OiJ-'A
dans laquelle i 4- A" -+- / = 5 et ou Ton a pos6, pour abr^ger,
m'f devant ^tre d^fini d^une maniere correspondante. Si maintenanty en vertu de nos hypotheses pr^c^dentes, les Equations
; 7 ) n'^"-'-^^ a'.-' = o, a'J!''-'^^ aJ'-'- = o, a"^""'^''' d,^-^ = o
ont lieu ind^pendamment des z^ tons les termes de la triple sommc ecrite ci-dessus qui renferment un des facteurs symboliques ^m'-r+2^ ^m'-r^2^ fl"^*""'"'^* ou, ce qui revieut au m^me, un des facteurs aC""', ^z'^j ^z 'y disparaissent, et il ne reste plus, en consequence, que des termes multiplies par les facteurs
//:-*, a'r^ fl7-»
ou par des puissances plus ^levees de rt^, a., ii\. Mais pour 5 = 3 r — 5, a cause de la relation i + ]< -^ lz=. Sy la plus haute puissance de al qui puisse se rencontrer est precis^ment la
(/• — I )'*'"•, puisque
Notre somme se r^duit done, abstraction faite d'un facteur numerique, au tcrme unique
aa a ] aj^ '^^ * a J! ' ^ a^ * "1 « - «c .
100 TOMB II. — CHAPITaS I.
Si nous multiplions ce dernier terme par Ux et que nous fassions de nouveau usage de Fidentit^ (3), nous obtiendrons une combinaison lin^aire des expressions nulles (7), et par consequent un r6sultat ^gal a z^ro : A = o a done en x un point multiple d'ordre
Recherchons ensuite les tangenles de A en ce point, c'est-i-dire
formons la somme (6) pour 5= 3r — 4* Dans cette somme, tous
les termes multiplies par oT'^, ^/"'> ^"z~^ disparaissent encore, et,
k cause de i -h A"-l-/= 3r — 4> 'a plus haute puissance a laquellc
a^ puisse entrer est ^gale a
tandis que la moins 6levde est 6gale k r — i . D'apr^s cela, il resle dans la somme en question un terme
(8) [aa'a") af-'^^ af-''^^ aj"-'- * rtC » /i?-^ a!'
et deux termes dont la somme renferme les facteurs symboliqaes
Si nous multiplions ces facteurs par Ux, et que nous appliquions de nouveau Tidentit^ (3), ils deviennent ^gaux a
ce qui est, d'aprfes ridenlit^ (5), egal a
a^ a J. [ ( a a' a" ) . « - — [aa* u)a'S[ aS~ * a'^' ^ n'S~ ^ ,
Mais ici le premier terme est le terme qui se pr^sente dans le developpement de AJJ^:^'"^^ A^''"'^, et il est en consequence nul, tandis que le second terme comprend le facteur a?", comme le premier terme (8) mentionn^ plus haut. Or les symboles «" ne iigurent plus dans son second facteur entre parentheses ( a a'u); il renferme done aussi le facteur a"*^~^. Nous pouvons reconnaiire cc dernier facteur dans le terme (8) en multipliant de mc^me par//x ct en appliquant Tidentite (3). II reste, en vertu de (7), precisement le meme terme auquel nous venons de reduire la somme (9), et Ton a, en consequence, C designant un facteur num^rique,
TDfiOtIB CiNfiRALB DES COCRBES ALGiBRIOCES. 101
L*expression qui figure dans le premier membre renferme done le facteur a^'^^'a^y qui determine le produit des r tangentes de ;( = o en X. D'oii Ton d^duit ce ih^or^me :
Si deux courbes de m^me ordre ont en un de leurs points communs un point multiple d' ordre r — i, et quen ce meme point une troisieme courbe possede un point multiple d' ordre r [lous a tangentes separees), la jacobienne a au lieu dont il s'agit un point multiple d' ordre 3r — 4> dont r tangentes coincident avec les tangentes de la troisieme courbe,
Ce theor^me n*est pas modifi6 si parmi les tangentes de la courbe -^en x plusieurs coincident par groupes. Si, au contraire, les courbes 9 et <{/ ont en commun les r — i tangentes de leur point multiple, n^-^^' «^ ' devient proportionnel k a^'"'*^' «'/-«, et Ton reconnait que A acquiert un point multiple de I'ordre 3 (/• — i).
