I-Pf
Fi tenant encore deflni par (i3). En appliquant a cctte Equation le proc^de i et en observant que Ton a, en vertu d'une proposition
4oO TOMB II. — CBAPITIIB II.
pr6c6denle siir les combinants (p. 394)7 dN = o et (^v];= o, on Irouve
{16) »xaj= ""S^* "3^"^*
Dans le calcul de axajf ^xa?, ^*^7«i ^x^t^^, on trouve en m^mc temps les formes a^aiamf et cela au moyen de calculs symboliques tr^s-simples. On a, d'apr^s (10) et d'apr^s (4o) (p. 299)9
(17) a^aj = jibca] [bca]a^b^Cj.ix%ai — j ^lola,.
Si nous permutons, dans le premier terme du second membre, ies symboles a, c ou a, b, et que nous ^crivions, au lieu de ce terme, le tiers de la somme des expressions ainsi obtenues, il vient, a la place de 3 (6c a) a/, la reunion de termes
[bca)af — [aca]bf — [baa]c/z= [abc]a/ , et Ton a par suite, d^apr^s (14)9
(18) a^nf = — ' Aj; - -^ AiT,, -f- -^ Ar„.
Si Ton ^change ensuite dans (17) les leltres grecques avee les lettres latines, / se transforme en — m, Aj en ^s, /* en A, et Ton a en consequence
I <^x<^m = — T (P7«) (?7a)aarPx7ar«i«/» -^ 7 ^l^l^m ('9) . = — vA3«i«/«-^T Ajaia/nt
On tire imm^diatement de (17 ) axata„i en rempla^ant dans le second membre / par m ; on trouve alors
LBS CODtaU DB TBOISlftMB OBDRB OD DB TBOISlfillB CLAMB. 4oi
Si Ton remplace au contraire, dans (19 )> une fois m par l, on trouve
Pour irouver enfin a^aj^^ olxOl^^ on soumet axa'j, olxO^]^ *^ procede d^, et Ton obtient ainsi les fonctions cherch^es en m^me temps que les fonctions connues ajcaiamy oLx^iio^m' On a d^ailleurs k faire usage des formules suivantes, qui ont ^t^ 6tabiies pr^c^demment (p. 289 et suiv.) :
^/i=A, ,jA=i3Air=is/, <yA,= 2Aj-f.iSA, (^Aj^Aa-h SAi,
On trouve alors en premier lieu
^r^^cT^A'-is/') d'ou, en vertu de (9),
fit
= - 1 SA,,}, - ~ SA,r„ - ^ A,sr„+ ^ SA.r„.
Nous iatroduirons dans ces formules les formes A/ (p. 299) au lieu des quantil^s Tn au moyen des Equations
r,,= ii'-/A,. r„=AA,-/A,, r„ = AA,— /A,;
Clebsch. — Geometrie, II. 20
402 TOMB II. — CBAMTftB II.
les formules pr^cit^es donnent alors, a cause de (ao) et (21), les deux formations cherch^es sous la forme
a^«7 = - ^ A^^ -f. -g/(A3A - A, A.) + a(a; - AA,),
«^«J, = -^-A,+ -f--gA(A3A-AjA,)-h-^/(A*-.A,A,\
Cos formes peuvent s'^crire d'une mani^re plus abr^g^e si ron introduit encore les secondes d^riv^es partielles de S,x par rapport ^ X et ), divis^es par 12, et les troisi^mes d^rivees de G(x, X), divisdes par 24 > pour y. = A^ X= — /, c'est-a-dire les expressions
(24) S„r=6(Aj-AA,). S,, = 3(A,A,-AA3), S„= 6; AJ - A^ A,\
(•25) rH, = A, ri,5=:A,, r,„=Aj, r^j^A,.
On obtient alors^ sous le benefice des Equations (i5), (16), (18; et (19), pour les formes citees plus haul sous le n^ II y les representations suivantes :
'/ = -7riii+-7^S,,/+^SnA.
