres points d'intersection (')•
Soil jr le point de contact d'une tangente, et x un point quclconque de cette droite: on a
De I'equation du /i'^"'"* degre
qui determine les autres (/i — 2) points d'intersection de la tanj^^enle, se separe un facteur X^. L'^quation du [n — a)'*"* degre reslante aura n^cessairement une racine double si la ligne xjr est assujettie a etre une tangente double. Nous pouvons maintenant definir le point x, entre autres manieres, comme Finteraection de la tangente de j" avec une droite arbitraire Mj, Mj, Uj, de telle sorte que nous a>ons a remplacer les x par les determinants mineurs formes des ui et des grandeurs «" ' <;i/= h"7^ i|. La condition que V soit le point de contact d'une tangente double est alors donnec par Tevanouissemcnt du discriminant de Tequation
Si Ton reussit a representer ce discriminant ind^pendamment des «/, son evanouissement donnera une courbe de Tesp^ce demand<^e. Or cela est toujours en fait possible, car on pent toujours isoler
.^']j Oa peut aiiMi, toujours an moyen du principe de translation, indiquer un systcme de courbes qui aieut les tangentes doubles pour tangentes communes, des que Tod a sous forme symbolique la condition necessaire pour la presence de deux rucincs doubles dans une forme binaire d'ordre n ^'voir la note de la p. 348 du t. I).
(>1 TOMC 11. — CBAPITKE I.
du discriminant F(j^, u) un facteur m*. Posons en effet en vertu de Tidentit^ (t. I, p. 35^)
( abu ) Vy =z ( avu ) hj + ( aifv ) Uy — ( //r« ) a , ,
el k cause de &^.= o, il resulte de (6)
ou
[u'ny^y[abv]d';--^]-^0,
si I'on pose
ptiy=z /. ' •
Ces dernieres Equations donnent, pour la variable binaire -9 n substitution lin^aire ayant pour determinant
nc
[vlm)b"r^
Uy
Par reflet d*unc substitution lin^aire, le discriminant en question ne pent 6prouver d^autre modification que la multiplication par une puissance du dernier determinant; d'ailleurs, Texpression (7) est de la m^me forme que Texpression (6); seulemenl les u ont ete remplaces par Ics ^. Nous avons en consequence
ou
tv
c'est-a-dire que le quotient du discriminant et d'une puissance convenable de Uy est completeinent independant des grandeary arbitraij'es u,-. Si done on s^pare le facteur Uy un assez grand nombre de fois pour que le reste ne comprenne plus les i</, 1 r
THEORIC GESEBILC BBS COCHBES ALG^BRIQDES. 63
dernier reste repr^seotera una courbe donl il s'agit maintenant de d^tenniner Fordre. C'est ce qu'on fait au moyen de la r&gle suivante :
Si dans une equation
les coefficients ai sont des fonctions homo genes de Xi, X29 x^y et que les nombres a^jCt^j a^y . • ., am qui expriment le degre de ces fonctions Jbrmenl une progression arithmetique, le discriminant est du degre (m — i)(ao+«m) p^f* rapport i Xi, Xj, Xj.
Nous le d^montrerons de la mani^re suivante. Le degr^ du discriminant F(a^yaij . . .y am) est le mdme par rapport aux x que le degr^ auquel s'^Uve, par rapport k t, Texpression
Si maintenant les nombres aoy at, . . ., ^m forment une progression arithmetique de raison p, de telle sorte que
on a, puisque F est du degr^ a(m — i) par rapport aux a/,
Mais le second membre est le discriminant d'une Equation du m**^ degr6 par rapport aux variables X', |x', de laquelle procede r^quation donn^e en X, [jl par la substitution lin^aire
En vertu de la substitution, le discriminant est multipli6 par la w(/7i — I )**"*• puissance du determinant t^ de cettc derni^re (t. I, p. 24^) y c'est-i-dire que nous avons
d'oii
ou, puisque aa»-|- m|3 est ^gal a ao-f- (Xmy
(j\ TOXE II. — CHAPITAE I.
Ici F(ao9 ^ly • • • y am) ne renferme plus la quantity t; Fexpression qui figure dans le premier membre est consequemment du degre {m — i)(ao4-«/») en t, et, par suite, notre discriminant est d'un degr^ ^gal en Xt, x^, x^y ce qui 6tait k d^montrer.