II se pr^sente encore d^autres particularit^s si quelques-unes de ces tangentes communes de f et ^ ou toutes sont en m^me temps tangentes du point multiple de y^.
Si enfin les trois courbes sont du mSme ordre [m=m'=:zm'^)f on pent remplacer chacune d'elles par une courbe quelconque du sysl^me
[10) xy -4- >•;»-+- ?*X = o
sans faire varier la jacobienne. On appelle aussi dans ce cas cette derni^re courbe la hessienne du syst^me, et Ton designe le syst^me sous le nom de reseau. La jacobienne est, par consequent, une combinante de ce dernier [i, I, p. 378). Un reseau est caract^rise analytiquement par le fait que cbacune de ses courbes depend lin^airement de deuK param^tres ; il le sera done g^om^triquement par cette circonstance que toutes ses courbes qui passent par un point d^tcrmin^ forment un faisceau, car, si Ton substitue les coordonn^es de ce point dans (4)> on pent exprimer Tun des
param^tres -> - lin^airement au moven de Fautre. Par suite, la il [I -^
reunion des courbes d'ordre n qui passent par — ^ — ' — - — 2 points
fixes forme Texemple le plus simple d'un reseau. Un autre exeniple nous est foumi par Tensemble des premieres polaires
TOMB II. — CBAPITRB I.
appartenant a une courbe donn^e (a^= o)
— et^ devant alors 6lre considered comme les deux param^tres
qui entrent lin^airement. Pour ce rdseau, la hessienne se confond avec la hessienne de la courbe primitive, car nous pouvons, enlre autres manieres, d^finir la premiere par le th^or^me suivant :
// existe dans un rcseau une infinite de courbes a point double] le lieu de ces points doubles est la hessienne ou la jacobienne du reseau,
L^elimination de x, ^9 fx entre les trois Equations qui repr^sentent les conditions n^cessaires pour un point double
Aa^-^Ui
ha J. a^
u.aJ-^a\^o
conduit, en effet, au determinant fonctionnel de o, ij^, ;^.
Nous pouvons enfin donner pour cettc courbe une troisieme definition. II arrivera un nombre infini de fois que deux courbes ct par consequent un nombre infini de courbes du rcseau se tou> chent en un point, car ceci exige Taccomplissement d'i/«e seuh condition a T^gard des deux param^lres arbitraires. Soient maintenant o = o, 4* = o deux courbes du rcseau ainsi tangentes; toule
courbe
<)© dj d^
les ^^ pouvant avoir des valeurs quelconques, passera par leur point decontact,ainsi quenousravonsmonlre(p.84). Or, si nous posons
v/z= -^y on n'a la autre chose que la hessienne de notre reseau,
d'ou la conclusion suivante :
La hessienne d'un reseau est le lieu des points oil peuyent se toucher deux courbes du rcseau.
II existe pour ces courbes, relativement a la maniere dont elles se component k Tdgard des points remarquables du rcseau, des
TOtotlB GiSOUlLB DU COVABU ALCiBaiQDES. I03
th^or^mes tout k fait semblables k ceux qui ont lieu pour le r6seau des premieres polaires k regard des points singuliers de la courbe origin aire. Nous mention nerons seulement le suivant : En un point conunun h toutes les courbes da reseau, la hessienne possede un point double ('). Pour ml ^=. m!' = m en effet, F^quatlon (4) se transforme en
uAi"' A,.tt:r = (« - 1 ) \!,aa'u] a\ -^ [a' a" u) «, + [aTau] «',] a^' «/'"* aj-^
repression Aj^"* A^ est done nuUe ind^pendamment des Zy puisque, d'apres ce qui pr^c^de, on a pour le point commun A = o, ce qu^il fallait d^montrer.
Si, au contraire, pour le point x existent les trois Equations
la jacobienne a toujours en x un point multiple d*ordre 3(r — i), puisque les premieres ddrivies partielles de 9, ^i^, -/^ s'annulent encore ici au degr6 de multiplicity r — i , c'est-^-dire que Ton a
AJ.-^'^»A?''-* = o.
