VI. — Gontiiination. — La methode des caracteristiqnes
Dans ces derniers temps, on a dtudi^ avec plus de details les syslemes de courbes qui dependent d'un param^tre arbitraire, ct CCS considerations ont, particuli^rement en ce qui conceriie la conception exacte des degenerations des courbes algebriques, conduit k des r^sultats importanls.
Nous devons, toulefois, nous contenter de signaler dans ce qui suit les points de vue a poursuivre ; ce n'est que sur les systemes (le coniques que nous nous arr^lerons un peu plus longtemps. Nous rencontrons ici une partie de la Geometric qui, a Tepoque contemporaine, s'est eievee aurang d'une doctrine de plus en plus
(') Voirf Bar de semblables systcmeB d'equations, Salmox-Fiedler, Raunigeometric^ Wf p. 519 etsuiv. dans la dcuxiomc edit., 1874-
CLEBScn. — Geometric, IL 8
Il4 TOMB II. — CUAPITKB I.
complete, et qui, par suite, est d^sign^e avec raison sous le nom de Geometrie du Notnbre.
Un tel systeme de courbes en nombre simplement infini peut se representer alg^briquement de la maniere suivante. Les coefBcienb de la courbe mobile de rensemble (y=:o) sont des fonctions alg^briques non n^cessairement rationnelles d'un param^tre X. Si cctte d^pendance est irrationnelle , on peut toujours, comme Fapprend la th^orie des fonctions alg^briques, exprimer les coefficients rationnellement au moycn de ^eaxparam^tres entre lesqucls existe une Equation alg6brique, ou, si nous introduisons encore un facleur d*homog^n6it6 , comme des fonctions homogenes enti^res de X], X^y X^, ces derni^res quantit6s ^tant li6es par une equation homogene.
Relativement au systeme de courbes, deux nombres ont une importance particuli^re et sont appel^s les caractenstiques du systeme, savoir :
(JL le nombre des courbes du systeme qui passent par un point
fixe quelconque; V le nombre des courbes du systeme qui touchent une droite
fixe donn^e(*).
Le nombre [ij lorsque les coefficients de la courbe mobile sont des fonctions rationnelles d'un parametre, se confond avec la dimension a laquelle entre ce dernier dans T^quation ponctuelle /*= o du syst^nie. Le nombre vjdonnera alors en g^n^ral la dimension -k laquelle entre ce parametre dans T^quation q> = o du systeme en coordonn^es lignes; done dans les courbes d'ordre/i il sera^gal a 2/ui(/2 — i), puisque <p estdudegr^ ^{n — i) par rapport aux coefficients de /'(-). II peut neanmoins arrivcr, et, dans ce
(*) Ccs caractcristiques ont d'abord ete introduites par M. Chaslcs, a qui Tod doit en {reneral la creation de la theorie des caractcristiques. Cctte thcorie a etc ensint<' developpee par MM. do Jonqiiieres, Caylcy, Salmon, Zcuthcn. Voir surtout le trarail d'ensemble do Cayley, On the curves which satisjjr given conditions {Philos. Transactions, London, 1 868, t. CLVIH ), puis Salmon, Higher platie curves^ et CnEMon A, Einleitanj; in die Theorie der aigebraischen Curven. On trouvera des indications bibliographiques plus completes dans Cay Icy {toe, cit,) et dans Paikvir, Bulletin des Sciences mathematiques, t. HI, p. i55.
(') C'cst a ces hypotheses que se rapporlcnt les premieres ochcrchcs de M. de Jonqui^ros.
TUEOIIE G^K^KALC DR8 COintnES ALG^BBtQCei. Il5
qui suit, nous pr6supposerons en g^n^ral l^existence de fails semblables^ que dans le syst^me soient comprises des courbes qui touchent une droite quelconque ; c^est ce qui a lieu lorsque, par exemple, une courbe du n**"*** ordre se decompose en une courbe du(« — a )*>*"•• ordre et en une droite comptant doublement, ou en general lorsqu*elle renferme une branche compile plusieurs fois. Toutes les courbes de cette esp^ce qui satisfont identiquement a Tequation f = o seront englob^es dans le nombre 2/jt(/2 — i), landis que dans le nombre v nous n'avons Tintention de comprendre que les courbes qui ont un contact proprcment dit. De nieme/iA doit indiquer seulement le nombre des courbes qui passent par un point dans le sens propre, sans ^gard a celles qui renferment un point comptant double et qui ainsi, en un certain sens, passent par un point quelconque : courbes qui, a vrai dire, ne sont compl^tement representables que par une Equation en coordonn^es lignes.