II Skagit dans notre cas de Tequation {[Jidyh ^ctx)" = o, laquelle, en vertu de a" = o, a"~* ax= o, se r^duit k une Equation de degr^ n — 2. Nous devons done poser ni=zn — 2, et les coefficients de Ti^qualion donn^e sont respectivement
des degres [n — 2), (// — 3), . . ., i, o i>ar rapport aux j, des degres 2, 3, . . ., /i — i, n par rapport aux x.
D^ailleurs, les Xi sont du degr^ n — i relativement auxj'/ et lineaires relativement aux a/. On a done en tout, pour ce qui concerne les quantites x/,
«o = 3 /I — 4» ,9 = // — 2, d'ou «;;^ =z fi[n — i ] .
Par consequent, le discriminant F(j-, u) est enji du degr^ [n — 3)[3/« — \-hn{n — i)]= ;/i — 3) («» -h 2/1 — 4).
A regard des quantites Ui on a simplement a^ = 2, a;„ = /i; en consequence, F(j^, u) est, par rapport aux u,-, du degr6 (n — 3) {n -i- 2). On doit done pouvoir s^parer de F(j^, u) un facteur u^?"'*^""*"*', de sorte que le reste est, relativement aux y, du degr6
L^equation F(j^, 11) = o se trou ve repr^senter nne courbe qui toucfae la courbe donn^e aux points de contact des tangentes doubles. Comme d'ailleurs sur chacune de ces tangentes existent deux points de contact, nous avons le th^or^me suivant, que nous nous proposions de d^montrer :
Le nonibre des tangentes doubles d'une courbe du n'^'^^ ordre
est en general egal a ~ n[n — 2i ) ( w^ — g) ( ' ) .
( ') r/est Cayley qui a donne Ic premier la courbe passant par les points dc contact des tangentes doubles {Journal de Crelle, t. 34, p. 37). Pour I'exposition qui figure au textOf voir un Mdmoire de Jacodi, ibid,, t. 40, p. 37, et un de Clebsch, ihid., t. 63, p, 186. La separation efiective des facteurs superflus a ete faite par Hesse pour la courbe du quatrieme ordre {ibid., t. 36, p. i56; I. 40, p. 2C0; et t. 41, p. 36a). Unc
TU£OBiE CluKiBALS DEd COURBES ALG^BRIQCES. 65
La reduction qiie subit ce nombre en vertu des formules de Pliicker, par suite de la presence de points doubles ou de points de rebroussement, pent facilement ^tre d^termin^e au moyen des equations que nous avons donn^es plus haut ; on trouve la formule suivante :
I ,— l„j„2)(„«g)(2r/-h3r)[>i(/« — i)— 6J + arf(r/ — i)
II est possible d'ecrire les formules de Plucker sous une forme particulierement simple en introduisant, conjointement avec /i, A, (If r, ty w, une septi^me singularite se correspondant dualistiquement 4 elle-m^me, a savoir le genre de la courbc[^), Cette quant!te [p) est d^finie par la relation
Nous serons conduits plus tard au sens propre de ce nombre dans la th^orie des transformations k d^teripination unique; nous nous en servirons seulement ici pour donner les quatre formules de Plucker sous la forme suivante, qui est la plus simple et celle qui se grave le plus facilement dans la m^moire ( ^ ) :
ip — 2 = A: 4- r — 2/1,
autre methode pour la detcrmioation de ces courbos a pour auteur Salmon [Quarterly Journal of mathematics, t. Ill, ct Higher plane curves. Chap. I\), et a ete demontree par Cayley {^Philosophical Transactions^ 1809, p. 193, et 1861, p. 35;). Fair aussi I'exposition de Dersch qui repose sur les principes du Calcul symbolique {Math, Annalen, t. VII, p. 497).
(') On pent aussi apercevoir geometriquemcnt et d'une raani^re directe le sens de ces reductions. {Foir, sur ce sujet, Plucker, Theorie der algebraischen Curven,
(') La notion du genre d'une fonclion algebrique a ete introduite par Riehakn, Theorie der Abelsehen Functionen {Journal de Crelle, t. 54); elle a eteappliquee a la theorie des courbes, surtout par Clebsch {ibid,, t. 63 et 64). {Foir le Tome III de ces Lemons.)