Or, si Ton forme ensuite Texpression ^j-*'+3 A^'*"^ suivant Tequalion (6), les facteurs /i^, a^, a* ne peuvent entrer dans les termes de la somme , a cause de ( i o ) , qu'a la puissance r — i ou ^ une puissance plus ^levee. La somme renferme done le terme unique
Si on le multiplie par Ux, et qu'on fasse usage de Tidentite (3), on voit qu'il est n^cessairement nul. D'apr^s des principes tout & fait identiquesy Texpression ^^^"+2 ^''-s se r^duit, abstraction faite d'un facteur num^rique, a Texpression
(«rt'a^)<-'*-» flj"-'--* «'"-'-» a:* «?-» a"!"^
\ / wC Mf «C ^ «r t^
(') Voir^ pour d'autres theoremes dc cette espece, ainsi qu'cn general pour la theorie des rescaux, CR£iio:tA, Einleitung in die Theorie der atgebraischen Curven^ surtout VAppendice dans Tedition allemande. Sur le nombre des courbes a point de rebroussement ou k deux points doubles dans un reseau general, voir de Jo!iqui£res, Math, jinnalen, t. i, p. l\2^.
I04 TOMB II. — CnAPlTEB I.
et, si Ton applique de nouveau k chaque terme, apr&s multiplication par Uxi les identit^s (3) et (5), il vient
= ^or'^^xfl ««' « ) "' — ( ««'« ) «'= -H («'«"«) ^z]
Si nous ajoutons en (in de nouveau les autres facteurs symboliques, nous obtenons le terme du d^veloppement de Texpression ^vanouissante ^5j.-»'^»A^'"-», c'est-i-dire que Ton a aussi
Air"^*A!r» =0.
Si done toutes les courbes d'un reseau ont en un point fixe tin point multiple d'ordrery la jacobienne a au mdme lieu un point multiple (*) d'ordre 3(r — i).
Au point de vue auquel nous nous sommes places d'abord, la hessienne s'est montr^e k nous comme le lieu des points dont les polaires lin^aires relativement k toutes les courbes du resean sc coupent en un m^me point ; ces points ddcrivent une autre courbe^ la steinerienne du reseau, dont Tequation s'obtient en eliminanl les quantit^sx entre les trois Equations
/iJ?-»fl^ = o, ^/;"-»/i;=o, aT^'n', = o.
La steinerienne est done de I'ordre 3 (m — i)* ; conformdment a sa definition, elle est li^e a la hessienne par une relation k determination unique.
Enfin une troisiime courbe, la eayleyenne du reseau, sera envelopp^e par les lignes qui joignent les points correspondants de la
(*) Comnie toutes les premieres polaires d'une courbe algebrique ont, en un point ronltiplc d'ordre r de cette dcrnicre, un point multiple d'ordre r— >i, et que Is jscobienne du reseau de ces polaires est en m^me temps la hessienne de la courbe primitive, il en r^ulte que la hessienne poss^de^ en un point multiple d'ordre r pour la courbe, un point multiple d'ordre 3r — 4« ^^^ verifie facilement que r tangentes dece dernier coincident avcc les r tangentcs de la courbe primitive ; done au point multiple se trouvent reunies r(3r — /|)-j-r = 3r(r — i) intersections des deux courbes. II suit de la qu'un point multiple d'ordre r dans une courbe absorbe 3r(r — i) points
d'indexion, c*est-k-dirc autant que - r(r — i] points doubles. Ce rdsultat est confonoe
auz observations pr^c^dentes (p. 34).
TDtoBlB G£xteALB DU COVMBS ALCiBBIQCES. Io5
hessienne et de la stein^rienne ; elle est de la classe 3m (m — i). En effet, le tfa^or^me suivant est vrai d^une mani^re g^n^rale (') :
Si deux courbes d'ordre m et m! sont liees par une relation a determination uniquCy les lignes de jonction des points corres^ pondants enveloppent une courbe de classe in + m'.
Pour le d6inontrer consid^rons un faisceau de rayons quelconque. Chaque rayon u de ce faisceau coupe Tune des courbes en m points, a chacun desquels correspond un point de Fautre courbe ; joignons ces derniers au sommet du faisceau paries lignes v. Nous avons alors en ce sommet entre les rayons u et i/ une correspondance (t. I, p. a6i) de telle nature qu*^ chaque rayon u r^pondent m rayons w et qu*i chaque rayon v respondent de mSme m! rayons u. D'apris le principe de correspondance de M . Chasles, il arrivera done [m 4- ni') fois que deux lignes correspondantes uqI v coincident; c'est-a-dire que par un point quelconque passent m-f-mMignes joignant des points correspondants des deux courbes, ce qu^il fallait demontrer.
