I AH

Notre Equation cubique (82) se transforme done en (86) 8ao»-+-3A(4.p — AV,)/)« — 6a3=o,

(Equation dont les coefficients ne dependent plus que des grandeurs

/7^= — ^ ct;;'^ = — i6i/- .,• Si done nous designons, par analogic

avec les racines pi de (81), les racines de cette Equation par p|-, p*, pi J on obtienl les Equations du triangle qui correspond a piy si dans Tequation pid^ay — a^a^=o on remplace z^ par les valeurs AxA-f- pf^rifi, Les Equations de cestrois cot^ssont done donn^es par

^ " (-(A««i-h2p/')A«,««+pi/'^*«J)a^=0.

si Ton fait pf^ respectivement 6gal k p'^^ p]fp'i' Les cdt^s du triangle qui r^pond a la racine p/( seront pr^cis^ment repr^sent^s par des equations semblables, dans lesquelles seulement pi^ pf^ ont etc remplac^s par p^, pj^^ respectivement, pf^ d^signant les racines de r^quation d^riv^e de (86) par permutation depi avec pj^, Le point de rencontre d'un c6te quelconque de Fun des triangles avec un c6t6 de Tautre triangle est alors toujours un point d'inflexion dont on pent calculer les coordonn^es Z/ en fonction de p:, pj^y pf\ p^l^ ; de ces coordonnees on deduit une racine de I' equation da

LBS CODBBBS DB TROlSltME OBDBE OC DB TBOISlftMB CLAS8E. 4^1

neuvietne degre au mojen de la substitution

Le nunierateur et le denominateur de I' expression qui figure dans le second membre deviennent alors des fonctions rationnelles entieres de deux racines de (81) e^ de deux racines des equations correspondantes ( 86 ) ; les coefficients de ces racines ap~ paraissent, d'apres (87), comnie des co variants du dix-huitieme ordre de fj ecrits en coordonnees du point Jixe x, et peui^ent en consequence s'exprimer tous par A, ^ et ft. Le calcul effectif de ces coeflicients peut s'eflectuer a Taide de quelques operations symboliques.

Apr^s ces expIicatioDS d^taill^es sur r^quatlon de la trlsection, il est k peine n^cessaire d'observer que, d^une mani^re g^n^rale, les Equations de la division des fonctions elliptiques peuvent £tre appliqii^es k la resolution effective des probl^mes alg^briques d'elimination, car ils donnent immediatement le r^sultat de Telimination sous forme toute pr^par^e, k la seule condition que la fonction relative k Targument multiple, c'est-a-dire k p{nu)y soil representee dans sa d^pendance du point x et des autres points arbitraires qui peuvent se presenter. C'est ce qu'on peut toujours realiser en se servant du theor^me d'addition pour p{u)j c'est-adire a Taide de la formule

Nous edaircirons ce point par I'exemple de la division en cinq parties. Nous nous proposerons d'abord leprobleme qui consiste a determiner les coniques passant par un point fixe (^ et ajant en un autre point u un contact du quatrieme ordre avecy= o, de sorte que u soit determine (p. 391) par

5« -f-f-f-2«oS^o.

II vientpour p(^v) = q, puisque p est une fonction pairc,

.f3a TOMB II. — CBAPITRE II.

relation ou, d'apr^s (78),

On pent encore poser, dans le second membre,

or 5

r'^y/4,»-2Sj + |T,

en admettant que les quantlt^s Zi soient les coordonn^es temaires du point q el qu'a ce dernier corresponde le signe positif du radical. On pent, en particulier, faire coincider avec x le point comply tera en t arbitraire z; il vient alors q = co y d'ou i^ = o, el nous obtenons

Si Ton porte cette valeur dans T^quation de division (78) pour «= 5, il en r^sulte une equation du degr^ aS en p. Cette derniere est le resultat de I' elimination des yiy rfr/, d^Jh d^J'it d^Ji cntre les equations .

pal rt^y — a^ a^ = o , a^ =0, a^. a,^y — o,

^l^d*y+^^X^fiy^d^y + ^^dy = O,

ay affty -{-8 ay a^y a^i^y H- 1 2 « 3/ ^d}y + 6 ^^- « 5"^ = o

et entre Vequation exprimant que le point x est sitae sur une indme conique que y et les quatre points ^uoisins dey (cette Equation pouvant ^tre Ecrite de la maniere connue sous la forme d'un

determinant k termes de six facteurs. Pour p = I ^ on obtient

a%ay

ainsi une courbe du vingt-cinquieme ordre qui se decompose en vingt-cinq droites, savoir les vingt-cinq lignes qui joignent N = o aux points de contact des coniques passant par x.

C*est ainsi que Ton pent Elablir d'une maniere complete, a Taide de la th^orie des fonctions elliptiques, les Equations algEbriques auxquelles conduisent les problEmes de contact dont nous nous sommes occupE plus haut. Mais on peut traiter de la mEme maniere les Eliminations qui conduisent k la determination des cou-

LES COUBBSS DB TROWliMB ORDU 00 DB nOISltoB CLASSB. 4^3

pies de points de Steiner, car elles m^nent aussi k la division des fonclions elliptiques ; tons les points u qai forment avec c un couple r^pondant au nombre n ont ^t^ d^termin^s (p. 3yi ) par

tf ^ f H — [ptv -f- ^W'' ).

11 est seulement k remarquer ici que cette condition est ind^pendante de Fargument Uo ; mais on peut toujours, pour plus de simplicity, faire coincider le point s^ avec le point compl6tement arbitraire N = o, c'est-i-dire prendre 9 = Uo (p. 4^6)* Si nous d^signons main tenant par j^i les coordonn^es de v^ par Zi celles de u, il est imm^diatement visible que la division en n parties de la foDCtion p{u) repr^sente le r^sultat de T^limination des grandeurs xj**, jcj-^', . . . , xj.^"\ Zi entre les Equations suivantes :

(«<»x(»)jr) = o, (x(^)x(^^x) = 0, ...» (x(*«-«^x{«")r) = o, (x(*^xC»)z)=:0, (x(*)x(»)z) = o, . ., (ar(*'Ox(»)«) = 0,

fl^(i) z= o, a%{*) = o, . . . , alitm) z= o, al = o, f»«itf, — «!««= o.

L'^quation finale relative k ce probl^me se distingue done de r^quation correspondante relative aux probl^mes de contact par cette circonstance que la fonction p(nu) ne depend pas des fonctions p{rnuo), mais uniquement (pour v=zUq) de la quantity p{uo).