Nous avons d^ja trouv6 dans les Equations (20) et (21) deux des formations d^sign^es sous le n^ III. Parmi les quatre autres, on determine d^abord a^a,,^/ en remplagant dans (10) les <// par les Ci et en multipliant par Cx(caoL)a\a'^ = CxCn* Par la, L se transforme en axanat] Fexpression (caa )Cpa^a^. provenantde u^ s^annule et [abu)[aboiL) a^hx^tl. se transforme en
:='^{abc)a,b,c,dW.Pi[[^hx) [cdp] - [cba] [adp] - [acoL\[bdp ] = \[abcYn^b^c^[aLd^)aiPl.dlz=o,
LES C0DKBB8 DB TBOISliHC OM>BB OQ DB TROISliHB CLASSE. 4^3
et Ton a en consequence la formule
{27) U^a„fl/i=0,
(I'ou, par application r^it^r^e du proc6d6 d suivant (9),
Enfin les expressions oLxCLnO^i et axa^amj qui d'apr^s (28) sont egales et de signes contraires, s^obtiennent par la consideration de la premiere polaire form6e dey'=: f'* (p. Sig) :
(3o) I -4-2(3^a*^^^A^.fl^+!iPx«xa/^i«x]
Le sens des grandeurs A, A', B, B' sera par 1^ facile k aperce^ voir. Actuellement, en vertu de la permutabilite de a, j3, on trouve
( K=^^a,.blc.,p,[a^p)[[apb]ax-[aab)p^]
( =-ayblaxPA^oLp)[[<ipb)a^-- [aap)b^]
ouy en transformant la premiere partie d'apr^s (11) et ayant ^gard
a ce que le facteur de h\ =y dans le second terme ne varie pas si
Ton permute les a:, j^ pour (A,)' == A2 (ce qu'on d^montre faci-
lement),
Le terme A', dans (3o), derive de A par permutation des a, h avec les p, a ;y s'^change alors avec A, A2 avec Aj, M avec — L ct Ton a par suite
A'=: ^a/a^aj.-+- g A^aia,. ^ - ( A,)i(Ai),. A.
Pour I'expression B nous trouvons^ par permutation de a, j3,
4o4 TOMB II. ^ GHAMTBE II.
Ici la premiere partie est ^gale k la premiere partie de A dans (3i)y car elle se r^duil k cette derni^re par permutation de a avec
by tandis que la seconde partie de B est egale a A^blb^. II
vient done
B = — - am a^tty — - Ajflja^ .
Si Ton imagine que dans cette expression les a, h aient ^t^ de nouveau permutes avec les |3y a, on obtient
En portant finalement dans (3o) les valeurs trouvees pour A, A', B, B' et exprimant encore ^j , t^^ P^^/> ^i ^^ ^^^^
Que Ton exprime encore (j>' par ^ (p. 3 19), le terme multiplie par T disparait aussi et il reste
(32) 2^'^^y==ama^ny^ ctiO^x^^x'
De cette formule r^sulte enfin, si Ton posej^,- =: ni = (aaj/Oj-a* et que Ton ait 6gard k la definition du combinant Q donnee pages 3i5 et 3 16
(33) ia = a^aman— (^x<=^n<^i'
Sous le benefice de (ao), (21), (24), (^5), (27), (28), (29), on trouve done pour les formes designees sous le n^ III le systeme suivant d' equations :
a^anOi =0, a;ca;,a/=— a.
A present, le calcul des formes designees sous le n** IV (p. 397 1
LE8 COCIIBES DE Tt01SI^|U OBDBB OU Dl TBOISlfiMB CLASftE.
marche tres simplement. De ( i o ) r^sulte d^abord
En remplagant ici les j^/ par /i, et m/ respeclivement on trouve, d'apr^s (a6) et (34),
f (//MX =-<ij.a„,a„=--n,
et de la premiere de ces Equations r^sulte, par application du pro-
-vrj-l'A.
Pour le calcul de [Imn) nous ferons usage de Tidentit^ [lmn]uj.=z [lmx)un-h [mnx)uf-h [lxn]u,n
nNH-|(riM — r,L) -h>K/M— al).
On a maintenant, d'apr^s (35) et (i4)>
-ON =r [Imx] [aaLu]a^a\
= "' ('^*~^^*--^) ~ \ ^'''** "" r.L) - + {M/-LA), car on a, d'apr^s I'^quation (49) (p. 802),
= SA» — 4T4»/+S'4'/'— |sTA/' +
4o6 TOMB II. — cHAPirai ii.