II existe, a Tegard des singularites de la steinerienne et de la caylejenne, des th^oremes analogues k ceux qui ont lieu dans des circonstances semblables pour le r^seau des premieres polaires. Toutefoisy cette correlation n^est nullement telle que tout r^seau d'ordre m puisse etre consider^ comme le syst^me polaire d'une
courbe d'ordre m + i . Trois courbes quelconques d'un r^seau g^-
neral dependent en efiet de -m(m + 3) constantes; trois courbes
quelconques du m^*"* ordre d'un systime de premieres polaires
dependent au contraire des • ^ constantes de la courbe
primitive et des six coordonn6es de leurs trois p6les, par consequent
en tout de - ( m -f- i)(m 4- 4) + 6 constantes seulement. Nianmoins
les deux nombres sont 6gaux pour m = a. Un resect u de coniques peutdonc toujours, d'apres cette supputation preliminaire, etre considere comme le systeme des premieres polaires d'une courbe
(*) Noas aarions pa determiner d'one mani^re identique la classe de la cayleyenne d'une eoarbe (p. 83). La m^thode de Biipputation dont U est fait usage dans le texte est tres-atile pour led problemes de m6me nature.
I06 TOMB II. — CniPITAB I.
du troisieme ordre. Du reste, dans la th^orie des courbes du troisi^me ordre qui sulvra plus lard, nous reviendrons avec plus dc details sur ce sujet.
De la consideration des r^seaux on peut s^^lever a T^tude des syst^mes de courbes qui dependent de 3, 4? • • • param^tres, et qui repr<^sententy par suite, des families Iriplement, quadruplement infinies; on peut ainsi, dans les courbes du aj**""* ordre, aller jusqua
un systime a - /i ( tz -f- 3 ) param^tres entrant lineairement, systeme
qui embrasse la totality des courbes du /i^*™* ordre. Le type le plus simple d'un systeme r fois infini sera toujoursdonn^ par rensembie
des courbes d'ordre n qui poss^dent -/z(«-|-3) — r points com-
muns. On doit d'ailleurs 6tudier correlativement, en vertu du principe de duality, les syst^mes de courbes dont T^quation en coordonnees lignes renferme lin^airement un certain nombre de param^tres. Mais il est digne de remarque qu'a un systeme r fois inflni de courbes du w'*"® ordre est toujours associ^ un systeme
determine I ~7i(«-|-3) — r — i I fois infini de courbes de la n'^"*
classe, et cela se produit d'une mani^re analogue a ce qui arrive pour une ligne droite u (c'est-^-dire pour une courbe du premier ordre, d'ou /i = i, /• = o), ^ laquelle, en vertu de la condition
(l l) Uj. == tt,.r| -4- Wj.r, -+- ttj.rj = o,
est associe un nombre de points simplement infini qui sont r^unis avec elle. Deux courbes
a" = o et ii" = o
donnent en eflet naissance a Tinvariant simultane a", lin6aire par rapport aux coefficients des deux Equations. Si nous regardon> les a comme donnas et les a comme des param^tres, d la cow^be jixe a" == o sera associe, par I' equation
o^ = o, un systeme lineaire -[w(«-h3) — i] fois injini de courbes de
TBtotIB G£!I£BALK DB8 COOBDES ALG^BBIQCBS. IO7
j^iimc classe placees en situation reunie avec la premiere (*). Soil plas g^n^ralement un systdme lin^aire r fois infini donn^ par r^qaation
il existe un systeme de courbes de /i'*"° classe m" = o satisfaisanl individuellement aux /* + i Equations
sysleme qui se Irouve d^pendre encore ainsi de - « (/i + 3 ) — /• — i
parametres arbilraires. Nous dirons que cesjsteme est en situation reunie avec le premier (2).
