XI

nous obtiendronsy par suite de ce que les termes multiplies par f y ^, f^ sont nuls,

^ "* ^ ' ■ [m'-^i] «:?'-» a';"'-* «'j'*"-* [ [oTau ) a\^ -f- [a^oT u]a^-\.

Mais ici le dernier terme se r^duit au premier, a cause de A = o, car on a identiquement

(5) («"««)«; -h [a! a" u)a,= {aa' a")u.--[aa! u)a\,

et il vient, par consequent,

,a A'i-' A,//, z= (,;,"- m')ar''' a\[aa! a]a-^-^ d'f-\

c'est-a-dire, puisque le facteur (adu) a^'~* ^T~^ pent toujours £tre suppose different de zero k cause de la quality arbitraire des u, que la tangente de A en x coincide avec celle de -^^ ce qu^il fallait demontrer.

Mais, si x est un point double de ^ = o, le second membre est nul independamment des z\ il en est done de m^me du premier, c'est-^-dire que A = o a ^galement en x un point double. Les tangentes de ce dernier s^obtiendront, k cause de Fevanouissement dea]^'''~*a^, en egalant ^ z^ro I'expression suivante, dans laquelleC est un facteur numerique :

c^est-^-dire que les tangentes du point double de A se confondent avec celles du point double de f^.

On pent obtenir une generalisation du theoreme ainsi demonlre dans le cas ou le point commun x est pour les courbes o et (ff un point multiple d*ordre /* — i et d'autre part pour y^ un point multiple d'ordre r ; nous supposons d'ailleurs ici que les tangentes des diirerentes courbes en x ont un cours separe. Dans ce cas, les

derivees partielles -y-i -r-^ s'annulent /• — 2 fois au point jr, etles

TB£0RIE C£xtaALG DBS COCKBES ALG^BBIQCES. <j5)

deriv^es -r^ /• — i fois. Le determinant A forme avcc elles aura , par suite, une racine de Tordre

La courbe A == o a done en x un point dont Tordre de multiplicite est au moins 3r — 5. Pour un plus ample examen, observons que la (a — ^y*"* polaire de x relativement i A = o est donn^e par r^vanouissement de Texpression suivante :