Si Ton porte la valeur trouvee pour 12 N dans T^quation donnee pour (^lmn)uxj il ne reste plus dans le second membre que des termes multiplies par tixy de sorte qu'on trouve directement (Imn). En y adjoignant les Equations (35) el (36), on a, pour les quatre determinants Jo nctionnels formes at^ec les quatre formes mixtes lineaires L, M, N, Ux, les valeur s suwantes,
S^^^f etant defini par (38). Nous aurons, par la, calculi toules les formations simultan^es de^, A, L, M, N n^cessaires pour cc qui suit.
Les formules d^velopp^es ici donnent encore un resultat remarquable dont nous ferons plusieurs fois usage ( * ) ct que pour cette raison nous allons imm^diatement ^tablir. En posant dans (32) Yi= It ou j-t' = mi et en appliquant les Equations (26) et (34)? on obtient
Si, St d^signant les d^riy^es partielles divisees par 4 de S,xpour x = A, X= — f. Si Ton pose maintenant, dans I'^quation (37), m = ^x^ij celle-ci se transforme en
a'= 5 + (+' -^ s,.^) - g rA>n(Ti + U/) + g-W^/(r. + 4-^A'
On pent enfin ici introduire encore Targument T,x pris pour
■<t = A, X = — f^ car on a (p. 3o2)
(40 TA,^=:r,S,-r,S,.
On reconnait ainsi que le carre de la forme H ( cest-a^dire le
(* ) Voir aussi la Section^du Tome III 8ur les integrales algebriques qui appartienneot k une courbe.
LE8 CODRBES DB TBOISlfiMB OBDRB OC DB TBOMliMB GLA68E. 4^7
determinant Jonctionnel de fy A, et v{/ divise par 54) peut s' exprimer par les formes /, A, i|; elles^memes, et cela au moyen de V equation ( ' )
42) 24»n* = 384^' — I2^Sa,;-h- :2Ta,/,
OIL S^^y et T^^ / sont dejinis respectivemcnt par (38) ef (41).
Actuellement, aux formes mixtes L, M et Ux nous joindrons une nouvelle forme mixie de la premiere classe et da septieme ordre qui a la propri^t6 combinante, savoir
(43) K = LA — /M-h 2^a^ = tt*Ki.
On a eneffet, en vertu de (9), 5R = o, ce qui, d'apr^s les considerations pr^sent^es plus haut, caracterise K comme combinant {*). Pour ces nouvelles formes mixtes, nous avons encore, en vertu de ce qui va suivre, i calculer les formations
^J«Ai ai«A-i o^al, flc^aj, 0^0^01,^ «j:«/»«A-
On les trouve ais^ment si Ton observe que, d^apr^s la definition deK,
On deduit imm^diatement deU, en vertu de (i4)) puis des demi^res Equations (34)
et enfin
+ 4.HA«i«,-/a«a,„)4-4^P'A,
(*) Voir Brioschi, Comptes rendus, i863, premier semestre, p. 3o5. (^) La propriety combinante de K resulte au&si de ce que K peut 6tre d^duit de N an moven de Tequation
Voir JUath. jinnalen, t. VI, p. 483, ^quMion (71).
4o8 TOME II. — CH/kPITRE II.
ou, en vertu des demi^res equations du sysi^me (26) et des premieres du syst^me (34)^ 6t sous le b^n^fice de rapplicaiion du thdor^me d'Euler sur les fonctions homog^nes,
(46) a^al=~'i,r,-h ^/Sa,-/, «x«l = T^r2H--^ASA,»^.