Reciproquement aussi, 6tant donne un syst^me
il existera naturellement un systeme de courbes a'^=i o placed en .situalion reunie avec le premier en vertu des r -f- i Equations
Si en particulier les a)f' ne sont pas des symbolcs de forme u'io), raais r^ellement des coordonnies de points, les courbes du systeme passent r^ellement par ces points ; dans ce cas, nos appellations ont une interpretation g^ometrique immediate. Cependant jusqti'ici line interpretation semblable n'a pu ^tre donn^e dans le cas general ; eu ce qui conceme les coniques sculement, le sens de la condition
(') On peut considerer les coeflicicnts d'une courbo commc des variables indepen-
(lanU*sxp jr., ... (coordonnees) dans une multiplicite (cspace) de - /i(/2 + 3) dimen-
sioas; alorSf a chaque point de cette multiplicite correspond une courbe du /2i^mf> ordre, ct aux courbes de ii'*»« classe, plncees avec elle en situation reunlG, les plans
♦•n nombre -//(/n- 3) — 1 fois inlini {iijc=- o) qui passent par Ic point cile. Aux mul-
tiplicites lineaircs auxquelles donnc naissance I'intcrsection de differents plans «, = o, ''x = o, ..., ou la jonction de differents points, correspondent alors les faisceaux, les rescaax, etc., et les ligures qui sont placees en situation reunie avec eux.
(*) RosA!(Es {loc. cit.) se sort pour cette relation du mot conjugue {'voir la note de la p. 368, t. I); en ce qui concernc les rechcrches correspondantes relativement aux rormes binaires, consul ter un Memoirc du ni6me auleur : Uebcr ein Princip der y-uordnung algebraischer Formen (Journal de Crellc, t. 7G), ainsi que Sturm {ibid.,
I08 TOMB II. — CnAPlTtB I.
/z^ = o est connu ( 1. 1, p. 368). Pour les coniques plac^es en situation r^unie, on doit distinguer rigoureusement quelle est celle qui est suppos6e donn^e en coordonn^es points, quelle est celle supposee donnee en coordonn^es lignes, car pour ces courbes Tordre est ^gal alaclasse, et comme contre-partie deTinvariant Ah2 se rencontre imm^diatement Tautre invariant A|.j2 qui lui correspond dualistiquement (t. I, p. 36o). Si pour ;z= 2 on a en particulier r=2, il existe, en situation r^unie avec un reseau de coniques, un sjsteme aussi doublement infini de coniques, et les deux syst^mes pr6sentent Tun avec I'autre des relations interessantes et varices. Nous reviendrons sur ce sujet a propos des courbes du troisieme ordre.
Nous pouvons aussi consid^rer les parametres qui entrcnt dans un reseau comme les coordonn^es d'un point du plan. Si nous les designons d'aprds cela parj'i,j)'.j, r3> I'^quation du reseau
associe a chaque point y une courbe du m**"* ordre et a chaque point X une ligne droite. On pent alors, par analogic avec la stein^rienne, indiquer un lieu des points j" auxquels correspondent des courbes k point double, et aux points doubles de ce lieu correspondront des courbes k deux points doubles, de m^me que dans un reseau de premieres polaires (p. 87). On pent d*ailleurs considirer en giniral des syst^mes de courbes reprisenlis par une equation homog^ne, soitpar rapport auxy, soit par rapport auxx, et des ordres m et n par rapport aux x et aux j^ respectivement :
Alors, a chaque point x correspond une courbe du /i'*"* ordre, a chaque point y une courbe du m'*"' ordre. Nous mentionnerons seulement encore un theor^me relatif a ces syst^mes (*), qui doit ^tre considird comme une extension aux formes ternaires du principe de correspondance de M. Chasles (p. 261) etqui peut souvent dtre utile dans certaines supputations, de meme que ce dernier.
(') Voir Salmon, Geometry of three dimensions^ secondo edit., i865, p. 5ii, ou p. 556 dans la seconde Partie de la traduction allemande de Fiedler. Leipzig, 187.1.
TUiOME C£x£HALE DBS COCKBES ALG£0BIQCE8. 10(>
£tant donnas deux syst^mes de courbes de Tesp&ce cit^e^
a chaque point x du plan correspondent a' = nri points y qui sont les intersections des deux courbes, mises en relation avee ce point pary== o et 9 = o ; de mSme a chaque pointy du plan correspondent a = mni points x : on demande quels sont les points x qui coincident avecleurs points correspondants j'. En posant a: =jdans les Equations /= i», 9 = 0, nous obtiendrons les points cherches [points de coincidence) comme intersections des deux courbes
f\x, x) = o^ ff\x, x)z=o\
leur n ombre est done ^gal a
(m-H/i) (/7i'-f- /i') =:mm'-h nn -{- mn* -{- nm! •=. a -+- a' -J- p,
si Ton pose^ = mn'+ nm\ Le nombre (3 est ici ^gal k Tordre de la courbe que d^crit un point j^ si x avance sur une droite. On obtient en efFet T^quation de cette courbe si dans /"= o, c[> = o on pose
el qu'on ^limine /.; le r^sultat de T^limination est alors pr^cis^ment de Tordre mri -\- nrri en y. La courbe parcourue par x lorsque j^ d^crit une droite est naturellement du m^me ordre.