Ce sont pr6cis6ment ces ^ventualit^s qui rendent n^cessaire, pour les recherches algebriques, d'avoir toujours simultan^ment sous les yeux les Equations y= o et 9 = o. Les courbes singulieres dont nous avons parl^, a branches comptant plusieurs fois, apparaissent dans les recherches g^om^triques lorsqu'on fait deg^nerer successivement une courbe gen^rale (' ). Si Ton part de la conception ponctuelle, et qu'on r^unisse par exemple un point double a des points doubles existant deja ou qu^on transforme un point double en un point de rebroussement, cette reduction est representee dans la conception lin^aire par la circonstance qu'un point parliculier shu6 sur la courbe vienl k s'en distinguer de maniere a compter ^ventuellement plusieurs fois. Nous d^signerons un point semblable, ou la courbe dont il s^agit doit ^tre regardee comme touchee par toule courbe qui y passe, par le noni de sommet [^). Des droites comptant eventuellement plusieurs fois peuvenl de m^me se s^parer d'une courbe, landis que dans la conception lineaire elles restent inapergues ; nous les designerons sous le nom de branches droites.
(') Fotr des cxemplcs du fait p. 55 ct 59.
(') 11 n'cst pas necessaire qu'un sominot Boit sitiic en tin point multiple, comme dans Texemple ; il pent aussi dtre situe d*unc maniere quelconque sur une branche de la courbe comptant plusieurs fois.
|l6 TOME II. — CDAPITRE I.
Ces decompositions montrent que, pour la determination des nombres fx, y d^un syst^me, il est n^cessaire avant toutes choses de connattre compl^tement les courbes singuli^res du systenie, et c^est dans la determination de ces derni^res, et surtout dans la determination de Tordre de multiplicity des branches droites et des sommets, que se trouve la principale difficulte du probl^me.
Nous expliquerons d'abord ces circonstances par rapport au\ sysicmes de coniques, Dans un tel systeme, les courbes suivaoles sont possibles :
i^ Dans la conception ponctuelle :
Le couple de lignes, dont Ic point double est alors un
sommet; La ligne double ^ qui est elle-meme une branche droite, et
sur laquelle sont situ^s deux sommets s^pares.
a® Dans la conception lin^aire :
Le couple de points, dont la ligne de jonction est une
branche droite ; Le point double, qui est lui-mdme un sommet par lequcl passent deux branches droites s6parees.
3^ Dans les deux points de vue simultanement :
La droite, avec un seul point situe sur cette droite.
Nous determinerons d'abord le nombre X des lignes droites, 7; des points doubles.
Par tout point d'une droite quelconque passent {jl courbes du systeme, dont chacune coupe encore la droite en un point y; de m^me, k lout point y correspondent [jl points x sur la droite : nous avons par suite 2/jt coincidences. Celles-ci sont produites ou bien par le contact de la droite avec une conique propremcnt dite, ou bien par sa rencontre avec une ligne double; mais il y a vcodiques proprement dites tangentes a une droite quelconque, et nous avons en consequence
f 7t zi:: 1v — a.
Au moyen de ces Equations on pent, si I'on n'y arrive pas directement, determiner les caracteristiqucs |t/., v d'un .systeme par les
TU£OBie CfiX^IIALE DES CIURBES AUi^DRIOl'M.
nombres )., it, lorsquc Ton connait ces derniers, et c^cst k ces (leterminalions que se rapportent sp^cialement les recherches de M. Zeuthen. Les nombres en question s'obliendront encore d*une maniere simple pour les syst^mes donnas par ce qu'on appelle des conditions elenientaires , e'est-a-dire si Ton demande que les coniques passent par quatre points donnas ou passent par trois points et touchent une droite, etc. : syst^mes que nous designerons brieveraenl par les symboles
(::). (Al), („||), (.III), (llli;.
