IV. — Sur qnelqnes courbes covariantes

11 a d^ja ^te observe pr^cedemment (p. 16) que Ton pent ^crire imm^diatement sous forme symbolique un nombre illimit^ (le covariants, dont la signification doit ^tre pr^cls^ment deduite de la th^orie des polaires. Parmi ces covariants toutefois, un petit

76 TOMB II. -^ CBAPITRB I.

nombre a ^t^ etudic^ jusqu^ici, k savoir ceux qui sont definis par les conditions g6om^triques les plus simples , et l^examen des courbes correspondanles va nous occuper niaintenant. Nous apprendrons a connaitre un premier exemple d*une relation urnvoque non lineaire entre deux cowrftey/Timportance exceptionnelle de ces relations, qui n^apparaitra que plus tard, justidera le long temps que nous consacrerons au sujet. Nous aurons d'ailleurs occasion de fa ire, k di verses reprises, usage des formules de Pliicker qui viennent d'etre developp^es.

L'esp^ce cit^e de covariants 6tant caracteris^e d'une roaniere g^nerale par la condition que lar**"' polaire d'un point ait unepropri^t^ invariante d^termin^e, ^tablissons en particulier la condition k remplir pour que la premiere polaire d'un point j^ relativement k la courbe originaire

poss^de un point double. Nous avons obtenu (p. 19), ainsi qu'on s'en souvient, comme lieu de ces points doubles, la hessienne qui est de Uordre 3 (71 — 2) en eliminant les^j^, (coordonn^es du pole)

entre les trois equations //a = r ; — I

Une seconde courbe sera parcourue par le p6le j' : on Tappelle la steinerienne de la courbe originaire, Une troisi^me sera enveloppec par les lignes qui joignent un pdle j^ (point de la steinerienne) avec le point double de sa premiere polaire (point de la hessienne); ce sera la cajlejenne de la courbe - primitive (*). Une quatrieme

(*) l^ludiee d'abord par Cayley^our les courbes du troisieme ordre [A memoir oh curves of the third order {Philosophical Transactions^ t. CXLVII, !!• Partic, 1857), »« ftingularites ont ete donnees sans demonstration par Steincr dans le Journal de CrcUe^ t. 47. Cremona a deduit du raisonnement les nombres pluckeriens de la steinerienne (Einleitung in die Theorie der algebraiscken Curven^ Introduzione ad una teoria geometrica delle curve pia/te). Les demonstrations analytiques qui suivent ont ete donnees par Cledscb, Ueber einige von Steiner behandelte Curven {Journal de Crelle, t. G4). Steiner appelle la courbe qui, plus tard, a rc<;u son nom, courhe-nojau {Kerncurve).

TBKOAIE c£.n£IALE DES C0CRBE8 ALCEBAIQUES. 77

courbe est eniin envelopp^e par les tangentes des premieres polaires en leurs points doubles (*). Nous bornerons n^anmoins nos considerations aux trois premieres courbes cities. Nous supposerons d^ailleurs que tous les coedGcients de la courbe primitive sont ind6pendants les uns des autres.

La hessienne est donn^e par T^quation

Elle ne possede en general ^ c est-OHiire si Von exclut les relations speciales entre les coefficients de la courbe primitii^e, aucun point double. On peut d^montrer indirectement cette proposition en determinant directement le genre de la stein^rienne, comme nous le ferons plus tard, et en observant alors que la hessienne et la stein^rienne se correspondent point par point, de telle sorte qu*a un point de I'une r^pond sans ambiguity un point d^termin^ de FautreV etreciproquement. A Taide du th^or^me (que nous dc^raontrerons plusiardoccasionnellement apropos des transformations univoques) d'apres lequel deux courbes qui pr^sentent entre elles une relation reciproque a determination unique sont du memegenre, on trouve que le genre dela hessienne est ^gal a celui de la steinerienne, c'est-

a-dire ^gal a -(3/i — 7) (3/i — 8), d'ou il suit que la premiere

courbe n'a pas de point multiple. La demonstration directe parait presenter de graves diflicultes et n'a pas encore ^t^ fournie. Dans tous les cas, il est digne de remarque que la hessienne puisse avoir un point double sans que la courbe primitive possede un point de cette nature, comme le montre Tcxemple d'une courbe sp^ciale do troisi^me ordre (a savoir la courbe xj -I- xj 4- xj = o). En admettant provisoirement le theor^me enonc^, on obtient par les formules de Pliicker, pour les singularit^s de la hessienne (que nous d^signerons par des lettres accentuees), les nombres

(*} Des recherches plus generalcs de Zeuthen sur les systemcs d'un nombre simpleluent infiui de courbeSf recherches que dous metitionnerons plus tard, il resulte, pour le ^ore p de cette courbef

2/;= 2.3(/i — a)-+-ii(« — a)(« — 3) = G(w — 3)(2« — 5). Voir la derniere Section de ce Chapilre.

-6 TOMB II. — CBAPITRE 1.

suivants :

ri>'=3/i'(/i' — a)==9(/i — 2)(3/i — 8),

Liquation de la stein^rienne s'obtiendra en ^liminant lesxentre les Equations (i). Conform^ment k la proposition suivant laquelle le degr^ du resultant par rapport aux coefficients de chaque Equation est egal au produit des ordres auxquels entrent les variables dans les deux autres Equations (p. i3) [ici, par consequent, Egal a (/I — I )^], elle est du degrE 3 (« — 2)^ par rapport aux j- ; autrement dit, I'ordre de la steinerienne est egalh Z[n — 2)^.

