IV. (//w.r), (/w/i.r), (''^•'•)» (//w

(») f^oir, 8ur ce qui suit, Clebscu et Gorda:*, Math, Jnnalen, t. I, p. 5G et suiv. C'est dans ce travail que les formes mixtes L et M ont ete introduites pour la premiere fois, et que les formules relatives & la represeotation typique ont ete etablies.

SgS TOHB II. — CBAMTRB II.

Pourle systeme I nous avons, d'apr^s (lo) el (ii), 7^7/ = T(«^7)(«^«)«x*a:ai7i— ^SA/,

^ (al3fl)(aSc]a,?,aJci -h -/(aT/- SA),

7J7/n=-^(«?«);a?7)«xMi7iH-^A(2T/-SA).

Les premiers termes des seconds membres, dans la deuxieme el la troisidme Equation, sont pr^cis^ment les formes ddsign^es pr^c^demment par cp, cf'^ (p. 3 19) et peuvent en consequence s'exprimer par^*, A et le combinant tj;. Le premier terme du second membre de la premiere Equation est, par suite de la permutabilitc de ttf by Cf 6gal k

ou

^ [abcrOj.bj.c^al^jX'^.

On trouve de m^me que le premier terme du second membre do la derniere Equation est, a cause dc la permutabilite de a, |3, y,

egai a — J A,/, As devant ( p. 299 ) 6tre fail ^gal k — S-f — 5 T A. Les equations (12) se transforment done en les suivantes :

^a, =-4. T/»4- — SA/,

Les expressions qui figurenl mainlenanl dans les seconds inembres peuvenl s'ex primer Ir^s-simplcmenl en fonclion des so-

LES COCtBES DE TKOlSltMB OtDKB OC DB TBOISlfiME CLASSB. 399

condes d^riv^es partielles de la forme binairebiquadratiqueG(xyX), si Ton y pose x = A, X = — yet qu'on ait 6gard aux valeurs de Gil, Git » G,2 donates page 3oi. Si done on pose, pour abr^ger,

(i3) rr=G(A,-/), r/=:G,(A,-/;, ra = G//,(A,-/),

et qu^on ait egard aux Equations ^videntes a^a^i = o, o^^ct;, ^ o, on a, pour les formations designees sous le n^ I, les valeurs

oUi —

fit ol«

Nous passons a Texamen des formations II. On a ^videmment

Oj^al = llfikfiinf, =z

/ll fl\ /j3 f\ ^\

/al fzi Jii Ji ^3

/l ft A o o

Ai A. An O O

ou, si Ton ckasse les quantitesy}.

Jtl ft\ fiZ

f\\ fit Jzz GOO

el, si Ton exprime de nouveau y en if, A,/ (p. 32o),

iT/. + iSA/