(") F'oir Cayley {Quarterljr Journal^ t. XI, p. i85).
{*) Les nombres qui figurent dans les formules de Plucker se referent sans distinc-
Clbbsch. — GdomStrie, 1. J
66 TOMB II. — CBAPimi I.
Ces Equations donnent seulement les relations auxqueiies Ics singularit^s (l*une courbe alg^brique doivent satisfaire en toute circonstance. // n'a pas etc demontre jusqu ici h I' inverse que tout sy Sterne de nomhres entiers qui satisfait aux^formules de Pliicker puisse se rencontrer reellement dans une courbe. En g6n6ral, on est seulement en situation d'indiquer pour dj r^ tj w certaines limites sup^rieures que ces nombres ne peuvent pas franchir. On a, en particulier, le th^oreme suivant :
Le nombre p est necessairement egal ou super ieur h zero si la courbe est assujettie h ne pas se decomposer en courbes d'ordre moins elei^e; en d'autres termes, on a
et
> t -4- iV,
Si en edel p etait plus petit que z^ro, si Ton avait par exemple
( /I — I ) In — 1]
(ou une quantite plus grande), onpourrait f'aire passer une courbe d'ordre n — i (ou proprement dite ou decomposable) par ces points doubles ou cuspidaux et par
aulres points de la courbe d'ordre n. La courbe ainsi d^terminee
tion aux singularity reellcs et auz singularites imaginaires. Mais il cxistc aussi entrc les singularites rMies seules, commo Ta montre Klein {Math, jinnalen, t. X), une relation numerique detcrminde. Si, en cffet, w' designe le nombre des points d'inflexion reels, r' le nombre des tangentes doubles isolees reelles (c'est-li-dire decellcs dont les deux points dc contact sont conjugues Smaginairement I'un par rapport a I'autre), r' le nombre des points de rcbroussement reels, d" le nombre des points doubles isoles reels, on a
y.oir ftussi Perrin {Bulletin de la SocUti mathimatique de France, t. VI, p. 84).
TUEORiE G£?I1^RALB BE8 COURRCS AUiEBRIQUES. d-J
aurait avec la courbe donn^e
— ' -f- 1 M-2/1 — 3=iz/i(/i — 1)4-1
points d^intersectlon, par consequent un de plus que cela n'est possible lorsque des parties des deux courbes ne coincident pas ; la courbe du n**"* ordre doit done se decomposer, et le tbeor^me cidessus enonce se trouve par consequent demontre. Pour p = o, c'est-a-dire pour
nous avons en particulier
CI' = 3 ( « — 2 ) — 2 r,
et par suite aussi une limite superieure pour le nombre des points
de rebroussementy car w ne pent jamais devenir n^gatif. Done,
., f n — ilf/i — 2I . J ,- . - -
parmi les '- points aouoles et points de rebroussement
d'une courbe de genre nul, il ne peut se rencontrer au plus que
-{n — a) points de rebroussement,
Appliquons maintenant les r^sultats acquis aux courbes les plus simples. D'abord, pour les coniques, nous n'obtenons rien de nouveau. On a, pour ces courbes,
et
et Ton a, au contraire, h=o pour /z = 2, d = i, c'est-a-dire que le systeme de deux lignes droites est de classe nuUe, comme cela doit etre. D'une maniere analogue, on a pourle systeme de deux points A' = 2, t=zi,n = o,
Dans les courbes du troisieme ordre ou de la troisi^me classe, on a en g^n^ral p =zi ; par consequent , un point double ou un point de rebroussement unique, une tangente double ou une tangente d'inflexion sont seules possibles , mcme dans les cas particuliers. D'apres cela, nous obtiendrons, en vertu des formules de Plucker, pour les singularites qui peuvent se presenter dans les
68 TOME II. — CnAPITRE I.
courbesdu troisieme ordre, le Tableau suivanl :
fl'
et d'une maniere analogue, pour les courbes de la troisieme classe,
ti
Dans les courbes du quatrieme ordre on rencontre, en outre,
des tangenles doubles. La d'ailleurs, en general, /? = 3 ; il peutdonc
exister trois points doubles, ou m^me, puisque - (/i — 2) = 3, trois
points de rebroussement. Nous avons en consequence le Tableau suivant :
Chacune des deux derni^res courbes de ce Tableau se correspond dualistiquement a elle-m^me. Ainsi que Texp^rience Ta appris, les courbes du troisieme etdu quatrieme ordre ici ^num^r^es ont toute> une existence effective.