Pour dEterminer sa classe, remarquons que les coordonnEes u/ d^une de ses tangentes se trouvent au moyen des formules

car la tangente est la ligne qui joint deux points voisins de la courbe ayant pour coordonnEes ji et yi 4- dji. Le point y -f- dy doit satisfaire, tout commej^, aux Equations (i), si dans ces Equations on Ecrit a:,-|-rf^/a la place de JC/. Nous avons done encore les trois Equations

/31^(> 1 +/3l'(>"2 -+-/33^(>'3 -+-.>! ''i^31 -^ Xi^lfzi -+" J 3^4^33 = 0-

Multiplian t maintenant lei$ Equations (i), une fois paroTi, x^j Xi, une autre fois par dxty dx2, dx^j et ajoutant chaque fois, il vicnt

/ / \ \ f\Xi'^ ftyf^ fz Xz = Oi

I X\flf\ -^yi^lft -hJz^(fz — o.

D'ailleurs, les Equations (3) multipliEes par Xi, X2f x^ et ajoutees

TBiOBIE C^X^RALS DBS COCBBES ALG£BBIQCE8. 79

(lonnent, en ayant ^gard a (4)^ le resultat suivant : (5) /i^/i -f-Zj^Oj -h/z^bi = o.

Si Ton compare ces Equations avec les Equations (2), on trouve

(6) U.Ui=fi, ,Ufl,=/j, Utt3==/„

d'ou il resulte qu'a tout point de la hessienne correspond une tangen te de la steinerienne. £liminons les x entre ces Equations et

entre T^quation

il en resultera une Equation entre les quantit^s u qui sera F^quation de la steinerienne en coordonn^es lignes. Sa classe est d^termin^e par le nombre des tangentes qui passent par un point quelconquea*, c'est-a-dire qui satisfont k Tequation

uz = o ou /,?, -4-/j;i -h/3?3 = o^

Orcette Equation repr^sente une courbe du [n — ly*"* ordre qui, ensemble avec la hessienne, determine les 3(7i — ^) {^ — points tels que les tangentes a la steinerienne qui leur correspondeni, passent par le point (. Le nombre de ces tangentes est ainsi determine : la steinerienne est de la classe 3(/2 — i) (/z — 2).

Nous passons maintenant d^abord a la determination de Tordre el de la classe de la cayleyenne. Un point de cette courbe est defini comme Tintersection de deux tangentes voisines : done, pour trouver son ordre nous devons nous demander combien de fois il arrive que deux tangentes infiniment voisines se coupent sur une droite . quelconque i^. Soient Zi les coordonnees d'un point de la courbe^ la tangente en ce point est la ligne de jonction d'un pole y avec le point double x de sa premiere polaire, et par consequent la* tangente voisine la ligne de jonction des deux points x -h dx, y -+- dy^ si x et X + dx sont des points voisins de la hessienne. Nous avons par suite

et aussi

;:^ = ( a -i- cU) [Xi 4- dxi) -+-(>-+- d\) [Xi + ^//),

8o TOME II. — CIIAPIIHE 1.

ct de la r^sulle

( 8 ) xi eiu -h u dxi -+- Xidl -f- ). dji = o .

Si de plus z doit ^tre sitii6 sur une droile determin^e ^' (v*. =^ o). on a, d'apres (7),

ILV^ -f- \Vy Z= O.

On pent done poser et par la (8) devient

Si nous portons les valeurs des dyi de ces Equations dans les equations (3) qui ont encore lieu ici, nous trouvons, en avant egard

Par unc transformation convenable de ces equations nous pouvons en ^liminer les difierentielles des x/, et nous obtenons ainsi une Equation qui doit exister entre deux, points correspondants x cly de lahessienne ct de la steinerienne pour que Ic point 011 leur ligne de jonction touche la cayleyenne soit situ^ sur la droite v. Si nous d^signons en effet ^^t fi^h les troisiemcs d^riv^es partielles de/, d'ou

el que nous posions ensuile pour abreger

9ik = (« — 2 ) [Xxfixk -f- ?\fiu -+- XzAk]* ['expression qui figure dans le premier membre se transforme ca

En substituant dans Tdquation (10), on obtient

p »V 2 fa- (Irf, -h 2 ( Vy fir I, — Xf, dii]fif, = o.

Multiplions maintenant ces equations par Vy et ajoutons les ternic>

THtoaifi G^X^ALB DBS COOBBBS AI^^BBIQUES. 8 1

— vfjcdtiLfiJiXM' Ceite demi^re operation est sans influence, car nous avonSy d'apr^s le th^or^me d'Euler et d'apres (i),

?/i-^i + ?ii-^i -^ ?i3-^s = ('' — 2) (y;, ji -4-/, jj 4-/3 js) = o.