Nous reunissons dans le Tableau suivant les valeurs obtenues pour fz, V, X, 7: :
ff
(**ll)
C*lll)
dill)
Les systemes [%l) et (||||) ont deja 6t6 traites en detail dans la theorie des coniques. En ce qui concerne la representation analytiquc du syst^me (/^|), nous observerons ce qui suit. Prenons les irois points fixes pour sommets du triangle des coordonnees; requation d^une conique passant par ces points est alors
Soient ensuite {//les coordonnees de la tangente fixe; nous avons encore la condition
''ll
^Jl
ffzi
Il8 TOMB II. — GflAPITU I.
Mais le developpement de ce determinant donne pr^cisement Ic produit des quatre valeurs que prend Texpression
suivant les signes employes. Si done nous posons
^18W| = '!l ^3l«l = >i» ^lt"z='>'h
V equation du sjsteme (♦*♦!) sera
( 3 ) -^ jr,.r, 4- ^ :rj.r, -h -^ Xj.rj = o,
«1 Wj Ws
avec
Les quantit^s X,, Xq, X3 entrant ici au second degr^^ on a {jl= a.
Dans le syst^me sont compris trois couples de lignes donnas par
Tevanouissement du determinant. Comme celui-ci, c'est-a-dirc
2 - * * > est un carr^ parfait, chaque couple compte deux fois, et tti /</| i/|
il en est de m^me de chacun des trois sommets ; done le nombrc
TT du Tableau est ^gal a 6. Ces sommets sont les points d^intersec-
tion des trois cdtes du triangle avec la droite fixe; chaque c6t6, en
y adjoignant la ligne qui joint le sommet situ^ sur ce c6t6 au point
de rencontre des deux c6tes adjacents, forme une courbe du
syst^me. II n'y a pas ici de lignes doubles ; on a done y = 4 el
X = o, et, en effet, aucun facteur ne se s^pare dans la formation
de r^quation en coordonn^es lignes.
On pent aussi se rendre compte, par voie purement g^ometriquc
et ainsi qu'il suit, de cette circonstance que les trois couples de
lignes doivent 6tre compt^s deux fois comme coniques du systeme.
Nous rechercherons d'abord comment dans un systeme lin^aire
de courbes une conique deg6n^re insensiblement en un couple
de lignes ou en un couple de points. Dans un faisceau, nous
devons ^videmment consid6rer un couple de lignes comme pro-
venant de ce que, dans Tun des espaces angulaires du couple en
question, les branches d'une hyperbole se rapprochent de plus en
plus de la forme d'un systeme de deux droites, pour ensuite, en
continuant leur mouvement et apres avoir atteint c^tte position
limite, s'en eloigner de nouveau dans Tautre espace angulaire.
THtoRlE b£x£KALE DES COVRBBfl ALCtoBIQCCS.
Le couple de lignes n'est ^videmment parcouru qu'une fois dans cette circonstance ; il ne compte done qu^une fois. Les choses se passent d*une maniere analogue pour le couple de points dans un syst^me de coniques a quatre tangentes communes , par exemplc (in systeme confocal ; une ellipse s*amincit de plus en plus autour des points du couple jusqu'^ ce qu'enfin elle recouvre deux fois la portion int^rieure de leur ligne de jonction; alors, >comme figure ligne, elle est representee pr^cisement par les deux points (sommets). Si nous passons a la courbe immediatement \oisine, cc sera une hyperbole ^troitement appliqu^e ^r les deux parties dc la droite qui a partir des deux points tendent vers Tinfini et recouvrent ainsi doublement cette portion. Dans le passage successif a d'autres courbes, les branches des hyperboles font un angle de plus en plus grand avec la ligne double dont il vient d'etre parl^. Le couple de points doit ^tre 6videmment compt^ une sciile fois; il forme une position de passage simple des courbes du systeme.
II en est autrement du systeme (/^D? dont nous nous occupons acluellement, et qui est represente en abr^g^ dans la fig. 20. Ici
A, B, C sont les trois points fixes, u est la tangente fixe. De Tun des couples cit^s (ayant D pour sommet) s'approche Thyperbole f dont une branche touche la ligne m, tandis que Tautre en arrive infiniment pr^s de I'autre c6te. Lorsque le couple de lignes est atteint, Fhyperbole avec ses branches ne passe pas dans les espaces
13U TOaiE II. — CUANTRE I.
angulaires voisins, mais revlenl en arrierc en prenant dans la figure la position de la courbe ^ ; elle se comporte d'une certaine uEianiere dans le sjst^me de courbes comme un point de rebroussement sur une courbe alg^brique, et il est visible qu'elle doit ^tre coniptee deux fois comme courbe du systeme.
