PI

En ayant 6gard aux significations des grandeurs />, q, r, a lellcs qu'elles r^sultent de {Sy) et (64), on obtient, pour les determinants ternaires qui figurent dans la derniere ligne horizon talc de (65), les valeurs suivantes :

( ^ra ) = 4 V^6 ( / x/i ) A,

— [roLp]=: /\^[j:nm)lf

(oipq)=^i6^6{lmn)-\- —[nix] Si, — [pqr] = — i6[//?ij:] A,

ou, en vertu des Equations (Sg) (p. 4^6) et dey= o,

(yr«)=V^AS -(r«p)^4v^A«,

[apq) = iGv/Gl^S — (yj^r) = — 24nA.

Si done on pose

on en d6duit, eu ^gard ^ridenlit^ qui existe pour Q (p. 4*^)t i*>^ formules suivantes, qui seront la base de nos explications ulte-

LCS COCftBES DB TBOISltHB OBDBE OD DE TROlSlfillB CLASSE.

rieures :

— (ra p]

(qra)

(^r«)-'*' (qra)

L'equation (65) se transforme done en ( ' )

1 Xi Xj

1 Xj xj

1 Xq XjJ

On transforme enfin ais^ment, au moyen de la substitution (61), le determinant qui figure dans le second membre de telle sorte que la condition pour que les points x,, xo, x, soient en ligne droite apparaisse sous la forme

(siy Ci, ^1 etant Merits a la place de sinamu/, • • •)* ^^' d'apris le ifaeor^me d*addition des fonctions elliptiques (p. 862),

iij-h ttjH- tfj-f- tto^o (mod.Wjw').

Nous obliendrions encore ainsi pour les points dUntersection de la courbe primitive avec une droite Tequation (36) (p. 4^^)^ na^ds il r^sulte en m^me temps de Ik que les quantit^s Uo sont identiques avec les grandeurs designees alors par 3^. J^s arguments des neuf points d' inflexion sont done donnes par les valeurs

iyo)

(') Le signe de ^(xq), dans les termes de la dernidrc ligne horizontale, pent Mre choisi arbitrairement; mais on doit prendre un signe determine lorsqu'on introdait Itis fonctions elliptiques, et ce signe est alors completeinent donn^ par les Equations

(6o)et(62).

433 TOME II. — aiAPlTRB II.

I/O Slant determine par les equations ( * ) x"sm' am u^ -f- x*' cos' am Wo = -^ »

sinam{/oCosam»oAam»o =

Id x', y/', }t"' jo/ii /e5 racines de V equation (Sg); A, (p, O designent les covariants connus de la courbe primitive, ecrits en coordonnees du point Xy dont le point tangentiel a etc choisi pour sommet dufaisceau dans la representation parametrique (Sy).

Pour effectuerla determination des points d'inflexion, il ne reste done plus qu*^ r^soudre T^quation de trisection qui determine

sinam-rUo par sinamuof autrement dit, les valeurs que prend la

fonction sin am u pour les arguments (70) des neuf points d'inr Jlexion sont les racines de I' equation du neu\fieme degre en s

^'^ ly '-*"— •'^^ "" i~bA:'j»-+-4A^«(i

dans laquelle k^ se determine de la maniere connue au moyen dex', x", y/'^ La resolution de cetle Equation pent se ramener a la resolution de T^quation G(x, X) = o, a Taide de laquelle nous avons dej^ determine les points d'inflexion.

Ainsi que nous Tavons deji fait observer, loutes ces recherches sur rintroduction des fonctions elliptiques dans la theorie des courbes du troisieme ordre ont une marche notablement plus claire si, au lieu des fonctions 5, c, A, on introduit une autre fonction doublement periodique de u habituellement designee par^(u) ainsi que ses derivees par rapport k u {^). C'est la fonc-

(') Voir auBsi, pour ces transformations, Ic Memoire plusicurs fois cite de Sur les poljrgones de Sceiner {Journal de Crelle, t. 63).