Nos equations deviennent eniin par la

relation dans laquelle on apos^ p^ = pyydxk — XkdjjL, et T^limination des p^ et cons^quemment aussi celle des dx^ donnent pour r^sultat

Ce determinant est homog^ne et du troisi^me degri en i^^ et v'^ ; il est) par consequent, de la forme

Mais ici S est le determinant forme avec lesyi*; il est done nul A cause de A ^ o ; d'ailleurs P d^signe le determinant des <P/Ay et ce determinant est encore nul en vertu de

L'expresslon (ii) est done encore divisible par s^xS^x^ ^'' apres suppression de ce facteur, il reste une equation de la forme

clans laquelle les A/jt designent des fonctions de Tordre 3« — 7 par rapport aux or. D^autre part, les produitsj^/j^/t deviennent, par suite de (i), proportion nels aux determinants mineurs F/a de A ('); on peut done finalement remplacer (11) par T^quation

22A/^.F/a.==o, qui ne depend plus que des x. EUe represente, puisque les F/a

(*) On tire, en effet, de (1), d'apres des propositions de la theorie des coniques, Clebscu. — G come trie, II, 6

«Si TtniE II. — CIIAPITRF. 1.

renfermentlesora la (2w — 4)**""* dimension, une courbe de Torare Zn — jH-a/i — 4 = 5/1 — II qui coupe la hessienne aux points x, dont les lignes de jonction avec les p6les correspondants y touchent la cayleyenne en ses points dMntersection avec la ligne V ; en d^autres termes, Vordre de la cayleyenne est egal a

3(/2 2)(3/l If).

La determination de la classe s^efiectuc plus simplement. Si la tangente definic comme ligne de jonction de deux points correspondants X Qiy doit passer par un point determine ^, on doit avoir

ce qui, port6 dans les Equations (i), donne

(12) u.fi-\-\fi~0,

si

»l =/l?i -^fiili -+-./)3?3.

On trouve, par suite, les valeurs correspondantes des x au moyen des Equations

(»3; < Jlfi — fi/i = 0,

IjC nombre des solutions communes aux deux premieres Equations est egal h (272 — 3)^; mais il en faut exclure les (« — i)(/i — 2) solutions des Equations yi = o, cpa = o, pour lesquelles les deux premieres Equations sont salisfaites, mais non la derni^re; nous avons ensuite a retrancher la solution a:/ =5/, ^videmment illusoirc. II rcsle done seulement

points communs aux courbes (i3). A chacun d*eux correspond une tangente de la cayleyenne passant par le point ^ ; la classe de In cayleyenne est, en consequence, egale a3(/i — i)(/i — 2).

La d(^ termination des autres nombres caract^ristiques apparlenant a la courbe de Steiner, et en particulier celle du nombre de ses tangentes d^inflexion, pent ^tre rattach^e aux Equations (6), en vertu desquelles une tangente u de la stein^rienne est li^e a

TUEOBIE g£n£RALE DCS COVBSU ALCtoRIQUES. 83

un point x de la hessienne par les relations

df

De la, en efTety r^sulte cette premiere consequence que la sleinerienne est env^eloppee par les polaires lineaires des points de la hessienne, et que le point de contact de I'une de ces droites est toujours le pointy de la steinerienne correspondant au pole x de la hessienne. Ce dernier r^sultat vient de ce que, en vertu de (i), onl toujours lieu pour j^ les Equations (4)

et que, par suite, jr est constaniment le point d'intersection de deux tangentes successives u et u + du. On pent maintenant se demander, en general, quels sont Tordre et la classe d^une courbe <I>=o qui serait envelopp^e par les polaires lineaires des points d'une courbe du i»**"* ordre

relativement a la courbe originaire y= o (d'ordre w), ce qui in- Iroduit dans les recherches pr^c^dentes une courbe du iw**"* ordre a la place de la hessienne. La classe est determinee par le nombre des tangentes qui passent par un point fixe ^, et cons^quemment par le nombre des points d'intersection de la courbe d'ordre n — i

o^i Ov^ o.t-i

avec 9 = o, et elle est, par suite, ^gale a /»(« — i). Pour la d^lermiDation de Tordre, nous devons choisir le point ^ sur une droite qaelconque i^ de telle mani^rc que deux tangentes passant par ce point, et par consequent deux points d'interseclion des courbes ( 1 4 ) el (i5), soient infiniment rapproch^es ; k cliacun de ces points d'inlersection correspond d'ailleurs une des tangentes en question. De la il r^sulte premi^rement que :

Les premieres polaires des points d'une courbe em^eloppee par

les polaires lineaires d'une autre courbe (f sont tangentes a cette

derniere.

TOMB II. — CUAPITHB I

Pour atteindre notre but, nous avons, d'apris cela, a £tabllrla condition du contact des courbes (i4) et (i5) ou au moins le degre de cette condition par rapport aux coeflicients de (iS), et consequemment par rapport aux ^. Nous elargirons ce probl^meen nous proposant de determiner, en general, le degre du tactim/arianl [cest'&'dire de la condition de contact) de deux courbes d'ordre m et [X par rapport aux coefficients de leurs equations. Soienl ^ = o, ij; = o respectivement ces deux courbes, qui se touchenl au point x; si <^ d^signe une droite quelconque et ^ son point d'intersection avec la tangente commune de f et ^ en x, les Equations suivantes sont n^cessairement satisfaites :

Eliminant les ^/, il vient

dri

(iXj

dxj

df

df

OjCi

dx^

Equation de Tordre m-f- «x — a qui, en gEnEral, reprEsente le lieu des points dont les polaires linEaires se coupent surJa ligne v\ cette courbe passe done, independamment des v^ par le point de contact. Si nous prenons, au contraire, les x constants, les v variables, la formule (i6) donne TEquation du point d^intersection des deux polaires linEaires de x; mais ce point d'intersection se confond avec le p61e x si ce dernier est un point commun de y = o et de vj> = o. LYlimination des x entre <p = o, ij; = o et entre (i6) donne, par suite, le produit des points d'interseclioD de (f et ^. Toutefois ce produit est encore multipliE par un facteur Etranger, car TEquation serai t ici du degrE m/ix par rapport aux coefTicients de V, du degrE //(/wH-jex — a) par rapport a ceux de o et du degrE m(/n-t-fx — 2) par rapport a ceux de ^, par consequent en tout des degrEs fx ( 2 m -f- /ix — 2) et m(2/iH-m — 2) par