Pour la representation du svst^me dualistique a lui-m^me ( ^^ || >. prenons le point d'intersection des deux droites comme sommel //i = o du triangle des coordonn^es et la ligne de jonction des deux points comme c6t6 Xi = o. Determinons les autres Elements du triangle de telle sorte que les deux points donnds soient liarmoniques aux points rio = o, 113 = o, et qu'en niSme temps les droites donnees soient harmoniques kx2 = o, Xz = o. L^equalion de la conique a alors la forme
fh2 I ^h:i = ^ etant unc constante. De mSme, dans T^quation en coordonnees ligncs, la quantite
doit 6lre n6cessairement constante et le terme en i/^ wa manquer, cc qui donne la condilion
Chacune des hypotheses rt|2 = o, rtt|3 = o satisfait done au\ conditions pos6es, et nous avons ce theor^me :
Le systeme de coniques a deux points fixes et deux tangentes fixes est reductible, c'est-a-dire se decompose en deux systemes complctement separes [*).
En posant par exemple a|o = o et
Vequation de Vun des systemes devient
[^y] ).|.rj -f- - ).j [c.r:\ -h x\ ] -f- ^\.r^.r^ = o,
(I) Cela est evident si I'on fait coiiicider les deux points Axes avec les points circulaircs. Les cercles de Tun des syst^mes sont alors situes dans I'un des cspaces angii' laires compris entro los deux tangentes fixes, ceux de I'autre systeme dans I'auire espace angulaire.
TDEOBIE C£IC£KALC DBS COCBBES ALC^BBtQCCS. 13 I
avec la condition
[6] /, A, (c — ^' ) -f- cc' \l =: O.
Done, par tout point passent deux coniques; il en est de m^me dans le sjst^me rt|3 = o : on a par consequent ici [jl= 4> et en verlu du principe de duality aussi v = 4- De U r^sulte ensuite, k cause de(i), /. = ?: = 4^ En effet, pour des coniques evanouissanles, le discriminant
est n^cessairement nul. On a done
ou bien >, = o, ou bien >|).j — r/J = o.
Dans le premier cas, en verlu de T^quation de condition (6), on a aussi X^ = o. Dans le second, (6) se transform e en X, X^ = o, de sorte qu'on a ou bien X.j = o et /a = o, ce qui est le cas prec^»dent, ou bien /, = o et X3 = o. Ces derni^res conditions donnenl le couple de lignes cx:^ -1- x!; = o, lequel est form^ des lignes joignant les deux points fixes au point d'intersection des deux tangentes fixes. Lcs equations A^ = o, X3 = o, au contraire, conduiscnt a la ligne double x'^ = o, qui est la ligne de jonction des deux points fixes. Cette derniere compte deux fois dans chacun des deux systemes, et par consequent quatre fois en tout (d'oii '== 4) J car pour Xj = 0, X3 = o, non-seulement le discriminant >.r^-2 — ^^3X2 s'^vanouit, mais encore les d^rivees partielles de celui-ci par rftpport a X,,X2, X3 sont individuellement nuUes. II cxiste de mSme un sommet comptant quadruplement (d'ou t: = 4)) savoir le point de rencontre des deux droites donn^es.
Nous pouvons nous rendre compte de la multiplicity des courbes singuli^res par des considerations g^om^triques semblables a celles presentees a propos du systeme (*%|). Dans les fig. 2ia et 22a, deux couiqucs appartenant k chacun des deux svsiemes en lesquels se decompose le sysl^me (♦»||) ont ete representees un peu avant et un peu apres la position limite qui
est indiquee par la ligne double AB. Les deux systemes se distinguent, comme on voit, en ce que dans Tun les courbes se coupent toujours en quatre points reels, tandis que dans Tautre il n'en est pas toujours ainsi. La circonstance que Tellipse devenue
TOMB II. — CUAFITBB !•
infiniment aplatie ne s'^tend point de la inaniire representee plus haut (p. 119), de mani^re k devenir une hyperbole, mais se transforme immediatement en Tellipse infiniment voisine sans que
Fig. 21,.