(') G'cst la fonction dont Weierstrass fait usage dans ses lemons sur la theorie des fonctions elliptiques, et qui presente d'assez nombrcux avantages sur les fonctions <, c, A de Jacobi. Sur les formules fondamentales qui ont lieu h. regard de cette fonction, 'Voir KiEPERT, Journal de Crelle, t. 76, p. 3i.

LBS COOBBBS DB TB018I£HB OBDRB OD DE TBOISliMB CLA88E. 4^^

lion de laquelle proc&de directement Tinversion de rint^grale suivante :

Les d^riv^es de p{u), par rapport k u, seront toujours dans la suite d^sign^es par f^{u), p^'{u), . . . ; relativement k ces demiAres, on a, en omettant, pour -abr^ger, I'argument u,

p" =6p*-S, p" =6{pp' -i-p'p]=iipp', 74) {/>(') =6(pp'-h2p'* -f-/>V) = i2o/>'— 36S;> + i6T. pW = 6{ppf+ ZpY-^- 3p''p'-^p"'p)= 36p'{iop^ - S),

En posant done actuellement dans (57) y. = p(^u) = p^ X = i, nous obtenons la representation param^trique de la courbe primitive sous la forme suivante :

On pent ais^ment ^tablir la connexion de la fonction p avec sin am u. On a en effet, d'apr^s (61) et (63),

•^=(x"-x"')sinamP-f-x'",

si

V^^T' ^^' n"^ dA

/ „ II dv,

— 2SxH-|t

f< d^signant encore Tint^grale (73). Si w et co' ont la m^me signifi-

cation que plus haul (cf. p. iSg), on a, par un choix convenable du contour d^int^gration ( * ),

«' I /*« da

U vient par suite

x'— aSx + |t

et comme, d^apr^s la definition */. = p(u), il en r^sulte

;?(«) = (x"—x'*)siii*am(ttv^x'—x«'—a>~- — J- (76) 1 .^^^..^ ^ ^^

/«sm«am(ttv^x' — x'"j

on a par consequent jt? (o) =: oo , comme cela doit Atre d'apres (73). On reconnait d'ailleurs que la fonction^(u) admet pour periodes fondamentales

Relativement k elles on d^duit de (76) les relations simples

La th^orie de la fonction p[u) ^tant suppos^e connue, Tetablissement de T^quation des points d'inflexion s'efTectue d*une mani^re extrdmement simple. Au moyen d'un proc^de analogue a celui qui a servi pour itablir les Equations (65) et (67), on obtient d'abord, enpartantdes Equations (75), la condition pour que trois points x^*

(•) Foir K5:<iGSBEB0ER, loc.cit., I'* Partie, p. 3ia.

(•) On a en effet

sin am ( u d= oi = — sin am u ,

sin am \ uziz — 1 = ---. <

\ a / Asm am u

LBS C0IIRBK8 DC TBOISltllB OBDRB OU DB TROISlfiMB CLA88B. ^l5

Xa, X3 soient en ligne droite [piCtant egal a p(w/)] sous la forme

Pl

Pi

Pi

It

Pi

Pz

Po

relation oil, par analogic avec (66) et (67),

yo

de telle sorte que les relations (74) entre Po^Pa^p^ sont satisfaites en vertu de Tidentit^ qui a lieu entre Q^^fj A, ^. La valeur dep<,= ^(3w), « ^tant Targument d'un point d^inflexion, nous est par 1^ donn^e rationnellement; pour determiner les points dHnilexion eux-mfimes, nous n'avons done plus qu'& exprimer p['^u)

enp[u)y e'est-^-dire p{uq) en pl-^Uoj. Or on a, d'une mani^re g^n^rale,

p [ nu ,=zip[U] : : y

la fonction ^f{u) ^tant d^finie par le determinant suivant ( ' ) :

^'pv"; =

[2l3!...(p — i)IJ=

On en tire pour /i = 3, sous le benefice de (74),

[t-ipp- '-,/"]'

OU, apr^s une transformation simple pour/>(3»«) = p„^~[^),

80) u^-pyi^pp'^-p''^] + 4/,' vji, 2;,;," -/,"•) - i6p''=o.