TDEOBie GKS^BALB DES COQRBES AUi^DRICCES. 85

rapport aux coeflicients de 9 et de ^^ tandis que ces nombres, d'apres des recherches pr^c^deutes (t. I, p. 35o), ne peuvent ^tre respectivement ^gaux qu^a [i et m. Le facteur intervenant est done des degr^s /ui ( 2 //* H- |ut — 3 ) et m ( 2 ti H- w — 3 ) par rapport aux coeiBcients de o el tp respectivement. Or, comme I'expression (16) et par suite aussi notre resultant s'6vanouissent ind^pendamment des yy si x est un point de contact de 9 et ij/, le facteur cit^, ^gale a zero, donne pr^cis^ment la condition du contact, et nous avons ce iL^or^me :

La condition de contact (tact invariant) de deux courbes des ordres m et (i est du degre |ut(2iwH-|x — 3) par rapport aux coefficients de la premiere et du degre m[2[i'\-m — 3) par rapport aux coefficients de la seconde ( * ).

Dans notre cas, nous avons une courbe du m**"*" ordre (i4) et line courbe du [n — f^*™* ordre (i5); leur tactinvariant est done, par rapport aux coefficients de la derni^re et par consequent relativement aux ^ (ce dont il s'agit uniquement pour nous ici), du degr6 m(2/i-H/n — 5). Mais Finvariant, ^gal^ k z^ro, donne imm6diatement le lieu des points \ dont les premieres polaires touchent la courbe 9, c^est-a-dire la courbe 4> = o en coordonnees points. Done r ordre de la courbe enveloppeo par les polaires lineaires des points de (p = o est egal ^ m[2n + m — 5).

En remplagant maintenant de nouveau 9 = par la hessienne et par suite m par 3(/z — 2), nous trouverions Fordre de la stein^rienne egal k 3(w — 2)(57i — 11), tandis qu'en r^alit^ il est seulement ^gal ki[n — 2)*. Cela provient de ce que, parmi les tangentes qu'il s'agit de meneir de $ 3i 4> = o, il y en a deux successives qui coincident aussi pour tout point d'une tangente d'inflexion de 4> ( ^ ) . Done, dans la stein^rienne se pr^sentent des tangentes d'inflexion (ce qui, en g^n^ral, n'aurait pas lieu pour une courbe donn^e en coordonnees lignes), d'ou la consequence suivante :

Le lieu des points dont les premieres polaires touchent la hes^

(*) Foir Saliio!!, Higher plane curves. Chap. III. Comme exemple, citons le tactin- Tartanl de deux Goniques, t. I, p. 371.

(') Pour un point appartenant a une tangente double, il y a aussi deux de ces tan-* gentes qui coincident, mais ellcs ne sont pas consecutires.

86 TOMB II. — - CDAPITRE I.

sienne se decompose en deux parties : la courbe de Meiner, ijia est d'ordre 3(7i — 2)^, et une autre courbe d'ordre

(jui est le produit des tangentes d' inflexion de la steinerienne. Pour les premieres polaires des points de ces tangentes d'inflexion le contact est un contact proprement dit; au contraire, pour cellos des points de la steinerienne, le contact est improprement dit, ces derni^res polaires ayant un point double sur la hessienne. Le th^orcme ^nonc^ en dernier lieu nous donne le nombre des tangentes d'inflexion dc la courbe de Steiner, c'est-a-dire

et nous pouvonSy par suite, calculer les singularit^s restantes au moyen des formules de Plucker. On obtient en particulier pourle genre p de la courbe de Steiner la relation ^

d'ou

Le genre de la hessienne se trouve ainsi ^galement connu, si Ton fait usage du theor^me mentionn^ plus haut sur les courbes qui sont li^es r^ciproquement entre elles par une relation k determination unique. La relation k determination unique dont il est question ici consiste en ce qu*^ un point quelconque de la steinerienne correspond un point de la hessienne, savoir le point double de sa premiere polaire, et il y a 6galement unite de determination dans la relation inverse. Mais les deux courbes presentent aussi une relation de m^me nature k regard de la cayleyenne : k un point quelconque de la courbe de Steiner correspond une tangente et par consequent aussi un point de la cayleyenne. Le genre de cette der-

niJre {*) est done encore egal k-{Zn — 7)(3/i — 8). Au moyen du

(*) Ce theoreme n'est pas exact h. I'egard de la cayleyenne pour 11 := 3, et il en est cons^uemment de mAme alora des nombres qui suiyent. Dans ce cat, en effet, la steinerienne et la hessienne se confondent, et a une tangente de la cayleyenne correspondent deux points de la hessienne.

TB£0RIE GA?c£BALE DE9 COCRBBS ALC^BRIQCES. 87

genre, de Tordre et de la classe de chacune de ces courbes, nous poiivons calculer leurs autres singularit^s par les formules de Pliicker. La realisation du calcul nous fournit le Tableau suivant, dans lequel, pour faciliter la comparaison, nous r^pe tons les nombres relatifs a la hessienne :

i:us.sie.NNE.

STKI?<EHIKNNE.

^ CAYLFAKXNE.