Fig. 32,.
les branches infinies de la ligne double soient recouvertes par unc hyperbole infiniment aplatie, indique ici que la ligne double doit compter deux fois; elle se comporte precisement comme un point de rebraussement d'une courbe alg^brique. C'est d'une mani^re tout a fait analogue sous le rapport de la duality qu*a lieu, daus les deux syst^mes, le rapprochement successif vers le point d'intersectlon C des deux droites donn^es u, ^, ce qui est visible sur
Fig. 31^.
Fig. 35>4.
\esfig, 21^ et 226. Les tangentes des hyperboles aux points A, B se rapprochent toujours de plus en plus des lignes AC, BC, corr^la-
TBAOftIB C£}l£ftALB DBS GOCBBBS ALCtoBIQCES. 133
tivement a la circonstance que dans les premieres figures les points de contact des ellipses tendent de plus en plus vers les points (I'interseclion de la ligne double avec u et i^ ( ' ).
Comme d6g6n^ration du cas consider^ en dernier lieu, on peut coDsid^rer le syst^me lin^aire de coniques dont quatre points de base sont infiniment voisins. On a pour ce syst^me /m = v = i. Sou Equation a 6t6 pr^c^demment etablie en coordonn^es points ( i: I, p. 175) sous la forme
Si I'on pose j^, = x,, y^ = Xj, ^j^ -H yj'z = axj, elle devient
Comme courbe singuliire se pr^sente la tangente commune X, = o, qui r^pond au paramelre X = o ; en efTet, le discriminant est egal a — A' «. L*6quation en coordonnees lignes devient, apr^s separation d'unfacteur X,
Elle donne pour X = o, comme courbe singuli^re, le point ^3 = 0, qui est situ^ surxi = o. Nous avons done 1^ une courbe singuliere de Tespice comprfse sous le n? 3.
Les caract^ristiques ix, v d'un syst^me de coniques ont pour ce syst^me une importance considerable. M. Chasles a en eflet observe que, dans un grand nombre de cas, le nombre des coniques d'un systime (fx, v) qui satisfont k une cinquieme condition est de la forme ccfjL-hpy, les nombres a, ^ dependant uniquement de la nature de la condition et non du syst^me de coniques. D'aprds cetle observation, de nombreuses recherches ont ^t^ entreprises sur les coniques, principalement a Faide du principe de correspondance de M. Chasles. M. Halphen a d'ailleurs montre(^) que le
) Nos deTeloppcmenU geometriques n« decident, a proprement parlcr, que la question de savoir bi la multiplicite des courbes en qaestion est donnee par un nombro pair oa par un nombre impair.
(') Comptes rendus des stances de VAc€uUirme des Sciences ^ 4 scptembre et i3 novembre 1876. M. Halphen arriTe au theor^me general qui suit :
Potw que le nombre des coniques satisfaisant a une condition 4 et feUsant partie d'utt sy Sterne queleonque (/*, v) soit igal ik KfjL-i- ^» {a et fi etant des nombres ne </e-
134 TOME II. — CIIAPITBR t.
ih^or^me cite sur le nonibre <xtj. -+- |iv n'est pas exact dans tous les cas et qu'au contraire il peut soufTrir des exceptions lorsque le syst^me (|:x, v) admet des d^g^n^rations de Tesp^ce mention nee sous le n^ 3. C^cst ce que nous allons montrer dans ce qui suit par un exemple.
Supposons que Tequation du systeme dont il s'agit soit representee par rt^ = o. Soient deux points quelconques j*, z et deux droites quelconques ^', w. On recherche les courbes du sysleme qui rencontrent la ligne joignant j* et z de telle maniere quale rapport anharmonique des points d^intersection etdes points j''^' soit 6gal au rapport anharmonique determine par les lignes v, w et par les deuxtangentes des courbes en question, comprises dans le faisceau u-h^W' Le rapport anharmonique a de ces quaire points se calcule au moyen de T^quation (t. I, p. gS)
PR(«-h i)« — 4aQ'=o,
dans laquelle P = a^y J{= az, Q = UyUzy et le rapport anharmonique (5 des quatre droites au moyen de
relation ou Ton a
G = [abv]^, L = [aljd'Y, II = [abv) (abtv).