Nous nous sommes borne jusqu^ici 4 la consideration d^un poinl double individuel, etc. Mais les formules <5tablies ont une portee
TH^ORIE GES^BALE DBS COCRBEft AUi^BBIQCES. 69
generale, car on peut loujours remplacer les points multiples d'ordre 6leye, en tant qu'il s*agit de leur influence sur la classe dc la courbe et sur le nombre des points d'inflexion, par un certain nombre de singularit^s moins ^lev6es. Cela est en premier lieu evident pour un point multiple d'ordre r form6 de branches a cours separ^, car dans un tel point chaque premiere polaire a un point d'ordre de multiplicity r — i dont les branches ne sont pas tangentes a celles de la courbe originaire, et, par suite, r{r — i) des tangentes issues du p61e se confondent avec la droite qui joint le pole au point multiple. C*est ce nombre qui mesure Tabaissement
de la classe, c'est-a-dire que nous devons poser rf = -^ '-• Le
fir ^ I I
point multiple d'ordre r est done equivalent a — points
doubles^ comme nous I'avons pr^cedemment montr6 d'une autre maniere (p. 34)-
La m^me chose a lieu pour le nombre des points d^inflexion, car on peut d^montrer que la hessienne a aussi au point multiple d'ordre r un point de m^me multiplicity et qu'elle touche a la fois toutes les branches dc la courbe originaire.
On aura aussi k resoudre d'une maniere semblable les singu^ larit^s plus compliquees ; on placera dans ce but le point dont il s'agit en Tun des sommets du triangle des coordonn^es, et on lui appliquera ensuite la regie de Cramer (p. 34 et suiv. ). II est Deanmolns k remarquer qu^une singularity peut tirer son origine de la presence de tangentes multiples en un point multiple, ce qui en rend Texamen difficile. Cayley a, pour T^tude des cas de cette nature, donn^ des regies ( * ) d'apr^s lesquelles on parvient, au moyen de developpements en s^rie, k determiner Tinfluence de la singularity sur la classe; toutefois, une exposition complete du sujet manque jusqu'^ present.
Les demonstrations des formules de Pliicker reposent essentiellement sur les propri^t^s des polaires et de la hessienne dans les points doubles ou cuspidaux de la courbe originaire. Nous avons
(*) Catlet, On the higher singularities of plane curves {Quarterly Journal, t. VII), et Note sur les singularites des eourbes planes (Crelle's Journal, t. 64, p. 369). Foir aussi Halpheo {Comptes rendus, t. LXXVI1I et LXXX; Journal de Liouville, 3« seric, (• H}, et, au surplus, la fin de ce Chapitre.
70 TOME II. — COAPITRE I.
d^montr^ occasionnellement les propositions dont il s*agit et fail usage, pour les demonstrations, d*une situation particuli^re du triangle des coordonn^es. Les m^thodes symboliques fournissenl un moyen d'obtenir directement ces propositions auxiliaires, sans d^placement de coordonn^es, leur caract^re projectif ^tant ainsi mis en Evidence, et nous abordons d^autant plus volontiers cet objet, que nous y trouverons un exemple tr^s-convenable de calculs symboliques.