\^(«-i)(tt— 3)(//— 3X3//— S)

lift •»)(// 3X3/1* 3//— S)

Jj-^// — '»)-(^//' — '» // — 1 1

On doit, ainsi que nousle montrerons plus tard dans Tetude des transformations univoques g^nerales (*), se representer les points doubles de la courbe de Steiner comme tirant leur origin e du fait qu'^ deux points s^par^s x de la hessienne vient correspondre un seul etmeme point j^ de la stein^rlenne, qui devient alors pr^cis^mentun point double de cette derni^re, et Inversement k ce point double correspondent deux points s^par^s de la hessienne. // existe done

-(n — 2) (rt — 3) (3/2* — 9// — j) premieres polaires a deux

points doubles, et les poles correspond ants sont les points doubles de la steiner ienne, Les deux tangentes en ces derniers points sont, d'apres ce qui precede, les polaires lin^aires des deux points correspondants de la hessienne.

Si au contralre la premiere polaire de j^ a en j: un rebroussement, ce qui exige ^galement raccomplissement de deux conditions et

(') Les forznuleft donnees alors permettront de rcconnaftre facilemeut comment le Tableau precedent se modifie lorsque la courbe primittre posscde des points doubles ou cnspidaux.

88 TOME II. -^ CBAPITBE U

ne peut cons^quemment avoir lieu que pour un nombre determine de points, nous avons, oci, 0^2^ ocz ^tant les coordonn^es de la tangente de rebroussement, les six Equations

ouy d^aprSs les notations introduites plus haut,

(17) ?/x = (''— 2)«,.«jt.,

avec

Nous allons maintenant montrer que dans ce cas la steindrienne a ^galement au p61e corrcspondant^ un point de rebroussement, c'est-i-dire (p. 5y) que trois tangentes successives de cette courbe passent par le point j^. En efiet, au moyen des Equations

Uidti -f- tidiii = ( /I — I ) Ifadxi,, nous trouverons

= (// — i) in — ^)llfiUif^Xk€Lrf, -f- [n — i)2/,A^.r^.;

et, si nous multiplions les trois dernieres Equations respectivement parj>^i,j^3, j^3, et que nous ajoutions, nous obtenons, puisqi^e Ton a toujours [^voir (4)]

{18) 2w,.)- = o ct lyidui^o,

en ay ant 6gard a (i),

Dans le cas d^un rebroussement on a done, en vertu de (17),

(19) ulxid^Ui = [n — i) (/^ — 2) (ai<^.ri -f- a^dr^ -+- OL^dj-^^,

et cette demidre expression est nuUe. Multipliant en efiet les trois Equations (10) respectivement par j>^j, j^'a, y^ et ajoutant; nous obtenons

TfJ'^dj' 6tant deux, points de la stein^rienne, x eix-hdx les

TB^OBIC Ct5£BAL£ DES COCBBU ALCfiBBlQCES. 89

points correspondants de la hessienne : points dont les lignes de jonction respectives se coupent sur la ligne 9. Mais les expressions qui figurent dans le second membre s'^vanouissent en vertu de (i8), et il en r^sulte, puisque Vx n'estpas nul en g^n^ral,

[20) llfifikXiyk = ^J^r* ^itx = o,

Qdx ^tant egal a a^dxi-^ a.^dx^-^a^dxi. Cette Equation donne d'abord ie theor^me suivant :

Si la premiere polaire de y a en x un point double, la tan* gente de la deuxieme polaire dej touche en x la hessienne, ou, d'apr^s un th^oreme precedent de la th^orie des polaires, la tangenie de la hessienne en un point x est la droite quatrieme har' monique a la ligne de jonction de x avec le p6le correspondant y et aux tangentes de la premiere polaire de y au point double x,

Mais dans le cas d'un rebroussement on a, en vertu de (17),

d'ou

etpar suite, ^ cause de (210), a^^=:o ou aj = o. Cette derni^re circonstance ne peut pas se presenter, car d'apr&s ( 1 7 ) on a

expression qui deviendrait alors nuUe, et cela ind^pendamment des r, c'est-^-dire que la seconde polaire de y aurait un poin'^^ double en x, tandis que, comme premiere polaire de^ relativement a a^a'^^ = Oj elle doit passer simplement par le point de rebroussement de cette courbe (en y touchant la tangente de rebroussement) (p. a5)« Done, en fait, pour le p6Ie y ont lieu simultanementy d'apr&s (19)9 les trois Equations

«i//=ro, lr^elui=:0, 2//rf*ii/ = 0.

L'^quation a^x=o fait voir de suite que le point x + dx se Irouve simultanement sur la hessienne et sur la tangente de rebroussement a; nous aurons done, en nous reportant aux nombres du Tableau, ce th^oreme :

II existe ia(/i — ^) {"' — 3) premieres polaires qui ont un point

90 TOME II. — CIIAVITBE I.

de rebroiissement ; les poles correspondants sont les rebroussements de lasteinerienne [*)y etles tangenles aux points de rebroussement des polaires touchent la hessienne en ces points. Celle der* ni^re propriety r^sulte imm^diatement de la remarque pricedcnte.

Nous citerons encore les relations suivantes, indiqu^es par Sterner enlre les courbes consid^r^es ici :

De metne que la hessienne passe par les points d' inflexion de Ui courbe driginaire, de meme la steinerienne louche toutes ses tangenles d'injlexion. Cela r^sulte imm^diateraent de ce que la derni^re des deux courbes est envelopp^e par les polaires lin^aires de la premiere, car pour les points d'inflexion ces droites sont les tangentes d'inflexion.