(*) C'est sous cette forme que les equations de division ont ete etablies pkr Kiepert {Journal de Crelle, t. 76, p. ai).

(') On pourrait aussi deduire cette Equation de (77) par passage k la limite; toute-

C'est la, si Von remplacej/^y p'\ d'apres (74)> par lews expressions rationnelles en p, I'equation du neuvieme degre en p

oil en -J equations (Sj) I qui determine les neuf rayons du

faisceau pa^a^ — a^.aj=o qui vont du point N = o aux neuf points d' inflexion, x etant un point quelconque de la courbe. Les coedicients de cette Equation dependent uniquement des invariants S, T et des covariants 4'> A^- L' equation (79) peut done etre consideree comme le resultat de V elimination des yt entre les trois equations

Observons encore ici que la valeur parametrique p = pQ appartient elle-mdme au sommet N = o rfe notre faisceau de rayons. Si Ton pose en eflFet dans [{Sy) x = 4^, ^= A^, il vienl

mais, d'apres I'^quation (Sj), on a poury= o

de sorte que les yi deviennent en fait proportion nels aux /i/. Gela

r^sulte encore, au surplus, du ih^or^me d'addition. Comme, en

eflfet, au point x appartient Targument z^ro (p = 00 ), on a, ^ ^tant

Targument de N = o, pour les points de rencontre de la tangente

de X aL\ec f= o,

o 4- o -f- p + Wq^^O,

d'ou

i'=--tto et p[c)=p{— Uq]=:p[uo).

La resolution de I' equation ( 80) ou ( 79) depend, comme on sait, de la resolution de T^quation sp^ciale de trisection tiree de ( 79 )

fois on obtiendrait ainsi d*abord une equation da douzieme degre en p, de laquelle il faadrait encore separer un facteur cubique. L'introduction des fonctions elliptiques a precisement pour effet de rendre superflus les calculs directs de cette espdce et les eliminations; Temploi de la fonclion p{u) presente un a?antage tout particulier, ^ cause de sa connexion avec la quantite irrationnelle qui figure dans (S^).

LE8 COURBBS DB TBOISlftMB OBOBB OC DB TROlSlftME CLASFB. 4^7

pour u^= o, ou, ce qui revienl au mdme, p^rr: oo , c'est-i-dire dc i'^quation

[8i) i'ipp''^p''=o, ,

ou, en vertu de (74)7 ^^ r^quation

(8>r ^»Sy,'+|T^--l-S« = o.

Or i7 suffit de poser dans cette derniere p = — ^ pour obienir

de nouveau I' equation G(x,X) = o qui nous a servi precedeinment a la determination des points d' inflexion (p. 3o8 et suiv). Les quatre racines p^j p^y P%j P* ^^ cette Equation nous donnent les valeurs

Pour p = 00 ou Mq = o il vient A = o, c'est-a-dire que les points X et N sont situ^s en un point d'inflcxion, et alors T^qualion (81) donne quatre des huit autres points d'inflexion, parmi lesquels il ne doit pas s'en trouver deux en ligne droite avec le premier. On apprend, dans la th^oric des fonctions ellipliques, a former d'une mani^re effective les racines de Tequation (80) a Taide des grandeurs p^J p^y pzip^t et nous ne nous en occuperons pas davantage ici ( ' ).

On ram^ne facilement aussi d'une autre mani^re la resolution de r^quation (80) k T^quation G(x-,X) = o, ce qui permet de donner r^ellement les racines de (80) d'une maniere accessible aux d^veloppements g^om^triques. Si Ton pose en effet dans (80)

a^oL

p=z- ^^ ^ > cette Equation repr^sente pour les j^,- variables une

(') Sur la resolution des Equations de division pour /»(»), ttoir Kiepert, Journal de Crelle, t. 76, p. 34 et suiv. ; sur les probldmes correspondants traites par Abel pour siaamif, voir, par exemple, KO^iigsderger, Ouvrage cite, II* Partie, p. qio. L'equation de la trisection est aussi un cas particulier des Equations du neuvi^me degr^ traitecs par Hesse ( /oor/itf/ de Crelle^ t. 34). Si Ton eiTectue les operations necessaires k la resolution de ces dernidres suivant la representation geom^trique d'une courbe C,, on reconnalt ^galement quo Tequation du quatrieme degr^ k etablir est ici donnee par G(xfJl) = o. Sur ces equations do Hesse, i;o<r aussi Clebscii, Bindre Formenfp, a34 et sniv.