L^6limination qui fournit finalement la representation param6trique cherch^e de la courbe primitive prend une marche tr^s simple si Ton introduit un nouveau triangle de coordonn^es dont les sommets sont donnas par un point fixe x et par les deux points dependant de Xf
N ^ i/„ = o et K ^ tt;t = o,
dont nous connattrons incessamment la signification geom^trique. Les variables courantes ^tant designees par j-/, nous avons k introduire k leur place de nouvelles variables $, tj, ^ au moyen des
equations
Irjri = gj-iH-ij/ii -f- ^^i,
r 6tant encore ^gal ^ G( A, — y). Les coefficients de la transformation dependent uniquement de la courbe y(j^) = o et du point arbitraire x ; or, comme Un et u^ sont des combinants, les coefficients de I' equation transformee dependent necessairement aussi des comhinants du sjstkme xf-h X A = o. Pour obtenir la nouvellc equation de courbe , on fera done mieux d'exprimer d'abord la forme
H(7) =4(*)/(jr) -/(^) A(r) = A/(j) -/4(r),
qui est elle-meme un combinant et, ^gal^c k z^ro, repr^sente la courbe passant par/'du faisceau x^-hX A = o, del'exprimer, disonsnous, en fonction de 5 >>???[ au lieu de repr^senter directement J{y) comme fonction de ces derni^res grandeurs. On a d'abord, d'apr^s une identity connue qui derive de (aau)' = o, pour M/= (xy)/ (p. 3o4 et 821),
(48) , H(j) = 3(a,«««i«^- fli«,,«,«J),
les facteurs des termes individuels n'etant plus ici du troisieme
LES C0CRBE8 DB TR018l£]fE ORDRB 00 DE 1110181 t]fE CLASSC.
degr^, mais seuleraent du premier et du second par rapport aux j . Les formules (47) donnenl imm^diatement
ala^
al«r
I3«ia„
-h ^K^Khf
2iiia*a„
-4- 2??a3fl;fc
--|-2>:?rta<»««A-1-
«;r«Ai
K^ay.
— S^A-h tlqmdJcO^n
-f-2?2;«;«;fc
En vertu des Equations (i4); (26}, (44)> (45) et (46), les coefficients qui figurent dans les seconds membres peuvent toujours s'exprimer de la mani^re suivante :
— <r, A H-Ti Tj,
— OTj A -H T, Tj,
Ox^fi — <yil/-+- MiTj,
— orjl A -+- Ml r,,
«x«/i«*— «r„/-i-T„ri,
«xa»
— (TijA -t- r,,rj,
<»x«A- =«rij/-»-'r«rt,
— (TjjA -4- T„r,,
les grandeurs a^ t £tant d^finies par
(7i = o, <r, = T{^, <r„ = — -^, (r„ = — n, or,, = — S^,-/,
7i = O, 'l=T' "^"^""6* flJ=0>
Si Ton forme done le determinant des expressions (49) qui figure dans le second membre de (4^)) celui-ci se decompose en deux facteurs, dont I'un est
et, en chassant ce facteur par division, il reste
SH-orj^oH-dj? 5*-h^ar,7:;-|-2arjC;-4-ar,ii3'4-2ar,,>3!;-4-0'25^
2 T, >: 5 4- 2 Tj ^; -+- Tj , >!* 4- 2 T, , y; ^ -h Tj J ^
ouy en r^duisant la seconde ligne verticale k I'aide de la premiere.
4 10 TOME 11. — CHAPITBB II.
el posant a, =o, ?« = o, t,2= o,
=:3$(T,S?-hTHl3' + T„5«)-h3?
Si Ton introduit enfin aussi pour les autres grandeurs a, r les valeurs (5i), il vient
C'est la ce quon appelle la representation ty pique de H(^'); la forme H(j^) est ainsi representee comme fonction rationnelle (mais non comme fonction enti^re) au moyen des invariants fonclionnels dey(t. I, p. Sog et suiv.) et, pour pr^ciser, au moyen des grandeurs f^ A, ^ et 12, y et A n'entrant d^ailleurs que dans le combinant S^,./, de sorte que dans (Ss) tons les coefficients sont des combinants.
On reconnait sur F^quation (5a) que la droite ^ = 0| en son point de rencontre avec y; = o, c'est-i-dire au point x, louche la courbe H(j^) = o, landis que le point de rencontre de f = o avec ^ = o, c'est-a-dire u„ = o, est egalemcnt situd sur la courbe et coincide par suite avec le point tangentiel dex (p. 262). Mais en m^me temps, au point Ufi = o, la ligne ^ = o est tangente a la courbe ll{jr) = o. Comme ensuite la premiere polaire de x relalivement a H = o apparait sous la forme
Yt = o est la polaire du point N = o (c'est-i-dire de ?[ = o, ^ = o) par rapport k la premiere polaire du point x form6e pour H = o. Nous aurons ainsi reconnu le sens g^ometrique de la transformation (47)! nous pouvons aussi exprimer le r^sultal donl il s'agit par le theor^me suivant :
Si X est un point quelconque du plan, N ^ m,i = o represente le point tangentiel de x sur la courbe passant par x du faisceau syzjrgetique )t/-4-iA=o; d' autre part, K^«a=o donne le
LBS COCftBES DE TB018l£]fB ORDBB OU DE TBOISltlfE CLA8SE. 4"
point d' intersection de la tangente de cette courbe au point N = o avec la polaire deN = o relatii/ement h la conique polaire
de x{').