En second lieu, deux poles donl les polaires se touchenl sont toujours silues sur une langenle de la steinerienne, et les polaires de lous les poles silues sur I' une de ces tangentes se coupenl en un seul point, le point double or, lequel appartient h la polaire du point de contact y de la tangente; la langenle commune de toutes les polaires est la ligne de jonction de x et de y\ elle est done tangente a la cajlej enne*

Si; en eflet, ^ et ^ sont deux points dont les polaires

Ifi'i^O, l/ifi = o

se touchent cu x, les trois Equations suivantes ont necessairemcnl lieu :

Si done on pose

on a devant soi les Equations (i) ; done la ligne qui joint z ell renferme le point y de la steinerienne et est tangente en ce point, puisque T^quation de la tangente enj [voir (6)]

/iXj H-/,X, -f-ZaXs = o

(*) Ce theoreme a ^te dimontre pour les courbes du quatriime ordre parClebsch (Journal de Borchardtf t. 59), et en general par Cremona (/oc, eic).

TDEOIIIE G^IltoALE DBS FORHSS AlCI^BBIOCES. 9 1

est satisfaite pour X = ^ et X = £. Enfin, T^quation des tangentes communes des polaires au point de contact x est

Cclle Equation, 6tant satisfaite pour X = a: et X =j^ repr^sente la ligne qui joint le p6le au point double correspondaat de la polaire. De m^me qu'en imposant ici aux premieres polaires la condition de posseder certaines singularit^s nous avons ete conduits a des courbes covariantes, de m^me on pent partir des polaires d'un ordre que Icon que et engendrer des figures covariantes qui, comme les courbes traitees ici, pr^senteront certaines singularitcs ; mais les courbes qui ont cette origine n^ont pas encore ^t^ eludi^es d^unc raani^re appro fondie.

v. — Sur les systemes des courbes.

Apr^s avoir poursuivi, autant que le permet le developpement actuel de la th^orie, certaines considerations g^n^ralesse rattachant a une courbe unique, la premiere question qui se pr^sente k nous est celle des relations respectives de deux courbes qui peuvent etre en g^n^ral d'ordres difKrents, c'est-a-dire celle des invariants fonctionnels simultanes de deux formes algebriques ternaires. Jusqu'ici, toutefois, il n'est possible de donner d'^claircissements gen^raux que sur un petit nombre de points.

Un invariant simultan^ de deux courbes du m'*"* et du ti**"* ordre est fourni par le tactinvariant d^j^ mentionn^ plus haut (p. 84), et dont r^vanouissement exprime que les deux courbes se touchent; cet invariant est du degren(2m-h« — 3) par rapport aux coefficients de la courbe d*ordre m et du degre m(a/i-f-7n — 3) par rapport a ceux de la courbe d'ordre n ; nous avons, du reste, etabli cet invariant d'une mani^re effective pour le cas de deux coniques (t. I, p. 3.71).

On sera conduit a des covariants simultanes en imposant, pa example, que les polaires d'un certain ordre de Tune des courbes aient avec Tautre courbe une relation invariante d^termin^e, telle quWe relation de contact. Si Ton prend, par exemplc, une courbe du n**"* et une du premier ordre

«* = o et Wx = o.

93 TOME II. — CHAPITKB I.

la conditioD que les polalres coniques, c'est-a-dire les {n — 2 )**•*• polaires d'un point, touchenl la ligne u donne la courbe d'ordre 2 (/I — 2) d^jk mentionn^e plus haul (p. 18) :

On obtlent de mSme, si les polalres cubiques doivent toucher la ligne u, F^quation d'ordre 4 ('* — 3) (t. I, p. 346),

[abuY [cduY [acu] [bdu] tf^-'/^^-'rJ »^/^-' = o.

£tant donnees ensuite une courbe du ti**"* ordre el une conique

tf2 = o et aJ=:o,

on pent imposer la condition que, pour les deux coniques

«""*rtV=o et «* = o,

Tun des deux invariants simultan^s (An 2 ou Ais2 d'apres nos notations pr^c^dentes) s'^vanouisse ; on obtient alors respectivement les deux courbes

(a«?)*^;-»=o et (f/^a)»fl«-»^;-» — o,

d'ou r^sultent, en vertu de la signification g^om^trique des Equations Ah2 = o, Ai22 = o (t. I, p. 368), ces deux th^oremes :

1^ Le lieu d'un point dont la conique polaire possede une infinite de triangles polaires circonscrits a une conique donnee est une courbe de I' ordre n — 2.

2** Le lieu d'un point dont la conique polaire est inscrite en un triangle polaire appartenant h une conique donnee [et par con^ sequent en une infinite) est une courbe de l' ordre a (n — 2).

Si Ton impose ensuite aux courbes covariantes qui ont cette origine des propri^t^s invariantes d^termin^es, on sera conduit de nouveau k des invariants simultanes des deux courbes donnees. Ainsi, par exemple, pour n=z4f^^ courbe du [n — 2)'*** ordre dont r^quation a 6i6 Etablie ci-dessus est la conique

[ac.pYal-0, el, suivant que cette courbe doit se decomposer ou presenter a

TB£0H1B G^MteALE DBS COOEOBS ALCI^BBIOCES. qS

regard de la conique donn^e les relations invariantes dont il a il6 question, on obtient les conditions invariantes qui suivent :

A = (fla]3)« [by^]^ [ci^^Y [abc]* = o,

B={aaP]^{aySY=zo,

C = (flaS)* [py^Y [abtY = o,

ou les symboles |3y y, iy e, ^ ont tous la m^me signification que a. Ces exempleSy choisis tout a fait arbitrairement, sufHront pour donner une id^e de la diversity des formations qui peuvent se presenter.