Si Ton donne du nombre |3 cette definition g^om^trique, notre th^oreme sur le nombre a -i- a' H- (3 est encore vrai, mSme lorsque les a. ou ol points ne sont pas repr^sentables commc le systeme complet des points d'intersection de deux courbes, ce qui arrive loujours neccssairement au cas ou a et a' designent des nombres premiers. Mais nous pouvons ^noncer le theor^me d'une mani^re encore plus g^n^rale si nous supposons que pour tons les points d'une courbe d^termin^e une coincidence ait lieu. Nous rechercherons alors le nombre des points de coincidence de la correspondance non situ6s sur la courbe de coincidence ( * ) .
(') Cette cxleosion du theorenie a ete doiinee par M. ZeuTBEN, Comptes rendus des sea/tees de V^ctzdimie des Sciences, juin 1874. Au cas ou la correepondance est representabie par deux equations /= 0, ? := 0, une courbe de coincidence prendra naisuace lursque, en posant Jc^=jr^ un seul et m6me facteur se separera de / et de p.
110 TOMB II. — CBAFITM 1.
Nous admettons done qu'i un point x correspondent a! points i , qu'a un point j- correspondent a points x\ soit d'ailleurs ^ Tordre de la courbe que parcourent les points j^ horn ologues de x lorsque X decrit une droite. Nous pouvons ^noncer cette demi^re supposition en disant que sur une droite quelconque il doit exister (3 couples de points tels qu'un de leurs points se trouve compris dans le groupe des points homologues de Tautre. Sous cette forme, jS depend sym^triquement des groupes de points x e\.y\ (3 est done en menie temps I'ordre de la courbe que decrivent les points X honiologues de y lorsque y asfance sur une droite. Nous d^signerons enfin par y I'ordre de la courbe de coincidence, dont tons les points sont par definition des points de coincidence, el par d la classe de la courbe dont les tangentes joignent un point x de la courbe de coincidence au point homologue j^, qui en est iniiniment voisin.
Nous d^terminerons d'abord I'ordre d'une courbe Kx qui sera parcourue par un point Xy si la ligne qui joint ce point a Tun dc ses a' points homologues j- passe par un point fixe O. Joignons dans ce but O aux points x d'une droite quelconque w par des rayons u. A tout rayon u correspondent a' rayons v^ joignant aux of pointsj^ homologues du point d'intersection j: de u et de kw A toute ligne \^ correspondent d'autre partjS rayons u, a savoirlcs lignes de jonction de O avec les points d'intersection de la ligne w et de la courbe d'ordre p d^crite par les points x, lorsque^y parcourt le rayon v.
Maintenant, d'apr^s le principe de correspondance de Chaslos (t. I, p. 261), il arrivera (a'+ /5) fois qu'une ligne u coincide avec une ligne homologue v. Parmi ces rayons de coincidence, il en est toutefois y que nous devons exclure : cc sont les lignes de jonclion de O avec les y points d'interscction de la ligne w ct de la courbe de coincidence, car a toute ligne semblable envisag^e conmie rayon u correspond, par suite de la definition dc la courbe de coincidence, un rayon infiniment voisin v. II existe done sur w ot'-l-p — y points dont les lignes de jonction avec un des points homologues j passent par O ; autrement dit, I'ordre cherch^ do la courbe K;r est ^gal ^ a' + 13 — 7. Semblablement, le lieu des points j^ dont les lignes de jonction avec un point homologue x passent par O est une courbe R^- de I'ordre a -f- {3 — 7.