La forme de H(j^) permet de verifier imm^dialement rexactitade des propositions suivantes :
La courbe ^ = o est le lieu des points x tels que le sommet }L = o du triangle ^ = o^Tn = o,l^=o repondant a x est situe sur la polaire conique de x; la droite ^ = o est la tangente de cette derniere courbe en R = o.
L' equation Z^^ — ■^-- Sa,— /= o represente une courbe du dou-
zieme ordre pour les points x de laquelle le sommet K = o rfu triangle en question est egalement situe sur celle des courbes du faisceau syzjgetique qui passe par x.
Pour les soixante-douze points d^ intersection x de ^■= o avec les quatre courbes equianharmoniques dufaisceau xy-h).A = o donnees par S^,—/ = o, le triangle ^ = o, yj = o, J[= o repondant a X est simultanement inscrit et circonscrit h la courbe du faisceau qui passe par x ; N est point tangentiel de x^ x del^etlL deN.
Et enfin, puisque d'apris (4^)> pour ^j^ = o, T^,— /=o, on a aussi i2 = o :
Pour les cent huit points d' intersection de ^ = o avec les six courbes harmoniques du faisceau syzjgetique donnees par Ta,— /, le point R = o qui repond a x tombe en un point d' inflexion et la tangente de ce dernier est donnee par ^ = o.
Pour un point x des douze lignes inflexionnelles representees par G ^r(A, — f) = o, notre representation typique devient illusoire ; en efTet, le determinant de notre transformation (47) s'^va-
(*) On aurait pu reconnaltre aussi la m^me chose directement par la resolution des equations (4?) ct de quelques transformations des Taleurs qui resultent de la pour ^1 M, ^; voir Clsbsch et Gobdan, he, cit. La signification de N = resulte, au surplus, directement de I'identite de Salmon. Le point tangentiel sera ind^termine si H se r^duit k un triangle, ce qui Concorde ayec les rdsultats de la page 35o.
nouit aussi alors, car on a, d*apres (43)* et (Sg),
I(x«X-) = l[xnl] — f[xnm),
Acluellement on pent d^duire de (52) des representations typiques pour tons les invariants fonctionnels de H(j'), c'est-^-dire figurer ces derniers de telle sorte que leurs coefficients soient des fonctions ration nelles de J\ A, ^ et ii. Nous calculerons seulement ici la forme hessienne An de H(j^). Dans ce but on forme d'abord le determinant hessien de H relativement h \, m^ ^, c'esl- ^-dire le determinant des quantit^s
et on le multiplie par 6 et par le carre du determinant des equations de transformation qui se tirent de (47) ps^ resolution. Or on deduit des equations (47)> en vertu de (53),
Mais, d'apres le theoreme sur les determinants adjoints, le determinant de ces equations est egal a J^^[xnkY=' JiV'-. Si, d'autre part, nous etablissons la forme hessienne pourle premier membre de (Sa), par consequent pour F-H, cette derniere sera egale k r* Ai,. Par division par F* dans les deux membres et calcul du determinant des H/a on trouve done, en tenant compte pour QdeTequation (42)('),
(54) ] -|^,3^6^^'--^.SA,-/)>3*^;-l2•}n
(') On a d'autre part, d'apr^s la formiile connue relative a A^^,
A„=r,ACr)-r./(v);
LES COUBBES DB TBOISltMB OBDBB OU DB TB0»l£]f8 CLA88E. 4*^
Pour exprimer enfin les coordonn^es d'un point y sur la coQrbey(^) = o comme fonctions d'un param^tre, consid^rons le faisceau de rayons
( 55 ) St a\ ay — ).«^ v.y •=. o
passant par le point tangentiel N = o d'un point x de la courbc ct calculous les deux autres intersections d'un rayon de ce faisceau avecy(j^) =o, ce qui se fait par une Equation du second degr^. Comme dans noire casonay(x)^y= o, on aura H(^) = Ay (j^) et (p. 3oi)
A,, = r, «; — r, a] = Tj a» ,
ou, ^ cause A^f^^a^ = o, Ay = A' a'. Nous pouvons done remplacer I'^quation (55) ensemble avec y(j^) =:z^a' = o par les equations
xA*HjH^-A(A„)i(A„),= o, H(j; = o,
OU Ton a symboliquement H^. == H(j^), (Ah )\ = ^ii- M^iis comme aux valeurs ^1= x/ correspondent les valeurs J = F, yj = o, ^ = o, on aura
Si done on imagine le tout exprim^ par rapport aux variables ^, r,, X,i on a les deux Equations
H;rj = o, xA« — -1-^=0.