Si les deux courbes consid^r^es (y= o, ^= o) appartiennent au m^me ordre, que nous d^signerons par n^ il existe une infinite de courbes du /i""* ordre qui passent par leurs n^ points d'interseclion ( * ), et qui forment lefaisceau

et, pour pr^ciser, par chaque point du plan passe une courbe du faisceau. De m^rae que dans un faisceau de coniques on rencontre en general trois couples de lignes, c^est-a-dire trois courbes k point double, de m^me il se trouvera parmi les courbes du faisceauy*+ ^f ^ o un nombre d^termin^ de courbes k points doubles, car iraposer un point double donne une condition relativement aux coeiTicients de la courbey-H Xy, et par consequent une Equation pour X, a savoir r^vanouissement du discriminant. Or, pour une courbe d'ordre /i, cette derni^re fonction est du degr^ 3 (/i — i)^ par rapport aux coeilicients, et cons^quemment dans notre cas par rapport a X. // exisle done en general dans un faisceau de courbes du n^^^^ ordre 3 (/i — i)^ courbes a point double. Ce nombre pent toutefois subir une reduction lorsque les courbes ^et y se touchent, lorsque dans le faisceau se rencontre une courbe k point de rebroussement, lorsque toutes les courbes ont un point double commun et dans d'autres ^ventualit^s semblables (^). Dans ces cas,

(*) Geci n'cst point en contradiction avec le fait qu*une coarbe d'ordre n est deja

determinee par -^ — ^ points, car les n* points ne sont pas iiidependants les una

des aotres. ( yoir le t. Ill de ces Lemons.) (*) Voir, sur cc sujet, CbbhomA) EinleUung in die Theorie ebener Curven,

94 'tUME "• — CHAPITBE I.

3(/f — i)^d£signe a la fois le nombre des solutions proprement dites et le nombre des solutions improprement dites, si chacune de ces derni^res est compt^e au degr^ exact de multiplicite.

On peut de m^me demander, en g^n^ral, que pour une courbe du faisceau un invariant determine s'^vanouisse ; ily aura toujours alors fx courbes de I'espece voulue dans lejaisceau si finvariant est du degre fi par rapport aux coefficients de la courbe du n**"* ordre. On peut aussi mettre le faisceau en relation avcc une courbe d^ordre m donn6e arbitrairement ; il y aura alors un nombre determine de courbes pour lesquelles un des invariants simultan^s poss^d^s en commun avec la forme d'ordre n s^^vanouira. Conform^ment aux nombres indiques plus haut pour le degr^ du tactinvariant, il existe, par exemple, dans un Jaisceau du /i'^""^ ordre, m[2n-hm — 3) courbes qui touchent une courbe donnee d' ordre m. Si toutefois cette dernidre courbe a des points doubles, parmi ces m(a/i-f-m — 3) courbes tangentes du faisceau sont encore comprises celles qui passent par les points doubles, car dans un point double deux intersections se trouvent aussi r^unies. Mais toute courbe de cette nature absorbe deux courbes tangentes proprement dites du faisceau. On le rcconnait geom6triquement par le proc(5d6 employ^ a propos des formules de PlCicker pour etablir que tout point double d*une courbe diminue sa classe de deux unites, c'est-4-dire en faisant successivement degen^rer la courbe fixe du m**°* ordre en une courbe a point double et en consid^rant alors que dans les deux parties courbes se trouvaient deux points de contact confondus ensuite au point double {Jig* i8, p. 55). Si enfin Ton fait en sorte que la boucle du point double se retr^cisse de plus en plus, un autre point de contact se reunira^ a la limite, avec le point de rebroussement ainsi obtenu. Le nombre des courbes du /i'^'"* ordre d'un Jaisceau qui ont un contact proprement dit avec une courbe d' ordre m possedanl d points doubles et r points de rebroussement est done igal a

m o./i -h m — 3 ) — ifi — 3 /*,

ou, si nous introduisons Ic genre p =i - [m — i) {m — a ) — d — /'

(p. 65), egal a

o. ( mn -^ p — I ) — /*,

THtoRIE CEXEBALE DCS COCRDES ALGEllRIQQES. €)S

nombre que nous d^duirons plus tard par une autre voie de considerations plus generates ( * ).

A la consideration des faisceaux se rattache un mode de g6n6ration simple d'uue courbe algebrique au moyen de courbes d*ordre moins ^leve, qui pent etre consid^re comme une generalisation du mode de generation des coniques par deux faisceaux projectifs de rayons. A la place de ces derniers, prenons en effet deux faisceaux de courbes quelconques d'ordres m ei n respectivemenl,

(i) F-h).* = o, /-f-ay = 0,

et etablissons entre eux une relation telle qu^a chaque courbe de Tun corresponde une courbe de Tautre et inversement, de sorte qu^entre leurs param^tres "ky fx existe une Equation lineo-lineaire

(2) ahx -h bl-h c^i -^ ei=zO;

le lieu des points d'intersection des courbes correspondantes des

deux faisceaux liis^ pfojectivement Tun k Tautre est alors une

courbe du (/w-i-»)'*'"^ordre, dont requations'obtienteneiiminant

\ (s, entre les trois Equations (i) et ( a).