4i8 TOME II. — CDAPITBB II.

courbe du neuvi^me ordre qui se decompose en neuf lignes, savoir les droites joignant N = o aux neuf points d^inflexion. Or trois quelconques dc ces droites joignant N= o a trois points d'inflexion en ligne droite coupent encore f en trois autres points, et il est i mm^di a tern en t visible que ces derniers points sont situ^s sur unc conique qui a avec la courbe primitive au point N un contact du second ordre. Corr^lativement aux quatre triangles inflexionnels, qui sont repr^sent^s, d'apr^s ce qui a ^\.k dit plus haut, par

il existe aussi quatre syst^mes (4>/= o) de trois coniques de telle nature que chacun de ces syst^mes, en y adjoignant le triangle inilexionnel correspondant, passe par tous les points de rencontre de la courbe citee du neuvi^me ordre avccy= o. Le premier membre de r^quation (80) pent done, aTaide dey(j^)= o, ^tre decompose de quatre mani^res dilftrentes en deux facteurs

ce qui r^pond aux quatre racines de T^quation sp^ciale de division (81). Cette derniere donne done encore de nouveau la determination des triangles inflexionnels. Actuellement , pour trouver les racines de (80), il faut r^soudre deux de ces triangles en facteurs lineaires, ce qui se fait d'apr^s les indications de la page 35o. Nous determinerons done les points d^ntersection d'une droite quelconque , que nous pouvons supposer £tre la tangente de Xy avec les cdt^s d'un triangle pif{y) — ^{y) = o; autremenl dit, nous poserons dans cette derniere Equation j^= Ax -t- p/i et nous formerons Tequation cubique en p qui prend ainsi naissance, ct qui, eu ^gard aux relations (p. 898 et suiv.)

/=0, ala„—0, aj«„==0, flr^«* = — gA», a^a,;=:— -A-|, a;=0,

prend la forme suivante :

[82) fo^l - p'A'/'^^ - I A^A 4- A*= o.

Nous avons encore a y calculer le terme ctjj. Or, de T^quation

LES COCBBES DB TBOISltMB OBDBE OC DB TBOISltME CLAS8E. ^a(|

il r^sulle par formation polaire, pour u,, = N^* w,,^,

Pour^'i= 71/ les termes du second membre provenant de Fi s'evanouissent, k cause de a^^.a,i=^ o, aj^a„ = o et il vient, d^apr^s I'equation (a8) (p. 3i6)y

Ici Ton a

Le premier tcrme de Texpression qui figure dans le second membre change de signe si Ton permute a et i ; il s'^vanouit done ideniiquement ; le second terme est ^galement nul, car on a

= ^[aba][[abp)c^— {abc]?^]iij,b^a^a^clpl, = 1(P/-QA).

Or on a, en vertu de la permutabilit^ de a, b, c,

L'cxpression

^(l==[{aboL){abp]?^b^'i'!i[a^oL][a&c)cy^a^P^aj,7.„ H — S ( abd] [ abc ) Uj. bj^c^ dj. d^

est done egalementnulle. Dans le second membre le dernier terme a la valeur^SArfj.rf„ et cons^quemment s^evanouit; le second terme se forme, au facteur pr^s — a, du terme d^signe [ p , 4o3) par B',

43o TOMB 11. — CHAPITRE II.

si Ton pose ji=.nij et a par consequent la valeur [comparez equation (34), p. 4^4]

Mais le premier terme de JQ est P et nous avons par suite

JQ = P -h I ft = o, c'est-i-dire que le second membre de (83) est

« ^gal a — - Qy, et nous avons

;84) ' a\=-\fa,

d'oii, k cause de JN = Jft = o,