en ajoutant Tequatioa de deQnition relatlye a H, on trouve
r/Cr)=/Au-f-r.HCr);
c'est Ih, pour la Jorme primitive f{^y ) elU-mime, sa representation tj'pique. On concl at encore de la que tout invariant fonctionnel de f peut 4tre multiple par une puis~ sance de T telle quil devienne une fonction entiere des sept formes fondamentales /, A, ^,11, 11,, N, K. Entre ces derni^res existe Tunique relation (43). Toutes les relations entreles iuTariants fonctionnels de/sont done ramen^es k cette equation et k ses expressions au moyen des sept formes fondamentales. f^o/r Clebsch et Gobdan, loccit.
4l4 TOMB 11. — CUAPITRE IL
Si entre ces derni^res el entre T^qualion
UyZ=o oil w^ ? + N 31 -h K ^ = o
on ^limine les H, m, ^, on obtient le produil des Equations de tous les points y ou un rayon du faisceau (55) rencontre la courbe primitive y(j^) == o. Parmi ces points figure le sommet du faisceau en question (N = o) ; la forme N sera done un facteur du r^sultal de Telimination.
Parmi les trois equations donn^es deux sont lin^aires, savoir :
Comme consequence de ces deux Equations on peut done poser
?: = — KX — 11^ f y xA* — X^i J .
Portant ces valeurs dans H(j^) et observant que Sj^,—/, T^,— /,
poury= o, se transforment respectivement en S A* et TA*, on obtient Tequation
o=-|NJN«[(^xA«-Hyx
En faisant abstraction du facteur j N, inutile pour la question
pr^sente, cette equation, en vertu de la relation (4a)> ne varie pas si, apr^s Tavoir multiplice par-ZyxA^ — a^U on retrancbe dans
LE8 COUftBES DE TftOISi^HE ORDEE OU DE TROlSlfillS CLAS8E. 4'*^
le second membre ^Q^N-X* el qu'on ajoute en m^me temps i'ex-
pression
Alors, tous les termes multiplies par A* J;, A-tJ^^ et ^^ qui proviennent de la premiere parenthese disparaissant, on obtient Inequation
O nn -^ An fx' — - SxV -i- ^ T X A N»
que Ton peut aussi ^crire sous la forme
ixA«- V}^ Tk^i -+- ujj^l^^— lA 1 -f- |aN>.« (56)
-i^'^V^gK^'-i^'^^'-^s^^')^^-
Les premiers termes de cette Equation se simplifient encore si Ton remplace K et £IN par leurs valeurs en L, M. En tenant compte dey= o, on a, en effet, a cause de (37) et (43),
K =r LA -h I^Ujpy
Ces valeurs ^tant port^es dans T^quation (56), celle-ci se transforme, si Ton neglige le facteur -h^^9 en
4x>L±Ni/6>(x'— -xPS4-|>=»Ty
C'est Hi Inequation 1/^=0 d^ an point y oil un rayon du faisceau y.a^ay — Xa^a^=o coupe la courbe f[y) =. o; le point x est id un point quelconque de f\ son point tangentiel (N = o) est le sommet du faisceau dont il ^ncnt d ^etre parle; les formes
4l6 TOUB II. — CHAPITRE II.