TH£0KIE G^X^EALB DBS COCBBBS ALC^BEIQCBS. 1 1 1
Prenons ensuite un second point fixe P, et jolgnons-le aux points homologues entre eux x eiy qui sont situ^s par couples sur une droite passant par O au mojen des lignes li els/ respectivement. Chaque ligne v! coupe la courbe Kjr qui appartient i O en a'-\- P — y points X ; k chacun de ces derniers r^pond un point j^ dont la ligne de jonction avec lui passe par O ; done a toute ligne v! correspondent a' -f- 15 — 7 lignes v\ et a toute ligne v' correspondent d'une mani^re analogue a +(3 — y lignes i/. Par suite, entre ces deux raj'ons ont lieu a-i-a'-+- 2^ — ay coincidences. Mais, parmi ces derniers rayons de coincidence, jS — y se perdent dans la ligne de jonction de O et de P, car cette droite renferme, comme toute autre droite quelconque, /3 couples de points homologues xelj^ parmi lesquels y coincident avec les points d'intersection de w et de la courbe de coincidence. Les a + a' -j- (3 — y coincidences restantes donnent, par suite de notre construction , les lignes de jonction de P avec les points de coincidence de la correspondance originaire dans le plan. Mais parmi elles sont encore comprises les olignes dejonction de P avec les dpointsde lacourbede coincidence tels que les tangentes k Tenveloppe deCnie plus haut qui leur appartiennent passent par O. U existe done (inalement
points situ^s k part qui coincident avec leurs homologues. Nous avons par suite ce th^or^me :
Soil donnee dans un plan une correspondance en vertu de laquelle a tout point x repondent a' points y et i tout point y OL points X ; soit ^ I'ordre du lieu des points x ou y qui correspondent aux points d'une droite quelconque; supposons ensuite (jue la correspondance ait une courbe de coincidence de Vordrey ct que Ven^eloppe des lignes joignant les points de cette courbe avec leurs points homologues injiniment voisins soit de la classe 5 (*). Alors il existe dans le plan
(') Si pour la relation des deux courbes voisines d'ordre y il n'y a pas de points exceptionnels particuliers, on a ^ = a*/ {^voir p. io5).
lia TOMB II. — CBAPITKE I.
points oh deux points homologues x ety se conjondent [points de coincidence).
Comme application nous donnerons la demonstration de la proposition suivante :
// existe en general
lemf
points dont les polaires lineaires par rapport a une courbe du n^^ ordre et par rapport h une autre du ri'^^^^ ordre se confondent,
Solent en effet /*= a'^ = o, 9 = a"' = o les deux courbes; a la polaire lin^aire d'un point x relativement k /'= o repondent («' — 1)2 points x' dont cctte droite est la polaire Hn^aire relativement 3i cp = o; nous avons par consequent a' = [n' — i)^, et de meme a = [n — i)^. Pour la determination de (3, observons que la polaire lin^aire d'un point x relativement ay= o enveloppe une courbe de la [n — i)**™' [classe si x parcourt une droite (p. 83). Toute tangente de cette courbe est encore la («' — i^*"* polaire de {n' — i)^ points x' relativement a = 0, et tons ces points x' forment alors une courbe de I'ordre (/i — i) [n — i). Cette demi^re assertion resulte du theoreme general que voici :
Si une droite enveloppe une courbe de /^'^'"* classe i/J = o, fef (/n — i)^ pdles de cette droite relativement a une courbe a^ = o enveloppent une courbe de I'ordre iJL{ni — i ). On obtient d'ailleurs immediatement Tequation de cette derni^re en substituant dans ?/J aux quantites u/ les valeurs «/«^"*.
Nous avons done, dans notre cas, k prendre jS = (/i — i)[n! — i). et, par consequent (puisque y = 5= o), le nombre des points cherches est en fait egal a
Dans ce cas, nous aurions pu aussi obtenir algebriquement par vole
directe le nombre trouve. Si Ton pose en effet // = --^5 ©;==t^»
on a necessairement pour les poijits dc co'incidence x les equations suivantes :
TBioaiB G^N^RALE DES COOBDES ALG£BBIQI!CS. If3
ou
Les deux premieres sont de-Tordre n — n-/i' — i ; elles ont en consequence (/i — i-H/i' — i)^ solutions communes. Mais parnii ces solutions se trouvent compris les (n — i) («' — i) points d'interseclion de ^ « = 0,^2=0 par lesquels ne passe pas la courbe yi^i — ^iji' Le nombre des solutions communes a la fois aux trois Equations est done ^gal a
comme nous Favons trouv^ precedemment (*).
Pour le cas de n = n\ les 3(/2 — i)^ points de coincidence du
resultat ne diiT^rent pas des points doubles qui se rencontrent dans
le faisceauy+ ?.y = 0, car les conditions relatives a un point de
cette espece,
fi ■+- ^i = o,
peuvent, apres elimination de ^, s'ecrire precis^ment sous la forme