Soit
r^quation de la courbe originaire, ety un point double de cetle courbe, en sorte que
Ces Equations expriment immediatement que la premi&re polaire d'un point quelconque passe par le point double. La (/i — a)'*"* polaire du point double lui-m^me
repr^sente le produit des deux tangentes en y. En coordonnees lignes, elle donne done T^quation de leur point de rencontre compte deux fois (t. I, p. 129), c'est-3i-dire que nous pouvons poser
Cette expression s*annulc, en vertu de ( 2), si Ton pose
et cela ind^pendamment des valeurs des quantit^s x/. Nous avons done les trois Equations
(5) .o<-» Ci = [aOc]^ ay^i/;-^ r; -' c, = o,
lesquelles expriment que la hessienne a eny un point double*,
Le couple de tangentes de la hessienne au point double est donn6 par
Le premier terme du premier membre [k part le facteur n — 3 j
ni£OaiE Gi^ltaAbB DBS C0CUK8 alcAbbiqobs. ^t
est ce que devient le premier membre de r^quation(4) si Ton J pose
UiUk = CiC^cl *r*.
Mais, par cette substitution^ il vient dans le second membre de(4)
et, par consequent, le premier terme de notre expression, 6^aie a z^ro, donne le couple de tangentes de la courbe originaire ; nous montrerons qu'il en est de mdme k regard du second terme, c'est* a-dire a Tegard de
Si Ton multiplie ce terme par u^, les a/ ^tant des grandeurs compl^tement arbitraires, on a identiquement (d'apres III, t. I, p. 35a)
\]uy = a'^r^ b^^r^ c'^r^ b^Cj.(abc)[[bcu]ay — [acu)by -♦- [ahti] r^].
Ici le premier terme est nul, k cause de ( 2 ) ; les deux autres sont identiques, parce que Tun s*obtient au moyen de I'autre, par permutation de i et c; par consequent, on a
Vuy = 2^;^ 2 ^/i-3 ^n-1 (,^c^i^abc] [ abit )
= fC^b; -'c; -' b, [abc)[[abu)c^ -f- [bcu)a^],
ou, d'apr&s Fidentit^ (III) (t. I, p. 352 ),
U«j. = iiJ-* A;-»r;-» b^ [abc][[acu ) b^ -f- [abc] i*^],
Le second terme est nul, d'apres(5), et le premier a, d'apris (4)^ la valeur
car il provient, a part le signe, de
[abn] [abv]ay^b'\-^ = [acu] [acv] a"-^ c'^f^ =pUyVy,
si Ton pose 1^/ = i"r' i^ i|. Par 14 se trouve d^montr^e notre proposition, k savoir que la hessienne touche les deux branches de la
73 TOMB II. — CHAPITRB I.
cow'be originaire au point double. Le fait que la tangente d^uoc premiere polaire quelconque est harmonique au couple des Udgentes du point double et a la ligne qui joint ce dernier point au pdle (z) (p. 24) r^sulte de ce que la tangente en question
(6) «J-»fl.«, = o,
par suite de la forme de son Equation, se confond avec la polaire du point z reiativement au couple de lignes a^~^ a* = o.
Si la courbe originaire a un rebroussement au point j^, la polaire quadratique de y est le carre parfait d'une expression lin^aire, c'est-a-dire que Ton a
(7) ««.-»ai=..j,
les quantit^s 1^/ d^signant les coordonnees de la tangente de rebroussement. L'^quation de la tangente en ^ a la premiere polaire d'un point z (Equation 6) est alors identique a
Par consequent, la premiere polaire d'un point quelconque touche la tangente de rebroussement au point de rebroussement; mais, en ce dernier point, la (/i — 3y*«n« polaire dej^
a aussi un point de rebroussement et une tangente de rebroussement commune avec la courbe donnee. Done, d'apr^s un th^or^me r^cemment d^montr^, la polaire d'un point reiativement a cette courbe du troisi^me ordre
touche la tangente de rebroussement au point de rebroussement. Par consequent, r^quation de cette conique en coordonn^eslignes
est satisfaite si Ton pose
TDtoftlE GfisiRALE DES C0CBBS8 ALCfiBHlQCES. 73
6t cela Ind^pehdammenl des ^/. L^^qualion
est done satlsfaite idenliqiiement ; roais elle n'cst autre que Tequation de la polaire quadratique de y relativement k )a hesslenne, car le terme qui se rencontre encore dans celte derni^re,
resuhe de Fexpression [bcu)^b'^~^c'^~^, qui s^^vanouil, en verlu (le (7), pour w/iiA = aiaka'y^a\j et il esl, par consequent, identiquement nul. Done il r^sulte de (8) que la hessienne a iin point triple au point de rebroussement de la courbe primitiue.