Si Ton prend la relation projective, ce qui est toujours permis,

sous la forme simple 01^ deux courbes ayant mSme param^tre X se

correspondent dans les faisceaux (i), la courbe r^sultante est

donn^e par

elle est done effectivement de Tordre m-h/i, et Ton reconnait quVUe passe par tous les points de base des deux faisceaux. On peut se repr^senter g^ometriquement la relation projective des faisceaux comme ay ant Torigine suivante. Posons

et soientj^ un point de base du premier faisceau, z un point de base du second ; les tangentes de toutes les courbes des deux faisceaux en ces points fondamentaux forment deux faisceaux de rayons

C) f^oir ci-apreB la Section Vlii sur reztension du priocipe de corxespondancc.

donn6s par

TOMB 11. — COAPITBE t.

Iol/"-' a'^

Ges faisceaux de rayons sonl projeclifs Tun par rapport a Tautre, et Ton peut k Tinverse <5tablir la correlation de deux faisceaux de courbes en reliant projectivement deux semblables faisceaux de tangentes, car k chaque tangente correspond une courbe unique du faisceau auquel elle se rapporte.

Ici se pose la question de savoir si la courbe engendr^e est la plus g6n6rale de son esp^ce et si toute courbe alg6brique peut dtre engendr^e de cette maniere. Nous serons plus tard en situation de r^pondre affirmativement a cette question, en montrant que sur toute courbe on peut toujours determiner deux syst^mes de points qui peuvent 6tre employes comme points de base de deux faisceaux projectifs pour .la generation de la courbe donn^e (* ).

Nous passons k la consideration simultanee de trois courbes, Parmi les formations invariantes simultanees auxquelles elles donnent naissance, il en est une qui a ete specialement etudiee jusqu'a present et k laquelle nous aurons uniquement egard ici : c'est la jacobienne des trois courbes primitives. Supposons ces derniires donnees par les equations

tf 111*1

la jacobienne sera representee par I'evanouissement de leur determinant fonctionnel, c'est-i-dire par

mm' m"

dy. Ox

Oj\

Or,

~[aa'a'']a'^~'af''aY^^ = o

(') Ce theordme a ^te donn^ pour les courbes du troisi^me ordre par Cbasles {Comptes rendus des seances de VAcadimie des Sciences^ t. XLI, i8S3) et dans sa generalite par de Jomqui^res, Essm sur la generation des courbes gSometriques ( Uemoires prisent6s par divers savants il I'Academie des Sciences, t. XVI, i858). Dans ce travail se trouvent traites beaucoup de problemes de construction se rapportant an theordme dont il s*agit. Pour les courbes du troisidme ordre, voir le second Chapitre du pr^ent Volume.

TDiOBIE CCN^EALB DBS COUBBBS ALC^BBIQCES. Q^

Lajacobienne est done de I'ordre m 4- ni' -+- m^ — 3, et, cornme on Vapercoit immediatement, elle est le lieu des points dont les polaires linecdres relativement aux trois courbes donnees se coupent en un meme point ( * ).

Lajacobienne poss&de en particulier la propri^t^ de passer par les points communs aux trois courbes. Si, enefiet, Ton multiplie les deux premieres lignes du determinant fonctionnel par j^i, Xs respectivement, et qu'on les ajoute a la troisi^me multipli^e par x^y celte derniere se trouve alors compos^e des termesmQ, ///sj/, ///x> et le determinant s^^vanouit en mSme temps que ces fonctions.

Dans ce cas, il se pr^sente une particularity trds-importante pour les applications uUeHeures lorsque deux des courbes primitives sont du m^me ordre ; on a alors ce tbeor^me :

La jacobienne de trois courbes cf = o, t{/ = o, ;r = o touche en chacun de leurs points communs la courbe X = o lorsque o et ^ sont du meme ordre; si le point commun est un point double pour y^y ce point sera egalement un point double pour la jaco* hienne, et les tangentes de cette derniere courbe en ce point se confondront auec celles de y^ = o[').

Pour le d6montrer, comparons les deriv6es partielles de y^ pour les coordonnees du point consider^ avec celles du determinant fonctionnel ( m = m\ m" -+-2/1/ — 3 = /Jt)

Or, nous avons

u Ai-« A. =r Un'a" ) n'^'''^ af-"^ a^''"'^

(') Observons qu'ici, comme pour les coniqucs, on a le theor^me suivant : Si U determinant fonctionnel de trois courbes de meme ordre est identiquement nul, les trois courbes appartiennent au mSme Jaisceau. La demonstration a la jn6ine march c que dans les formes quadratiques ; on doit seulement multiplier toutes les equations dont il est question (t. 1, p. 379) par les facteurs symboliques aj'~*, «^"~*» «[^"~2 .Tou- (efois, des considerations plus approfondies deviennent necossaires lorsque les points d'iotersectiou coincident, et le theorSme subit des exceptions lorsque les trois courbes considerecs se composent particllement de branches comptant plusieurs fois. (^o/r, siir ce snjet, Gorda!I et NOtaer, Math, Annalen^ t. X.)

('} Voir Hksse, Journal de Crelle, t. 41, p. 286, et Cledsch, Curven deren Coordi^ naten ellipt. Ftmctionen eines Parameters sind {ibid.^ t. 64).

CLCOsca. — C^om6trie, II. 7

98 TOHB II. — CHAPITtB I.

et, si nous multiplions par u^, les Ui ^tant des quantit^s purement arbitraires (sous la seule condition de Ux [>- ou <^ o), et que nous fassions usage de I'identit^

( 3 ) (aa'a" ) u^ = [aa' u) a'^ - [aa" u) d^ ^- [a! a" u) a,