Les deux rapports anharmoniques devant etre ^gaux, il enr^sulte (8) GLQ» = PRH*.
C'est 1^ la cinqui^me condition k remplir, qui est imposee au\ courbes du systeme ai= o.
Soit maintenant, en particulier, a^. = o un ensemble lineaire de coniques ayant deux points de contact communs de telle sorle
que
a^. = .v\ -+- 2 ). JTj Xj, [abu)^ = — 2 ). ( a « J 4- 2 « j /i, ) .
pendant que de la condition 4), il faut et il tuffit que le nombre des eoniqnes salis' faisant a la condition <tf et ayant en un point donne des contacts du troisieme ordre avec une eourbe donnie soit 6gal a a -h /3.
Sur la significalion a]{jcbrique des nombres a et /3 dans les cas oii s'applique le tbeorcmc de M. Chasles, 'Voi r Gledsco, Ziir Theorie der Charakteristiken {Math, Annalen, t. VI).
T]|£0R1E GKSI^RALE DE8 C0CRDB8 ALC^OniOVES. 120
L'^quation (8), apr^s separation du facteur l^y se transforme alors en
Nous avons par suite une Equation du quatri^me degr^, et nous aurions aa -|- £y = a -h /3 = 4« Si done le th^oreme sur le n ombre na 4- j3y etait vrai d'une maniere g^nerale, il faudrait que dans tout systeme (ly i) le nombre des coniques qui satisfont a la condition (8) fut egal a a + (3, c^est-a-dire ^gal i 4> or il n*en est pas ainsi, conime il r^sulte de ce qui suit.
Toutes les coniques du systeme n^. = o peuvent avoir entre elles, aupoint(xi = o, 0:2 = 0), un contact dutroisiemeord re. On a alors, d'apres(7),
LY'quation (8), apres suppression du facteur X^, devient
^J + >..>j4- 2).,V,.>-3) (3J -hlzl + 2A3|33) (I'jCl'j — ).!•,«', — ).l'i«'3 >»'3"'l)*
On pent encore une fois en separer le facteur X, car le seul terme non multiplie par X, savoir jj 3^ vl iv^, est le m^me dans les deux membres. Le nombre des solutions est done ^gal a 3 et non k 4- Par consequent y V obserifation de M, Cfiasles nest pas applicable a lous les systenies de coniques,
D'un autre cdt6, cette observation conduit toujours a d'importants resultats lorsqu'il s'agit de Irouver le nombre des coniques (I'un systeme qui touchenjt une courbe fixe donnee d'ordre n et de classe k; on a alors a = A", (5 = «, et le nombre cherchc est par suite egal a Af/. -}-«v. Le theoreme dont il s'agit est vrai non-seulement pour les systemes de coniques, mais aussi pour les systemes de courbes d'ordre quelconque, fx de ces courbes passant par un point quelconque et v touchant une droite quelconque. Nous allons en donner incessamment la demonstration. En supposant provisoirement la proposition vraie, nous pouvons facile- ' menttrouver le nombre Z des coniques qui touchent cinq courbes donn^es C|, C2, C3, C.|, C3, dont les ordres sont respectivement
I 36 TOHE II. — CUAPinS 1
/t|, n^y 713, n^y lis et les classes Ati, kay k^y k^y k^. Si fx, v sont les caract^ristiques du syst^me de coniques tangentes aux courbes C2. Cs, C4, G5, onauraZ=A'i|!jL + /i|V, /^,v ne dependant pas deA'oUi. Mais, comme Z est compost symdtriquement avec les nombres A/. Hiy il en resulte, p, q^ /% Sj t, u d^signant des grandeurs puremeol numeriques,
Z =: pki kf k^k^kg-h q^ki A', A-, A-4 //^ H- rZ Aj A- j A-, n^ n^-hs^ At A, if j 774 » j / 2 A:i /? I /ij /I4 /I, -h «< . /f 1 // J //j /?4 //j,
les signes sommatoires indiquant qu'il faut former avec les elements quUls concernent des fonclions sym^triques en permulant les indices. Pour la determination des facteurs num^riques qui interviennent, nous consid^rerons des cas parliculiers. Si par exemple une conique doit passer par cinq points, on a
/I, = //j = n^z^ N^ = //, nz o,
A*l = Aj =z A*j = A-4 r:z A's r^ I ,
d'ou
II existe en second lieu deux coniques, passant par quatre points fixes et tangentes a une droite fixe. Ici Ton a
A'l = A'j = A'j = k^ zzz I , A*j r=i O, /7j r=: /?, =r w, := n^ =0, Wj = I ,
d'ou
Enfin il cxisle quatre coniques passant par trois points fixes el tangentes a deux droites fixes. On a, dans ce cas,
/, zzzz A-; = /j — I, /; r^ A- r-:o, //, — //, — Wj = o, n.^ = //. nz. I , -
d'ou
En vertu du caract^re dualistique des nombres kg, nt\ les nombres /;, y , /• doivent necessaireraent se confondre respectivement avec «,
ty s; nous avons par suite
d'ou ce th^or^me :
Le nombre des coniques qui touchent cinq courbes appurtenant respectivement aux di'dres /i|, /ij, n,, /I4, /I5 e^ aiix classes Ar^ Atj, ^j> A'.i> A*5 ejf egal a
Ainsi, par exemple^ pour ni=zhi = 2, il exisle 3264 coniques, qui touchent cinq coniques donn^es ( ^ ).