L et M sont ddfinies par (lo) et (n); A, S, T ont les signi- (ications connues. Les deux intersections difT^rentes d'un faisceau de rayons s'obtlennent par les deux signes du radical. Les coefficients de U{, 1/09 1^3 dans Texpression en question sont done les coordonn^es mdmes du point variable sur la courbe^ on a, ptxr suite, si p designs un facteur arbitraire, ces coordonnees representees en fonction du parametre x : 1 par les equations suivantes, dans lesquelles on a pose M = u^, L = i£/, N = u„ ( ' ) :
pjr,= A(x«- gsx«\x,-4x2m,4-4xx/,ih/i3i/6^(x»-. isxA«-i-^r/^K
Sous le radical (^) apparait ici I'expression G| (x, — X) n^ltipli^e par6X. Or^ comme par r^vanouissement de cette quantite irrationnelle les quatre tangentes du faisceau xa^My — Xa^aj=o issues de N = o sontd^termin^es, on reconnait que, si Vune de ces tangentes repondant i la valeur i = o [c^est-a^dire celle qui a son point de contact en x) est connue, les ir^ois autres sont determinees par l' equation G|()c, — X) = o. On peut en pariiculier faire co'incider le point x avec un point d'inOexion, cas 011 le sommet du faisceau consid^r^ se trouve ^galement en ce point d'inflexibn. A la valeur A=o correspond alors la tangente d'inflexion de x, et les racines de T^quation G, (x, — X) = o fournissent les trois autres tangentes de la courbe primitive qui partem dex ( ').
(*) Une representation parametrique semblable a ^te donnee sous une autre forme par Aao:iiiOLD, Monatsberichte der Berliner Academie, 35 avril 1861. C'cst & elle que Clebsch a rattache Tapplication des fonctions elliptiques, et en particulier de son theor^me d'addition aux propositions sur les points d'intersection {Journal de Crclle, t. 63, loc, cit. Dans les Equations correspondantes du Memoire de Clebsch et GorJan {Math, jiimalen, t. 1, loc, cit,), les termes ayant pour coefficient m^ont ^te negliges
(*) En dehors do cette racine, Tequation (57)comprend encore une irratioonalite, proyenant de ce qu'un point x de la courbe est suppose connu ; or la recherche d'uu tal point exigc encore la resolution d'une equation du troisi&nio degre.
(') Comme, d'autre part, 6^ = determine les trois courbes du faisceau sytygetique clont la hessienne est/= , il en resulte incidemment que toufe courbe du faisceau
LES CODBBES DE TBOISlfiXE OBDBS 00 DS TBOlSlftME CLA8SB. 4 '7
Toutefois, dans les hypotheses faites ici sur la situation de Xj nos formules pour la representation tjpique de H(j^) cessent d'etre cxactes, car poury= o, A = o, on aurait aussi F = o, c'est-^-dire que le premier membre de I'^quation (02) qui fournit cette representation serait nul. £n eflet, le triangle de coordonn^es (^ = o, ri = o, ^ = 0) dont nous avons fait usage ne pent plus nous servir dans ce cas, puisque ses trois c6t6s se confondent. Malgrd cela, les Equations finales (57) subsistent. L'^quation (56)*, dont (57) a ete deduite, n'est autre en eflet que le r^sultat de Telimination des ji entre les equations
et ce r^sultat doit n^cessairement subsister ind6pendamment du choix du triangle de coordonn^es ; le triangle que nous avons employe prec6demment avait €l^ choisi pour Tobtenir, parce qu*ainsi les coefBcients des puissances de x, ^ ^taient immediatement doDn^s dans (56)* comme invariants fonctionnels de la courbe primitive. Maintenant, si Ton pose dans (57) A = o, il vient
(58) pjr/== — 4A'm, + 4-/H±'*i\/6>fx5 — ^SxX'+iTX'j
On r^introduira facilement dans (57) les fonctions elliptiques sinam, cosam, Aam; nous commencerons par donner les calculs n^cessaires k cet objet, mais on verra que les raisonneinents ont une marche beaucoup plus rapide si, au lieu des i'onctions sin am, . . ., on fait usage d'une nouvelle fonction doublementperiodique, qui pent ilaturellement s'exprimer au moyen de sin am, cos am, A am. L'iutroduction de ces derni^res fonctions est, en eOet, rendue ici plus embarrass^e par suite de la circonstance que dans (^7) figure sous le radical une expression du iroisieme ordre, multipli^e par A, qui doit prealablement 6tre amende k la forme norraale u[i — p-)(i — ^'/^) dont on fait usage pour sin am. Nous devons encore nous occuper en particulier
syzygetique est touchie par les tangentes d^ inflexion des trois courbes auxquelles elle appartient comme kessienne. On demoDtre au surplus la chose sans peine directement. fair Glebscb, Veber die Wendetangenten der Curven dritter Ordnung {^Journal de CrelUy t. 58).