Nous obtiendrons facilement la determination des trois tangentes a ce point triple apres. avoir consider^ les relations correspondantes dans les courbes du troisi^me ordre. Si une telle courbe poss^e un point de rebroussement, y ayant pour tangente de rebroussement s^j et que \ soit un point de cette derniere, Tequation ( 7 ) se transforme en
Soit maintenant il \ient, les k/ designant des grandeurs arbitraires,
=: 3 [abc] [ahu) Oxhj.Cj.Cy = 3 [abv] [ahtt] a ^bjVj. =1 3 («v^; — ^\y^i) '/fb/i) fl^bjc^'j.
z=:Gay bz 'ftbu) a J bjVj. = (J [i'bu] //^ bii'^.
Comme nous pouvons supposer que les ii/ aient ^t^ choisis de
(') L'evanoiiissemeut do cette expression, quo nous designerons par P, pout aussi •Hrc reconnu de )a mani^ro suivante. Soit ( un point de la tangente de rebroussement f-sro); on a, d*apr*8(7),
et ensuite
a'l * €tj- fh --= «'x ♦': = 0, a^~ * «^ = o.
De la resulte qn'on a identiquement
P = {arhy^ &,ayya^r^ A;-3/i.*.= rtJ-'^^-S „- A- (n* Aj^- 2fi^^b'^<lyl,y-i- bj^^] = 0.
74 TOHK II. — CBAPITRE I.
telle maui^re que le facteur(v&u)£ar&c ne soil pas identiquemcnl nuly il s'ensuit que la hessienne d'une courbe du troisieme ordre a point de rebroussement se compose de trois lignes droites, dont deux se confondent avec la tangente de rebroussement (p. 3o).
Si Ton passe aux courbes d*ordre /i, les trols tangentes de la hessienne seront representees par la polaire cubique de jr relativement k cette derni^re, c'est-i-dire par r^quation
car le terme
s^^vanouit idenliquement, en vertu de (7). Examinons mainlenant isol^ment les deux termes de I'^quation (9). Le premier, ^gal^ scparement k z^ro, donne la hessienne de la courbe du troisieme ordre
qui poss^de aussi en y un point de rebroussement ayant v pour tangente ; il renferme done , d'apr^s un theor^me recemmenl demontre, le facteur 1^^.. La m^me chose a aussi lieu pour le second terme du premier membre de (9). Si Ton d^signe en effet parQ ce terme, abstraction faite du facteur 2(72 — 3), on a, d'apres (7).
Soit maintenant encore ^ un point de la tangente de rebroussement, d'ou ^'5 = o ; il viendra
= ^';. --• a\ ij"r^ bl b^ 4- a'l * ola\ b" » b^
ou, en vertu de (a) et de (7), et enfin, k cause de yi=z o^
TB^OaiE Gfcl£RALB DBS COUBBIS ALGMBHIQUBS. 76
L'expression (9) renferme done effectivement le facteur f^, et nous avons par suite ce th^or&me : Si une courbe possede un point de rebroussement, sa liessienne a en ce point un point triple tel que deux de ses tangentes coincident avec la tangente de rebrous^ sement de la courbe donnee.
Dans la transformation que nous avons op^r^e sur Q se trouve renferm^ un th^or^me g^om^trique. En effet,
est r^quation de la premiere polaire de y relativement a la courbe
(10) a^-^ ^J-* [abif a%bl = o.
Cette demi^re a done, de m^me que Q, un point triple eny,
Mais dans (lo) nous avons en m^me temps T^quation de la
conique
aZ~^a\al = o
en coordonn^es lignes, c'est-i-dire de la polaire quadratique de x relativement k la courbe
courbe du quatri^mb ordre ayant un point de rebroussement en j^. L'equation (lo) donne, par suite, le lieu des points x dont les polaircs quadrat iques relativement i (i i) touchent une ligne ayant Vi pour coordonn^es. Si done une courbe du quatrieme ordre a un point de rebroussement, les points dont les secondes polaires touchent la tangente de rebroussement sont situes sur une autre courbe du quatrieme ordre, Cette derniere a au point de rebroussement un point triple, dont deux tangentes coincident avec la tangente de rebroussement de la courbe donnee.