Quant aux courbes d'ordre sup^rieur, il a ^t^ fait aussi, jusqu^a un certain degr^, des recherches g^n^rales se r^ftrant surtout aux courbes singuli^res qui se rencontrent dans les divers syst^mes; una 6tude approfondie des considerations dont il s'agit n'est pas possible ici, ^ cause de sa complication ; d'ailleurs jusqu'ici le c6te alg^brique des questions dont il s'agit n'a pas ^t^ 6tudie dans la mesure ou I'exigerait une exposition du sujet en harmonic avec nos prec^dentes m^thodes; nous nous bornerons pour cette raison a renvoyer aux travaux de M. Zeuthen [^).
Nous donnerons seulement ci-dessous la demonstration du ihtor^me cit^ plus haut ( ' ) sur le nombre des courbes d'un syst^me
(*) Des recherches plus approfondies sur les coniques qui satisfont a des conditions <le contact donnees ont ete faites par M. Zeuthen {Njrt Bidrag til Laeren om Sjrste^ mer af keglesnit^ Kjobenbavn, i863, ou la traduction frangaise, Nouvelles Annates, t. VI, 1866). CoDSulter aussi la fin de rOuvrage de Salmon, Higher plane Curves. Aiflsi que H. Cremona I'a remarque {Co/nptes rendus des seances de VActidimie des Sciences, t. LXIX, p. 776), il existe, pour un systdme.doubtemcnt infini de coniques, trois nombres p, 7, r ayant unc signification analogue a celle des nombres ft, y pour UQ systeme simplement infini ; p designe alors le nombre des coniques du syst^me qui passent par deux points, a le nombre de celles qui passent par un point et touchent une droite, r le nombre de celles qui touchent deux droitcs. On n'a pas encore examine sous quelles hypothecs le nombre des coniques du systi&me qui satisfont a deux nouTelles conditions apparaft sous la forme ecp -i- /Sr-i- yr.
(') Ahnindelige Egenskaber 'ved Systemer af plane Kurved med Anvendelse til BeS" temmelse af Karacteristikerne i de elementaere Systemer af fierde Or den, avec un resume en fran^ais ( Meinoires de la Societe danoise des Sciences, 5* serie, t. X, 1878 ), ^'oir aussi un compte rendu dans le Bulletin des Sciences mathematiques, t. VII.
'Ml P- 97 • (\) Voir CoASLES, Comptes rendus des stances de I'Acadimie des Sciences, i5 fe-
ia8 TOMB II. — CnAPItH I.
qui touchent une coiirbe fixe. Nous y ferons usage de la proposition auxiliaire qui suit :
Si I' on mene d'un point fixe toutes les tangentes possibles aujr courbes d'un systeme [[ly v), le lieu des points de contact de ces tangentes est une courbe de I'ordre /x •+• v ajant au point fixe wi point multiple d^ordre u.
Consid^rons une droitc quelconque G, qui passe par le poml fixe O. Une courbe du systc^me qui coupe la droite G de telle manierc que sa tangente au point d^ntersection passe par O doit ou bien toucher la droite G, ou bien passer elle-meme par 0. Lc nombre des courbes de cette nature est done ^gal a v 4- /i ; et c'esl la en mSme temps le nombre des points d^intersection du lieu consider^ avec G. Le lemme enonce se trouve ainsi d^montre.