Cledsch. — Geom^trie, II. a 7
4l8 TOME II. — CBAPITBE II.
de la determination des points d'inflexion, c'est-^-dire de la determination des neuf rayons du faisceau ^a^ay — Xa^ay=o qui r^unissent le sommet N de ce dernier aux neuf points en question ; nous verrons comment ce probl^me, purement alg^brique, se r^sout k Taide des fonctions elliptiques.
Pour atteindre le but indiqu^, introduisons le param^tre x au lieu de x : X et d^signons par y/, x", x'" les racines de T^quation
(59) G,(x,-i)sx»-.is.+ lT = o,
c'est-i-dire posons x = x, X = i et
Faisons ensuite la substitution
/ // /'Ml '"
ilvienty par suite de cette derni^re,
.3 isxH-^T=(x'"-x''l«(y/-x*'),t.(l — fi)(l — AV;
SI
yj" — vJ '
II sufiit actuellement d'introduire un nouveau paramitre u au moyen de I'^quation
(60) /x==sin*am«
pour obtenir les relations suivantes :
(61 ) X = x" sin* am II -+- x*' cos' am w,
I / x' S X -4- - T = (x*' — x") y^x' — x'" sin am u cosam u A am u
-a svar am u
^ —dir-'
et ainsi Tint^grale cUiptique de premiere espdce qui appartient a
LM COOBBES DB TROISltlfB ORBBB 00 DE TBOISltlfB CLA8SB. 4*9
Dotre courbe (c*est-^-dire le nouveau param^tre u) sera donn^e par
-Sx-h^T
Nos formules (67) se transforment enfin en
, . , . //sin* am »
PJi = ?/ ( sm' am 1/ ) 4- /wc, ,
les quantit^s c/ d^sigDant des constantes, les quanlit^s f i* ^tant des fonctions rationnelles endures dii second degr^ de leur argument,
el m ^tant dgal a (*/' — y")\j'/! — yp\ elles deviennent done, en realile, de la forme des Equations (3i) (p. 389). Si Ton veut, en partant de ces derni^res Equations (par rinterm^diaire des fonctions H), repr^senter encore les th^or^mes sur les syst^mes de points d'intersection par revanouissement des sommes correspondantes d'int^grales, il est n^cessaire, d'apr^s ce qui pr^c^de, de determiner la valeur de 14nt^grale u pour un point d'inIlex.ion ou la valeur correspondante de sin am u. Cette determination se rattache aux d^veloppements qui suivent.
Nous nous proposons d'^tablir la condition pour que trois points de Id courbe ajant pour parametres >c,, Xo, Xj ou pour valeurs integrates correspondantes U|, Ua, 1/3 soient en ligne droite. Nous ccrirons, pour abreger, les Equations (Sj) sous la forme
(64) pj-,=:/7/+<7,-x+r^x*=L«,Yy(x),
(') Une autre methode elegante pour reduire par transformation rationnelle Tintcgrale cUiptique a forme ginertUe binaire du quatridme ordre sous le radical du denominateur, de telle sorte qu'a la place de cette forme se presente la forme cubiquc
dependant uniquement des invariants 1 ety f ou, si Too pose x4 au lieu de x, unique-
raent de rioyariant absolu -,-],& etc indiquee par Uermite {Journal de Crelle, t. 52, p. 8) ; 'Voir aussi Caylet, ibid,^ t. 53, et Clebscii, Theorie der bindren Formen, p. 233.
4ao
TOMB II. — CDAPITRB If.
qui permet d'apercevoir facilement le sens des grandeurs/;/, y,-, r/, flf|- el ou ^(x) = G| (>c, — i). Si Irois points x,, Xj, /-a doivent ^ire en ligne droite, il faul necessairement que le determinant forme de leurs coordonnees s'^vanouisse. Mais ce dernier est ^gal, en verlu de (64)7 ^ la somme des produits formes avee les determinants correspondants du syst^me incomplet
c'est-^-dire que Ton a T^quation
Pi
Pi
Qt
fi
Pz
aa
vVl'^i)
[qru) --[roLp) [upq)