D^signons par C la courbe fixe du /i**"'ordre et de la Ar'*^ classe. Prenons dans le plan une droite quelconque G^ menons d*un point a: de cette derni^re les k tangentes k la courbe C, et construisons en chacun des points de contact les tangentes aux p. courbes du systeme qui passent par ce point. Les susdites droites coupent G en Xr/x points j^, qui correspondent au point x. Nous avons a rechercher le nombre des coincidences des points xe\.y sur G. Or, inversement, a tout point j^ correspond, comme lieu des points de contact des tangentes que Ton pent meuer Aej a toutes les courbes du syst6me, une courbe de Tordre fx -f-v possedant eny (suivanl le lemme qui vient d^^tre d^montr^) un point multiple d*ordre u. Cette courbe coupe la courbe C en w(/x-|-v) points; si I'on mene en ces points les tangentes a C, les points de rencontre de ces dernieres avec la droite G sont les points x qui correspondent aux points j^ Entre x eiy cxiste done une correspondance
vrier i86/|, et Zectbbx, Afath, Annalea, t. Ill, p. i53. Lo thcoreine a ete etenda par M. FocRET k certains systemes de courbes transcendantes qui sont definies par des equations difierentielles al^ebriques ( i?i///er//i de la SocUU math^matique de France, t. II. p. 73). Consulter aussi (t. Ill de ces Lemons) la theorio des connexes. Voir encore Halpbe!!, Sur la recherche des points d*une courbe algibrique plane qui satisfont a nne condition exprim^e par une ^uation diffit entielle algebrique, et sur les questions analogues dans Vespace {^Journal de Liouville, 3« scric, t. II, 1876). La demonstration qui suit au tcxto a cte donnee par Brill, Math, Annalen, t. X, p. 53.i.
TBEORIE GGK^IALE DF.8 COURSES AU.^imiQl'ES. 129
Aux points de coincidence de eelte derni^re appartiennent les n points ou la droite G est rencontr^e par la courbefixe, et, comnie on le reconnait sans diflicult^, chacun de ces points doit £trc compt^ /[jifois. Ces /z/x coincidences ne proviennent pas de la confusion des tangentes correspondantes dans toute leur extension, mais seulement de leur rencontre accidentelle sur la droite G. Les
^u 4- w ' a -f- v! — /f ex 1:= A' a -h /I
autres points rcstants correspondent a celles des tangentes a la courbe (ixe qui sont independantes de la situation de la droite G, et qui, par suite , les points de contact venant a se confondre, sont en meme temps tangentes aux courbes du systeme. Nous pouvons, en consequence, enoncer le th^or^me suivant, dont nous avons fait usage plus haut :
Si, dans un systeme siniplenient infini de courbes, il y ena fx passant par un point quelconque et y tangentes a une droite quelconque, il existe dans ce meme systeme k^-hnv courbes qui touchent une courbe d 'ordre n et de classe k ( independante du sjsteme),
A I'aide de ce theor^me, on pourra trouver le nombre des courbes d'ordre quelconque qui dependent uniquement des conditions de contact, si Ton ^tudie pr^alablement les syst^mes elementaires des courbes de cette nature, c'est-a-dire les syst^mes dont les courbes sont determin^es par des points fixes et par des tangentes fixes. Jusqu'ici les systemes elementaires de certaines courbes du troisieme et du quatrieme ordre ont seuls el^ etudies d'une maniere approfondie (*).
(') yoir, pour les courbes du troisieme ordre, Maillard, Recherche des caracteristiques des sjrstimes ilimenlaires des courbes planes du troisieme ordre (These pour le doetorat, 1870, publiee en decembre 1871), et ZEUTHEXf Comptes rendus des stances de VAeademie des Sciences^ t. LXXIV, ig, 26 fevricr et 1 1 mars 187a; pour les courbes du quatrieme ordre, Zectue:!, ibid,, t. LWV, p. 7o3 et 9.10, et le Memoire danois cite plus haut.
Clebsch. — Geometric, II. ()
l30 TOMB II. — CHAPITRE I.
